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新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)[1]

新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)[1]
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)[1]

导数及其应用测试题

(时间120分钟,分值150分)

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).

第Ⅰ卷(选择题,共60分)

一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上)

1.设x

x y sin 12-=,则='y ( ).

A .x x x x x 22sin cos )1(sin 2---

B .x

x x x x 22sin cos )1(sin 2-+-

C .x x x x sin )1(sin 22-+-

D .x

x x x sin )

1(sin 22---

2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ).

A .

54 B .52 C .51 D .5

3 3.已知2)3(',2)3(-==f f ,则3

)

(32lim

3--→x x f x x 的值为( ).

A .4-

B .0

C .8

D .不存在 4.曲线3

x y =在点)8,2(处的切线方程为( ).

A .126-=x y

B .1612-=x y

C .108+=x y

D .322-=x y

5.已知函数d cx bx ax x f +++=2

3

)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1=x ,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为( ) A .4 B .5 C .6 D .不确定 6.在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22

131)(2

3,当)1,0(∈x 取得极大值,当)2,1(∈x 取得极小值,则

1

2

--a b 的取值范围是( ). A .)1,4

1

( B .)1,2

1( C .)41,21(- D .)2

1,21(-

7.函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=

在区间]2

,0[π

的值域为( ). A .]21,21[2π

e B .)2

1

,21(2π

e C .],1[2πe D .),1(2π

e

8.积分

=-?

-a

a

dx x a 22( )

. A .

241

a π B .

22

1

a π

C .2a π

D .22a π

9.由双曲线122

22=-b

y a x ,直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体

积为( )

A .

23

8

ab π B .

b a 2

3

8π C .

b a 234π D .23

4

ab π 10.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). A .18

B .

3

38

C .

3

16 D .16

11.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). A.3V B.32V C.34V D .32V 12.某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣,纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成,其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点,则这个 纸花瓣的面积为( ). A .2

336π+ B .223312π+ C .26π+ D .2

2

336π+

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)

二、填空题(每小题4分,共16分。请将答案填在答题卷相应空格上。)

13.曲线3

x y =在点)0)(,(3

≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为

6

1

,则=a _________ 。 14.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移是23

425

341t t t S +-=,那么速度为零的时刻是_______________。

15.=++++++∞

→)2211(

lim 2

2222n n n

n n n _______________. 16.

=-+-?

dx x x 4

|)3||1(| ____________。

三、解答题:(本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分10分)

已知向量),1(),1,(2t x x x -=+=,若函数x f ?=)(在区间)1,1(-上是增函数,求t 的取值范围。

(18)(本小题满分12分)

已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值; (2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.

(19)(本小题满分14分)

设a x ≤≤0,求函数x x x x x f 24683)(2

34+--=的最大值和最小值。

(20)(本小题满分12分)

用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆心角α多大时,容器的容积最大?

(21) (本小题满分12分)

直线kx y =分抛物线2

x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k 的值.

(22) (本小题满分14分) 已知函数0,2

1)(,ln )(2

≠+=

=a bx ax x g x x f 。 (1)若2=b ,且函数)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间,求a 的取值范围。 (2)设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点Q P ,,过线段PQ 的中点作

x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点N M ,。证明:1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的

切线不平行。

新课改高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题参考答案

一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分。)

二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分)

(13)、 1± (14)、 0=t

(15)、

2ln 2

1

(16)、 10

三、解答题:(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分10分) 解:由题意知:t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(,则

t x x x f ++-=23)('2 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (3分) ∵)(x f 在区间)1,1(-上是增函数,∴0)('>x f

即x x t 232

->在区间)1,1(-上是恒成立, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (5分) 设x x x g 23)(2-=,则3

1

)3

1(3)(2

--=x x g ,于是有 5)1()(max =-=>g x g t

∴当5>t 时,)(x f 在区间)1,1(-上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分)

又当5=t 时, 3

14)31(3523)('22+

--=++-=x x x x f , 在)1,1(-上,有0)('>x f ,即5=t 时,)(x f 在区间)1,1(-上是增函数 当5

∴5≥t ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (10分)

(18)(本小题满分12分)

解:(1)323)('2

-+=bx ax x f ,依题意,

0)1(')1('=-=f f ,即?

