实数的连续性公理证明确界存在定理
实数的连续性公理证明确界存在定理
定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。
定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。
定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。
定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。
定理五 Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。
定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。
定理七 Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。
定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描
述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），
它们都是等价的。下面给出其等价性的证明：
定理一定理二：设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即
B= ，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不
空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知A、B不漏。又，
则，使，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理，
存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上，
对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时，
有。注意到，便有。故当n>N时有
，于是。这就证明了。若单调下降有下界，
则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则
。定理二证完。
定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对，
与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成
立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的
上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X的上界。则使得。
用的中点二等分，如果是X的上界，则取
；如果不是X的上界，则取。继续用
二等分，如果是X的上界，则取；如果
不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列
。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且
单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升
有上界知有存在，使得。下证。①事实上，对
，，当时有。又都不是X上界对每一个，
，使得。故对，，使得。②若
，使得，则由知。故
，使得。又都是X的上界，故对有。而，
故，这是不可能的。故对，有。综上①、②即有。即X
有上确界存在。
定理三定理四：由条件知集合非空，且有上界（例如）。故由确
界定理知A有上确界，记为。则对，有。同理可知集合
有下确界，记为。则对，有。又，
由上可知。两边取极限，令有。又显然。否则
由于是A的上确界，则，使得；同理，使得，则有
。又由区间套的构造可知，对，记k=max（n,m），则有
。故有，矛盾。故必有。故，记为r。则对，
有。下证具有这一性质的点是唯一的。用反证法，如果还有另一，使得
。由于对一切n成立，故,令
，得，与矛盾。故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r，使得r
包含在所有的区间里，即。
定理四定理五：用反证法。设E是区间的一个覆盖，但没有E的有限子覆盖。记，二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖（否则把两区间的E
的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E’,则E’是的E的有限子覆盖，即有E的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为。二等分，则必有一区间没有E
的有限子覆盖，记为。如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列
，满足(i) ；
(ii) 。故构成一个区间套，且每个都没有
E的有限子覆盖。则由区间套定理有存在唯一的实数r，使得。又
由覆盖的定义有，使得，即。又由上区间套定理的证明
可知，其中。故，
使得，，使得。设，则
，即有覆盖。这与没
有E的有限子覆盖的构造矛盾，故必有E的有限子覆盖。
定理五定理六：设数列有界，即实数a,b，且a 反证法，如果无收敛子数列，则对，使得只有有限 个。（如果不然，即，对，有中有无限 个。选定，再选，使。这是办得到的，因 为包含数列的无限多项。再取，使。如此继续下 去，便得到的一子数列。令，则有。 又，与反证假设矛盾）。又以这样的 作为元素组成的集合显然是的一覆盖，记为E。则由Borel有限覆盖定理知有E 的有限子覆盖。而E中的每个元素都只包含的有限项，有限个有限的数相加仍为有限数，故只包含的有限项。这与矛盾，故必有收敛子数 列，即有界数列必有收敛子数列。 定理六定理七：必要性：设在实数系中，数列有极限存在，则，， 使得只要，有（记）。因此只要，就有 。必要性得证。 充分性：设在实数系中，数列满足：，，当 时，有，即是基本列。先证是有界的。事实上，取 ，则，使得当时，有。取定一，则 有。取， 则有。这就证明了是有界的。再证明有极限存在。由 Bolzano-Weierstrass紧致性定理可知有子数列，使得存在，记为a。下证。事实上，，由题设知，当时，有。 又，，只要，就有。取， 则只要，选取，就有。这就证 明了。即有极限存在。充分性得证。 综上，定理七证完。 定理七定理一：对任意给定的实数R的分划A|B，A、B非空，可任取点。又分划满足不乱，。用的中点二等分， 如果，则取；如果。则取 。（分划满足不漏，对任意实数，或者属于A，或者属于B。故 或。）继续用二等分，如果，则取 ；如果，则取。如此继续下去， 便得到两串序列。其中单调上升有上界（例如），单调下降有 下界（例如），并且（当时）。