2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M
N =( )
A .[0,1]
B .(0,1]
C .[0,1)
D .(,1]-∞ 【答案】A 【解析】
试题分析:{}
{}20,1x x x M ===,{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤,所以[]0,1M
N =,
故选A .
考点:1、一元二次方程;2、对数不等式;3、集合的并集运算.
2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女
教师
的人数为( ) A .167 B .137 C .123 D .93
【答案】B
考点:扇形图.
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin(
)6
y x k π
?=++,据
此函数
可知,这段时间水深(单位:m )的最大值为( )
A .5
B .6
C .8
D .10
【答案】C 【解析】
试题分析:由图象知:min 2y =,因为min 3y k =-+,所以32k -+=,解得:5k =,所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=,故选C . 考点:三角函数的图象与性质.
4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2
x 的系数为15,则n =( )
A .4
B .5
C .6
D .7 【答案】C
考点:二项式定理.
5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A .3π
B .4π
C .24π+
D .34π+
【答案】D 【解析】
试题分析:由三视图知:该几何体是半个圆柱,其中底面圆的半径为1,母线长为2,所以该几何体的表面积是
()1
211222342
ππ???++?=+,故选D . 考点:1、三视图;2、空间几何体的表面积.
6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析:因为22
cos 2cos sin 0ααα=-=,所以sin cos αα=或sin cos αα=-,因为
“sin cos αα=”?“cos 20α=”,但“sin cos αα=”?/“cos 20α=”,所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件,故选A . 考点:1、二倍角的余弦公式;2、充分条件与必要条件. 7.对任意向量,a b ,下列关系式中不恒成立的是( )
A .||||||a b a b ?≤
B .||||||||a b a b -≤-
C .22()||a b a b +=+
D .2
2
()()a b a b a b +-=- 【答案】B
考点:1、向量的模;2、向量的数量积.
8.根据右边的图,当输入x 为2006时,输出的y =( )
A .28
B .10
C .4
D .2
【答案】B 【解析】
试题分析:初始条件:2006x =;第1次运行:2004x =;第2次运行:2002x =;第3次运行:2000x =;??????;第1003次运行:0x =;第1004次运行:2x =-.不满足条件0?x ≥,停止运行,所以输出的2
3110y =+=,故选B . 考点:程序框图.
9.设()ln ,0f x x a b =<<
,若p f =,(
)2a b q f +=,1
(()())2
r f a f b =+,则下列关系
式中正确的是( )
A .q r p =<
B .q r p =>
C .p r q =<
D .p r q => 【答案】
C
考点:1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性.
10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料
的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最 大利润为( )
A .12万元
B .16万元
C .17万元
D .18万元
【答案】D 【解析】
试题分析:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨,则利润34z x y =+
由题意可列3212
2800
x y x y x y +≤??+≤?
?≥??≥?,其表示如图阴影部分区域:
当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时,z 取得最大值,所以max 324318z =?+?=,故选D .
考点:线性规划.
11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈,若||1z ≤,则y x ≥的概率为( )
A .3142π+
B .1142π-
C .112π-
D .112π
+
【答案】B 【解析】
试题分析:22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+?=
?-+≤
如图可求得(1,1)A ,(1,0)B ,阴影面积等于2
1111114
242
ππ?-
??=- 若||1z ≤,则y x ≥的概率是21
11
42142π
ππ
-
=-
?,故选B . 考点:1、复数的模;2、几何概型.
12.对二次函数2
()f x ax bx c =++(a 为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有
一个结论是错误的,则错误的结论是( )
A .-1是()f x 的零点
B .1是()f x 的极值点
C .3是()f x 的极值
D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A
考点:1、函数的零点; 2、利用导数研究函数的极值.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 . 【答案】5 【解析】
试题分析:设数列的首项为1a ,则12015210102020a +=?=,所以15a =,故该数列的
首项为5,所以答案应填:5. 考点:等差中项.
14.若抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过双曲线2
2
1x y -=的一个焦点,则p= .
【答案】
考点:1、抛物线的简单几何性质;2、双曲线的简单几何性质. 15.设曲线x
y e =在点(0,1)处的切线与曲线1
(0)y x x
=>上点p 处的切线垂直,则p 的坐标
为 .