??=--=-+.0323,0323b a b a 解得 0,1==b a ┅┅ (3分)

∴x x x f 3)('3

-=,∴)1)(1(333)('2

-+=-=x x x x f

令0)('=x f ,得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈ x ,则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数;

若)11(,-∈x ,则0)('

所以2)1(=-f 是极大值,2)1(-=f 是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ (6分) (2)曲线方程为x x y 33-=,点)16,0(A 不在曲线上。 设切点为),(00y x M ,则03

003x x y -= 由)1(3)('2

00-=x x f 知,切线方程为

))(1(302

00x x x y y --=- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (9分) 又点)16,0(A 在切线上,有)0)(1(3)3(1602

003

0x x x x --=-- 化简得 83

0-=x ,解得 20-=x

所以切点为)2,2(--M ,切线方程为 0169=+-y x ┅┅┅┅┅┅ (12分) (19)(本小题满分14分)

解:)2)(1)(1(1224122412)('23--+=+--=x x x x x x x f

令0)('=x f ,得:2,1,1321==-=x x x ┅┅┅┅┅┅┅ (2分) 当x 变化时,)(),('x f x f 的变化情况如下表:

又0)0(=f ,故最小值为0。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (6分)

最大值与a 有关:

(1)当)1,0(∈a 时,)(x f 在),0(a 上单调递增,故最大值为:

a a a a a f 24683)(2

34+--= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分) (2)由13)(=x f ,即:013246832

3

4

=----x x x x ,得:

0)1323()1(2

2=---x x x ,∴1=x 或3

10

21±=

x 又0>x ,∴1=x 或3

10

21+=

x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (10分) ∴当1[∈a ]3

10

21,

+时,函数)(x f 的最大值为:13)1(=f ┅┅ (12分)

(3)当(

∈a ),3

10

21+∞+时,函数)(x f 的最大值为: a a a a a f 24683)(234+--= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (14分) (20)(本小题满分12分)

解:设圆锥的底面半径为r ,高为h ,体积为V ,则 由2

2

2

R r h =+,所以 )0(,3

1

31)(313132222R h h h R h h R h r V <<-=-==

ππππ ∴2231'h R V ππ-=

,令0'=V 得 R h 3

3= ┅┅┅┅┅┅┅ (6分) 易知:R h 3

3

=

是函数V 的唯一极值点,且为最大值点,从而是最大值点。 ∴当R h 3

3

=

时,容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分) 把R h 33=

代入222R r h =+,得 R r 3

6= 由r R πα2=得 πα3

6

2=

即圆心角πα3

6

2=

时,容器的容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅ (11分) 答:扇形圆心角πα3

6

2=

时,容器的容积最大。 ┅┅┅┅ (12分) (21) (本小题满分12分)

解:解方程组???-==2

x

x y kx y 得:直线kx y =分抛物线2

x x y -=的交点的横坐标为 0=x 和k x -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (4分) 抛物线2

x x y -=与x 轴所围成图形为面积为 6

1|)3121()(10321

2

=-=-=

?x x dx x x S ┅┅┅┅┅ (6分) 由题设得

dx kx dx x x S k k ??----=10102

)(2

6

)1()(3

10

2

k dx kx x x k

-=--=

?

- ┅┅┅┅┅┅┅ (10分)

又61=S ,所以21)1(3

=-k ,从而得:2

413

-=k ┅┅┅┅┅ (12分)

(22) (本小题满分14分)

解:(1)2=b 时,函数x ax x x h 22

1ln )(2

--

=,且 x

x ax ax x x h 1

221)('2-+-=--=

∵函数)(x h 存在单调递减区间,∴0)('

又∵0>x ,∴0122

>-+x ax 有 0>x 的解。

① 当0>a 时,122-+=x ax y 为开口向上的抛物线,0122

>-+x ax 总有

0>x 的解; ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (4分)

