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量子统计系综的基本原理

一．量子统计系综的基本原理

1．近点统计系综理论

统计力学研究的对象是大量粒子组成的系统。它的目的是一物质微观结构的动力学行为作为

依据，应用统计的方法，解释物体在宏观上、整体上表现出来的物理性质。

物质微观粒子的动力学状态遵从量子力学的规律，在此基础上建立的统计力学称为量子统计

力学。近点统计力学是量子统计力学的经典极限。引进系综和系综平均的概念是系综理论主

要内容。我们知道统计力学区别于力学的主要点在于：它不像力学那样，追求系统在一定初

始条件下任何时刻所处的确切的动力学状态；而认为系统的动力学状态准从统计规律。

大量处于相同宏观条件下,性质完全相同而各处于某一微观运动状态、并各自独立的系统的

集合称为统计系综。系综理论中重要的物理量是密度函数。密度函数对于整个像空间的积分

应是一个与时间无关的常数，等于相点的总数。因此引进几率密度函数()t p q ,,ρ是很方便

的。几率密度函数()t p q ,,ρ随时间的变化满足方程

{}0,=+??H t ρρ

这个方程称为刘伟方程。它表明，只要给出某一时刻的几率密度函数就可以确定以后任意时

刻的几率密度。容易看出，()t p q ,,ρ的函数形式与系统的宏观状态有关。如果系统处于平

衡态，则几率密度函数必不显含时间，只能()p q ,是的函数。

在平衡态的系综理论中，经常用到微正则系综、正则系综、巨正则系综和等温等压系

综。组成微正则系综的系统的特征是系统的能量、体积和总粒子数恒定，满足

()E H p q <=,0,ρ和E E H ?+>

与温度恒定的大热源相接触，具有确定粒子数和体积的系统组成的统计系综称为正则系综。

正则系综的宏观状态的特征是系统的体积、粒子数和温度恒定；与温度恒定的大热源和化学

势恒定的大粒子源接触，体积一定的系统组成的统计系统系综称为巨正则系统，巨正则系统

的宏观状态的特征是系统的体积、化学势和温度恒定巨正则分配函数由下式决定

()()[]γβμβμβd N p q H V N ??+-∑=Ξ≥,exp ,,0

与温度恒定的热源相接触，并通过无摩擦的活塞与恒压强源相接触，粒子数恒定的系统所组

成的统计系综称为等温等压系综。这种系综的宏观状态的特征是系统的粒子数、温度和压强

恒定。等温等压系综的配分函数为

()()[]dV d pV p q H N p γβββ???--=,exp ,,

2．量子统计系综理论

量子力学中，系统所处的动力学状态（或量子态）由波函数确定。在坐标表象中，一个具有

s 个经典自由度的系统的动力学状态由波函数加以确定。在经典力学中，用相空间里的相点

描述和确定系统所处的动力学状态，在量子力学里，则用态矢量ψ描述和确定系统的状态。

量子力学和经典力学在描述和确定系统的动力学状态上的不同所引起的差异，在讨论系统动

力学函数（如能量、动量、角动量和粒子坐标等）的数值时将明显地表现出来。

量子统计力学中的纯系综就是大量处于相同的宏观条件下、性质完全相同都处于动力学状态

ψ、并各自独立的系统的集合。应用纯系综的概念，很多次独立地测量某一力学变量，可

以看作是对组成系综的个别系统作这个力学量的测量。但是，对于由大量粒子组成的系统，为了确切知道太矢量ψ，需要求解多粒子系统的薛定谔方程。这里我们遇到经典力学中同

样的困难，我们对初始态知道得非常不确定，从而也就无法确切地知道任意时刻所处于的某

种特定状态。如何解决这个问题呢？我们认为量子统计系统遵从统计规律性，即在一定宏观

条件下，某一时刻系统以一定的几率处于某一量子态；系统的宏观量是相应的微观量对系统

可能处的各种量子态的统计平均值。这样，对于量子系统，我们同样可以引进统计系综和系

综平均值的概念。在量子统计力学中，统计系综定义为：大量处于相同的宏观条件下、性质

完全相同而各处于某一量子态、并各自独立的系统的集合。常常把这样的量子统计系统称为

混合系综。

应该指出，密度算符ρ给出了有关系统状态的最详尽的信息。由矩阵元

nm ρ所表示的态称为混合态，它是纯态以几率i ρ为权重的统计平均，而并非纯态的线性叠加。因此，量子统计

力学的基本课题是确定系综的密度矩阵

nm ρ。现在我们讨论混合系综的密度算符ρ具有的主要性质：

满足归一条件。

密度矩阵是厄密矩阵。 *

=m n n m ρρ?

