量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集
量子力学期末试题及答案(A)
选择题（每题3分共36分）
1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C
A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；
B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；
C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；
D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B
A. Ψ代表微观粒子的几率密度；
B. Ψ归一化后，ψ
ψ*
代表微观粒子出现的几率密度；
C. Ψ一定是实数；
D. Ψ一定不连续。
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D
A. 偏振光子的一部分通过偏振片；
B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；
C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；
D.每个光子以一定的几率通过偏振片。
4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A
A.
*
ψ
一定也是该方程的一个解；
B.
*
ψ
一定不是该方程的解；
C. Ψ与*
ψ
一定等价；
D.无任何结论。
5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C
A. 粒子在势垒中有确定的轨迹；
B.粒子在势垒中有负的动能；
C.粒子以一定的几率穿过势垒；
D粒子不能穿过势垒。
6．如果以∧
l表示角动量算符，则对易运算]
,
[
y
x
l
l
为：B
A. ih
∧z l
B. ih
∧z l
∧
x l ∧
x
l
7．如果算符
∧A 、∧B 对易，且∧
A ψ
=A
ψ，则：B
A.
ψ 一定不是∧
B 的本征态； B.
ψ一定是 ∧
B 的本征态； C.*ψ一定是∧
B 的本征态；
D. ∣Ψ∣一定是∧
B 的本征态。
8．如果一个力学量
∧
A 与H
∧
对易，则意味着
∧
A ：C
A. 一定处于其本征态；
B.一定不处于本征态；
C.一定守恒；
D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。
10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为，则 n=5能级能量为：D A. ;
11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23
)h ω下，简
并度为：B
A.
)1(21
+N N ； B.
)2)(1(21
++N N ；
(N+1)； D.(N+1)(n+2)
12．判断自旋波函数 )]
1()2()2()1([2
1βαβαψ+=
s 是什么性质：C
A. 自旋单态；
B.自旋反对称态；
C.自旋三态；
D.
z σ本征值为1.
二 填空题（每题4分共24分）
1．如果已知氢原子的电子能量为
eV n
E n 26
.13-
= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子
能量为：———————————，光的波长为———— ————————。 2．如果已知初始三维波函数
)0,(r →
ψ ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 )(p ? =——
————————————，任意时刻的波函数为),(t r →
ψ————————————。
3．在一维势阱（或势垒） 中，在
x=x 0
点波函数ψ————————（连续或不连续），它的导数
'ψ————————————（连续或不连续）。 4．如果选用的函数空间基矢为
n
，则某波函数
ψ
处于
n
态的几率用 Dirac 符号表示为———
———————，某算符
∧
A 在 ψ
态中的平均值的表示为——————————。
5．在量子力学中，波函数ψ 在算符∧
Ω操作下具有对称性，含义是———————————————
———————————，与
∧Ω对应的守恒量 ∧
F 一定是——————————算符。
6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是—
———————————————————。 三计算题（40分）
1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x ≤a ，V(x)=∞,当x<0或x>0, 求粒子的能量和波函数。(10分)
2．设一维粒子的初态为)/()0,(0h x ip Exp x =ψ，求),(t x ψ。
（10分）
3．计算z σ表象变换到x σ表象的变换矩阵。
（10分）
4 。4个玻色子占据3个单态1? ，2?，3?，把所有满足对称性要求的态写出来。
（10分）
B 卷 一、（共25分）
1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点（4分）
2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态（6分）
3、全同玻色子的波函数有什么特点并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）
4、在一维情况下，求宇称算符P ?
和坐标x 的共同本征函数。（6分）
5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符
B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求
1、在A 表象中算符
A
?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?
的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t
时处于状态
)
21exp(3231)0,(22x x x ααπαψ-??
????-=
，其中
η
μω
α=
，求
1、在0=t
时体系能量的取值几率和平均值。2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值
四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
???
?? ?
?++λλλλλλ
23303220
21
的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。
一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。
2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。
3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：
[])()()()(21
12212211q q q q S ????φ+=
4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时
的状态才可能使P ?
和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)
(x δ是算符P ?
和x 的共同本征函数。 5、设F ?
和G ?的对易关系k
?i F
?G ?G ?
F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、
G 和k 依次表示F ?
