(一)函数概念及三要素

函数的概念、表示法与定义域

一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射： （3）函数的概念：

二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）： ②换元法： ③待定系数法： ④赋值法： （2）函数定义域的求法：

①)

()

(x g x f y =

，则g （x ）0≠； ②)()(*2N n x f y n ∈=则f （x ）0≥； ③0)]([x f y =，则f （x ）0≠； ④如：)(log )(x g y x f =，则{

()0

0()1()1g x f x f x ><<>或；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

（3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。

（4）分段函数：一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同。 三.练习题:

1. 已知集合M ＝｛1,2,3,m ｝，42{4,7,,3}N n n n =+，*,m n N ∈，映射:31f y x →+是从M 到N 的一个函数，则m n -的值为(B)

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 2．下列对应关系是集合P 上的函数是有 2 ．

（1）*

,P Z Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”； （2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2

,,y x x P y Q =∈∈；

（3）{P =三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．”

3.}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ C ）

A 、 0个

B 、 1个

C 、 2个

D 、3个

4.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)

()1

f x

g x x =

-的定义域是（B ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1) 5.下列各组函数中，表示同一函数的是

（ C ）

A ．x

x

y y =

=,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y ==

6.设函数2

211()21x x f x x x x ?-?=?+->??，

，，，

≤则

1(2)f f ??

???

的值为（ A ） A ．

1516

B ．2716

-

C ．

8

9

D ．18

7.（1）函数

lg 3y x =

-的定义域.答：[0,2)(2,3)(3,4) )；

（2）若函数2743kx y kx kx +=

++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,4??

????

)； （3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是(答：[,]a a -)；

（4）若函数)(x f y =的定义域为??

????2,2

1，则)(l o g

2

x f 的定义域为__________

（答：{}

42|≤≤x x ）； （5）若函数2

(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．

8．求下列函数的值域：

（1）2

32y x x =

-+；（2）y =；（3）31

2

x y x +=

-；

解：（1）（配方法）2

2

1

2323323()6

1212

y x x x =-+=-+≥ ， ∴232y x x =-+的值域为23

[

,)12

+∞。 改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域。

解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26。 ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]。 （2）求复合函数的值域：

设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y 。

又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，

∴04μ≤≤[0,2]，

∴y =的值域为[0,2]。 （3）（法一）反函数法： 312

x y x +=

-的反函数为21

3x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，

∴原函数31

2

x y x +=

-的值域为{|3}y R y ∈≠。 （法二）分离变量法：313(2)77

3222

x x y x x x +-+===+

---， ∵

702x ≠-，∴7

332

x +≠-， ∴函数31

2

x y x +=

-的值域为{|3}y R y ∈≠。 9.（1）已知2

211()f x x x x +=+，求()f x ；

（2）已知2

(1)lg f x x

+=，求()f x ；

（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ； （4）已知()f x 满足12()()3f x f x x

+=，求()f x 。

(5)已知函数y=x 2

+x 与y=g （x ）关于点（-2，3）对称，求g （x ）的解析式

解：（1）∵2

2

21

11()()2f x x x x

x x

+=+

=+-， ∴2()2f x x =-（2x ≥或2x ≤-）。

（2）令

21t x +=（1t >），则2

1

x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，2

()lg

(1)1

f x x x =>-。 （3）设()(0)f x ax b a =+≠，

则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =， ∴()27f x x =+。

（4）1

2()()3f x f x x

+= ①，

把①中的x 换成

1x ，得13

2()()f f x x x

+= ②， ①2?-②得3

3()6f x x x

=-，

∴1

()2f x x x

=-。

10. （1）

设函数2

(1).(

1)()41)

x x f x x ?+

__________（答：(,2][0,10-∞- ）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-

，则不等式

(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________（答：3

(,]2

-∞）

11.（1）设函数).89(,)

100()]5([)100(3

)(f x x f f x x x f 求??