由厄密算符的性质可知，对于密度算符存在一组正较完备系使密度矩阵

nm ρ对角化，而且密度算符的本征值是实数。

（3）密度矩阵定义的平均值对于表象变换不变。

（4）算符n n ψψ的平均值给出系统处于状态n ψ的几率。

前面我们已经看到，对于纯态)

(t ψ，系统处于状态n n ≡ψ的几率由)()()

()(22t n n t t n t C n ψψψ== 给出。现在求算符n n 的平均值。

??????=∑i i i i n n t t Tr n n Tr )()(?ψψρρ

i i m i i n t t m δψψρ)()(∑∑=

n n t n i

i i ρψρ?)(2==∑ 上式正是混合系综中系统处于状态

n n ≡ψ的几率，因为按照定义，i ρ是系统处于

)(t i ψ的几率。

（5）我们定义系综的熵为 ),??(?ηρη

Tr S -== 式中η?是熵算符，定义为

ρη

?ln ?= （6）密度矩阵的矩阵元是有界的，因为

2,2?∑=m n mn Tr ρρ

另一方面，

1?22,2=??? ??≤=∑∑n nn m n mn Tr ρρρ

故可得

1?2

,2≤=∑m n mn Tr ρρ

3.非理想气体理论—集团展开法及处理量子统计问题的一般过程

实际的系统中各粒子之间总是有相互作用的，因此处理这种各粒子之间具有相互作用的系统的问题是统计物理学中的重要方面。当气体密度不太高因而粒子之间的作用力在粒子的运动中所起的影响不太大时，可采用一种级数展开法。对实际气体的这方面工作由Ursell 提出,Mayer 等人推广完成了经典非理想气体理论，所用方法叫集团展开法，以及李政道，杨振宁等人将这一方法推广与量子非理想气体，在更高密度下，则以径向分布函数方法为有效。在量子统计中，处理问题的一般过程：

（1）建立模型，写出系统的哈密顿量，用正则方程或薛定谔方程；

（2）求解方程，知道能级结构，不能求解返回修改模型；

（3）配分函数；

（4）由求解的动力学函数或力学量给出宏观力学量（也就是应用我们上面给出的理论）；

（5）和实验比较并进行修正。

量子统计理论小结

（1）近独立子系

在讨论由N 个同样粒子所组成的系统，设粒子间的相互作用可以略去，即认为这些例子是整个力学系统的近独立子系。对于由近独立的粒子组成的体系，若粒子的自旋为半整数，则服从费米-狄拉克分布，体系波函数对于粒子的交换具有反对称性；若粒子的自旋为证书，则服从玻色-爱因斯坦分布，体系的波函数对于粒子的交换具有对称性。若粒子是定域粒子，可区分，则服从从玻尔兹曼分布。它们的分布函数分别是

?????-=+=

-011;1δδκμεT e

（2）当

mk n h T T c π232

2=>>时，费米分布和玻色分布都过渡到玻尔兹曼分布。当K T 0=时，理想费米体系在动量空间中形成费米球分布。对三位费米体系，费米能量323220832??

