湖南省衡阳市高一下学期新高考选科摸底考试数学试题(解析版)
湖南省衡阳市高一下学期新高考选科摸底考试数学试题
一、单选题
1．已知全集{}{}0,1,2,3,1,3U A ==，则集合U C A = A ．{}0 B ．{}1,2
C ．{}0,2
D ．{}0,1,2
【答案】C
【解析】直接利用集合补集的定义求解即可. 【详解】
因为全集{}{}0,1,2,3,1,3U A ==， 所以0，2属于全集且不属于集合A , 所以集合U C A ={}0,2， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查集合补集的定义，属于基础题. 2．若23x =，则x =（ ） A ．2log 2 B ．lg 2lg3- C ．lg 2lg 3
D ．lg3
lg2
【答案】D
【解析】将指数形式化为对数形式可得2log 3x =，再利用换底公式即可. 【详解】 解：因为23x =， 所以2lg 3
log 3lg 2
x ==， 故选：D. 【点睛】
本题考查了指数与对数的互化，重点考查了换底公式，属基础题.
3．已知直线1:210l x y -+=与直线2:30l x ky +-=平行，则实数k 的值为（ ） A ．-2 B ．2
C ．12
-
D ．
12
【解析】由两直线平行的可得:121
1(3)11
k ?=-????-≠??，运算即可得解.
【详解】
解：由两直线平行的判定可得:121
1(3)11k ?=-????-≠??
，解得2k =-，
故选：A. 【点睛】
本题考查利用两直线平行求参数，属基础题.
4．圆22
1:1C x y +=与圆22
2:430C x y x +-+=的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．外切
C ．相交
D ．相离
【答案】B
【解析】由两圆的圆心距及半径的关系求解即可得解. 【详解】
解：由圆22
1:1C x y +=，
圆222:430C x y x +-+=，即22
2:(2)1C x y -+=，
所以圆1C 的圆心坐标为1(0,0)C ，圆2C 的圆心坐标为2(2,0)C ，两圆半径121r r ==， 则圆心距12122C C r r ==+， 即两圆外切， 故选：B. 【点睛】
本题考查了两圆的位置关系的判断，属基础题. 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ） A ．不共线 B ．长度不相等
C ．不都是单位向量
D ．不都是零向量
【答案】D
【解析】由方向相同且模相等的向量为相等向量，再逐一判断即可得解. 【详解】
解：向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量， 即选项A 、B 、C 错误，D 正确.
【点睛】
本题考查了相等向量的定义，属基础题. 6．若()1sin πα3-=，且π
απ2
<<，则sin2α的值为( ) A ．42
9-
B ．22
9
-
C ．
22
9
D ．
42
9
【答案】A
【解析】利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值． 【详解】 解：
()1sin παsin α3-==，且π
απ2
<<，
222cos α1sin α∴=--=-
，则42
sin2α2sin αcos α==-， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题． 7．函数x
y x x
=
+的图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【解析】求出分段函数的解析式，由此确定函数图象. 【详解】 由于1,01,0x x x
y x x x x +>?=+=?-
故选：D 【点睛】
本小题主要考查分段函数图象的判断，属于基础题.
8．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ） A ．8 B ．
8
π
C ．
4π
D ．
2π
【答案】B
【解析】分别讨论当圆柱的高为4时，当圆柱的高为2时，求出圆柱轴截面面积即可得解. 【详解】
解：当圆柱的高为4时，设圆柱的底面半径为r ，则22r π=，则1
r π
=，则圆柱轴截
面面积为1
8
224rh π
π
=?
?=
，
当圆柱的高为2时，设圆柱的底面半径为r ，则24r π=，则2
r π
=，则圆柱轴截面面
积为2
8
222rh π
π
=?
?=
，
综上所述，圆柱的轴截面面积为8π
， 故选：B. 【点睛】
本题考查了圆柱轴截面面积的求法，属基础题.
9．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π??
=+
??
?
B ．sin 22y x π??
=+
??
?
C ．sin2cos2y x x =+
D ．sin cos y x x =+
【答案】A
【解析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
解：y＝cos（2x
2
π
+）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π
，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x
2
π
+）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2x2
=sin（2x
4
π
+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sin x+cos x2
=sin（x
4
π
+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A．
【考点】三角函数的性质.
10．过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA BA
=，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是
A．30B．45?
C．60?D．90?
【答案】B
【解析】法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为12
12
n n
n n
＝
2
2
，故所求的二面角的大小是45°.
法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平
11．ABC 中，0AB BC ?>，则ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角
形 【答案】C
【解析】由平面向量数量积运算可得cos()0AB BC B π?->，即cos 0B <，得解. 【详解】
解：在ABC 中，0AB BC ?>，则cos()0AB BC B π?->， 即cos 0B <，则ABC ∠为钝角，所以ABC 为钝角三角形， 故选：C. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.