、
G ?和k 在态ψ
中的平均值，令
F F ?F ?-=?，
G G ?G ?-=?，
则有
4
222k )G ?()F ?(≥
???，这个关系式称为测不准关系。
时间t 和能量E 之间的测不准关系为：2η≥
???E t
二、1、由于
1?2=A
，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：
???? ??-=1001)(?A A 设在A 表象中算符B ?的矩阵是???? ??=22211211)(?b b b b A B ，利用0????=+A B B A 得：02211
==b b ；由于1?2=B ，所以???? ??002112b b ???? ??002112b b 10012212112=???? ??=b b b b ，
21121
b b =∴；由于B ?
是厄
密算符，B B ??=+，∴????? ??010
12
12b b ????
? ??
=010*
12
*12b b *
12121
b b =∴
令δ
i e b =12，（δ为任意实常数）得B ?在A 表象中的矩阵表示式为：????
??=-00)(?δδi i e e A B
2、在A 表象中算符B ?的本征方程为：????
??=???? ?????? ?
?-βαλβαδδ00
i i e e
即????
??=???? ??-βαλαβδδi i e e ? ?
??=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和
β
不同时为零的条件是上述方程的系数
行列式为零，即
=---λλδ
δ
i i e e ? 012=-λ 1±=∴λ
对1=λ有：???? ??=+121δ?i B
e ，对1-=λ有：
???? ??-=-
121δ?i B e 所以，在A 表象中算符B ?
的本征值是1±，本征函数为
???? ??121δi e 和????
??-121δi e
3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B ?
在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即
????
??-=
-11
21δδ
i i e e S
三、解：1、0=t
的情况：已知线谐振子的能量本征解为：
ωη)21(+=n E n )2,1,0(Λ=n ， )()exp(!2)(22x H x n x n n
n ααπα?-=
当1,0=n
时有：
)exp()(220x x απα?-=
，)exp()(2)(221x x x ααπα
?-=
于是0=t 时的波函数可写成：
)(32
)(31)0,(10x x x ??ψ-=
，容易验证它是归一化的波函数，
于是0=t
时的能量取值几率为：
31)0,21(0==ωηE W ，32
)0,23(1=
=ωηE W ，能量取其他值的几率皆为零。
能量的平均值为：
ωη67
323110=+=
E E E
2、
0>t 时体系波函数
)23exp()(32)2exp()(31),(10t i
x t i x t x ω?ω?ψ---=
显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0>t 时体系能量的取值几率和平
均值与0=t
的结果完全相同。
四、解：将矩阵改写成：
='+=H H H ???0????? ??+????? ??λλ
λλ
λ
λ
23032020
300020001
能量的零级近似为：1)0(1=E ，2)
0(2=E ，3)0(3=E )1()
1()1(
能量的二级修正为：
2
)
0(3
)0(1213
)
0(2
)0(1212
)2(14λ-=-'+
-'=
E E H E E H E ，
2
22)
0(3
)0(2223
)
0(1)
0(2221
)2(2594λλλ-=-=-'+
-'=
E E H E E H E ，
2
)
0(2
)0(3232
)
0(1)
0(3231
)
2(39λ=-'+
-'=
E E H E E H E
所以体系近似到二级的能量为：2141λ-≈E ，2
252λλ-+≈E ，23923λλ++≈E
先求出
0?H 属于本征值1、2和3的本征函数分别为：
????? ??=001)
0(1?，????? ??=010)0(2?，?????
??=100)
0(3?，
利用波函数的一级修正公式
)0()
0()0()1(i
i k ik k
i k E E H ??-'=∑
≠，可求出波函数的一级修正为：
????? ??-=0102)
1(1λ?，????? ??-=302)1(2λ?，??
??? ??=0103)
1(3λ?
近似到一级的波函数为：
??
??
? ??-≈0211λ?，?
??
??
??-≈λλ?3122，
??
??? ??≈1303λ? 五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以i q 表示第i )3,2,1(=i 个粒
子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：
（1）)()()(312111)1(q q q s φφφ?=；（2）
)()()(322212)
2(q q q s φφφ?= （3）
[)()()()()()()()()(311221312211322111)3(q q q q q q q q q C s φφφφφφφφφ?++=； （4）
=)4(s ?])()()()()()()()()([113222322112312212q q q q q q q q q C φφφφφφφφφ++
一、（20分）已知氢原子在0=t 时处于状态
21310112(,,0)()()()010333x x x x ψ????????=
-+ ? ? ???????
