上海最新2013-2014年高三数学二模及重点高中函数汇编 (1)
2014年高考专题强化训练-函数部分
(1-8题改编于2013年虹口区二模试题卷)
1-1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，则k 的取值范围是 ． 2-6、如果14log -=b a ，则b a +的最小值为 ． 3-9、从集合{}3,2,
1的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字
1的概率是 ．
4-10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
5-13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在
)2013,1(内所有“希望数”的个数为 ．
6-14、已知函数a
ax x a x a x x f 2222)1()(2
2-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．
7-15、已知不等式组??
?
??≥≥-≤+015y y x y x ，则目标函数y x f 2+=的最大值是（ ）
.A 1 .B 5 .C 7 .D 8
8-23、（本题满分18分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ?的任意两个数
1x 、2x 都有)]()([2
1
)2(
2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”． （1）判断函数2
)(x x f -=在R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数x
a
x x f +=2
)(在区间]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围； （3）对于区间],
[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上的任取1x ，2x ，3x ，……，n x 2，
证明：)]()()([2
1
)2(
221221n n
x f x f x f x x x f n n
+++≥
+++ ．
一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、)21,
(∞-； 6、1； 9、7
4
； 10、]3,1[-； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ；
二、选择题（每小题5分，满分20分） 15、C ；
23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是任意两个实数，则有
)]()([2
1)(21)2(41)2()2(
21222122212122121x f x f x x x x x x x x x x f +≥--≥---=+-=+． ∴函数2)(x x f -=在R 是“凸函数”．………………4分 （2）若对于]2,
1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([2
1
)2(
2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212
)2(
2
2212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(21212
21221x x x x x x a x x +--≤-
……………………7分 若21x x =，a 可以取任意值． 若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-
≤， 1)(2
1
82121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．………………10分 （3）当1=k 时由已知得)]()([2
1
)2(
2121x f x f x x f +≥+成立． 假设当m k =)(*
∈N m 时，不等式成立即)]()()([2
1
)2(2211
221m k
x f x f x f x x x f m m +++≥
++++ 成立． 那么，由d x x x c m
m
≤+++≤
2
221 ，d x x x c m
m
m m m ≤+++≤
+++2
222212
得]}2
2[21{)2(
22221222112211
m
m m m
m m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++ )]2
()2([21
222212221m
m m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥
)]}()()([21
)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2
1
12211++++=+m x f x f x f m ． 即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．………………18分 (9-18题改编于2013年浦东新区二模试题卷)
9-2．已知集合A ＝{}2,1,2-，B
＝
}
1,a ，且B A ?，则实数a 的值是 .
10-4．函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g .
11-5．把三阶行列式1
31
04
3
02--x x
x
中第1行第3列元素的代数余子式记为)(x f ，则关于
x 的不等式0)( 12-10．已知实数,x y 满足约束条件2222221x y x y x y ?-≤+≤? -≤-≤??+≥? ，则不等式所围成的区域面积 为 . 13-11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 . 14-13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点 之间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离. 按这个定义，函数x x f =)(和34)(2-+-= x x x g 之间的距离是 . 15-13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点 之间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义，函数x x f = )(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是 . 16-17．已知以4为周期的函数(](]?? ? ??∈--∈-=3,1,2cos 1,1|),|1()(x x x x m x f π其中0>m ，若方程3 )(x x f = 恰有5个实数解，则m 的取值范围为 （ ） )(A 4 (,)3 +∞ )(B 4 [,)3 +∞ )(C 48,33?? ??? )(D 48[,]33 ． 17-18．从集合{ }2013,,4,3,2,1 中任取3个元素组成一个集合A ，记A 中所有元素之和被3 除余数为i 的概率为)20(≤≤i P i ，则210,,P P P 的大小关系为 （ ） 210)(P P P A == 210)(P P P B => 210)(P P P C =< 210)(P P P D >> 18-21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 设函数()()||f x x a x b =-+ （1）当2,3a b ==，画出函数()f x 的图像，并求出函数()y f x =的零点； （2）设2b =-，且对任意(,1]x ∈-∞，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围. 答案： 2．已知集合A ＝{}2,1,2-，B ＝ } 1,a ，且B A ?，则实数a 的值是 1 . 4．函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g 4 . 5．把三阶行列式1 31 04 3 02--x x x 中第1行第3列元素的代数余子式记为)(x f ，则关于x 的 不等式0)( 10．已知实数,x y 满足约束条件2222221x y x y x y ?-≤+≤? -≤-≤??+≥? ，则不等式所围成的区域面积 为 π-8 . 11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 4 . 13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之间 的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这 个定义，函数x x f =)(和34)(2-+-= x x x g 1- . 13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之间 的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这 个定义，函数x x f = )(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是 12 7 - . 17．已知以4为周期的函数(](]?? ? ??∈--∈-=3,1,2cos 1,1|),|1()(x x x x m x f π其中0>m ，若方程3 )(x x f = 恰有5个实数解，则m 的取值范围为 （ C ） )(A 4 (,)3+∞ )(B 4 [,)3 +∞ )(C 48,33?? ??? )(D 48[,]33 ． 18．从集合{}2013 ,,4,3,2,1 中任取3个元素组成一个集合A ，记A 中所有元素之和被3除余数为i 的概率为)20(≤≤i P i ，则210,,P P P 的大小关系为 （ B ） 210)(P P P A == 210)(P P P B => 210)(P P P C =< 210)(P P P D >> 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 设函数()()||f x x a x b =-+ （1）当2,3a b ==，画出函数()f x 的图像，并求出函数()y f x =的零点； （2）设2b =-，且对任意(,1]x ∈-∞，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）2 2 23 0()23 x x x f x x x x ?-+≥?=?-+ 画图正确.…………………………………………………………………………4分 当0x ≥时，由()0f x =得2 230x x -+=,此时无实根; 当0x <时，由()0f x =得2230x x --=,得1,3(x x =-=舍）. 所以函数的零点为1x =-.………………………………………………………6分 （2）当0x =时，a 取任意实数，不等式恒成立；…………………………………8分 当01x <≤时，2a x x >- ，令2 ()g x x x =-，则()g x 在01x <≤上单调递增， ∴max ()(1)1a g x g >==-；……………………………………………………10分 当0x <时，2a x x >+ ，令2()h x x x =+， 则()h x 在 上单调递减，(,-∞单调递增； ∴max ()(a h x h >==-……………………………………………12分