? ????? ??==πμεV N m h F 对三维理想玻色体系，当0T T ≤(0T 为凝结温度)时，出现在动量空间中的玻色凝结现象。零动量态的荔枝树是个大量。近年来，利用激光制冷、原子囚禁、蒸发冷却等技术，已经在实验上成功地实现玻色-爱因斯坦凝结。

费米体系和玻色体系的热力势是

()[]

∑-±=Ωi

i e kT εμβ 1ln ~ 一旦知道Ω~，一切热力学量均可由它求出。

若粒子的色散关系是n

ap =ε，则可证明E n 3~-=Ω，因此算Ω~可通过求体系的内能i i i n E ε∑=得出。

热力学第三定律可表述为：不可能用有限的手续把物体冷却到绝对零度；也可表述为()0lim 0=?→T T S ；也可表述为在绝对零度时任何物体的熵为零。第三定律本质上是个量子统计规律。

获得低温的方法由焦耳-汤姆孙效应、绝热去磁等。近年来由通过多普冷却、偏振梯度激光冷却等方法获得了更低的温度。

在体系的能级数目有限，能量有上界，体系能够和外界隔绝，体系内部相互作用的驰豫时间很短，能够到平衡等条件下，体系可以出现负温度，负温度是比任何正温度以致无穷大的正温度还高的温度。对于负温度体系，出现粒子数反转现象。

对于二维体系，粒子可以服从不同于玻色统计和费米统计的分布统计。任意子服从分数不相容统计。即使对理想任意子体系，也会出现由于分数统计带来的不同于理想玻色体系或理想费米体系的相互作用项。

三．量子流体

当系统的温度足够低，密度足够高，以致粒子的平均热波长与粒子之间的平均距离可比拟时，量子效应在决定系统的宏观热力学性质上其主导作用，这种“流体”称为量子流体。在自然界中，He 可以以液体状态一直保持到近于绝对零度。量子流体更广的含义是：凡是量子效应其主导作用的相互作用多粒子流体系统，统称为量子流体。并且，量子流体是统计物理和

凝聚态物理的一个重要研究领域。

1.相互作用多粒子系统低激发态的一般特征.元激发

近独立子系所组成的体系中，体系的能量是个别粒子能量之和。但对于粒子之间有相互作用的宏观物体，体系的能量不再是单粒子能量之和。当相互作用较强时，粒子间彼此牵连，甚至个别粒子的态和能量已没有意义。原则上说，平衡性质仍可用计算巨配分函数来确定。互作用系在足够低温度下的热力学性质有低激发态能谱决定。而互作用系的低激发态可以看作是一些近独立的元激发或准粒子的集合。必须注意的是，元激发是组成整个体系的粒子的相互作用的产物，它属于整个系统，而不属于个别粒子。

所有元激发能谱可以分为两大类：玻色型能谱，费米型能谱。玻色型能谱相应的元激发具有零或整数自旋，服从玻色统计，费米型能谱相应的元激发具有半整数自旋。其中应该注意的是，元激发遵从的统计不一定与组成的系统的粒子本身所遵从的统计一致。

元激发图像研究互作用系的低温性质时，需确定的三个要素：

元激发能谱；

元激发服从的统计；

元激发散射机制。

2.简并性理想玻色气体

朗道理论中建立的准粒子模型很好的解释HeⅡ的性质，但是其理论的核心—HeⅡ的元激发能谱——是基于实验分析一假设形式提出来的，要建立一个完整的超流理论，必须从微观上根据第一原理来确定HeⅡ的能谱，亦即确定强相互作用的玻色液体的能谱，波戈留波夫考虑了一个稀薄的，具有弱排斥作用的近理想玻色气体模型，发展了波戈留波夫变换方法，部分的解决了这方面的问题。

所谓近理想气体是指一种稀薄的，即密度低的，有相互作用的粒子系统，在这种模型中假设粒子间的相互作用势的范围是有限的，并且这种相互作用不产生双粒子束缚态。由于假设温度低，可以把粒子间相互作用当作是对理想气体所加微扰来处理。

3.朗道正常的费米液体理论

狭义而言，只有低温下的液3He才是费米量子液体，但通常把有相互作用的简并性费米体系称为量子费米液体。

朗道正常的费米液体理论是一种唯象理论，它的核心可归纳为三条基本假设。

朗道理论第一个基本假设：费米液体的低激发态可以按理想费米气体同样的原则构成，二者之间存在着一一对应的关系。

朗道理论第二个基本假设：准粒子之间的相互作用可以用某种平均场来描述，每个准粒子都受到周围其他准粒子所产生的平均场作用，个别准粒子的能量与周围其它准粒子的状态有关，亦即与分布有关。

