向量在立体几何中的应用

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向量在立体几何中的应用

王述杰

（东营市胜利第十三中学，山东 东营 257200）

摘 要：本文主要阐述了空间向量在立体几何中的应用，包括利用空间向量证明空间的线面位置关系，解决平

行与垂直以及空间中的角和距离等问题。同时，向量法也可以求解线线角、线面角、二面角、点面距离等问题。

关键词：向量；立体几何；应用

向量广泛的应用性越来越得到教师的重视。尤其在立体几何中，向量的作用更是被发挥得淋漓尽致，立体几何中几乎所有的问题，包括线面关系的证明，空间中角和距离的计算（只要方便建系）都可以利用向量进行求解。下文将分别对此加以说明。

一、用向量证明空间中的平行

1.用向量法证明空间中两条直线平行。要证明空间中的两条直线平行，只需证明它们的方向向量平行即可。若L1，L2的方向向量分别为V1，V2，则 L1∥L2V1∥V2且L1，L2不重合。

2.用向量法证明空间中的线面平行。要证明一条直线与一个平面平行，只要证明这条直线的一个方向向量和这个平面的一个法向量垂直即可，即点积为零，并且说明这条直线不在这个平面内即可。设V是直线L的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则L∥αV⊥n V?n =0。

3.用向量法证明空间中的面面平行。要证明空间中的两个平面平行，只需证明它们的法向量平行即可。设n1和n2分别是平面α，β的一个法向量，则α∥βn1 ∥n2。

二、用向量法证明空间中的垂直

1.用向量法证明空间中的两条直线垂直。要证明空间中的两条直线垂直，只需证明它们的方向向量垂直即可。设L1，L2的方向向量分别为V1，V2，则L1⊥L2V1⊥V2

V1?V2=0。

2.用向量证明空间中的线面垂直。要证明空间中的直线和平面垂直，只需证明这条直线的一个方向向量和这个平面的一个法向量平行，或证明这条直线的一个方向向量和这个平面内不共线的两个向量都垂直即可。设V是直线L的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，m1，m2是平面α内不共线的两个向量，则L⊥αV∥n 或L⊥α

V⊥m1且V⊥m2V? m1=0且V?m2=0。

3.用向量证明空间中的面面垂直。要证明空间中的两个平面垂直，只需证明它们各自的一个法向量垂直即可。设n1和n2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β

n1⊥n2n1?n2=0。可见，利用向量法证明空间中的线面关系，可以把原本比较抽象、复杂、困难的理论证明转化为简单的纯代数验证问题，从而使问题的难度大大降低。

三、用向量求空间中的角

1.用向量法求空间中两条异面直线所成的角。因为两条异面直线所成的角的范围为（0，

π

2］，而两个向量的夹角的范围是（0，π］，所以两条异面直线所成的角的余弦值，等于这两条直线两个方向向量所成夹角的余弦的绝对值。设L1，L2的一个方向向量分别为V1，V2，L1与L2所成的角为θ，则cosθ=。

2.用向量法求直线与平面所成的角。设V是直线L的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，直线L与平面α所成的角为θ，则。

3.用向量法求二面角。设n1和n2分别是平面α，β的一个法向量，二面角的大小为θ。对于法向量法求二面角的问题，可先结合图形确定二面角的范围，若θ为锐角，则

；若θ为钝角，则。可见用向量法求空间角最大的优点是避免了传统方法中的找角或作角（而这些也正是难点所在），从而使问题的难度大大降低。

四、用向量法求空间中的距离

由于空间中的距离的重点是点面距离，因此本文只介绍如何用向量法求一个点到一个平面的距离问题。已知点A和平面α，设n是平面α的一个法向量，在平面α内任取点B，则点A到平面α的距离。用向量法求点面距离的优点是避免了作垂线段和确定垂足落点位置的问题，从而大大降低了这类问题的难度。在一个给定的空间直角坐标系下，依据此法可以求任意一点到任一平面的距离。例题如下：已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点，证明：CM⊥SN。

证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，12），N（12，0，0），S（1，12，0）

CM=（1，-1，

1

2），SN=（-

1

2，-

1

2，0）

?=-

1

2+

1

2+0=0，所以CM⊥SN。

点评：空间线线垂直判定或证明的问题，常用向量法证明所证直线的方向向量的数量积为0，由此可以证明两直线垂直。