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数学必修2 直线与方程典型例题

第三章直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1．1 倾斜角与斜率

【知识点归纳】

1.直线的倾斜角：

2.直线的斜率：

3.直线的斜率公式：

【典型例题】

题型一求直线的倾斜角

例 1 已知直线l ）.

A. 60°

B. 30°

C. 60°或120°

D. 30°或150°

变式训练：

设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，

则1l 的倾斜角为（）。

A. 45α+?

B. 135α-?

C. 135α?-

D. 当0°≤α＜135°时为45α+?，当135°≤α＜180°时，为135α-?

题型二求直线的斜率

例 2如图所示菱形ABCD 中∠BAD =60°，求菱形ABCD 各边和两条对

角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式训练：已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.

题型三直线的倾斜角与斜率的关系

例3右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（）.

A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2

拓展一三点共线问题

例4 已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．

变式训练:

若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（）.

A ．4,5a b ==

B ．1b a -=

C ．23a b -=

D ．23a b -=

拓展二与参数有关问题

例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.

变式训练：

已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的

取值范围.

拓展三利用斜率求最值

例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求

y x 的最大值与最小值。

变式训练：利用斜率公式证明不等式：

(0a m a a b b m b

+><<+且0)m >

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【知识点归纳】

1.直线平行的判定

2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x 轴和y 轴的两直线）：

【典型例题】

题型一两条直线平行关系

例 1 已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，

32）、S （0，52

），试判断1l 与2l 是否平行？

变式训练：经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（）.

A ．4

B ．1

C ．1或3

D ．1或4

题型二两条直线垂直关系

例 2 已知ABC ?的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．

变式训练：（1）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？

（2）直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是 .

题型三根据直线的位置关系求参数

例 3 已知直线1l 经过点A(3,a)、B （a-2,-3）,直线2l 经过点C （2，3）、D （-1，a-2）,

（1）如果1l //2l ，则求a 的值；（2）如果1l ⊥2l ，则求a 的值

题型四直线平行和垂直的判定综合运用

例4 四边形ABCD 的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状.

变式训练：已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．

探点一数形结合思想

例 5 已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.

（1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐

标.

探点二分类讨论思想

例6 ABC ?的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ?为直角三角形，求m 的值.

3.2 直线的方程

3.2.1 直线的点斜式方程

【知识点归纳】

1.直线的点斜式方程：

2.直线的斜截式方程：

【典型例题】

题型一求直线的方程

例1 写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)

B-，倾

A，斜率是4；（2）经过点(3,1)

斜角是30 .

例2 倾斜角是135 ，在y轴上的截距是3的直线方程是.

变式训练：

1.已知直线l过点(3,4)

=+的两倍，则直线l的方程为

y x

P，它的倾斜角是直线1

2.已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.

3.将直线1

=绕它上面一点（115°，得到的直线方程

y x

是 .

题型二利用直线的方程求平行与垂直有关问题

例 3 已知直线1l 的方程为223,y x l =-+的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2

l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。

探究一直线恒过定点或者象限问题

例 4. 已知直线31y kx k =++.

（1）求直线恒经过的定点；

（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.

探究二直线平移

例 5 已知直线l ：y=2x-3 ，将直线l 向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为__________________

3.2.2 直线的两点式方程

【知识点归纳】

1.直线的两点式方程：

2.直线的截距式方程：

【典型例题】

题型一求直线方程

例 1 已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.

变式训练：

1.已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（）.

A ．425x y +=

B ．425x y -=

C ．25x y +=

D ．25x y -=

2.已知1122234,234x y x y -=-=，则过点1122(,),(,)A x y B x y 的直线l 的方程是（）.

A. 234x y -=

B. 230x y -=

C. 324x y -=

D. 320x y -=

例 2求过点(3,2)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程.

变式训练：已知直线l 过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为

题型二直线方程的应用

例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示.

（1）求y 与x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围；

（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？

探究一直线与坐标轴围成的周长及面积

例 4 已知直线l 过点(2,3)-，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l 的方程．

（千克）

探究二有关光的反射

例5 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

变式训练：已知点(3,8)

+最小时的点P的A-、(2,2)

B，点P是x轴上的点，求当AP PB

坐标．

3.2.3 直线的一般式方程

【知识点归纳】

1．直线的一般式：

2．直线平行与垂直的条件：

【典型例题】

题型一灵活选用不同形式求直线方程

例1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

（1）斜率是－12

，经过点A （8，－2）；（2）经过点B (4，2)，平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32

,－3；（4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.