下面用柯西收敛原理来证明 存在。事实上如果不然，则，，，有。 不妨设，由单调上升有。对上式都成立 （），取，并把所得的不等式相加得。其中 k为不等式的个数。故，当时。而由N的取法可知对每一个 k都有相应的N’与之对应，即有相应的与之对应。故对，，使得 。即无界，与有界矛盾。故存在，记为r。下证对 ，有。这等价于证明对，有。事实上， ，由知，使。故。而对，由 知。故，使。从而，这就证明了，即证明了实 数基本定理。 综上，这就证明了这七个定理是等价的。而从证明过程来看：定理二定理三的方法 可用于定理二定理四及定理四定理三；定理七定理一的方法可运用于定理七定 理二，定理二定理四，定理四定理一。而这并不构成逻辑循环，因为我们已用十进小 数证明了实数基本定理。而这其实是用无限不循环小数方法来定义无理数。事实上我们还可以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏尔斯特拉斯的单调有界序列法来定义无理数，这都能构成反映实数本质的实数公理系统。 第七章 实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理 1. 验证数集? ?? ? ??+-n n 1) 1(有且只有两个聚点11 -=ξ 和12 =ξ. 分析:根据聚点定义2'',分别找各项互异的收敛数列 {}n x ,{}n y ?? ?? ? ??+-n n 1) 1(,使其极限分别为-1和1.再由聚点定义2,用反证法，对1,±≠∈?a R a ,关键在找存在ε,使U(ε,a )内含有? ????? + -n n 1)1(中有限多个点. 解：记()()() 2,11 211,2111 22=-= -=+ -=-n n y n x n n n n 则 {}n x ,{} n y ? ? ?? ? ??+-n n 1)1(,且1lim ,1lim -==∞ →∞→n n n n y x .由定义2''知， 1,121=-=ξξ为???? ?? +-n n 1)1(的两个聚点. 对1,±≠∈?a R a ，则取{}1 ,1min 2 1 0+-=a a ε， ? ?? ??? + -n n 1)1(落在U(0,εa )内部至多只有有限点, 则α不是其聚点. 2．证明 任何有限数集都没有聚点. 分析：由聚点定义2即可证明. 证明：由定义2知，聚点的任何邻域内都含有数集的无穷多个点，而对于有限数集，不可能满足此定义，因此，任何有限数集都没有聚点。 3．设{}),(n n b a 是一个严格开区间套，即满足 ,1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞ →n n n a b .证明：存在唯一的一点 ξ，使),2,1( =< 第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：12学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（3学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ> 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间 包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 2. Cantor 区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy 列 : ⑴ . ⑵ . 第七章实数的完备性 § 1 关于实数集完备性的基本定理 一区间套定理与柯西收敛准则 定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ）对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ）. 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增,递减. 例如和都是区间套. 但、和都不是. 区间套定理 定理7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点, 使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二聚点定理与有限覆盖定理 定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的 一个聚点. 数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间. 定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 聚点原理 :Weierstrass 聚点原理. 定理7.3 每一个有界无穷点集必有聚点. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理. 四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴. ⑵. 解⑴ ; 对，为使，易见只要. 于是取. ⑵ . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 又 . 当为奇数时, . 综上 , 对任何自然数, 有 . …… Cauchy 列的否定: 例2 . 验证数列不是Cauchy列. 证对, 取, 有 . 因此, 取,…… 三 Cauchy收敛原理: 定理数列收敛是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原 则给出证明 ) 第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 六个基本定理： 1实数戴德德公理 确界原理 2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理 5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理 定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界． 定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限． 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a <<-ε． 另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有 εε+<<-a a a n ， 即a a n n =∞ →lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界． （区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,， ,2,1=n ，即 ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（??）