朗道理论第三个基本假设：对于时空慢变化的外界扰动，准粒子分布函数满足玻尔兹曼方程。

4.超流费米液体

朗道的费米液体理论只适用于正常相，这时系统元激发能谱没有能隙，不可能导致超流，从微观上看，必须粒子之间的相互作用是排斥性的。实际上，费米液体还有另一种类型的元激发能谱，相应与粒子之间的相互作用是吸引性的情形。这时由于这种吸引作用，使费米面附近所有动量和自旋都有一对相反的粒子形成一种特殊形式的束缚态—cooper对，导致理想气体的基态不稳定，并重新改组基态结构，结果元激发能谱出现能隙，这就是费米液体的超流相。

四、相变理论和临界现象

1.利用热力学第二定律，可以给出平衡判据。平衡判据有熵判据，自由能的判据，吉布斯函数判据，焓判据，内能判据。它们使用的条件不同。不同的判据的条件是特性函数和独立变量关系的反映。

2.利用平很判据可以给出热血平衡条件—体系各处温度相同；力学平衡条件—在无外力场时体系各处压强相同；相平衡条件—各相化学势相等；化学平衡条件—化学反应前后梵音服务的总化学势等于生成物的总化学势。

3.单元系一级镶边满足克劳修斯-克拉玻龙方程：

()12v v T L dT dp -=，L 是相变潜热；2v 、1v 分别表示两相的摩尔体积。耳机镶边满足厄任费斯托方程，它的理论基础是朗道的有序相变理论。

4.范德瓦尔斯方程是说明气液相变的一个典型例子。在气液共存区，稳定平衡的相变曲线可由麦克斯韦等面积法给出。巨配分函数Ξ在z 平面正实轴上的零点决定了体系的相变性质。体系的状态方程和相变有密切联系。

5.在临界点处，体系的涨落很大，关联很强，关联长度∞→ξ。在临界点处，唯一有意义的特征长度就是关联长度ξ。一切热力学量在临界点处的奇异性均来自关联函数和关联长度的奇异性。

6.临界指数是说明体系各热力学量在临界点附近欣慰的重要参数。主要临界指数由α、β、γ、δ、η、ν等六个，但其中只有两个独立。由于临界点处的强关联，平均场近似不是一个好的近似。它给出的临界指数与实验值差别较大。

7.利用标度变换和标度理论，可以给出临界指数直接按满足的标度律：

22=++γβα （Rushbrooke 标度律） ()1-=δβγ （Widom 标度律）

()ηνγ-=2

（Fisher 标度律）

αν-=2d （Josephson 标度律）

8.若自由能在临界点领域的奇性部分可写成两参量t ~和h ~的齐次函数

()()

h t f h t f s b a s ~,~~,~λλλ=

则所有临界指数均可有a 、b 及空间维数d 表示 a b a b a a 12,1,12-=-=-=γβα

()b d ad b b 212,1,1-+==-=ηνδ

量子力学习题

量子力学复习题量子力学常用积分公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7 ) ( ) (8) (a<0) ( 正偶数) (9) =

( 正奇数) ( ) (10) ( ) (11)) ( ) (12) (13) (14) (15) (16) ( )

( ) 一、简答题 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为，写出粒子在立体角中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为，写出粒子在球壳中被测到的几率。 5. 一粒子的波函数为，写出粒子位于间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱中粒子的能级和波函数。 8. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 9. 何谓几率流密度？写出几率流密度

的表达式。 10. 写出在表象中的泡利矩阵。 11. 电子自旋假设的两个要点。 12. 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 13. 写出电子自旋的二本征态和本征值。 14. 给出如下对易关系： 15. 、分别为电子的自旋和轨道角动量，为电子的总角动量。证明：，[ ]=0，其中。 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为，准确叙述及分别表示什么样的物理意义。 17. 二电子体系中，总自旋，写出（