题型二直线不同形式之间的转化

例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点(5,6),(4,8)A B --.

题型三直线一般式方程的性质

例 3直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?

（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.

变式训练：已知直线:5530l ax y a --+=。

（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围。

题型四运用直线平行垂直求参数

例 4 已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：

（1）12l l ⊥；（2）12//l l .

变式训练：（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；

（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.

题型五综合运用

例 5 已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：

（1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两直线的交点坐标

3.3.2 两点间的距离

【知识点归纳】

1.两条直线的焦点坐标：

2.两点间的距离公式：

【典型例题】

题型一求直线的交点坐标

例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.

（1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0；（2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.

题型二三条直线交同一点

例 2 若三条直线2380,1020x y x y kx y ++=--=-+=，相交于一点，则k 的值等于

变式训练：1.设三条直线：21,23,345x y x ky kx y -=+=+=交于一点，求k 的值

2.试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.

题型三求过交点的直线问题

例 3 求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的

直线方程.

变式训练：已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.

题型四两点间距离公式应用

例4 已知点(2,1),(,3)

AB=，则a的值为

A B a

--且||5

变式训练：

在直线20

M的距离为５，并求直线PM的方程.

x y

-=上求一点P，使它到点(5,8)

题型五三角形的判定

例5已知点(1,2),(3,4),(5,0)

?的类型．

A B C，判断ABC

探究一直线恒过定点问题

例6 已知直线(2)(31)1

-=--. 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.

a y a x

变式训练：若直线l ：y ＝kx 2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.

探究二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）

例 7 直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.

变式训练：已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．

3.3.3 点到直线的距离

3.3.4 两条平行直线间的距离

【知识点归纳】

1.点到直线的距离：

2.两条平行间直线的距离：

拓展：点关于点、直线对称点的求法

【典型例题】

题型一利用点到直线距离求参数

例 1 已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a =（）.

A B C 1 D 1

题型二利用点到直线距离求直线的方程

例 2 求过直线1110:33

l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.

变式训练：

直线l 过点P (1，2)，且M (2，3)，N (4，－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是

题型三利用平行直线间的距离求参数

例 3若两平行直线3210x y --=和60x ay c ++=之间的距离为13，求2c a +的值.

变式训练：两平行直线51230102450x y x y ++=++=与间的距离是（）.

A. 213

B. 113

C. 126

D. 526

题型四利用平行直线间的距离求直线的方程

例 4 与直线:51260l x y -+=平行且与l 的距离2的直线方程是

题型五点、直线间的距离的综合运用

例 5 已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．

探究一与直线有关的对称问题

例 6 △ABC 中，(3,3),(2,2),(7,1)A B C --. 求∠A 的平分线AD 所在直线的方程.

变式训练：1.与直线2360x y +-=关于点（1，-1）对称的直线方程是

2．求点A （2，2）关于直线2490x y -+=的对称点坐标

探究二与距离有关的最值问题

例 7 在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.

变式训练：在直线:310l x y --=上求一点P ，使得：

（1）P 到A （4，1）和B （0，4）的距离之差最大。

（2）P 到A （4，1）和C （3，4）的距离之和最小。

必修二《直线与方程》单元测试题(含详细答案)

第三章《直线与方程》单元检测试题时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．已知点A (1，3)，B (－1，33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° [答案] C 2．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 [答案] D 3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－6 C ．32 D ．23 [答案] B 4．直线x a 2－y b 2＝1在y 轴上的截距为( ) A ．|b | B ．－b 2 C ．b 2 D ．±b [答案] B 5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是( ) A ．0 B ．－4 C ．－8 D ．4 [答案] C 6．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D 7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1

[答案] C 8．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0 [答案] C 9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) [答案] C 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 [答案] D 11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．2 [答案] B 12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点 B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6) D ．(0,2) [答案] A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为_________. [答案] －2 3 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2 2 ＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又 x 1＋x 2 2＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－1 4－－2

必修二《直线与方程》单元测试题(含详细答案)