【答案】()1,1 【解析】
试题分析:因为x y e =,所以x y e '=,所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率
101x k y e ='
===,设P 的坐标为()00,x y (00x >),则00
1
y x =
,因为1y x =,所以
2
1y x '=-
,所以曲线1
y x
=在点P 处的切线的斜率0
220
1
x x k y x ='==-
,因为121k k ?=-,所以2
11x -
=-,即2
01x =,解得01x =±,因为00x >,所以01x =,所以01y =,即P 的坐标是()1,1,所以答案应填:()1,1.
考点:1、导数的几何意义;2、两条直线的位置关系.
16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表
示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .
【答案】1.2 【解析】
试题分析:建立空间直角坐标系,如图所示:
原始的最大流量是()1
1010222162
?+-??=,设抛物线的方程为22x py =(0p >),因为该抛物线过点()5,2,所以2
225p ?=,解得254p =,所以2252x y =
,即2225
y x =,所以当前最大流量是
()()5
3235
35
522224022255255257575753
x dx x x --???????
?-=-=?-?-?--?-= ? ? ??????
??????,
故原始的最大流量与当前最大流量的比值是
16
1.2403
=,所以答案应填:1.2. 考点:1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
17.(本小题满分12分)C ?AB 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量()
,3
m a b =
与()cos ,sin n =A B 平行. (I )求A ; (II
)若
a =2
b =求C ?AB 的面积.
【答案】(
I )
3π;(II
试题解析:(I )因为//m n ,所以sin
cos 0a B A -=,
由正弦定理,得sinAsinB 0-
=
又sin 0B ≠,从而tan A 由于0
A π<<,所以3
A π
=
(II)解法一:由余弦定理,得2
2
2
2cos a b c bc A =+- 而2,a =3
π
A =
得2
742c c =+
-,即2
230c c --= 因为0c >,所以3c =. 故?ABC 的面积为
1bcsinA 2.
考点:1、平行向量的坐标运算;2、正弦定理;3、余弦定理;4、三角形的面积公式. 18.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形CD AB 中,D//C A B ,D 2
π
∠BA =
,
C 1AB =B =,
D 2A =,
E 是D A 的中点,O 是C A 与BE 的交点.将?ABE 沿BE 折起到1?A BE 的位置,如图2.
(I )证明:CD ⊥平面1C A O ;
(II )若平面1A BE ⊥平面CD B E ,求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值.
【答案】(I )证明见解析;(II )
3
试题解析:(I )在图1中,
因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=2
π
,所以BE ⊥AC 即在图2中,BE ⊥ 1OA ,BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1
AOC 又CD BE ,所以CD ⊥平面1
AOC
.
(II)由已知,平面1A BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,BE
⊥ 1OA ,BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角,所以1OC 2
A π
∠=.
如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系, 因为11B=E=BC=ED=1A A , BC ED
所以1(
(0,0,2222
B -
得2BC(22-
12A C(0,
22
-,CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =,平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =,平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ, 则11100
n BC n A C ??=??
?=??,得11110
x y y z -+=??
-=?,取1(1,1,1)n =,
2210
n CD n A C ??=??
?=??,得22200x y z =??-=?,取2(0,1,1)n =,
从而12cos |cos ,|n n θ=??=
= 即平面1BC A 与平面
1CD A
考点:1、线面垂直;2、二面角;3、空间直角坐标系;4、空间向量在立体几何中的应用. 19.(本小题满分12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,
(II )刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从
离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 【答案】(I )分布列见解析,32;(II )0.91. 【解析】
试题分析:(I )先算出T 的频率分布,进而可得T 的分布列,再利用数学期望公式可得数学期望ET ;(II )先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”,再算出A 的概率.
从而 0.4400.132?+?=(分钟)
(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间,12,T T 的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.
解法一:121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤
1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=?+?+?+?=.
解
法
二
:
1
2
1
(A )P P T T T
=
+
>=12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=?+?+?=
故(A)1P(A)0.91P =-=.
考点:1、离散型随机变量的分布列与数学期望;2、独立事件的概率.
20.(本小题满分12分)已知椭圆:E 22
221x y a b
+=(0a b >>)的半焦距为c ,原点O 到
经过两点
(),0c ,()0,b 的直线的距离为1
2c .