）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 19. 给出一维谐振子升、降算符的对易关系式；粒子数算符与的关系；哈密顿量用或表示的式子；（亦即）的归一化本征态。 20. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量有什么样的要求？ 22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：，写出展开式系数的表达式。 24. 一维运动中，哈密顿量

经典和量子统计物理学的初步认识(高工大作业,第三部分)

西安交通大学高等工程热力学报告学号：XXXXXXXXXX 姓名：XXXXX 专业：工程热物理班级：XXXXXX 能源与动力工程学院 2015/12/26

经典和量子统计物理学的初步认识经典统计物理学是建立在经典力学基础上的学科，而量子统计物理学是建立在量子力学基础上的学科，从经典统计到量子统计，它们之间存在着一定的区别和联系，并在一定的条件下可以相互转换。利用经典统计方法推证热力学中的能量均分定理，并结合热容量的定义求解某些系统内能及热容量时，发现其理论值与实际值存在差异，这是经典统计物理难以解决的问题，本文采用量子统计理论做出了合理的解释，从而使理论值和实际值吻合的很好。因此，可以看出经典统计的局限性是量子统计理论建立的基础，量子统计理论很好的补充了经典统计理论的不足。 1. 理想气体物态方程的经典统计推导在普通物理的热学中，从气体的实验定律（如：玻意耳—马略特定律、查理定律及盖吕萨克定律）出发推导理想气体物态方程，而在理论物理中热力学统计利用经典统计方法仍能给出相应的理论，它是经典统计物理应用的一个典型的实例。对自由粒子而言，其自由度r=3，其坐标表示为(x ，y ，z)，与之相对应的动量为(p x ，p y ，p z )，那么它的能量为： 2222x y z p 1==(p +p +p )2m 2m ε()1 将（1）式代入玻耳兹曼系统下的配分函数： 1222x y z l (p +p +p )2m l l z e e β βεωω--==∑∑()2 由于玻耳兹曼系统的特点是每个粒子可以分辨，可看成经典系统，则系统看成连续分布的，即配分函数中的求和变为积分，则有： 131...222(p +p +p )x y z 2m x y z z e dxdydzdp dp dp h β -=??()3 求解积分可得： 3 2122()z V h β =πm ()4 其中V dxdydz =???是气体的体积，根据玻耳兹曼系统广义力的统计表达式类比压强的统计表达式为: 1lnz N P V β?=?()5 将（4）式带入（5）式，求导可得理想气体的压强： NkT P V = ()6

附录A：量子力学中常用的数学工具

附录A ：量子力学中常用的数学工具 1. 常用数学符号 1.1 克雷内克符号克雷内克（Kronecker ）符号i j δ在物理中有广泛应用，其定义为 1,0,i j i j i j δ=?=? ≠? （A1-1）可以用来简洁地表示基矢量或本征函数之间的正交归一性关系 *i j i j dx ψψδ=? （A1-2） 1.2 列维·西维塔符号列维·西维塔（Levi-Civita ）符号i j k ε又称为三阶反对称张量，其定义为 1,123,231,312 1,132,213,3210,i j k i jk i jk ε+=?? =-=??? 其它（A1-3）可以用来简洁地表示矢量积的分量关系 ,,,(), k i j k i j i j k i j k i j i j k A B A B A B C A B C εε?=??=∑∑v v v v v （A1-4） 1.3. 微分算符在坐标表象下，动量对应梯度算符，梯度算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为 11 sin x y z r e e e e e e x y z r r r θ?θθ? ???????=++=++??????v v v v v v （A1-5）利用球坐标表达式r r re =v v ，得到 1sin r e e ?θθθ? ????=-??v v v （A1-6）上式决定了角动量在球坐标中的表示形式。（A1-6）式的平方为球面拉普拉斯算符 2 22 11sin sin sin θθθθθ?Ω????=+ ??? （A1-7）与角动量平方相对应。拉普拉斯算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为 22222 22222 11 r x y z r r r Ω?????=?=++=+????? （A1-8）与动能相对应。