有 ξ==∞ →∞ →n n n n a b lim lim ， （4） 且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。 最后证明满足（2）的ξ是唯一的。设数ξ'也满足 ,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 关于实数连续性的基本定理 这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相 互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。 (一)实数基本定理的出现 关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析上是完备的，直观来看 就是没有“洞”的。有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞”的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究，讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事。 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。（论证实数系的完备性和局部紧致性） 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的 区间里,即 ∞ =∈1 ],[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： εε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 上确界的数学定义：有界集合S ，如果β满足以下条件 （1）对一切x ∈S ，有x≤β，即β是S 的上界； （2）对任意a ＜β，存在x ∈S ，使得x ＞a ，即β又是S 的最小上界， 则称β为集合S 的上确界，记作β=supS （同理可知下确界的定义） 关于实数连续性的基本定理 关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛ ,[n a ] n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含 在所有的区间里,即 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： ε ε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 （二）实数基本定理的等价证明 一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理 证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ?≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0 n ，使 a < 0n x ≤ b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理， A ，a R r ∈?∈?使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。 数学分析之实数的完备性 《数学分析》教案 第七章实数的完备性 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点:本章的重点是实数完备性的基本定理的证明;难点是基本定理的应用。 教学时数:14学时 ? 1 关于实数集完备性的基本定理(4学时) 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点:实数完备性的基本定理的证明。 一(确界存在定理:回顾确界概念( Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 . 二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . - 1 - 《数学分析》教案 三. Cantor闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 ?> 对, 有 , 即 , 亦即后 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; ?> . 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 2. Cantor区间套定理: Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四( Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : - 2 - 《数学分析》教案 实数的连续性公理证明确界存在定理 定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。 定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。 定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。 定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。 定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。 定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。 定理七Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是： 任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。 定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。下面给出其等价性的证明： 定理一定理二： 设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即 B=，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不 空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知 A、B不漏。