?<+≥-=

（2）设函数f （x ）＝???+∞∈-∞∈-)

,1(,log ]1,(,281x x x ，则满足f （x ）=41

的x 值为 。

解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，

)))101((())))104(((()))99((())94(()89(f f f f f f f f f f f f f ==== =)99())102(()97())100(()))103

((())98((f f f f f f f f f f f =====

=.98)101())104((==f f f

（2）当x ∈（－∞，1]，值域应为［

2

1

，＋∞］， 当x ∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞）， ∴y ＝

4

1

，y ∈（0，＋∞）， ∴此时x ∈（1，＋∞），

∴log 81x ＝4

1

，x ＝8141

＝3。

12. 对于抛物线线x y 42=上的每一个点Q ，点()0,a P 都满足a PQ ≥，则a 的取值范围B

A ．()0,∞-

B ．(]2,∞-

C ．[]2,0

D ．()2,0

巩固练习: 13.函数f(x)=

x

x -132 +lg(3x+1)的定义域是 （ C ）

A.（-∞,-3

1） B .（-3

1,3

1） C.（-3

1

，1）

D.（-3

1,+∞）

14.定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R ),f(1)=2,则f(-3)等于（C ） A.2 B.3 C.6 D.9 15.已知函数?(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x 的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数，且?(3

1)=16,

?(1)=8,则?(x)= 3x+

x

5 16.若函数1

,0()1(),0

3

x x x

f x x ?

本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

（1）由0

1|()|301133

x f x x x

≥??-≤

??.

（2）由001|()|01111133333x x

x x f x x ≥?≥???≥???≤≤??????≥≥ ? ?????

????.

∴不等式1

|()|3

f x ≥

的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 17 .对于任意实数a ，b ，定义, ,

min{,}, .a a b a b b a b ≤?=?>?

设函数

2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是__1_______ .

18.若函数422

12

+-=

x x y 的定义域、值域都是闭区间[2，2b ]，则b 的 为 2 。

19.（1）设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a 、b,

有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);

（2）函数f(x) (x ∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 解 （1）依题意令a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),

即f(0)=f(x)-x 2-x,而f(0)=1,∴f(x)=x 2

+x+1. （2）以-x 代x,依题意有

2f(-x)-f(x)=lg(1-x) ①

2f(x)-f(-x)=lg(1+x) ②

两式联立消去f(-x)得 3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),∴f(x)=3

1

lg(1+x-x 2-x 3

)(-1＜x ＜1).

20.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2

+2x. （1）求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.

解 （1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x 0,y 0)关于原点的对称点为P(x,y),

则???????=+=+,

02

,02

00y y x

x 即???-=-=.,00y y x x

∵点Q （x 0,y 0）在函数y=f(x)的图象上∴-y=x 2-2x,即y=-x 2+2x,故g(x)=-x 2

+2x.

(2)由g(x)≥|1|)(--x x f 可得：2x 2

-|x-1|≤0. 当x ≥1时，2x 2

-x+1≤0,此时不等式无解.

当x ＜1时，2x 2

+x-1≤0,∴-1≤x ≤.2

1因此，原不等式的解集为??

???

?-21,1.

21.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,

下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S. (1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值.

解（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O-xy （如图），

则点C 的横坐标为x,点C 的纵坐标y 满足方程

142

2

22=+r y r x (y ≥0), 解得y=222x r -(0＜x ＜r).S=2

1(2x+2r)·222x r - =2(x+r)·22x r -,其定义域为{x|0＜x ＜r}.

（2）记f(x)=4(x+r)2(r 2-x 2),0＜x ＜r,则)(x f '=8(x+r)2

(r-2x).

令)(x f '=0,得x=21r.因为当0＜x ＜2

r 时，)(x f '＞0; 当2r ＜x ＜r 时, )(x f '＜0，所以f （2

1r ）是f(x)的最大值. 因此，当x=21r 时，S 也取得最大值，最大值为2

2

33)21(r r f =. 即梯形面积S 的最大值为

.2

332

r 22.已知函数f(x)=x 2

-4ax+2a+6 (x ∈R ).

（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；

（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域. 解 (1）∵函数的值域为［0，+∞),

∴Δ=16a 2

-4(2a+6)=0?2a 2

-a-3=0∴a=-1或a=2

3.

（2）对一切x ∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2

-a-3)≤0?-1≤a ≤2

3,∴a+3＞0, ∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2

-3a+2=-(a+2

3)2

+

417(a ??

????-∈23,1). ∵二次函数f(a)在??

?

??

?-23,1上单调递减，∴f （a ）min =f )23(=-

4

19，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为??

?