量子力学史简介

近代物理学史论文题目：量子力学发展脉络及代表人物简介姓名：学号：学院： 2016年12月27

量子力学发展脉络量子力学是研究微观粒子运动的基本理论，它和相对论构成近代物理学的两大支柱。可以毫不犹豫的说没有量子力学和相对论的提出就没有人类的现代物质文明。而在原子尺度上的基本物理问题只有在量子力学的基础上才能有合理地解释。可以说没有哪一门现代物理分支能离开量子力学比如固体物理、原子核粒子物理、量子化学低温物理等。尽管量子力学在当前有着相当广阔的应用前景，甚至对当前科技的进步起着决定性的作用，但是量子力学的建立过程及在其建立过程中起重要作用的人物除了业内人对于普通得人却鲜为人知。本文主要简单介绍下量子力学建立的两条路径及其之间的关系及后续的发展，与此同时还简单介绍了在量子力学建立过程中起到关键作用的人物及其贡献。通过本文的简单介绍使普通人对量子力学有个简单认识同时缅怀哪些对量子力学建立其关键作用的科学家。旧量子理论量子力学是在旧量子论的基础上发展起来的旧量子论包括普朗克量子假说、爱因斯坦光电效应光电子假说和波尔的原子理论。在19世纪末，物理学家存在一种乐观情绪，他们认为当时建立的力学体系、统计物理、电动力学已经相当完善，而剩下的部分不过是提高重要物理学常数的观测精度。然而在物理的不断发展中有些科学家却发现其中存在的一些难以解释的问题，比如涉及电动力学的以太以及观测到的物体比热总小于能均分给出的值。对黑体辐射研究的过程中，维恩由热力学普遍规律及经验参数给出维恩公式，但随后的研究表明维恩公式只在短波波段和实验符合的很好，而在长波波段和实验有很大的出入。随后瑞利和金森根据经典电动力学给出瑞利金森公式，而该公式只在长波波段和实验符合的很好，而在短波波段会导致紫外光灾。普朗克在解决黑体辐射问题时提出了一个全新的公式普朗克公式，普朗克公式和实验数据符合的很好并且数学形式也非常简单，在此基础上他深入探索这背后的物理本质。他发现如果做出以下假设就可以很好的从理论上推导出他和黑体辐射公式：对于一定频率f的电磁辐射，物体只能以hf为单位吸收

量子力学思考题及解答

量子力学思考题 1、以下说法就是否正确: (1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系; (2)量子力学适用于η不能忽略的体系,而经典力学适用于η可以忽略的体系。解答:(1)量子力学就是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。 (2)对于宏观体系或η可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而就是量子力学实际上已经过渡到经典力学,二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义就是什么？解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子(不考虑自旋)波函数)(r ? ψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其她力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论与经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。解答:设1ψ与2ψ就是分别打开左边与右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ与2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不就是概率相加,而就是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定,2 ψ 中出现有1ψ与2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ,1c 与2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ与2ψ就是体系的可能态,则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也就是体系的一个可能态”。 (1)就是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=; (2)对其中的1c 与2c 就是任意与r ? 无关的复数,但可能就是时间t 的函数。这种理解正确不？解答:(1)可能,这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

量子通信的基本原理

量子通信的基本原理量子通信系统的基本部件包括量子态发生器、量子通道和量子测量装置.按其所传输的信息是经典还是量子而分为两类.前者主要用于量子密钥的传输,后者则可用于量子隐形传态和量子纠缠的分发.所谓隐形传送指的是脱离实物的一种“完全”的信息传送.从物理学角度,可以这样来想象隐形传送的过程：先提取原物的所有信息,然后将这些信息传送到接收地点,接收者依据这些信息,选取与构成原物完全相同的基本单元,制造出原物完美的复制品.但是,量子力学的不确定性原理不允许精确地提取原物的全部信息,这个复制品不可能是完美的.因此长期以来,隐形传送不过是一种幻想而已.\x0d1993年,6位来自不同国家的科学家,提出了利用经典与量子相结合的方法实现量子隐形传态的方案：将某个粒子的未知量子态传送到另一个地方,把另一个粒子制备到该量子态上,而原来的粒子仍留在原处.其基本思想是：将原物的信息分成经典信息和量子信息两部分,它们分别经由经典通道和量子通道传送给接收者.经典信息是发送者对原物进行某种测量而获得的,量子信息是发送者在测量中未提取的其余信息；接收者在获得这两种信息后,就可以制备出原物量子态的完全复制品.该过程中传送的仅仅是原物的量子态,而不是原物本身.发送者甚至可以对这个量子态一无所知,而接收者是将别的粒子处于原物的量子态上.在这个方案中,纠缠态的非定域性起着至关重要的作用.量子力学是非定域的理论,这一点已被违背贝尔不等式的实验结果所证实,因此,量子力学展现出许多反直观的效应.在量子力学中能够以这样的方式制备两个粒子态,