第三章《直线与方程》单元检测试题时间12０分钟,满分150分。一、选择题(本大题共1２个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．已知点A（1，错误!)，B（－１，3错误!),则直线AB的倾斜角是( ) Ａ.60°?B.3０° Ｃ．1２0°D．150° [答案] C 2．直线l过点P(-1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为（ ) A.x-y+1＝0 B.ｘ-ｙ－1＝0 C．ｘ－y-3=０?Ｄ.x－y＋3=0 [答案］D 3．如果直线aｘ+2ｙ＋2=0与直线3x－y－2＝0平行，则ａ的值为（ ) A.-3 ?B．-６ C.错误!?Ｄ.错误! [答案] B 4.直线错误!－错误!=１在y轴上的截距为( ） A.|b| B.－b2 Ｃ．ｂ2 D.±b [答案] B 5．已知点A(3，2)，B(-2，ａ)，C(8,1２)在同一条直线上，则ａ的值是( ) Ａ．0 ?B．-4 C．－8 D．4 ［答案］ C 6.如果ＡB<0，BC<0,那么直线Ax＋By＋Ｃ＝０不经过( ) A.第一象限?B．第二象限Ｃ.第三象限Ｄ．第四象限 [答案］D 7.已知点A(１,-2)，B(ｍ，2)，且线段AＢ的垂直平分线的方程是x＋2y-2＝0,则实数m的值是( ) A．－２?B．-7 Ｃ．3 D．1 [答案] C

8.经过直线l 1：ｘ－3y +4=0和l 2：2ｘ+y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( ) A.１9x －9ｙ=0 ?B ．9ｘ+1９y ＝0 C.3x +19ｙ=０ ?D ．19x -３y =0 ［答案] C 9.已知直线(3ｋ－1)ｘ＋(k +2)ｙ-k ＝0,则当ｋ变化时,所有直线都通过定点( ) Ａ．(０,０）Ｂ．(＼f(1，7),错误!) Ｃ.(＼f(2,7)，1 7) ?D ．(错误!，错误!）［答案] C 10．直线x -2y +1=0关于直线ｘ＝１对称的直线方程是( ) Ａ.x ＋2y －1=0 B ．2x +y －１＝0 C ．2ｘ+ｙ－３=0 Ｄ．x ＋2y －3=0 ［答案] D 1１.已知直线l 的倾斜角为1３5°，直线l 1经过点A (3,２）,B （ａ，－1),且ｌ1与l 垂直，直线l ２：２x +by +1=0与直线l 1平行，则a +b 等于（） A ．－４ B ．－2 C ．0 D.２［答案] B 12.等腰直角三角形AB Ｃ中,∠C =90°，若点Ａ，C 的坐标分别为(0,４)，(3,3)，则点Ｂ的坐标可能是（）Ａ．(2，０)或（4,6) B.(2,0)或(6，４) C ．(4,6) ?D.(0，2) ［答案］ A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中的横线上) １3.直线l 与直线ｙ＝１，x －y -7=0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Ｍ(1,－1),则直线l 的斜率为____＿___＿. [答案] －错误! ［解析] 设A (ｘ1,y 1)，B （x 2，y 2),则ｙ1+y ２ 2 ＝-１,又ｙ1=1，∴y ２=-3，代入方程x -y － 7=０,得x 2=4,即B (4,－3),又错误!=1，∴x １=－2，即A (－2,１)，∴k AB ＝错误!=－错误!．１４.点Ａ(３,－4)与点B （5，8)关于直线ｌ对称，则直线l 的方程为＿_______＿. [答案] x ＋6y －１6=0 [解析］直线l 就是线段AB 的垂直平分线，AB 的中点为(4，2),k AB =6,所以 k l =-＼f(1,６），所以直线l 的方程为ｙ－2＝－＼f(１,6)（x －4)，即ｘ+6ｙ-１6＝0．

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（数学2必修）第三章直线与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0 180，不存在 6．若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（） A ．0≠m B ．2 3 - ≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 - ≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;

必修2直线与方程知识点总结与题型

必修2直线与方程知识点总结与题型 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -= -. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<