又， 则，使，即 A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理， 存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上， 对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时， 有。注意到，便有。故当n>N时有 ，于是。这就证明了。若单调下降有下界， 则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则 。定理二证完。 定理二定理三： 只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X 非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对， 与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成 立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X的上界。则使得。 用的中点二等分，如果是X的上界，则取 ；如果不是X的上界，则取。继续用 二等分，如果是X的上界，则取；如果 不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列 。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且 单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升 有上界知有存在，使得。下证。①事实上，对 对实数基本定理的认识 数学与应用数学 白海蛟 最初,在引入实数时,传统的方法一个是戴德金（Dedekind ）用分划定义实数,另一个是康托（Cantor ）用有理数的基本序列之等价类来定义. 分划 定义:若把一个有序的数系S 分成A,B 两类,满足 Ⅰ.A,B 均非空;Ⅱ.S 中的任意数或在A 中,或在B 中;Ⅲ.A 中任一数均小于B 中任一数; 则A,B 为数系S 的一个分划,记为A ｜B. ① 戴德金实数连续性定理 实数系R 按戴氏连续性准则是连续的,即对R 的任一分划A ｜ B,都存在唯一实数r ,它大于或等于下类A 的每一个实数,小于或等于上类B 的每一个实数. 基本序列 定义 数系S 中,如果有数列{}n x 满足下列性质:0ε?>,N ?,使得只要 ,n N m N >>,有 n m x x ε-<,则称{}n x 为S 的基本序列,或柯西列. 在数系S 中,两个基本序列是等价的,如果lim()0n n n x x →∞ '-=,将相互等价的基本序列作为一类,称为等价类.显然,每一个有理数,对应了一个等价类,可以说这个等价类唯一的刻画了这一有理数.类似地,可以认为每一个有理数的基本序列的等价类对应了一个实数. 当对应的不再是有理数时,它就对应了一个新数,即为无理数.实质就是让每一个有理数的基本序列有极限,当极限值不为有理数,就定义了一个无理数. 显然,戴德金分划法较之康托的方法,更为直观. 关于实数系R ,我们得到了7 个等价命题: ① 戴德金实数连续性定理; ② （确性定理）非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界; ③ （单调收敛定理）任何单调有界的数集必有极限; ④ （区间套定理）设{[,]}n n a b 是一个区间套,则必存在唯一的实数r ,使得包含r 在所有的 区间里,即1 ,n n n r a b ∞ =??∈ ?? ; ⑤ （有限覆盖定理）实数闭区间[a,b ]的任一个覆盖E,必存在有限的子覆盖; ⑥ （紧致性定理）有界数列必有收敛子数列; ⑦ （柯西收敛原理）实数系R 中,数列{}n x 有极限存在的充分必要条件是:0ε?>,N ?,当 ,n N m N >>时,有 n m x x ε-<. 其中,①②③刻画了实数系的连续性,④⑤⑥刻画了实数闭区间的紧性,⑦刻画了实数系的完备性.以上七个命题在实数系R 是等价的. 需要说明的是,实数系R 的得到,是以有理数系Q 为材料,构造出的一个新数的有序域.它满足阿基米德性,同时使确性定理成立,并以有理数系作为其一个子集,实数系R 仍构成阿基米德有序域.但上述7个命题,在复数域C ,有理数域Q 并不是全部成立的. 以下证明7个命题的等价性. ⑦→③: 实数系基本定理的等价性证明 摘 要 说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的.也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个.本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词 上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性 在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理.实数系这六个基本定理是相互等价的，即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理. 在《数学分析》教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余 的五个定理.我们现以“闭区间套定理”作为公理，然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的. 六个定理的顺序： ① 确界原理 ② 单调有界定理 ③ 闭区间套定理 ④ 致密性定理 ⑤ 柯西收敛原理 ⑥ 有限覆盖定理 按以下顺序给予证明： ③?⑥?④?⑤?①?②?③ 1 闭区间套定理?有限覆盖定理[]1 闭区间套定理 若闭区间列][{}n n b a ,满足： ①[]n n b a ,?[]11,++n n b a ，n =1,2,3,…； ②∞ →n lim ()n n a b -=0 ； 则存在唯一ξ，使得∞ →n lim n a =∞ →n lim n b =ξ，ξ是所有区间的唯一公共点. 有限覆盖定理 若开区间所成的区间集E 覆盖一个闭区间[]b a ,，则总可从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[]b a ,. 证明 用反证法 设[]b a ,不能被E 中有限个区间所覆盖.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个部分区间不能被E 中有限个区间所覆盖，把这一区间记为 []11,b a .再等分[]11,b a ，记不能被E 中有限个区间所覆盖的那个部分区间为 []22,b a .