② 当0

>-+x ax 有

0>x 的解,则

044>+=?a ,且方程0122

=-+x ax 至少有一正根,此时, 01<<-a

综上所述,a 的取值范围为),0()0,1(+∞- 。 ┅┅┅┅┅┅┅ (7分) (2)设点),(),,(2211y x Q y x P ,且210x x <<,则 点N M ,的横坐标为2

2

1x x x +=

, 1C 在点M 处的切线斜率为2

1212

|121x x x k x x x +=

=

+=; 2C 在点N 处的切线斜率为b x x a b ax k x x x ++=+=+=2

)

(|

)(212

221。 ┅ (9分)

假设1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行,则21k k =,即

2

12

x x +b x x a ++=2)(21

)()(2

)(2122

1222112x x b x x a x x x x -+-=+-

121212

1222ln ln )2

()2(

x x y y bx x a bx x a -=-=+-+=

所以 =

1

2ln x x 1

2

1

2

1)

1(

2x x x x +- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (11分) 设1

2x x t =

,则=t ln 1,1)

1(2>+-t t t , ① 令1,1)

1(2ln )(>+--

=t t

t t t h ,则 2

2

2)

1()1()1(41)('+-=+-=t t t t t t h 当1>t 时,0)('>t h ,所以)(t h 在),1[+∞上单调递增。 故0)1()(=>h t h ,从而t

t t +->

1)

1(2ln 这与①矛盾,假设不成立, ∴1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行。 ┅┅┅┅ (14分)

高中数学导数题型总结

导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值范围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高中数学导数及微积分练习题

1.求 导:(1)函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3 )---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A).5 4 (B).5 2 (C).5 1 (D). 5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为 ( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,

底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

2020版高中数学高二选修1-1教案及练习归纳整理70知识讲解导数的综合应用题基础

《导数及其应用》全章复习与巩固 编稿:李 霞 审稿: 张林娟 【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题. 2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题. 3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题. 4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【要点梳理】 要点一:有关切线问题 直线与曲线相切,我们要抓住三点: ①切点在切线上; ②切点在曲线上; ③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释: 通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程组. 要点二:有关函数单调性的问题 设函数()y f x =在区间(a,b)内可导, (1)如果恒有'()0f x >,则函数()f x 在(a,b)内为增函数; (2)如果恒有'()0f x <,则函数()f x 在(a,b)内为减函数; (3)如果恒有'()0f x =,则函数()f x 在(a,b)内为常数函数. 要点诠释: (1)若函数()f x 在区间(a,b)内单调递增,则'()0f x ≥,若函数()f x 在(a,b)内单调递减,则 '()0f x ≤. (2)'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法:()m g x ≥或()m g x ≤. ② 若不能隔离参数,就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ,使min (,)0f x m ≥.

(或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ,使max (,)0f x m ≤) 要点三:函数极值、最值的问题 函数极值的问题 (1)确定函数的定义域; (2)求导数)(x f '; (3)求方程0)(='x f 的根; (4)检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释: ①先求出定义域 ②一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点; 若由负变正,则该点为极小值点. 注意:无定义的点不用在表中列出 ③根据表格给出结论:注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下: (1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '; (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根; (3)求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ; (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 要点诠释: ①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可. ②若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值.

(完整版)高二数学导数大题练习详细答案

1.已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示. (I )求d c ,的值; (II )若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式; (III )在(II )的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围. 2.已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I )求函数)(x f 的单调区间; (II )函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围. 3.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围; (II )若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式; (III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . 4.已知常数0>a ,e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(,x a x x g ln )(2-=. (I )写出)(x f 的单调递增区间,并证明a e a >; (II )讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数.

5.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. (I )当1k =时,求函数()f x 的最大值; (II )若函数()f x 没有零点,求实数k 的取值范围; 6.已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(???=718.2e ). (I )求实数a 的值; (II )求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值. 7.已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f (I )当a=18时,求函数)(x f 的单调区间; (II )求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值. 8.已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有...单调性. (I )求实数a 的取值范围; (II )若()f x '是()f x 的导函数,设2 2 ()()6g x f x x '=+- ,试证明:对任意两个不相 等正数12x x 、,不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立.