12．若函数f （x ）=log a （x 2–ax +2）在区间（0，1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2，3） B ．（2，3）
C ．[2，+∞）
D ．（2，+∞）
【答案】A
【解析】函数()f x 为函数log a
y x =与22y x ax =-+的复合函数，复合函数的单调
性是同则增，异则减，讨论1a >，01a <<，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得a 的范围. 【详解】
∵函数()()
2
log 2a f x x ax =-+在区间(]0,1上为单调递减函数，
∴1a >时，22y x ax =-+在(]0,1上为单调递减函数， 且220x ax -+>在(]0,1上恒成立，
∴需22y x ax =-+在(]0,1上的最小值1230a a -+=->， 且对称轴1
12
x a =
≥，∴23a ≤<， 当01a <<时，2
2y x ax =-+在(]0,1上为单调递增函数，不成立，
综上可得a 的范围是[)2,3， 故选：A ．
本题考查了对数函数的图象和性质，二次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法，属于中档题.
二、填空题
13．若直线1x =的倾斜角为α，则α的弧度数是________. 【答案】
2
π 【解析】由直线1x =垂直x 轴，即其倾斜角弧度数为2
π
，得解. 【详解】
解：因为直线1x =垂直x 轴， 所以其倾斜角弧度数为2
π. 故答案为：2
π. 【点睛】
本题考查了利用弧度制表示直线的倾斜角，属基础题. 14．函数cos y x =，2,63x ππ??
∈????
的最小值是________. 【答案】1
2
-
【解析】由cos y x =在2,6
3x ππ??
∈????
上是减函数，再求最小值即可.
【详解】
解：因为cos y x =在2,6
3x ππ??
∈????
上是减函数，
所以其最小值是21cos 32
y π==-. 故答案为：1
2
-. 【点睛】
本题考查了利用函数单调性求最值问题，属基础题. 15．若1a =，3b =，则a b -的取值范围是_____. 【答案】[]
2,4
【解析】利用向量模的三角不等式可求出a b -的取值范围.
∵a b a b a b -≤-≤+
，∴24a b ≤-≤. 故答案为：[]
2,4. 【点睛】
本题考查向量模的取值范围的计算，涉及向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于基础题.
16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当x 0≥时，
()()x 5πsin x 0x 142f x 1()1(x 1)4
???
≤≤ ?????=??+>??，则()f 1=______，若关于x 的方程()()())
2
f x ]af x b 0a,b R ?++=∈?
，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是______． 【答案】
5
4 599,,1244????--?-- ? ?????
【解析】可求得f （1）54=sin （2π）5
4
=，作函数的图象，分类讨论即可． 【详解】 解：()5π5
f 1sin 424
??=
= ???，作函数()y f x =的图象如右图，
设方程2x ax b 0++=的两个根为1x ，2x ；
①若15x 4=
，251x 4<<，故1295x x a ,42??+=-∈ ???，故59a ,24??∈-- ???
； ②若10x 1<≤，251x 4<<
，故129x x a 1,4??+=-∈ ???，故9a ,14??
∈-- ???
； 故答案为54，599,,1244????
--?-- ? ?????
． 【点睛】
本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用．
三、解答题
17．请解决下列问题： （1）已知tan 2α=，求
sin 2cos 5cos sin αα
αα
+-的值；
（2）计算(
2
lg5(lg8lg1000)lg ++.
【答案】（1）
4
3
（2）3 【解析】（1）分子分母同时除以cos α即可得解； （2）由对数的运算lg5lg 21+=求解即可. 【详解】
解：（1）由tan 2α=，
分子分母同时除以cos α可得，原式tan 24
5tan 3
αα+=
=-.
（2）原式22
lg5(3lg 23)3lg 23lg 2lg53lg 23lg5=++=++
3lg 2(lg 2lg5)3lg53lg 23lg53(lg 2lg5)3=++=+=+=.
【点睛】
本题考查了三角求值中的齐次式求值问题，重点考查了对数的运算，属基础题. 18．已知三角形的三个顶点(5,0),A -(3,3),B -(0,2)C . （1）求BC 边所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线方程.
【答案】（1）5360x y +-=（2）35150x y -+=
（2）先求出直线BC 的斜率，再求出BC 边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可. 【详解】 解：（1）
(3,3)B -，(0,2)C ，∴直线BC 的方程为
33
2303
y x +-=+-，即5360x y +-=. （2）
5
3
BC k =-，
∴直线BC 边上的高所在的直线的斜率为3
5
，
又(5,0)A -，
∴直线BC 边上的高的方程为: 3
0(5)5
y x -=+，
即BC 边上的高所在直线方程为35150x y -+=. 【点睛】
本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题. 19．
已知向量(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，2
2
π
π
θ-<<
．
(1) 若a b ⊥，求θ； (2) 求||a b +的最大值．
【答案】(1) 4
π
-
；（2）1【解析】（1）两向量垂直，坐标关系满足12120x x y y +=，由已知可得关于sin θ的等
式，解该式子即得θ；（2）根据定义求a b +由θ的取值范围可得最大值． 【详解】
（1）a b ⊥，∴sin cos 0θθ+=)04πθ+=，又(,)22
ππ
θ∈-，
4
π
θ∴=-.