其中，)(x n ?为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0
>t
解 已知氢原子的本征值为
42
2
1
2n e E n
μ=-
h ，
Λ
,3,2,1=n （1）
将0=t
时的波函数写成矩阵形式
(
)()()23113(,0)23x x x x ?ψ???+
? ?= ?
- ???
（2） 利用归一化条件
(
)()()(
)()()232
**
*2
311
22
1123d 3332312479999x x c
x x x x x c c
????∞
-∞?? ??? ?+-? ? ? ??
?- ???
??=++= ???
? （3） 于是，归一化后的波函数为
(
)()(
)(
)(
)()232311133(,0)23x x x x
x x x ?ψ???+?+???=
=
??- ??????
（4） 能量的可能取值为123,,E E E ，相应的取值几率为
()()()123412
,0;,0;,0777
W E W E W E === （5）
能量平均值为
()12344224120777
4111211612717479504E E E E e e μμ=
++=??-?+?+?=-????h h （6）
自旋z 分量的可能取值为
,22
-h h
，相应的取值几率为
1234,0;,0277727z z W s W s ???
?==+==-= ? ????
?h h （7）
自旋z 分量的平均值为
()340727214
z s ??=?+?-=- ???h h h
（8）
0>t 时的波函数
(
)(
)()223311i i exp exp (,)i exp x E t x E t x t x E t ψ?
????--??????????
= ??? ?- ???????
h h h （9） 二. （20分） 质量为m 的粒子在如下一维势阱中运动
()00>V
()??
???>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0
.0
若已知该粒子在此势阱中有一个能量2
V E
-
=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解 对于00
<<-E V 的情况，三个区域中的波函数分别为
()()()()()???
??-=+==x B x kx A x x αψδψψexp sin 03
21 （1） 其中，
η
η
E m V E m k 2 ;)
(20=
+=
α （2）
利用波函数再0=x 处的连接条件知，πδn =，Λ
,2,1,0=n 。
在a x
=处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
()()()()
a a a a '3
'
2
32ψψψψ== （3）
得到
()()()()
a B n ka Ak a B n ka A ααπαπ--=+-=+ex p cos ex p sin （4）
于是有
()α
k
ka -
=tan （5）
当
01
2
E V =-
时，由于
（6）
故
4
0π
π-
=n a mV η
()Λ,3,2,1=n （7）
最后得到势阱的宽度
0 41mV n a ηπ?
?? ?
?
-= （8）
三、（20分） 证明如下关系式
（1）任意角动量算符?j r 满足 ???i j j j ?=r r r h 。
证明 对x 分量有
()???????=i y z
z y
x
x
j j
j j j j j
?=-r r h
同理可知，对
y 与z 分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。
投影算符
?n p
n n =是一个厄米算符，其中，
{n 是任意正交归一的完备本征函数系。
证明
在任意的两个状态ψ
与
?
之下，投影算符
?n p
的矩阵元为 ?n p
n n ψ?ψ?=
而投影算符
?n p 的共轭算符?n p +
的矩阵元为
±{}
****
*
???n n n p p p n n n n n n ψ?ψ??ψ?
ψ
?ψψ?
+??===
??=????=????
显然，两者的矩阵元是相同的，由ψ
与
?
的任意性可知投影算符
?n p
是厄米算符。 利用
()()()*
'
'
k
k
k
x x x x ψψδ=-∑证明()()??x mk x mn
kn k
xp
x p
=∑，其中，(){}k x ψ为任意正交归一完备本征函数系。 证明
()()()()()()()()()()()()()()()()()()''
'
*
*
''*
'''*
'
*'
'
*'*''??d ?d d ?d d ?d d ?d d ?x m x n mn m x n m n x m
k
k
n
x k
m
k k n x k mk
x
kn
k
xp x x xp
x x x x x x x p
x x x x x x x p
x x x x x x x p
x x x x x x x p
x x p
ψψψδψψδψψψψψψ
ψψψ∞
-∞
∞
∞
-∞-∞∞
∞
-∞
-∞∞
∞-∞
-∞
∞
∞
-∞-∞
==-=-===????
?∑??∑?
?∑
四、（20分） 在2
L 与z L 表象中，在轨道角动量量子数1l
=的子空间中，分别计算算符?x
L 、?y L 与?z
L 的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。 解 在2
L 与z L 表象下，当轨道角动量量子数1l =时，1,0,1m =-，显然，算符?x L 、?y L 与?z
L 皆为三维矩阵。
由于在自身表象中，故?z
L 是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有
100?000001z L ??