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势: 综观2007年全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点: (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. (2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题. 【考点透视】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1.(2007年北京卷)()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 . [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷)设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

(word完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)

高二数学导数单元测试题(有答案) (一).选择题 (1)曲线32 31y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上,其切线的倾斜角小于 4 π 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3 ()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 (二).填空题 (1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3 +3x -5相切的直线方程是 。 (2).设 f ( x ) = x 3 - 2 1x 2 -2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . (3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2 ,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。 (4).已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 (6).已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值

(完整版)高中数学选修2-2第一章导数测试题

选修2-2第一章单元测试(一) 时间:120分钟总分:150分 一、选择题(每小题5分,共60分) 1 .函数f(x)= x sinx 的导数为( A. f ‘ (x) = 2 x sinx + . x cosx 2. 若曲线y = x 2 + ax + b 在点(0, b)处的切线方程是x — y +1 = 0, 则() A . a = 1, b = 1 B . a =— 1, b = 1 C . a = 1, b =— 1 D . a =— 1, b =— 1 3. 设 f(x) = xlnx ,若 f ‘(x o )= 2,则 x 0 =( ) In2 A . e 2 B . e C^^ D . ln2 4. 已知 f(x) = x 2 + 2xf ‘ (1),贝S f ‘ (0)等于( ) B . f ‘ (x) = 2 x sinx — x cosx , sinx 厂 C . f (x)= 2 x + x cosx D . f ‘ sinx 厂 (x)= 2 x — x cosx 1 -3 -3

6. 如图是函数y= f(x)的导函数的图象,给出下面四个判断:

①f(x)在区间[—2,—1]上是增函数; ②x=—1是f(x)的极小值点; ③f(x)在区间[—1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x= 2是f(x)的极小值点. 其中,所有正确判断的序号是() A .①② B .②③C.③④ D .①②③④ 7. 对任意的x€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ 7ax不存在极值点的充要条件是() A. O w a w 21 B. a= 0 或a = 7 C. a<0 或a>21 D. a= 0 或a= 21 8某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q= 8 300—170P—P2,则最大毛利润为(毛利润 =销售收入—进货支出)() A . 30 元B. 60 元C. 28 000元D. 23 000 元 x 9. 函数f(x) = —g(a

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?

高三数学重点 导数应用题型与分析

导数应用 一.复习目标: 1.了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念. 2.熟记基本导数公式(c,x m(m为有理数),sin x, cos x, e x, a x, lnx, log x的导数)。 a 掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题,掌握导数的基本应用.3.了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。 4.了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则,并会用法则解决一些简单问题。 二.考试要求: ⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念。 ⑵熟记基本导数公式(c,x m(m为有理数),sin x, cos x, e x, a x,lnx, log x的导数)。掌 a 握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件(导数要极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 三.教学过程: (Ⅰ)基础知识详析 导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微); (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线); (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意。 4.曲线的切线 在初中学过圆的切线,直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点.圆是一种特殊的曲线,能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线,即直线和曲线有惟一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线,显然这种推 l与曲线C有惟广是不妥当的.如图3—1中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx.直线 1 本卷第1页(共22页)

(完整word)高中数学导数练习题

专题8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析:()2'2 +=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 解析:因为21= k ,所以()2 1 1'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()2 5 1=f ,所以()()31'1=+f f 答案:3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 解析:443'2 --=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析:Θ直线过原点,则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02030023x x x y +-=,∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ,∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ,∴

苏教版数学高二-北京四中数学选修【知识讲解】导数的综合应用题(基础)