(I )求椭圆E 的离心率;
(II )如图,AB 是圆:M ()()2
2
5
212
x y ++-=的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的方 程.
【答案】(I
II )
221123x y +=. 【解析】
试题分析:(I )先写过点(),0c ,()0,b 的直线方程,再计算原点O 到该直线的距离,进而可得椭圆E 的离心率;(II )先由(I )知椭圆E 的方程,设AB 的方程,联立
()2
22
21
44y k x x y b
?=++??+=??,消去y ,可得12x x +和12x x 的值,进而可得k
,再利用AB =可得2
b 的值,进而可得椭圆E 的方程.
试题解析:(I )过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=, 则原点O
到直线的距离bc
d a
=
=
, 由12d c =
,得2a b ==
2
c a =. (II)解法一:由(I )知,椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1) 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB
的中点,且|AB|易知,AB 不与x 轴垂直,设其直线方程为(2)1y k x =++,代入(1)得
2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=
设1122(,y ),B(,y ),A x x 则22
121222
8(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k
++-+=-=-++
由124x x +=-,得28(21)4,14k k k +-=-+解得1
2
k =.
从而21282x x b =-.
于是
12|AB ||x x =-=
由|AB|
2
3b =.
故椭圆E 的方程为
22
1123
x y +=. 解法二:由(I )知,椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2) 依题意,点A ,B
关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=,2222244x y b +=, 两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()
1212-4()80x x y y -+-=. 易知,AB 不与x 轴垂直,则12x x ≠,所以AB 的斜率12121
k .2
AB y y x x -==-
因此AB 直线方程为1
(2)12
y x =
++,代入(2)得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-,21282x x b =-
.
于是
12|AB ||x x =-=
由|AB|
2
3b =.
故椭圆E 的方程为
22
1123
x y +=. 考点:1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、椭圆的简单几何性质;4、椭圆的方程;5、圆的方程;6、直线与圆的位置关系;7、直线与圆锥曲线的位置.
21.(本小题满分12分)设()n f x 是等比数列1,x ,2
x ,???,n
x 的各项和,其中0x >,
n ∈N , 2n ≥.
(I )证明:函数()()F 2n n x f x =-在1,12??
???
内有且仅有一个零点(记为n x ),且
11122
n n n x x +=
+; (II )设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为
()n g x ,比较()n f x
与()n g x 的大小,并加以证明.
【答案】(I )证明见解析;(II )当1x =时, ()()n n f x g x =,当1x ≠时,()()n n f x g x <,证明见解析. 【解析】
试题分析:(I )先利用零点定理可证()F n x 在1,12??
???
内至少存在一个零点,再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12??
???
内有且仅有一个零点,进而利用n x 是()F n x 的零点可证1
1122
n n n x x +=
+;(II )先设()()()n n h x f x g x =-,再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小,进而可得()n f x 和()n g x 的大小. 试题解析:(I )2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++
-则(1)10,n F n =->
1
2
1111111
2()1220,122222
12
n n
n n F +??
- ???????=+++-=-=-
< ? ???
??-
所以()n F x 在1,12??
???
内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++
>,故在1,12??
???
内单调递增,
所以()n F x 在1,12??
???
内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点,所以()=0n n F x ,即1
1201n n n
x x +--=-,故111=+22n n n x x +.
(II)解法一:由题设,()
(
)11().2
n
n n x g x ++=
设()()211()()()1,0.2
n
n
n n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->
当1x =时, ()()n n f x g x = 当1x ≠时, ()1
1
1()12.2
n n n n x h x x nx
--+'=++-
若
01x <<,()111
11()22n n n n n n h x x x nx
x ----+'>++
-()()11110.22n n n n n n x x --++=-=
若1x >,()1
1111()22n n n n n n h x x
x nx x ----+'<++-
()()11
110.22
n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减, 所以()(1)0h x h <=,即()()n n f x g x <.