高中数学必修二直线与方程及圆与方程测试题

一选择题（共５5分,每题5分) 1．已知直线经过点A （0,4）和点B(1，2）,则直线AB 的斜率为（） A.3 Ｂ.-2 C ． 2 D ．不存在 2.过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为( ) A.072=+-y x Ｂ.012=-+y x C.250x y --= D ．052=-+y x ３．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ) x y O x y O x y O x y O A B C D 4.若直线x +a y+2＝0和2ｘ＋3y+1=0互相垂直,则a ＝( ） A ．32- B ．32 C.2 3- D ．23 5.过(x 1,y 1)和（ｘ２，y 2)两点的直线的方程是( ) 11 212111 2112 211211211211.. .()()()()0.()()()()0 y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --= ----= -------=-----= 6、若图中的直线L 1、Ｌ２、L 3的斜率分别为 A 、K 1﹤Ｋ2﹤K 3 Ｂ、Ｋ２﹤Ｋ1﹤K 3 C 、K ３﹤K 2﹤Ｋ１ D 、K 1﹤K 3﹤K 2 7、直线2x ＋３y －5=0关于直线y=x Ａ、3x+2ｙ-5＝０Ｂ、2ｘ-３y －5=0 C 、3ｘ＋2y ＋5＝0 Ｄ、3x-2y-5=0 8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-１)对称的直线是（ ) Ａ．３ｘ-2y-6=0 Ｂ．2x+3ｙ+7=0 Ｃ. 3x －２y －12=0 Ｄ. 2x+3y+8＝0 9、直线5x －2ｙ-1０=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ) x

高一数学必修二直线与方程专题复习

专题复习直线与方程【基础知识回忆】 1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的围 . （2）直线的斜率 ①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为的直线斜率不存在。 2.两直线垂直与平行的判定（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有： ?21//l l ? ； ?⊥21l l ? . （2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.

4.三个距离公式（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d . （3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d . 【典型例题】题型一：直线的倾斜角与斜率问题例1、已知坐标平面三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A . （1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角. （2）若D 为ABC ?的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化围. 例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则： A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2 例3、利用斜率证明三点共线的方法：若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 . 总结：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。例4、直线l 方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 不过第二象限，求a 的取值围。变式：若0

新课标高中数学必修2直线与方程

3.1知识表直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率（1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．（2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．（3）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P 1（x 1，y 1），P 2（x 2， y 2）（x 2≠x 1）两点的直线的斜率特别地是，当12x x =， 12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当 090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<

高一数学必修二直线与方程

数学必修二——直线与方程（一）直线的斜率 1. 坡度：是指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值。 2. 直线的斜率：已知两点如果，那么直线PQ的斜率为练习：直线都经过点P（2,3），又分别经过试计算的斜率。（1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜（2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜。（3）当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合说明： 1、如果，那么直线PQ的斜率不存在（与x轴垂直的直线不存在斜率） 2、由直线上任意两点确定的斜率总是相等的。 3、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°。 4、直线倾斜角与斜率的关系：当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，此时有当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，此时有

概念辨析：为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题。关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： A. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C. 平行于x轴的直线的倾斜角是0或180°； D. 两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； E. 直线斜率的范围是（－∞，＋∞）。辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是： A. 与x轴垂直的直线倾斜角为90°，但斜率不存在； B.举反例说明， C. 平行于轴的直线的倾斜角为0； D. 如果两直线的倾斜角都是90°，但斜率不存在，也就谈不上相等. 说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是； ③倾斜角是90°的直线没有斜率。（二）直线方程 1. 直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。问题一：已知直线经过点，且斜率为，如何求直线的方程？因为经过直线上一个定点与经过这条直线上任意一点的直线是都惟一的，其斜率都等于。所以，要把它变成方程. 因为前者表示的直线上缺少一个点，而后者才是整条直线的方程. 2. 直线的点斜式方程已知直线经过点，且斜率为，直线的方程：为直线方程的点斜式。直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为。问题二：已知直线经过点P（0，b），并且它的斜率为，求直线的方程？ 3. 直线的斜截式方程已知直线经过点P（0，b），并且它的斜率为k，直线的方程：为斜截式。说明：（1）斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式。（2）斜截式中，表示直线的斜率，b叫做直线在y轴上的截距。 4. 直线方程的两点式已知直线上两点，B（，求直线方程。首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：由可以导出，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式。注意：倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示。 5. 直线方程的截距式定义：直线与轴交于一点（,0）定义为直线在轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,）定义为直线在轴上的截距。叫做直线方程的截距式。，表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0。当截距为零时，不能用截距式。