导数的综合应用题 编稿:赵 雷 审稿:李 霞 【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题。 2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题。 3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题。 4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【要点梳理】 要点一、有关切线问题 直线与曲线相切,我们要抓住三点: ①切点在切线上 ②切点在曲线上 ③切线斜率等于曲线在切点处的导数值。 要点诠释: 通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程组。 要点二、有关函数单调性的问题 设函数()y f x =在区间(a ,b )内可导, (1)如果恒有'()0f x >,则函数()f x 在(a ,b )内为增函数; (2)如果恒有'()0f x <,则函数()f x 在(a ,b )内为减函数; (3)如果恒有'()0f x =,则函数()f x 在(a ,b )内为常数函数。 要点诠释: (1)若函数()f x 在区间(a ,b )内单调递增,则'()0f x ≥,若函数()f x 在(a ,b ) 内单调递减,则'()0f x ≤。

(2)'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法:()m g x ≥或()m g x ≤。 ② 若不能隔离参数,就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ,使 min (,)0f x m ≥。 (或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ,使)max (,)0f x m ≤) 要点三、函数极值、最值的问题 1.函数极值的问题 ①确定函数的定义域; ②求导数)(x f '; ③求方程0)(='x f 的根; ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释: (1)先求出定义域 (2)一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点; 若由负变正,则该点为极小值点。 注意:无定义的点不用在表中列出 (3)依表给结论:注意一定指出在哪取得极值。 2.函数最值的问题 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下: (1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '; (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根; (3)求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 2.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 3.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 4.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ 5.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-7.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1

人教A版高中数学选修《导数综合练习题》

导数练习题 1.(本题满分12分) 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示. (I )求d c ,的值; (II )若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式; (III )在(II )的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围. 2.(本小题满分12分) 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I )求函数)(x f 的单调区间; (II )函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围. 3.(本小题满分14分) 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围; (II )若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式; (III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . 4.(本小题满分12分) 已知常数0>a ,e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(,x a x x g ln )(2-=. (I )写出)(x f 的单调递增区间,并证明a e a >; (II )讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数. 5.(本小题满分14分) 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. (I )当1k =时,求函数()f x 的最大值; (II )若函数()f x 没有零点,求实数k 的取值范围; 6.(本小题满分12分) 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(???=718.2e ). (I )求实数a 的值; (II )求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值. 7.(本小题满分14分) 已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f

高二数学函数的单调性与导数测试题

选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)为R上增函数的充要条件是() A.b2-4ac>0B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0 [答案] D [解析]∵a>0,f(x)为增函数, ∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立, ∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0,∴b2-3ac<0. 2.(2009·广东文,8)函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是() A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) [答案] D [解析]考查导数的简单应用. f′(x)=(x-3)′e x+(x-3)(e x)′=(x-2)e x, 令f′(x)>0,解得x>2,故选D. 3.已知函数y=f(x)(x∈R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为() A.[-1,+∞) B.(-∞,2] C.(-∞,-1)和(1,2) D.[2,+∞) [答案] B [解析]令k≤0得x0≤2,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-∞,2]. 4.已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)

的导函数),下面四个图象中,y =f (x )的图象大致是( ) [答案] C [解析] 当01时xf ′(x )>0,∴f ′(x )>0,故y =f (x )在(1,+∞)上为增函数,因此否定A 、B 、D 故选C. 5.函数y =x sin x +cos x ,x ∈(-π,π)的单调增区间是( ) A.? ????-π,-π2和? ?? ??0,π2 B.? ????-π2,0和? ?? ??0,π2 C.? ????-π,-π2和? ?? ??π2,π D.? ????-π20和? ?? ??π2,π

(完整版)高二导数练习题及答案

高二数学导数专题训练 一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3 y x x =+的递增区间是( ) A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间(a ,b )内函数的导数为正,且f(b)≤0,则函数f(x)在(a , b )内有( ) A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .非充分非必要条件 7.曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( ) A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8.函数3 13y x x =+- 有 ( ) A.极小值-1,极大值1 B. 极小值-2,极大值3 C.极小值-1,极大值3 D. 极小值-2,极大值2 9. 对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足' (1)()0x f x -≥,则必有( ) A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为( ) A .'0()f x B .'02()f x C .' 02()f x - D .0

(完整版)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)