???-

4,419. 23.已知二次函数f(x ）的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x 的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 （1）∵f （x ）+2x ＞0的解集为（1，3）， 则可令f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a ＜0,因而有

f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2

-(2+4a)x+3a,

①

由方程f(x)+6a=0,得ax 2

-(2+4a)x+9a=0,

②

因为方程②有两个相等的根，

∴Δ=［-（2+4a ）］2

-4a ·9a=0，即5a 2

-4a-1=0,解得a=1或a=-5

1

. 由于a ＜0,舍去a=1.将a=-5

1代入①式，得f(x)的解析式为 f(x)=- 5

1x 2

-56x-5

3.

（2）由f(x)=ax 2

-2(1+2a)x+3a=a a

a a a a x 1

4)21(22++-+-, 及a ＜0，可得f(x)的最大值为-,142

a a a ++由??

???<>++-

,

0,01

42a a a a 解得a ＜-2-3或-2+3＜a ＜0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (-∞,-2-3)∪(-2+3,0).

人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

函数三要素教案

（一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. （2）会求简单函数的定义域和函数值. 2．过程与方法 通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识. 3．情感、态度与价值观 通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神. （二）教学重点与难点 重点：掌握函数定义域的题型及求法. 难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.

二、授课内容： 【知识要点】 ⑴定义域———自变量x 的取值范围 函数三要素 ⑵值 域———函数值的集合 ⑶对应法则——自变量x 到对应函数值y 的对应规则 注意：①核心是对应法则；②值域是由定义域与对应法则所确定了的，故确定一个函数只需确定其定义域、对应法则则即可；③如何判断“两个”函数为同一函数；④函数()12-= x x f 的对应法则f ：x （平方再 减1整体再开平方）y 。而在此基础上的函数()1+=x f y ，其自变量为式中的x 而不是1+x ，其对应法则x （加1再取f 运算）y ，即x （加1整体平方再整体减1再整体开方）y ，故此时()1)1(12-+=+x x f 。 【典型例题】 1．函数定义域求法 ⑴已知函数的解析式求定义域时需要注意： ①()x f 是整式，则定义域为R ； ②()x f 是分式，则令分母不为0的值为定义域； ③()x f 是偶次根式，则函数定义域为使被开方式为非负数的自变量集合； ④若()x f 由几个部分式子构成，则定义域是使几个部分式子都有意义的值的集合； ⑤函数[]2 )(x f y =的定义域()x f 0≠； ⑥对数函数()x f y a log =（0>a ，且1≠a ）的定义域要求()x f >0； ⑵求函数()[]x g f 的定义域，()x g 相当于()x f 中的x 。 ⑶当函数由实际问题给出时，还应考虑实际意义。 例1：求下列函数的定义域 ①()0 2 )1(4--= x x x f ； ②()1 21 12 2+-+ ++=x x x x x f ； ③()x x f 11111++ = 042 ≥-x 22≤≤-x 解析：①由 ? ∴函数定义域为[)(]2,11,2?- 01≠-x 1≠x 012 ≥++x x （Ⅰ） ② 12 ++x x 的判别式0

函数概念及其基本性质

第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.

陕西省高中数学人教新课标A版必修1第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值

陕西省高中数学人教新课标A版必修1 第一章集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大 （小）值 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共15题；共30分) 1. （2分） (2019高一上·宁乡期中) 若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数 的图像只可能是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知y=f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，与g（x）图象关于x=1对称，当x∈[2，3]时，g （x）=2a（x﹣2）﹣3（x﹣2）2 ， a为常数，若f（x）的最大值为12，则a=（） A . 3 B . 6 C . 6或 D .

3. （2分） (2019高一上·兰州期中) 已知函数（是常数，且）在区间 上有最大值3，最小值，则的值是（） A . B . C . D . 4. （2分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A . y=﹣3|x| B . y= C . y=log3x2 D . y=x﹣x2 5. （2分）已知f(x)是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数a,b,若a

C . D . 7. （2分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（） A . 0＜a≤3 B . a≥2 C . 2≤a≤3 D . 0＜a≤2或a≥3 8. （2分）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则（） A . B . C . D . 9. （2分） (2016高一上·杭州期中) 下列函数中，值域为（0，+∞）的是（） A . y= B . C . D . y=x2+x+1 10. （2分） (2019高一上·杭州期中) 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是（） A .