照这样分割下去，得到一个区间列][{}n n b a ,，这区间列显然适合下面两 个条件： （i ） 每一[]n n b a ,皆不能被E 中有限个区间所覆盖； （ii ） []b a ,?[]11,b a ?[]22,b a ?…； （iii ）n b -n a = n a b 2-→0； 有条件（ii ）及（iii ），于是由闭区间套定理，必有唯一点ξ∈[]b a ,使n a →ξ， n b →ξ.按覆盖概念及定理所设条件，在E 中至少存在一个开区间，设为)(βα,，使 ξ∈)(βα, 即 α＜ξ＜β 有数列极限的性质知道，?正整数N ，当n ＞N 时，有 α＜n a ＜n b ＜β 即当n ＞N 时，有 []n n b a ,?)(βα, 也就是用E 中一个区间)(βα,就可覆盖所有形如[]n n b a ,﹙n ＞N ﹚的区间，与（i ）矛盾. 定理证毕 2 有限覆盖定理?致密性定理[]2 致密性定理 有界数列必有收敛的子列. 证明 设{}n x 为有界数列，a 是它的一个下界，b 是它的一个上界，于是下列两种情形之一成立： （i ） α∈[]b a ,，使在α的任何邻域中都有{}n x 的无穷多项； §1.3 实数基本定理与函数的连续性 一、主要知识点和方法 1、实数基本定理 闭区间套定理：设{[,]}n n a b 是一列闭区间，满足11[,][,]n n n n a b a b ++?及 0n n b a -→，则存在唯一的[,]n n a b ξ∈(1,2,)n = 。 确界定理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。 聚点定理：有界无限点集必有聚点。 致密性定理：有界点列必有收敛子列。 有限覆盖定理：设H 是由一族开区间所成的集合，若H 覆盖了闭区间[a ,b ]，则存在H 的有限子集H 0，使得H 0也能够覆盖[a ,b ]。 单调有界定理：单调递增（减）有上（下）界的数列一定收敛。 柯西收敛准则：{}0,,n n m x N n m N x x εε??>?>>-<收敛当时。（当{}n x 满足柯西准则条件时，也称{}n x 为柯西列） 以上七个定理称为实数基本定理，它们是相互等价的。 2、连续函数概念 （1）连续与间断 设)(x f 在点a 的一个邻域内有定义，若lim ()()x a f x f a →=，则称)(x f 在 点a 连续。 “εδ-”定义：若0,0εδ?>?>，当x a δ-<时()()f x f a ε-<。则称)(x f 在点a 连续。 若(0)lim ()()x a f a f x f a - →-==，则称)(x f 在点a 左连续。 若(0)lim ()()x a f a f x f a + →+==，则称)(x f 在点a 右连续。 )(x f 在点a 连续意味着下面三个条件同时成立： ⅰ）(0),(0)f a f a +-都存在； 关于实数的完备性 §1. 关于实数的基本定理 1. 设()f x 在D 上定义，求证： (1) sup{()}inf ();x D x D f x f x ∈∈-=- (2) inf{()}sup ().x D x D f x f x ∈∈-=- 2. 试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于+∞的数列必有下确界，趋于-∞的数列必有上确界． 3. 试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列； (2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列； (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 4. 求数列的上、下确界： (1) 11;n x n =- (2) [2(2)];n n x n =+- (3) 2211 ,1(1,2,3,);k k x k x k k += =+ = (4) 1[1(1)];n n n x n +=+- (5) ;n x = (6) 12cos .13 n n n x n π-=+ 5. 设sup E β=，且E β?，试证自E 中可选取数列{}n x 且n x 互不相同，使lim n x x β→∞ =；又若E β∈，则情形如何? 6. 利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 7. 试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件 1122[,][,]a b a b ??去掉或将条件0n n b a -→去掉，结果怎样?试举例说明． 8. 若{}n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,k k n m x x a →∞→ (a 为有限数)． 9. 设()f x 在[,]a b 无界，求证：存在[,]c a b ∈，对任给0δ>，函数()f x 在 (,)[,]c c a b δδ-+?上无界． 10. 设()f x 在[,]a b 上只有第一类间断点，定义 ()|(0)(0)|.x f x f x ω=+-- 求证：任意0,()x εωε> ≥的点x 只有有限多个． 11. 设()f x 是(,)a b 上的凸函数，且有上界，求证：lim (),lim ()x a x b f x f x +-→→ 存在． 12. 利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 13. 用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 14. 设()f x 在[0,)+∞上连续且有界，对任意(,)a ∈-∞+∞，()f x a =在[0,)+∞上只 有有限个根或无根，求证：lim ()x f x →+∞ 存在． 15. 设()f x 在[,]a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：()f x 在[,]a b 上 有界． 16. 求证：数列{}n a 有界的充要条件是，{}n a 的任何子数列{}k n a 都有收敛的子数列． §2. 闭区间上连续函数性质的证明 1. 设()f x 在[,]a b 上连续，可微，又设 (1) min ()max ();a x b a x b f x p f x ≤≤≤≤<< (2) 如果()f x p =，则有'()0f x ≠， 求证：()f x p =的根只有有限多个． 2. 设()f x 是[,]a b 上的连续函数，其最大值和最小值分别为M 和()m m M <，求证： 必存在区间[,]αβ，满足条件： (1)(),()f M f m αβ= =或(),()f m f M αβ= =； 2011届本科毕业论文 题目：实数连续性基本定理的等价性 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学07-4班 学生姓名：努尔阿米乃姆.