综上所述,当1x =时, ()()n n f x g x =;当1x ≠时()()n n f x g x <
解法二 由题设,()()2
11()1,(),0.2
n
n
n n
n x f x x x x g x x ++=+++=
> 当1x =时, ()()n n f x g x =
当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221
()()(1)0,2
f x
g x x -=-
-<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时,不等式成立,即()()k k f x g x <. 那么,当+1n k =时,
()()11
1
k+1k 11()()()2
k
k k k k k x f x f x x g x x x
+++++=+<+=+()12112
k k
x k x k +++++=
. 又()()11k+121111
()22
k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=
令
()1()11(x 0)
k k k h x kx k x +=-++>,则
()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-
所以当01x <<,()0k
h x '<,()k h x 在(0,1)上递减;
当1x >,()0k
h x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=,从而()1k+1211
()2
k k x k x k g x +++++>
故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =,不等式也成立. 所以,对于一切2n ≥的整数,都有()()n n f x g x <.
解法三:由已知,记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,
, 1.n =+则111a b ==,
11n n n a b x ++==,
所以()1
1+1(2n)n k x a k k n
-=-?≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()
111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n
---=-=+
->≤≤
当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.
当1x ≠时, ()()1
2211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n
----+-'=--=-- 而2k n ≤≤,所以10k ->,11n k -+≥.
若01x <<, 1
1n k x -+<,()0k m x '<,
当1x >,1
1n k x
-+>,()0k
m x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=, 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=,故()()n n f x g x < 综上所述,当1x =时, ()()n n f x g x =;当1x ≠时()()n n f x g x < 考点:1、零点定理;2、利用导数研究函数的单调性.
请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作
答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB 切O 于点B ,直线D A 交O 于D ,E 两点,C D B ⊥E ,垂足为C . (I )证明:C D D ∠B =∠BA ;
(II )若D 3DC A =,C B =O 的直径.
【答案】(I )证明见解析;(II )3. 【解析】
试题分析:(I )先证C D D ∠B =∠BE ,再证D D ∠BA =∠BE ,进而可证C D D ∠B =∠BA ;(II )先由(I )知D B 平分C ∠BA ,进而可得D A 的值,再利用切割线定理可得AE 的值,进而可得
O 的直径.
试题解析:(I )因为DE 为圆O 的直径,则BED EDB ∠+∠=90, 又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°,从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ,得∠DAB=∠BED ,所以∠CBD=∠DBA. (II )由(I )知BD 平分∠CBA ,则=3BA AD BC CD
=,
又BC
AB =
所以4AC =,所以D=3A .
由切割线定理得2
=AD AB AE ×,即2
=AD
AB AE =6,
故DE=AE-AD=3,即圆O 的直径为3.
考点:1、直径所对的圆周角;2、弦切角定理;3、切割线定理. 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系x y O 中,直线l
的参数方程为132x t y ?=+??
??=??(t 为参数).以原点为极点,x
轴正半轴为极轴 建立极坐标系,
C
的极坐标方程为ρθ=.
(I )写出C 的直角坐标方程;
(II )P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 【答案】(I
)(2
2
3x y +=;(II )()3,0.
【解析】
试题分析:(I )先
将
ρθ=两边同乘以ρ可
得2sin ρθ=,再利用
222x y ρ=+,sin x ρθ=可得
C 的直角坐标方程;(II )先设P 的坐标,
则
C P =,再利用二次函数的性质可得C P 的最小值,进而可得P 的直角坐标.
试题解析:(I )由2,sin ρθρθ==得,
从而有(2
2
2
2
+,+3x y x y ==所以.
(II)设1(32P +又,则|PC |== 故当t=0时,|PC|取最小值,此时P 点的直角坐标为(3,0).
考点:1、极坐标方程化为直角坐标方程;2、参数的几何意义;3、二次函数的性质. 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}
24x x <<. (I )求实数a ,b 的值;
(II 的最大值. 【答案】(I )3a =-,1b =;(II )4. 【解析】
试题分析:(I )先由x a b +<可得b a x b a --<<-,再利用关于x 的不等式x a b
+<
的解集为{}
24x x <<可得a ,b 的值;(II )
试题解析:(I )由||x a b +<,得b a x b a --<<-
则2,4,b a b a --=??-=?
解得3a =-,1b =
(II ≤
4==
1=,即1t =时等号成立,
故
max
4=.
考点:1、绝对值不等式;2、柯西不等式.