?= ?
?-??
（1） 相应的本征解为
1011; 0000; 100; 01z z z L L L ψψψ-??
?
== ?
????? ?
== ? ????? ?
=-= ?
???
h h （2）
对于算符?x
L 、?y L 而言，需要用到升降算符，即
()(
)
1???21???2i
x y L L L L L L +-
+-
=+=- （3）
而
?,1L lm m ±
=± （4）
当1,1,0,1l
m ==-时，显然，算符?x
L 、?y L 的对角元皆为零，并且，
??1,11,11,11,10??1,11,11,11,10x y x y
L L L L -=-=-=-= （5）
只有当量子数m 相差1±时矩阵元才不为零，即
????1,11,01,01,11,01,11,11,0??1,01,11,11,0??1,11,01,01,1x x x x
y y
y y
L L L L L L L L -=-===-==-== （6）
于是得到算符?x
L 、?y L 的矩阵形式如下
0100i 0??101; i 0i 0100i 0x y L L -??????==-????
??
（7） y
L ?满足的本征方程为
???
?
? ??=????? ??????? ??--321321 0i
i 0i 0i 0
2c c c c c c λη （8）
相应的久期方程为
0i 0
2
i 2i 02
i =--
---λ
λ
λ
ηηηη （9）
将其化为
023=-λλη （10）
得到三个本征值分别为
ηη-===321 ;0 ;λλλ （11）
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
????
?
??-=????? ??=????? ??-=i 2i 21
;10121 ;i 2i 21321ψψψ （12） ?x
L 满足的本征方程为
112233010101 0
1
0c c c c c c λ??????? ? ?
=? ? ?? ? ??????
（13）
相应的久期方程为
0λ-= （14） 将其化为
023=-λλη （15）
得到三个本征值分别为
ηη-===321 ;0 ;λλλ （16）
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
12311111; 0; 22111ψψψ??????
?=== ?? ? ?-?????
（17） 五、（20分） 由两个质量皆为
μ、角频率皆为ω
的线谐振子构成的体系，加上微扰项
2
1 ?x x W λ-=（21,x x 分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为
??
????++=
+-1,1,21
21n m n m n n n x m δδα
式中，
η
μω
α=
。
解 体系的哈密顿算符为
W H H ???0
+= （1） 其中
()()
2
12221222210
?21??21?x x W
x x p p H λμωμ-=+++= （2）
已知0
?H 的解为
()()()()
21210
2
1
,1x x x x n E n n n n ??ψω
α=+=η （3）
其中
n
f n n n ,,3,2,1,2,1,0,,21ΛΛ
==α （4）
将前三个能量与波函数具体写出来
()()
()()()()()()
()()()()
00001020111011212110202
212102220122231112; 2, 3, E x x E x x x x E x x x x x x ωψ??ωψ??ψ??ωψ??ψ??ψ??=========h h h （5）
对于基态而言，021
===n n n ，10=f ，体系无简并。
利用公式
??
????++=+-1,1,21
21n m n m n
m n n x δδα? （6） 可知
()0?0
010==ψψW E
()
∑∑
≠=-=01
00
020??n f n
n n n
E
E W W E αααψψψψ （7）
显然，求和号中不为零的矩阵元只有
2
232302??αλ
ψψψψ-==W W （8）
于是得到基态能量的二级修正为
()
3
224
2020020
841ω
μλαλη-=-=E E E （9）
第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为
()
()
()
012
3332312312222113
121211=---E W W W W E W W W W E W （10）
其中
1122331221133123320
W W W W W W W W W ========= （11）
将上式代入（10）式得到
()(
)
12
12
00E E --= （12）
整理之，()
12E 满足
()
()
()
23
112
240E E λα
-+= （13） 于是得到第二激发态能量的一级修正为
()()()
2
1231222121 ;0 ;αλαλ==-
=E E E （14）
1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率、波长之间的关系，其表达式为： E=h ν,
p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2
),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符
x p 的对易关系为：[],x p i =h 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，
必定是算符F
?的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： t E i
n n e
x t x η
-
=)(),(?ψ。
8．一个力学量
A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2
η
± 。
1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z
y x L i L L ?]?,?[η=]??,??[]?,?[z x y z y
x p x p z p z p y L L --=]??,?[]??,?[z x y z x z p x p z p z p x p z p
y ---=]?,?[]?,?[]?,?[]?,?[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p
y +--=]?,?[]?,?[z y x z p x p z p z p
y +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p
y ?]?,[]?,?[?]?,[]?,?[+++=y z x z p p x z p z p
y ?]?,[]?,?[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p
yz ??],[?]?,[?],?[]?,?[+++=??