数学必修一集合与函数概念知识点梳理

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 〖〗集合 【】集合的含义与表示 (1) 集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 (2) 常用数集及其记法 N表示自然数集，N 或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表 示实数集? (3) 集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是a M，或者a M，两者必居其一. (4) 集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合 ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 ③描述法：｛X| x具有的性质｝，其中x为集合的代表元素? ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合? (5) 集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集?②含有无限个元素的集合叫做 无限集?③不含有 任何元素的集合叫做空集()? 【】集合间的基本关系

)已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个 非空子集，它有2n2非空真子集. 【】集合的基本运算 (1)

(2)—元二次不等式的解法 〖〗函数及其表示 【】函数的概念 (1) 函数的概念 ① 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A 中任何一个数x ， 在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合 A ，B 以及 A 到B 的对应法则f )叫做集合 A 到B 的一个函数，记作 f : A B . ② 函数的三要素：定义域、值域和对应法则. ③ 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.

(2)区间的概念及表示法 ①设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做［a,b］； 满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b，或a x b 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做［a,b) , (a,b］；满足x a, x a,x b,x b 的实数x 的集合分别记做［a, ),(a, ),( , b］,( , b). 注意：对于集合｛x|a x b｝与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 a b. (3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①f(x)是整式时，定义域是全体实数. ②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数. ③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等 于1. ⑤y tanx中，x k (k Z). 2 ⑥零(负)指数幕的底数不能为零. ⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各 基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f (x)的定义域为［a,b］，其复合函 数f［g(x)］的定义域应由不等式a g(x) b解出. ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的?事实上，如果在函数的值 域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值

函数的三要素 3

2．3 映 射 课时目标 1.了解映射的概念.2.了解一一映射满足的条件.3.了解函数与映射的区别与联系． 1．映射的概念 如果两个非空集合A 与B 间存在着对应关系f ，而且对于A 中的每一个元素x ，B 中总有__________元素y 与它对应，则称f 是集合A 到集合B 的________．A 中的元素称为________，B 中的对应元素y 称为x 的像． 2．一一映射 在实际中，我们经常使用一种特殊的映射，通常叫作一一映射，它满足：(1)A 中每一个元素在B 中都有______的像与之对应；(2)A 中的不同元素的____也不同；(3)B 中的每一个元素都有______；有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作________． 3．映射与函数 由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________． 一、选择题 1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在 B 中必有像 B ．B 中每一个元素在A 中必有原像 C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个像 D ．A 中不同元素的像必不同 2．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13 x C ．f ：x →y ＝23 x D ．f ：x →y ＝x 3．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( ) 4．下列集合A ，B 及对应关系不能构成函数的是( ) A ．A ＝ B ＝R ，f (x )＝|x | B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1x C ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3 D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0 5．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题： ①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重； ②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ； ③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4； ④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应． 上述四个对应中是映射的有____，是函数的有____，是一一映射的有________．( ) A ．3个 2个 1个 B ．3个 3个 2个 C ．4个 2个 2个 D ．2个 2个 1个 6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个

(浙江专用)高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念 新人教版必修1 1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中 元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用. 自 主 预 习 1.元素与集合的相关概念 . 统称为元素研究对象我们把，元素：一般地(1) . 组成的总体叫做集合一些元素把集合：(2) . 、无序性互异性、确定性集合中元素的三个特性：(3) . 我们称这两个集合是相等的，一样的集合的相等：构成两集合的元素是(4) 2.元素与集合的表示 . 表示集合中的元素…，c ，b ，a 元素的表示：通常用小写拉丁字母(1) . 表示集合…，C ，B ，A 集合的表示：通常用大写拉丁字母(2) 3.元素与集合的关系 .A ∈a 记作，A 属于集合a 就说，的元素A 是集合a ：如果”属于(1)“ . A ?a 记作，A 不属于集合a 就说，的元素A 不是集合a ：如果”不属于(2)“ 4.常用数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N * 或 N ＋ Z Q R 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( ) (2)一个集合可以表示成{a ，a ，b ，c ，}.( ) (3)若集合A 是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A 中的元素.( ) 提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确. (2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错 误. (3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确. 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体 著名的数学家.其中能构成集合的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.