导数复习 一.选择题 (1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (2)曲线3231y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (3) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (4) 函数,93)(2 3-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4 π 的点中,坐标为整数的点的 个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x =+在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 .10设函数()1 x a f x x -= -,集合M={|()0}x f x <,P=' {|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 12函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( ) A .1个 B .2个 C .3个D . 4个 13. y =e sin x cos(sin x ),则y ′(0)等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 14.经过原点且与曲线y =5 9++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25 x +y =0 B.x -y =0或25 x +y =0 C.x +y =0或 25 x -y =0 D.x -y =0或 25 x -y =0 15.设f (x )可导,且f ′(0)=0,又x x f x )(lim 0 '→=-1,则 f (0)( ) A.可能不是f (x )的极值 B.一定是f (x )的极值 C.一定是f (x )的极小值 D.等于0 16.设函数f n (x )=n 2x 2(1-x )n (n 为正整数),则f n (x )在[0,1]上的最大值为( ) A.0 B.1 C.n n )221(+- D.1)2 ( 4++n n n 17、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( ) A 、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况 18.f(x)=ax 3+3x 2+2,f ’(-1)=4,则a=( ) A 、3 10 B 、3 13 C 、3 16 D 、3 19 19.过抛物线y=x 2 上的点M (4 1,21)的切线的倾斜角是( ) A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 20.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) a b x y ) (x f y ?=O

高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用; 2、求导公式与运算法则的运用; 3、导数的几何意义; 4、导数在研究函数单调性上的应用; 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 (一)导数 1、导数的概念 (1)导数的定义

(Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x(△x可 正可负),则函数y相应地有增量,这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时,有极限,则说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点 处的导数(或变化率),记作,即 。 (Ⅱ)如果函数在开区间()内每一点都可导,则说在开区间() 内可导,此时,对于开区间()内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数, 这样在开区间()内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间() 内的导函数(简称导数),记作或,即 。 认知: (Ⅰ)函数的导数是以x为自变量的函数,而函数在点处的导数 是一个数值;在点处的导数是的导函数当时的函数值。 (Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量; ②求平均变化率;

③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 (2)导数的几何意义: 函数在点处的导数,是曲线在点处的切线的斜率。 (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别: (Ⅰ)若函数在点处可导,则在点处连续; 若函数在开区间()内可导,则在开区间()内连续(可导一定连续)。 事实上,若函数在点处可导,则有此时, 记 ,则有即在点处连续。 (Ⅱ)若函数在点处连续,但在点处不一定可导(连续不一定可导)。 反例:在点处连续,但在点处无导数。 事实上,在点处的增量

导数应用题

高二(文科)导数应用题 例题: 时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量(单位:千套)与销售价格(单位:元/套)满足的关系式,其中,为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套. (1)求的值; (2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数点) 试题分析:(1)直接代入点(4,21)即可求出;(2)先建立利润函数模型 ,然后由导数确定函数的单调性,求出函数的最值及条件. 试题解析:(1)因为时,, 代入关系式,得,2分 解得. 4分 (2)由(1)可知,套题每日的销售量,6分 所以每日销售套题所获得的利润 从而 . 8分 令,得,且在上,,函数单调递增;在上,,函数单调递减,10分 所以是函数在内的极大值点,也是最大值点,11分 所以当时,函数取得最大值. 12分

故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 考点:1.利用导数处理函数的最值;2.函数模型的应用 练习题 一、单选题 1.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是64π,且用料最省,则圆柱的底面半径为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.现有一段长为18m 的铁丝,要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长 方体形状的框架,当长方体体积最大时,底面的较短边长是( ) A. 1m B. 1.5m C. 0.75m D. 0.5m 二、填空题 3.传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体,其底面半径原为且以每秒 等速率缩短,而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到 为止,且知在这段变形过程中, 当底面半径为 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时 金箍棒的底面半径为__________ . 4.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L 1=5.06x -0.15x 2和L 2=2x ,其中x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________. 三、解答题 5.在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以 往经验,潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间),每单位时间的用氧量为3 1 10v ??+ ??? (升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均 速度为2 v (米/单位时间),每单位时间用氧量为 1.5(升),记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升).

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