（2）
22||(1sin )(1cos )32(sin cos )322sin()4
a b π
θθθθθ+=+++=++=++，
(,)22
ππθ∈-，故当4
π
θ=时，||a b +取到最大值12+.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，两向量垂直，求两向量之和的模的最大值，当计算到最大值为322+时，由平方和公式还可以继续化简，即2322(12)12+=+=+，这一步容易被忽略．
20．已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BA AC ⊥，12AB AA AC ===，M 为AC 中点.
（1）证明:直线1//B C 平面1A BM ； （2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）90?
【解析】（1）连接1AB 交1A B 于点O ，再证明1//OM B C ，得证；
（2）先求15A M BM ==1OM A B ⊥.再结合1//OM B C 即可得解. 【详解】
证明：（1）连接1AB 交1A B 于点O ，连接OM ，
11A ABB 为平行四边形，
O ∴为1AB 的中点，
又M 为AC 的中点，
1//OM B C ∴.
又OM ?平面1A BM ，1B C ?平面1A BM .
1//B C ∴平面1A BM .
190A AM MAB ∴∠=∠=?. 又12AB AA AC ===， 由M 为AC 中点，
1AM ∴=，
1
5AM BM ∴==， 又O 为1AB 的中点，
1OM A B ∴⊥. 1//OM B C ， 11B C A B ∴⊥.
所以异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为90?.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了异面直线所成角的求法，属基础题. 21．已知函数(
)
2
()log 2a f x x =+，
（1）若6)3f =，求a 的值，并判断()f x 的奇偶性； （2）求不等式()(2)f x f x ≤+的解集.
【答案】（1）2a =，x ∈R ，()f x 是偶函数（2）(,1]-∞-或[1,)-+∞ 【解析】（1）先由已知求出a ，然后结合利用定义法判断函数的奇偶性即可； （2）讨论当01a <<时，当1a >时对数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】
解：（1）由题意得，2log (6)23a ??+=??，即log 83a =，则3382a ==，2a ∴=，
则()
2
2()log 2f x x =+，函数()y f x =的定义域为R ，
（2）当01a <<时，log a
y x =在(0,)+∞上是减函数，
()222log 2log (2)2a x x ??+≤++??
，22
2(2)2x x ∴+≥++，解得1x ≤-， 所以原不等式的解集为(,1]-∞-； 当1a >时，log a
y x =在(0,)+∞上是增函数，
()222log 2log (2)2a x x ??+≤++??
，222(2)2x x ∴+≤++，即1x ≥-， 所以原不等式的解集为[1,)-+∞，
综上所述，当01a <<时，原不等式的解集为(,1]-∞-，当1a >时，原不等式的解集为[1,)-+∞. 【点睛】
本题考查了利用定义法判断函数的奇偶性，主要考查了利用对数函数的单调性求解不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 22．如图扇形的圆心角2
AOB π
∠=
，半径为2，E 为弧AB 的中点C ?D 为弧AB 上的
动点，且//CD AB ，记DOE θ∠=，四边形ABCD 的面积为ABCD S .
（1）求函数()ABCD S f θ=的表达式及定义域； （2）求()f θ的最大值及此时θ的值
【答案】（1）()f θ=4sin cos 2(sin cos )2,θθθθ---04πθ?
?
<< ??
?
（2）
当12
π
θ=时，()f
θ取最大值1.
【解析】（1）取OE 与DC ?AB 的交点分别为M ?N ，在Rt ODM 中，分别求出OM ，
ON ，再利用梯形的面积公式求解即可；
（2）令sin cos t θθ-=，则ABCD S =2
21t ?-++ ?
?，()1,0t ∈-，再求最值即可.
【详解】 解：（1）
DOE θ∠=，OE 与DC ?AB 的交点分别为M ?N ，
由已知可知OM CD ⊥，
在Rt ODM 中，sin sin 2sin DM OD DOE R θθ=∠==.2cos OM θ=，
ON =
梯形ABCD 的高2cos h MN OM ON θ==-= 则
()(4sin ()22
ABCD DC AB h S f θθθ++==
=
4sin cos cos )2,θθθθ=---04πθ?
?<< ??
?.
（2）设sin cos t θθ-=，则4t πθ?
?=
- ??
?，()1,0t ∴∈-，
则 22
(sin cos )12sin cos t θθθθ=-=-，22sin cos 1t θθ∴=-，
则
2()4sin cos cos )2222
ABCD S f t θθθθθ==---=---2
22212t t ?=--=-++ ?
?.
()1,0t ∈-，∴当2
t =-时，max ()1f θ=，
42
πθ??
-
=- ??
?，即1sin 42πθ??-=- ???， 04
π
θ<<
，04
4
π
π
θ∴-
<-
<，4
6
π
π
θ∴-
=-
，故12
π
θ=
.
故()f θ的最大值为1，此时12
π
θ=
.
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题