必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结

必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c ……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集 B A ?? /?/

人教版高中数学必修一《集合与函数概念》全章练习及答案

第一章集合与函数 建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分 1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为() A．3B．6 C．7 D．8 2．下列五个写法，其中错误 ．．写法的个数为() ①{0}∈{0,2,3}；②?{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝?. A．1 B．2 C．3 D．4 3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值的集合可以表示为() A．M∪F B．M∩F C．?M F D．?F M 4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于() A．N B．M C．R D．? 5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（） A．y＝x（x－2） B．y＝x（｜x｜－1） C．y＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2） 6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于() A．20－2x(0

8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是() ①y＝f(|x|); ②y＝f(－x); ③y＝xf(x); ④y＝f(x)＋x. A．①③B．②③ C．①④D．②④ 9．已知0≤x≤3 2，则函数f(x)＝x 2＋x＋1() A．有最小值－3 4，无最大值 B．有最小值3 4，最大值1 C．有最小值1，最大值19 4 D．无最小值和最大值 10．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(|x|)的图象是() c

函数概念及三要素

函数概念及三要素 1．函数的概念： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）． 记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 2．分段函数：在定义域内不同的区间上有不同的 。注：分段函数是 个函数，而不是多个函数。 3．复合函数：若(),(),(,)y f u u g x x m n ==∈，那么[]()y f g x =称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域。 方法一：函数定义域的求法 关注：分母、根号、指对数底数对数真数、tan 、零次方的底数 例题：)35lg(lg x x y -+= 的定义域为_______ 方法二：求函数解析式的常用方法 1、配凑法 2、待定系数法 3、换元法 4、解方程组法 例1、已知2(1)23f x x x -=--，则()f x = 。

例2、已知2 (31)965f x x x +=-+，则()f x = 。 例3、已知()f x 是一次函数，且(1)(1)23f x f x x +--=+，则()f x = 。 例4、已知()2()32f x f x x +-=-，则()f x = 。 例5、已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且()()1f x g x x +=+，则()g x = 。 方法三：分段函数 分段函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同，而分别用几个不同的式子来表示，这种函数就称之为分段函数.分段函数虽然有几个部分组成，但它表示的是一个函数.近几年高考考察的频率较高. 1．函数 22, 0,()log , 0.x x f x x x ?=?>?≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____． 2. 已知函数11,02()ln ,2 x f x x x x ?+<≤?=??>?，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取 值范围是（ ） （A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞

人教版高中数学必修1 集合与函数概念 教学设计

人教版高中数学必修1 集合与函数概念教学设计 一、教材分析 集合语言是现代数学的基本语言使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容本章中只将集合作为一种语言来学习学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象发展运用数学语言进行交流的能力函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变思维从静止走向了运动、从运算转向了关系函数是高中数学的核心内容是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系用函数的思想去理解这些内容是非常重要的出发点，反过来通过这些内容的学习加深了对函数思想的认识函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终高中数学课程中函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数在必修四将学习三角函数函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 二、学情分析 1学生的作业与试卷部分缺失导致易错问题分析不全面通过布置易错点分析的任务让学生意识到保留资料的重要性。 2学生学基本功较扎实学习态度较端正有一定的自主学习能力但是没有养成及时复习的习惯有些内容已经淡忘通过自主梳理知识让学生感受复习的必要性培养学生良好的复习习惯. 三、设计思路 本节课新课中渗透的理念是“强调过程教学启发思维调动学生学习数学的积极性”在本节课的学习过程中教师没有把梳理好的知识展示给学生而是让学生自己进行知识的梳理一方让学生体会到知识网络化的必要性另一方面希望学生养成知识梳理的习惯在本节课中不断提出问题采取问题驱动引导学生积极思考让学生全面参与整个教学过程尊重学生的思维方式引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题通过自主分析、交流合作从而进行有机建构解决问题改变学生模仿式的学习方式在教学过程中渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想在教学过程中通过恰当的应用信息技术从而突破难点。 四、教学目标分析 (一)知识与技能 1了解集合的含义与表示理解集合间的基本关系集合的基本运算 A能从集合间的运算分析出集合的基本关系 B对于分类讨论问题能区分取交还是取并。 2理解函数的定义掌握函数的基本性质会运用函数的图象理解和研究函数的性质 A会用定义证明函数的单调性、奇偶性 B会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系 (二)过程与方法 1通过学生自主知识梳理了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学