高一数学知识点必修二：直线与方程

一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，。当时，；当时，不存在。 ②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程 ①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：（）直线两点， ④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。 ⑤一般式：（A，B不全为0） ⑤一般式：（A，B不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（5）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（6）两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解；方程组有无数解与重合（7）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则（8）点到直线距离公式：一点到直线的距离（9）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

人教版数学必修2直线与方程单元测试题

第三章《直线与方程》单元测试题一、选择题 1. 直线l 经过原点和点（ 1，1），则它的倾斜角是（）Ａ．3Ｂ．5Ｃ．或5Ｄ． 4 4 4 4 4 2. 斜率为2的直线过（3，5），（ a，7），（－1，b）三点，则a，b的值是（）Ａ． a 4 ， b 0 Ｂ． a 4 ， b 3 Ｃ． a 4 ， b 3 Ｄ． a 4 ， b 3 3. 设点A（2，3），B（ 3，2），直线过P（1，1）且与线段AB相交，则l 的斜率k的取值范围是（） 3 3 3 Ａ．k≥ 3或k≤ 4 Ｂ．4≤ k≤ 3Ｃ．3≤k≤4 Ｄ．以上都不对 4 4 4 4. 直线（a 2）x （1 a）y 3 0与直线（a 1）x （2a 3）y 2 0互相垂直，则 a （） 3 Ａ． 1 Ｂ． 1 Ｃ． 1 Ｄ． 2 5. 直线l过点A 1，2 ，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（）Ａ．0，2 Ｂ．0，1 Ｃ．0，1Ｄ．0，1 22 6. 到两条直线3x 4y 5 0 与5x 12y 13 0 的距离相等的点P（ x，y）必定满足方程（）Ａ．x 4y 4 0 Ｂ．7x 4y 0 Ｃ．x 4y 4 0或4x 8y 9 0 Ｄ．7x 4y 0 或32x 56y 65 0 7. 已知直线3x 2y 3 0 和6x my 1 0 互相平行，则它们之间的距离是（）Ａ． 4 Ｂ． 2 13Ｃ．5 13 Ｄ．7 13 13 26 26 8. 已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x y 2 0 ，直角顶点是C（3，2），则两条直角边AC，BC 的方程是（）Ａ．3x y 5 0，x 2y 7 0 Ｂ．2x y 4 0，x 2y 7 0 Ｃ．2x y 4 0，2x y 7 0 Ｄ．3x 2y 2 0，2x y 2 0 9. 入射光线线在直线l1：2x y 3 0 上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y 轴反射到直线Ａ．x 2y 3 0 Ｂ．2x y 3 0 Ｃ．2x y 3 0 Ｄ．2x y 6 0 l3上，则直线l3 的方程为（）

人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义

必修二直线与方程专题讲义 1、直线的倾斜角与斜率 (１）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ．ｘ轴正向; ⅲ.直线向上方向． ② 直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0 0. ③ 倾斜角α的范围00 0180α≤<. ④ 090,tan 0k αα?≤

注:过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示?（不一定）（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =; （2）若2121y y x x =≠且,直线垂直于ｙ轴,方程为1y y =; （3）若2121y y x x ≠≠且,直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,则有 121212//,l l k k b b ?=≠ 注:当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行. 一般式:已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=,则 1212211221//,l l A B A B AC A C ?=≠ 注:1212211221=,l l A B A B AC A C ?=与重合 1l 与2l 相交01221≠-?B A B A （2）两条直线垂直斜截式:如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注:两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.

必修二直线与方程的知识点+练习

直线与方程的知识点与练习倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -= -. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<

(完整版)高中数学必修2直线与方程练习题及答案详解

直线与方程复习A 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在 6．若方程014)()32(2 2=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 -≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。 4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则2 2 x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD Y 的面积，若平行四边形的两个顶点为 (1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