阿提汗 指导教师：塔实甫拉提老师 答辩日期：2011年5月10日 新疆师范大学教务处 新疆师范大学2011届本科毕业论文 目录 1 引言 (1) 2 实数连续性的基本概念 (1) 2.1 有关实数连续性的定义 (1) 2.2 有关实数连续性的基本定理 (2) 3 六大基本定理等价性的证明 (3) 3.1 单调有界定理的证明 (3) 3.2 区间套定理的证明 (4) 3.3有限覆盖定理的证明 (4) 3.4 聚点定理的证明 (5) 3.5 柯西收敛准则的证明 (6) 3.6 确界原理的证明 (7) 4 实数连续性基本定理的应用 (8) 5 总结 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11) 实数连续性基本定理的等价性 摘要实数集的连续性(又称完备性)是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础.可以从不同的角度来描述和刻画实数集的连续性，因此有多个实数集的连续性基本定理.本文给出了实数集连续性的六个基本定理且证明了这六个基本定理的等价性，是对实数集连续性基本定理等价性的系统的论述，从而我们获得了对实数集连续性的基本特征的进一步的认识和理解.本文还应用这些基本定理证明了关于闭区间上连续函数的一些性质.本文先承认确界原理为真，即作为公理，然后由它出发，依次证明单调有界定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，柯西收敛准则，最后再利用柯西收敛准则证明确界原理. 关键词实数连续性基本定理，等价性，循环证明 1 引言 实数集是连续的,这是实数集有别于有理数集的重要特征.数学分析是用极限的方法来研究微积分, 而极限论作为微积分的理论基础又恰恰是建立在实数连续性定理之上的.由有理数系扩充到实数系有不同的方法, 从而连续定理叙述的形式就不同, 但它们之间却是等价的.而一个数列是否存在极限，不仅与数列本身有关，而且也与数列所在的数集有关.因为实数集关于极限运算是封闭的，这个性质就是实数集的连续性.实数的连续性主要是由确界原理，单调有界定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理以及柯西收敛准则所描述的.虽然它们的数学形式不同，但是它们都描述了实数的连续性. 2 实数连续性的基本概念 2.1 有关实数连续性的定义 本文首先给予有关实数连续性的基本定义作以介绍： 定义2.1.1 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质： （i ）[][]11,,++?n n n n b a b a , ,2,1=n ; （ii ）()n n n a b -∞ →lim =0, 则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套. 类此地，在空间上区间套定义是如下叙述的： n R 中所有和定点0P 之距离小于定数0>δ的点的全体，即集合 {}δ<),(|0P P d P 称为点0P 的δ领域，并记为()δ,0P .在321,,R R R 中的()δ,0P 就是以0P 为中心 δ为半径的开区间，开圆和开球. 定义2.1.2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S).若ξ的任何领域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点. 聚点定义的另两个等价定义如下： 定义 2.1.2'对于点集S ，若点ξ的任何ε领域内都含有S 中异于ξ的点，即 ()φεξ≠?S ; ,则称ξ为S 的一个聚点. 定义2.1.2'' 若存在各项互异的收敛数列｛n x ｝S ?,则其极限∞ →n lim n x =ξ成为S 教案 实数系的连续性——实数系的基本定理 复 旦 大 学 陈纪修 於崇华 金路 1． 教学内容 利用实数的无限小数表示，证明非空有界的实数集合必有上确界与下确界，即最小上界与最大下界。 2． 指导思想 （1） Newton , Leibniz 建立微积分以来，它在解决实际问题上的正确性与在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代的数学家，不少人对微积分理论产生过怀疑，直到Cauchy , Weierstrass 建立了极限论的严格基础，人类科学史上最辉煌的成就之一——微积分理论的大厦才得以牢固建立。作为极限论的出发点，实数系的基本定理——实数系的连续性，在数学分析课程中占有重要的地位。 （2） 实数系的基本定理有多种表达方式：Dedkind 切割定理，确界存在定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass 定理，Cauchy 收敛原理和Cantor 定理。这些定理是等价的，其中每一个都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。 （3） 传统的教材常采用Dedkind 切割定理作为实数系连续性定理，并由此出发导出极限论的全部理论。但由于Dedkind 切割定理过分抽象，对大学一年级学生来说难以接受，而将实数连续性作为一个公理加以承认又使人感到极限理论不够完备。我们则采用对学生来说非常熟悉的实数的无限小数表示方法，直观而简明地证明了确界存在定理，既使得学生容易掌握，又使得本书的极限理论得以完备化。 （4） 通过本节的教学， 要求使学生了解人类对数的认识的发展历史；对实数系的连续性不仅能从几何上理解，还能从分析上掌握如何加以证明；并认识正是由于实数系的连续性，才使它成为整个数学分析课程的“活动舞台”。 3． 教学安排 （1） 讲述人类对数的认识的发展历史： 自然数?整数?有理数?实数。 讲解促使这一发展历史的原因和例子。指出整数系具有离散性, 有理数系具有稠密性, 对于实数系，让学生先从几何上理解它的连续性：实数布满整个数轴而无“空隙”。 （2） 先给出数集的最大数与最小数的定义： 设S 是一个数集，如果， 使得， 有，则称是数集?∈ξS ?∈x S x ≤ξξS 的最大数，记为ξ=max S ；如果，使得,有?∈ηS ?∈x S x ≥η，则称是数集ηS 的最小数，记为η=min S 。 当数集S 是非空有限集，即S 只含有有限个数时，max S 与min S 显然存在，关于实数完备性的基本定理
实数的完备性
第七章 实数的完备性
实数的基本定理
实数系基本定理
实数完备性基本定理相互证明
数学分析之实数的完备性
实数的连续性公理证明确界存在定理
对实数基本定理的认识
实数系基本定理的等价性证明
实数基本定理与函数的连续性
第三章关于实数的基本定理
实数连续性基本定理的等价性
实数系的连续性——实数系的基本定理