2、（10分）由Schrdinger 方程
证明几率守恒：
其中几率密度
几率流密度
证明：考虑 Schrdinger 方程及其共轭式：
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
1、（10分）设氢原子处于状态 ),()(3
),()(1)
,,(11211021?θ?θ?θψ--=
Y r R Y r R r 2|
),(|),(),(),(t r t r t r t r ρρρρψ=ψψ=*
ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ?ψ=-?+ψ?h r r r
h 0=??+??
J t
ρω]
[2ψ?ψ-ψ?ψ=**μ
ηρi J 22
[](1)
2i V t μ?ψ=-?+ψ?h h 22[](2)
2i V t μ
**
?-ψ=-?+ψ?h h (1)(2)*ψ?-ψ?将式得：]
[2222
****
ψ?ψ-ψ?ψ-=ψ??ψ+ψ??ψμ
ηηηt i t i ][22ψ?ψ-ψ?ψ??=ψψ??***
μ
ηη）（t i τ
μ
ττ
τd d dt d i ][22ψ?ψ-ψ?ψ??=ψψ***
??ηη）（τ
μ
τττd i d dt d ][2ψ?ψ-ψ
?ψ??-=ψψ**
*??η）（τ
τωττ
d J d t r dt d
ρρ??-=??),(0=??+??
J t
ρω
求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
解：在此状态中，氢原子能量有确定值
2
2
2
2
2
282η
ηs s e n
e E μμ-
=-
=
)2(=n ，几率为1
角动量平方有确定值为
2222)1(ηηλλ=+=L )1(=λ，几率为1
角动量Z 分量的可能值为
01=Z L η-=2Z L
其相应的几率分别为
4
1，
4
3
2、（10分）求角动量z 分量 的本征值和本征函数。
解：
波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：
?z d
L i d φ
=-h 归一化系数。
是积分常数，亦可看成其中解得：c ce l d d i L z
i
l z
z φ
φψφψφψφφψηη==-=)()()()(?)
2()(πφψφψ+=)
2(πφφ+=→z
i z
i l l ce
ce
ηη1
2=π
z
i l e
ηΛ
η,2,1,022±±==m m
l z
ππ于是Λ
η
,2,1,0±±==→
m m l z
求归一化系数
最后，得 L z 的本征函数 3、（20分）某量子体系Hamilton 量的矩阵形式为：
设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似。
解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：
H 0 是对角矩阵，是Hamilton H 0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：
E 1(0) = 1 E 2(0) = 3 E 3(0) = -2
由非简并微扰公式
得能量一级修正：
能量二级修正为： ????
?
??='??
???
??-=c c c H H 0000002000300010??
?
??-'='=∑≠)
0()0(2)2()
1(||k n kn
n k n nn n E E H E H E ?????='=='=='=c H E H E H E 33
)
1(322
)
1(211)
1(100????
?
?
?-=20
00301
c c
c H π
πφφψππ
21
12||220
2220
=
→===?
?
c c
d c d Λ
η,2,1,021
)(±±=??
??
?==m e m l im m z φπ
φψ
二级近似下能量本征值为：
量子力学期末试题及答案（B ）
一、填空题：
1、 波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。
2、 |Ψ（r,t ）|^2的物理意义： t 时刻粒子出现在r 处的概率密度。
3、 一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为 简并。
4、 两个力学量对应的算符 对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题：
1、 简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、 一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗
答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A ，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B ）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。
3、 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素
答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2
21)
0(3
)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)
2(2
||||||c E E H E E H E E H E
k k n
k =-'+-'=-'=∑
≠0||||||)
0(2
)0(3223
)0(1)0(3213)0()0(323)
2(3
=-'+-'=-'=∑
≠E E H E E H E E H E
k k n
k ??