函数概念及其三要素

函数概念及其相关概念（2课时） 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2 y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①2 2 x y +=2 ②111x y -+ -= ③y=21x x -+- A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B. y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C. y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D. y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） A. y=x B. 2 y x = C. () 2 y x = D.y=t 变式1.下列函数中哪个与函数3 2y x =-相同（ ） A. 2y x x =- B. 2y x x =-- C. 3 2y x x =-- D. 2 2y x x -= 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ） O O O O X X X X y y y y

函数的概念练习题

函数的概念练习题 一、填空题 1、函数的 、 、 统称函数的三要素 2、下列几组函数相等的是 。 ①11 12+=--=x y x x y 与②1112+?-=-=x x y x y 与 ③x x y x y +?-=-=1112与④x y x y ==与2⑤x y x y ==与2)( 3、若函数,1)(2+-=x x x f 则=)1(f ，=--+)1()1(n f n f 。 4、函数)(x f y =与a x =的交点个数为 。 5、函数2233x x x x y -+-= 的定义域为 ，函数24x y -=的定义域 为 。 6、函数)3,1[,12)(2-∈+-=x x x x f ，则函数=+)2(x f 。 7、函数)(x f 的定义域为)3,2[-，则)()()(x f x f x g -+=的定义域为 。 8、函数1)(22+=x x x f ，则=)2 1()2(f f 。 二、解答题 9、下列对应那些能称为函数？并说明理由。 （1）R x x x ∈→,1，（2）,y x →这里R y R x x y ∈∈±=+,, （3）,y x →这里R y R x x y ∈∈= +,,（4）,.12R x x x ∈+→ 10、求下列函数的定义域 （1）3 21)(-=x x f （2）22)(x x x f -=

（3）2232)(2 ++--=x x x x f 11、求下列函数的值域。 （1）]3,0[,32)(2∈--=x x x x f （2）),0[,113)(+∞∈+-=x x x x f （3）123 2)(22+-+-=x x x x x f （ 4）x x y 21-+= 12、

新课标高一数学必修1第一章集合与函数概念单元测试题 5

中江中学校集合与函数测试题 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 4．下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5．下列四个函数：①3y x =-；②21 1y x =+；③2210y x x =+-；④(0) 1 (0) x x y x x ?-≤?=?- >??. 其中值域为R 的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6． 已知函数212x y x ?+=?-? (0) (0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52 - C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 7．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y = B ．2 2x y -= C ．13+=x y D ．2 )1(-=x y 8．若R y x ∈,，且)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f （ ） A ． 0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B ．0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C ．)(x f 为增函数且为奇函数 D ．)(x f 为增函数且为偶函数

必修一第一章集合与函数概念

第一章 集合与函数概念 一、选择题. 1. 设 A =｛a ｝，则下列各式中正确的是（ ） A. 0∈A B. a ∈A C. a ∈A D. a = A 2. 设集合 A =｛x |x = a 2 +１，a ∈N +｝，B =｛y |y = b 2 - 4b + 5，b ∈N +｝，则下述关系中正确的是（ ） A . A = B B. A B C. A ?B D. A ∩B =? 3. 如图，阴影部分可用集合 M ，P 表示为（ ） A. M ∩ P B. M ∪P C.（ＵM ）∩（ＵP ） D.（ＵM ）∪（ＵP ） 4. 若集合 A ，B ，C 满足 A ∩B = A ，B ∪C = C ，则 A 与 C 之间的关系必定是（ ） A. A C B. C A C. A ?C D. C ?A 5. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. )(x f = |x |，2)(t t g = B. 2)(x x f =，2)()(x x g = C. 1 1)(2--=x x x f ，1)(+=x x g D. 11)(-?+=x x x f ，1)(2-=x x g 6. 若函数 )(x f 的定义域为 [1，2]，则函数 )(2x f y = 的定义域为（ ） A. [1，4] B. [1，2] C. [2-，2] D. [2-，-1]∪[1，2] 7. 函数 1 1 1-- =x y 的图象是（ ） A B 第 3 题