2020年黑龙江省中学高一下学期数学人教版必修二直线与方程试题含答案

2020年黑龙江省鸡西市第一中学高一下学期数学人教版必修二直线与方程试题含答案一、单选题 1．直线x ﹣2y +1＝0的斜率是（） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣12 D ．12 2．直线()12230a x y --+=与直线320x y a ++=垂直，则实数a 的值为（） A ．52 - B ．16 C ．56 D ．72 3．过点P （2，-2）且平行于直线2x +y +1=0的直线方程为（） A ．2x +y -2=0 B ．2x -y -2=0 C ．2x +y -6=0 D ．2x +y +2=0 4．已知直线1:3420l x y ++=，2:6810l x y +-=，则1l 与2l 之间的距离是（） A ．12 B ．35 C ．1 D ． 310 5．已知点(3,4)A --，(6,3)B 到直线l ：10ax y ++=的距离相等，则实数a 的值等于（） A ．79 B ．13 - C ．79-或13 - D ．79或13 6．直线x-2y+3=0关于X 轴对称的直线的方程是 ( ) A ．x+2y-3=0 B ．x+2y+3=0 C ．2x-y-3=0 D ．2x-y+3=0 7．过点()2,1且与点()1,3距离最大的直线方程是（） A ．210x y --= B ．230x y +-= C ．20x y -= D ．240x y +-= 8．已知直线l 过定点()1,2P -，且与以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）

A ．()(),15,-∞-+∞U B ．(][),15,-∞-?+∞ C ．()1,5- D ．[]1,5- 9．方程 14232140k x k y k +--+-=（）（）所确定的直线必经过点( ) A ．22（，） B ．22（，）- C ．62-（，） D ．36-（，） 10．过直线3230x y -+=与40x y +-=的交点，与直线210x y +-=平行的直线方程为（） A ．250x y +-= B ．210x y -+= C ．270x y +-= D ．250x y -+= 11．点()5,0A ，(1,B -到直线的距离都是4，满足条件的直线有（） A ．一条 B ．两条 C ．三条 D ．四条 12已知A （﹣1，1），B （3，1），C （1，3），则△ABC 的BC 边上的高所在的直线的方程为（） A ．x+y+2=0 B ．x+y=0 C ．x ﹣y+2=0 D ．x ﹣y=0 13．若直线0ax by c ++=在第一、二、三象限，则（） A ．0,0ab bc >< B ．0,0ab bc >> C ．0,0ab bc << D ．0,0ab bc <> 14．已知直线:2l y x =和点()3,4P ，在直线l 上求一点Q ，使过P 、Q 的直线与l 以及x 轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小，则 Q 坐标为（） A ．()2,4 B ．()3,6 C ．()4,8 D ．()5,10 15．点()2,0关于直线4y x =--的对称点是（） A ．()4,6-- B ．()6,4-- C ．()5,7-- D ．()7,5--

(完整版)高中数学必修2直线与方程单元测试题

必修2第3章《直线的方程》单元测试题一、选择题 1. 直线l 经过原点和点(11)-，，则它的倾斜角是（）Ａ． 34π Ｂ．54π Ｃ．4π或54 π Ｄ．4π - 2. 斜率为2的直线过（3，5），(a ，7)，(－1，b )三点，则a ，b 的值是（）Ａ．4a =，0b = Ｂ．4a =-，3b =- Ｃ．4a =，3b =- Ｄ．4a =-，3b = 3. 设点(23)A -，，(32)B --，，直线过(11)P ，且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）Ａ．34k ≥ 或4k -≤ Ｂ．3 44 k -≤≤ Ｃ．344k -≤≤ Ｄ．以上都不对 4. 直线(2)(1)30a x a y ++--=与直线(1)(23)20a x a y -+++=互相垂直，则a =（）Ａ．1- Ｂ．1 Ｃ．1± Ｄ．3 2 - 5. 直线l 过点()12A ，，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（）Ａ．[]02，Ｂ．[]01，Ｃ．102?? ???? ，Ｄ．102?? ??? ， 6. 到两条直线3450x y -+=与512130x y -+=的距离相等的点()P x y ，必定满足方程（）Ａ．440x y -+= Ｂ．740x y += Ｃ．440x y -+=或4890x y -+= Ｄ．740x y +=或3256650x y -+= 7. 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（）Ａ．4 8. 已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是320x y -+=，直角顶点是(32)C -，，则两条直角边 AC ，BC 的方程是（）Ａ．350x y -+=，270x y +-= Ｂ．240x y +-=，270x y --= Ｃ．240x y -+=，270x y +-= Ｄ．3220x y --=，220x y -+= 9. 入射光线线在直线1l ：230x y --=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，则直线3l 的方程为（）