???+-=+=-=c
E c E c
E 2313221
22
21
1
量子力学期末考试试卷及答案集复习过程
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
2014-2015量子力学期中试卷(A)——含答案及评分标准
广东第二师范学院 量子力学期中考试试卷 2014-2015 学年 第 一 学期 考试日期：2014年11月 日 考试地点：海珠校区 楼 课室 一、填空题（每空2分，共20分） 1、德布罗意的物质波理论认为粒子的能量E 、动量P 与物质波的频率v 和波长λ的关系为( νh E = )、( n h p λ = 或λ h p = ) 。 2、量子力学中用（波函数）描写微观体系的状态。 3、()2 ,t r Ψ 是粒子t 时刻（在r 处的概率密度），()2 ,t p c 是粒子t 时刻（具有动量p 的概 率密度）。（注：照最后一道大题写是概率分布函数的也算对了，但是只写是概率就不对） 4、扫描隧道显微镜是利用（隧道效应）制成的。 5、氢原子电子的第n 个能级是（2 n ）度简并的。 6、F ?的本征值λ组成连续谱，则本征函数λφ的正交归一性表达式（ 书P70 ()λλτφφλλ'-=' ?δd * ） 。
7、坐标和动量的不确定关系式（()() 422 2 ≥??x p x 或()()2 ≥??x p x ）。 8、如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的（共同本征函数）。 二、求角动量算符的对易关系[] y x L L ?,?（5分） 证明：书P77
三、证明当氢原子处于基态时，电子在与核的距离为0a r (玻尔半径)处出现的概率最大（10分）书P67
四、证明厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。（10分）证明：书P69
五、一粒子在一维势场 , ()0, , x a U x a x a x a ∞<- ? ? =-≤≤ ? ?∞> ? 中运动，求粒子的能级和对应的波函数（20 分） 解：书P26例题
高等量子力学复习题
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l
B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2
代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱
中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是
2011量子力学期末考试题目
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性
高等量子力学考试知识点
1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 2002级量子力学期末考试试题和答案 A 卷 一、简答与证明：（共25分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分） 3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、证明 )??(2 2x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p ?之间的测不准关系。（6分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态 ),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求 1、0=t 时氢原子的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。 四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符 由下面的矩阵给出 ?? ??? ??+????? ??-=C C C H 000000200030001? 这里，H H H '+=???)0(，C 是一个常数，1< 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共40 分） 1. 微观粒子具有波粒二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用厄米算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的本征值。 7．定态波函数的形式为：t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2 η ± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 量子力学期中考试试题 物理常数：光速：8 1 2.99810c m s -=??；普朗克常数：34 6.62610 h J s -=??；玻尔兹曼常数： 231.38110/B k J K -=?；电子质量：319.10910e m kg -=?；碳原子质量：2612 2.00710C m u kg -==?；电子电荷：19 1.60210 e C -=? 一、填空题： 1、 量子力学的基本特征是 。 2、 波函数的性质是 。 3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。 4.一粒子用波函数Φ(,) rt 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。 5、线性谐振子的零点能为 。 6、厄密算符的本征值必为 。 7、氢原子能级n =5 的简并度为 。 8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。 9、测不准关系反映了微观粒子的 。 10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。 11. 通常把 称为束缚态。 12. 波函数满足的三个基本条件是： 。 13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。 15. 坐标与动量的不确定关系是： 。 16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。 17. 何谓定态： 。 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()?θψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()?θψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。 5. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ= ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱 ?? ?∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(c z b y a x z y x V 中粒子的能级和波函数。 量子力学期中考试考 试 量子力学期中考试试题 物理常数：光速：8 1 2.99810c m s -=??；普朗克常数：34 6.62610 h J s -=??；玻尔兹曼常数： 231.38110/B k J K -=?；电子质量：319.10910e m kg -=?；碳原子质量：2612 2.00710C m u kg -==?；电子电荷：191.60210e C -=? 一、填空题： 1、量子力学的基本特征是 。 2、波函数的性质是 。 3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。 4.一粒子用波函数Φ(,)ρ rt 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。 5、线性谐振子的零点能为 。 6、厄密算符的本征值必为 。 7、氢原子能级n =5 的简并度为 。 8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。 9、测不准关系反映了微观粒子的 。 10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。 11. 通常把 称为束缚态。 12. 波函数满足的三个基本条件是： 。 13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。 15. 坐标与动量的不确定关系是： 。 16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。 17. 何谓定态： 。 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()?θψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()?θψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。 5. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=? ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱 2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A量子力学期末考试试题和答案A
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