高中数学必修一笔记和习题以及答案
目录
第一章集合与函数概念 (2)
课堂笔记 (2)
一、集合有关概念 (2)
二、函数的有关概念 (3)
随堂练习 (7)
第二章基本初等函数（Ⅰ） (13)
课堂笔记 (13)
一、指数函数 (13)
二、对数函数 (14)
三、幂函数 (15)
随堂练习 (17)
指数函数专题练习 (17)
对数函数专题练习 (22)
幂函数专题练习 (27)
指数函数、对数函数和幂函数专题练习 (30)
第三章函数的应用 (36)
课堂笔记 (36)
随堂练习 (37)
参考答案 (40)
第一章集合与函数概念
课堂笔记
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
表示方法：
1）列举法：{a,b,c……}
2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4）Venn图:
4、集合的分类：
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
注意：B
?/B或B?/A
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③如果A?B, B?C ,那么A?C
④如果A?B 同时B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
二、函数的有关概念
函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域: 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C 上.
(2) 画法
A、描点法：
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）→B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2）图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○1任取x1，x2∈D，且x1 ○2作差f(x1)－f(x2)； ○3变形（通常是因式分解和配方）； ○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： ○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由f(-x)± f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定. 9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出 它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1)凑配法 2)待定系数法 3)换元法 4)消参法 10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） ○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2利用图象求函数的最大（小）值 ○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 随堂练习 一、选择题 1．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝???? ? ?1＝2－3－|),(x y y x ，P ＝{(x ，y )| y ≠x ＋1}，那么C U (M ∪P )等于( )． A ．? B ．{(2，3)} C ．(2，3) D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1} 2．若A ＝{a ，b }，B ? A ，则集合B 中元素的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或1或2 3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 4．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )． A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5. 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )． A ．b ∈(－∞，0) B ．b ∈(0，1) C ．b ∈(1，2) D ．b ∈(2，＋∞) 6．设函数f (x )＝???00＋＋2 x c x c bx x ，，≤， 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设集合A ＝{x | 0≤x ≤6}，B ＝{y | 0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( )． A ．f :x →y ＝21x B ．f :x →y ＝31 x C ．f :x →y ＝41x D ．f :x →y ＝61x 8．有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( )． A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减 10．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 二、填空题 11．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是 ． (第5题) ＞ 12．若集合A＝{x | x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝___，b＝___． 13．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元． 14．已知f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝；f(x－2)＝． 15．y＝(2a－1)x＋5是减函数，求a的取值范围． 16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈［0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈ (－∞，0］时，f(x)＝． 三、解答题 17．已知集合A＝{x∈R| ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R． ①若A是空集，求a的范围； ②若A中只有一个元素，求a的值； ③若A中至多只有一个元素，求a的范围． 18．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值． 19．证明f (x )＝x 3在R 上是增函数． 20．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3x 4＋2 1x ； (2)f (x )＝(x －1)x x －＋11； (3)f (x )＝1－x ＋x －1； (4)f (x )＝12－x ＋2 1x －． 21.已知集合A ＝｛x| 73<≤x ｝, B={x| 2 ?; （3）若A C ?,求a 的取值范围． 22.已知函数31 ()f x x x =+ ,判断()f x 的奇偶性并且证明。 23.已知函数3()1x f x x = +，求()f x 在区间[2,5]上的最大值和最小值 24.已知函 ()11 f x x =-+ （1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域。 25.已知定义在[] 3,2 - 的一次函数 () f x为单调增函数，且值域为[] 2,7 ， （I）求 () f x的解析式； （II）求函数 [] () f f x 的解析式并确定其定义域。 26.已知二次函数 () f x的最小值为1，且(0)(2)3 f f ==。 （1）求 () f x的解析式； （2）若 () f x在区间[2,1] a a+上不单调，求实数a的取值范围； （3）在区间[1,1] -上，() y f x =的图象恒在221 y x m =++的图象上方，试确定实数m的 取值范围。 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 课堂笔记 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ???<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量， 函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上， )1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数 )1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f = 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数， 记作： N x a log =（a — 底数，N — 真数， N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =?=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b a ＝ N 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·= )N M a log ＋ N a log ； ○2 =N M a log M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M a log ) (R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ） ． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =；（2） a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数 (log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量， 函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=， 5log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 三、幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 α x y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1 >α 时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 随堂练习 指数函数专题练习 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ）（A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ） 1 >a （B ） 2
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