在它们之间的关联不能被经典地解释,这样的态称为纠缠态,量子纠缠指的是两个或多个量子系统之间的非定域非经典的关联.量子隐形传态不仅在物理学领域对人们认识与揭示自然界的神秘规律具有重要意义,而且可以用量子态作为信息载体,通过量子态的传送完成大容量信息的传输,实现原则上不可破译的量子保密通信. 1997年,在奥地利留学的中国青年学者潘建伟与荷兰学者波密斯特等人合作,首次实现了未知量子态的远程传输.这是国际上首次在实验上成功地将一个量子态从甲地的光子传送到乙地的光子上.实验中传输的只是表达量子信息的“状态”,作为信息载体的光子本身并不被传输.最近,潘建伟及其合作者在如何提纯高品质的量子纠缠态的研究中又取得了新突破.为了进行远距离的量子态隐形传输,往往需要事先让相距遥远的两地共同拥有最大量子纠缠态.但是,由于存在各种不可避免的环境噪声,量子纠缠态的品质会随着传送距离的增加而变得越来越差.因此,如何提纯高品质的量子纠缠态是目前量子通信研究中的重要课题.近年,国际上许多研究小组都在对这一课题进行研究,并提出了一系列量子纠缠态纯化的理论方案,但是没有一个是能用现有技术实现的.最近潘建伟等人发现了利用现有技术在实验上是可行的量子纠缠态纯化的理论方案,原则上解决了目前在远距离量子通信中的根本问题.这项研究成果受到国际科学界的高度评价,被称为“远距离量子通信研究的一个飞跃”.\x0d参考资料：《科技日报》\x0d量子通信系统的基本部件包括量子态发生器、量子通道和量子测量装置.按其所传输的信息是经典还是量子而分为两类.前者主要用于量子密钥

简述建立量子力学基本原理的思想方法

简述建立量子力学基本原理的思想方法摘要：量子力学是大学物理专业的一门必修理论基础课程，它研究的对象是分子、原子和基本粒子。本文对建立量子力学基本原理的思想方法作一简单叙述，供学员在学习掌握量子力学的基本理论和方法时参考。关键词：量子力学；力学量；电子；函数作者简介 0引言 19世纪末，由于科学技术的发展，人们从宏观世界进入到微观领域，发现了一系列经典理论无法解释的现象，比较突出的是黑体辐射、光电效应和原子线光谱。普朗克于1900年引进量子概念后，上述问题才开始得到解决。爱凶斯坦提出了光具有微粒性，从而成功地解释了光电效应。 1量子力学量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。 2玻尔的两条假设玻尔在前人工作的基础上提出了两条假设，成功地解释了氢原子光谱，但对稍微复杂的原予(如氦原子)就无能为力。直到1924年德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后才得到完整解释。 1924年，德布罗意在普朗克和爱因斯坦假设的基础上提出了微观粒子具有波粒二象性的假设，即德布罗意关系。1927年，戴维孙和革末将电子作用于镍单晶，得到了与x射线相同的衍射现象，从而圆满地说明了电子具有波动性。 2.1自由粒子的波动性和粒子性它的运动是最简单的一种运动，它充分地反映了自由粒子的波动性和粒子性，将波(平面波)粒( p，E) 二象性统一在其中。如果粒子不是自由的，而是在一个变化的力场中运动，德布罗意波则不能描写。我们将用一个能够充分反映二象性特点的