C D 8. 若二次函数y = x 2 + bx + c 的图象的对称轴是 x = 2，则有（ ） A. f (1)＜f (2)＜f (4) B. f (2)＜f (1)＜f (4) C. f (2)＜f (4)＜f (1) D. f (4)＜f (2)＜f (1) 9. 如果奇函数 f (x )在区间［3，7］上是增函数且最小值是 5，那么函数 f (x )在区间 ［-7，-3］上（ ） A. 是增函数且最小值为 -5 B. 是增函数且最大值是 -5 C. 是减函数且最小值为 -5 D. 是减函数且最大值是 -5 10. 已知函数f (x )= x 5 + ax 3 + bx - 3，且 f (2) = 2，则 f (-2) =（ ） A. -6 B. -8 C. -2 D. 6 二、填空题. 1. 若B =｛a ，b ，c ，d ，e ｝，C = {a ，c ，e ，f }，且集合 A 满足 A ?B ，A ?C ，则集合 A 的个数是＿＿＿＿＿＿. 2. 设 f (x )= 2x - 1，g (x )= x + 1，则 f [g (x )] = . 3. 已知f (2x + 1)= x 2 - 2x ，则=)2(f . 4. 已知一次函数 y = f (x )中，f (8)= 16，f (2)+ f (3)= f (5)，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ ··· + f (100) = . 5. 若函数 a x bx x f ++= 2)( 为奇函数，则 a = ，b = . 6. 若函数 f (x )= x 2 + px + 3在(-∞，1]上单调递减，则 p 的取值范围是 . 三、解答题. 1. 已知非空集合 A =｛x ｜2a + 1≤x ≤3a - 5｝，B =｛x ｜3≤x ≤22｝，能使 A ?(A ∩B )成立的所有 a 值的集合是什么？

函数的定义及三要素

函数的定义及三要素 考点一、函数概念的理解 [例1] 下列对应是否为A 到B 的函数： (1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ； (4)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. [例2】下列各图中，可表示函数)(x f y 的图象的只可能是（ ） 变式1：在下列从集合A 到集合B 的对应关系中不可以确定y 是x 的函数的是( ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应法则f ：x →y ＝x 3； ②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y ：x 2＋y 2＝25； ④A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2； ⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应法则f ：(x ，y )→S ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应法则f ：x →y ＝0. A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤ 变式2、如图中，哪些是以x 为自变量的函数的图象，为什么？

考点二、相等函数的判断 [例2] 下列各对函数中，是相等函数的序号是________． ①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0 ②f(x)＝x＋2与g(x)＝|2x＋1| ③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z) ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t ＋2 变式：下列各组式子是否表示相等函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2； (2)y＝x2，y＝(x)2； (3)y＝x＋1·x－1，y＝x2－1； (4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2. 考点三、求函数的定义域 [例3] 求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3； (2)f(x)＝ 1 x＋1； (3) y＝x－1＋1－x； (4)y＝ x＋1 x2－1.

必修1第一章集合与函数概念

必修1第一章集合与函数概念 知识归纳 一、集合有关概念 1.集合的中元素的三个特性：确定性、元素的互异性、无序性。 2.关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a A 3.集合的表示：用拉丁字母表示集合：集合的表示方法：列举法与描述法。 4.数集：自然数集N ；正整数集N*或 N+；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 5.集合的表示法：（1）列举法：{a ,b,c……}；（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法；（3）语言描述法；（4）Venn 图。 6.集合的分类：有限集（含有有限个元素的集合）、无限集（含有无限个元素的集合）、空集（不含任何元素的集合）。 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。 2．“相等”关系：“元素相同则两集合相等” 注：① 任何一个集合是它本身的子集（A A ）；②真子集:如果A B,且A B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)； ③如果 A B, B C ,那么 A C ；④ 如果A B 同时 B A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集 三、集合的运算 交集A B （读作‘A 交B’），即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝； 并集A B （读作‘A 并B’），即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})； 全集U 中子集A 的补集记作A C U ，即C U A=},|{A x U x x ?∈且. 二、构成函数的三要素（定义域、对应关系和值域）：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，称这两个函数相等（或为同一函数）；（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 2．值域： 先考虑其定义:(1)观察法 (2)配方法(3)代换法 值域补充:（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域都应先考虑其定义域. （2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，是求解复杂函数值域的基础。 3.函数的解析表达式：（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

函数的三要素

第一章函数 第一讲函数的概念 【知识归纳】 (1) 映射 映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中 的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B 中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射 辨析： ①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的； ⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都 有原象，即A中元素的象集是B的子集. 映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可； (2) 映射观点下的函数概念 如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x). （3）函数概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集. （4）函数的表示方法 1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.