2018年青岛市高三统一质量检测
数学(理科)
本试题卷共6页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
☆祝考试顺利☆
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}2
|10,2,1,0,1A x x B =->=--,则()
R C A B =
A . {}2,1--
B .{}2-
C .{}1,0,1-
D .{}0,1
2.设复数1z i =-+(i 是虚数单位),z 的共轭复数为z ,则
11z z
+=-
A .
125
5i +
B .125
5
i -
+
C .
125
5
i -
D .125
5
i -
-
3.若1s in ,0,432ππαα??
??
-
=∈ ? ??
??
?,则c o s α的值为
A .
46
- B .46+ C .
718
D .
3
4.已知双曲线
()222
2
10,0y x a b a
b
-
=>>的一个焦点为()0,2F -双曲线的方程为 A .
2
2
13
x
y
-= B .2
2
13
y
x -
= C.
2
2
13
y
x
-= D .2
2
13
x
y -
=
5.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A .563
B .5683π
-
C.
643
D .
6483
π
-
6.中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,
初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?” 现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n = A .2 B .3 C.4 D .5
7.已知三棱柱111A B C A B C -的侧棱与底面垂直,12,2A A A B A C B C ===
=,则三棱柱
111A B C A B C -外接球的表面积为
A .4π
B .6π C.8π D .12π 8.函数()1ln
1x f x x
-=+的大致图像为
9.已知1
51
x
e d x
n e =-?,其中 2.71
,e e =为自然对数的底数,则在42n
x x ??-- ???
的展开式中2
x 的
系数是
A .240
B .80 C.-80 D .-240 10.已知函数()()s in 0,2f x x πω?ω??
?
=+><
???
的最小周期为4π,
且其图像向右平移23
π个单
位后得到的图像关于y 轴对称,则?= A .6
π
-
B .3
π
-
C.
6
π
D .
3
π
11.已知点A 是抛物线()2:20C x p y p =>的对称轴与准线的交点,过点A 作抛物线C 的两条切线,切点分别为,P Q ,若A P Q ?的面积为4,则p 的值为 A .
12
B .1 C.
32
D .2
12.若函数()()2.718
,x e f x e e =为自然对数的底数在()f
x 的定义域上单调递增,则称函数
()f x 具有M 性质.给出下列函数:①()ln f x x =;②()2
1f
x x =+;③()sin f
x x =
;④
()3
f
x x =
.以上函数中具有M 性质的个数为
A .1
B .2 C.3 D .
4
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.
13.已知向量()4,2a
=,向量()2,1b k k =-
-,若a b a b
+=-,则k 的值为_____.
14.已知实数,x y 满足1
10
x y x y x -≤??
+≤??≥?
,则22x y x ++的最小值为____________.
15.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减,在[]4,4-上随机地取一个数x ,则事件“不等式()()11f x f -≥”发生的概率是______. 16.如图所示,在四边形A B C D 中,
22,,3
6
A B B C A B C A D B ππ
==∠=
∠=
,则C D 的取值范围为__.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~21题为必考题,每个考题都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求解答. (一)必考题:共60分
17.(12分)已知等差数列{}n a 的公差为2,等比数列{}n b 的公比为2,且2n
n n a b n =. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)令23
1lo g n n n c a b +=,记数列{}n c 的前n 项和为n T ,试比较n T 与
38
的大小.
18.(12分)如图,圆柱H 横放在底面边长为1的正六棱锥P A B C D E F -的顶点P 上,1O 和2
O 分别是圆柱左和右两个底面的圆心,正六棱锥P A B C D E F -底面中心为,1,M N O P O =、
分别是圆柱H 的底面1O 的最高点和最低点,G 是圆柱H 的底面2O
的最低点,P 为N G 中点,点
1M O N A O D G P 、、、、、、、共面,点1O P D 、、共线,四边
形A D G N 为矩形.
(1)证明://M G 平面P C D ; (2)求二面角M C D A --大小.
注:正棱锥就是底面是一个正多边形,顶点在底面上的正投影为底 面的中心的棱锥.
19.(12分)某校高三年级的500名学生参加了一次数学测试,已知这500名学生的成绩全部介于60分到140分之间(满分150分),为统计学生的这次考试情况,从这500名学生中随机抽取50名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这50名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组:第一组[)60,70,第二组[)70,80,第三组[)80,90,……,第八组[]130,140.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
(1)求第七组的频率,并完成频率分布直方图;
(2)估计该校高三年级的这500名学生的这次考试成绩的中位数;
(3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名,记这2名学生中属于第一组的人数为ξ,
令21ηξ=+,求ξ的分布列及()E η.
20.(12分)已知O 为坐标原点,点A B 、在椭圆2
2
:
12
x
C y
+=上,点5
10E ?
-
?
?
在圆
()22
2
:0D x y
r
r +=>上,A B 在中点为Q ,满足O E Q 、、三点共线.
(1)求直线A B 的斜率;
(2)若直线A B 与圆D 相交于M N 、两点,记O A B ?的面积为1,S O M N ?的面积为2S ,求
12S S S =+的最大值.
21(12分).已知函数()2x x x f x a e a e xe =--()0, 2.718,a e e ≥=为自然对数的底数
若()0f x ≥对于x R ∈恒成立. (1)求实数a 的值;
(2)证明:()f x 存在唯一极大值点0x ,且()02
ln 211244
f
x e
e
+
≤<
.
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分) 已知曲线12c o s :sin 1
x t C y t =+??
=-?(t 为参数),24c o s :sin x C y αα
=??
=?(α为参数),在以原点O 为极点,x
轴非负半轴为极轴的极坐标系中,直线()3:4
C R π
θρ=
∈.
(1)求曲线12,C C 的普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若2C 上的点P 对应的参数,2
Q π
α=为1C 上的点,求P Q 的中点M 到直线3C 距离d 的最小
值.
23.选修4-5:不等式选讲(10分) 设函数()121f x x x =-+-. (1)解不等式()34f x x >-;
(2)若()2165f x x m m +-≥-对一切实数x 都成立,求m 的取值范围.
山东省青岛市2018届高三统一质量检测理科数学参考答案
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