第三章量子统计理论从经典统计到量子统计量子力学对经典力学的改正

第三章量子统计理论第一节从经典统计到量子统计量子力学对经典力学的改正波函数代表状态 (来自实验观测) 能量和其他物理量的不连续性（来自Schroedinger 方程的特征）测不准关系（来自物理量的算符表示和对易关系）全同粒子不可区分（来自状态的波函数描述）泡利不相容原理（来自对易关系）正则系综 ρ不是系统处在某个()q p ,的概率，而是处于某个量子态的概率，例如能量的本征态。配分函数 1E n n Z e k T ββ-== ∑ n E 为第n 个量子态的能量，对所有量子态求和（不是对能级求和）。平均值 1 E n n e Z β-O = O ∑ O 量子力学的平均值

第二节密度矩阵量子力学波函数 ∑ψΦ=ψn n n C , 归一化平均值 ∑ΦO Φ=ψO ψ=O *m n m n m n C C ,?? 统计物理系综理论：存在多个遵从正则分布的体系 ∴ ∑ΦO Φ= O *m n m n m n C C ,? 假设系综的各个体系独立，m n C C m n ≠=* ,0 理解：m n C C * 是对所有状态平均，假设每个状态出现的概率为 ...)(...m C ρ，对固定m ，－m C 和m C 以相同概率出现，所以 ∑ΦO Φ=O *n n n n n C C ? 如果选取能量表象，假设n n C C *按正则分布，重新记n n C C * 为n n C C * 1E n n n C C e Z β-*= 这里 n n n E H Φ=Φ? 引入密度矩阵算符ρ ? [ ]n n n C H Φ=Φ=2 ?0?,?ρ ρ 显然 ∑ΦΦ=n n n n C 2 ?ρ ， ??,0H ρ??=??

量子通信技术基于量子物理学的基本原理

关键词:量子通信安全性中国发展摘要:用国际顶级量子专家王肇中教授的话说，量子通信就是单模光纤两端加上能代替常用光模块功能的、光量子态的发送和接收设备，实现基于物理加密的保密通信。量子通信技术基于量子物理学的基本原理，克服了经典加密技术内在的安全隐患，是迄今为止唯一被严格证明是无条件安全的通信方式。为了拓展应用、与现有通信系统兼容以及大量减少成本，需对点对点的通信方式进行组网并充分利用经典通信设施。与此同时，量子克隆技术的出现也使得我们开始重新审视量子通信的安全性问题。量子通信是相对最安全的，但任何事情都不是绝对的，有矛就有盾。一方面有“量子非克隆原理”，另一方面有实现近似量子克隆的“量子克隆机”。怎样可靠地评估安全性？怎样进行攻击？是值得研讨的问题。在不久的将来，量子通信与经典通信的融合发展将会带来通信世界的新纪元。例如一个量子态可以同时表示0和1两个数字，7个这样的量子态就可以同时表示128个状态或128个数字：0~127。光量子通信的这样一次传输，就相当于经典通信方式的128次。可以想象如果传输带宽是64位或者更高，那么效率之差将是惊人的2，以及更高。 1. 欧洲联合了来自12个欧盟国家的41个伙伴小组成立了SECOQC量子通信网络[8][9]。并于2008年10月在维也纳现场演示了一个基于商业网络的安全量子通信系统。该系统集成了多种量子密码手段，包含6个节点。其组网方式为在每个节点使用多个不同类型量子密钥分发的收发系统并利用可信中继进行联网。息量子通信验证网”在北京开通，在世界上首次将量子通信技术应用于金融信息安全传输。 2014年11月15日，团队研发的远程量子密钥分发系统的安全距离扩展至200公里，刷新世界纪录。 2. 应用与用途潘建伟教授指出，量子通信技术的实际应用将分三步走：一是通过光纤实现城域量子通信网络；二是通过量子中继器实现城际量子通信网络；三是通过卫星中转实现可覆盖全球的广域量子通信网络。对市场角度来说，互联网本质上是一个不安全的网络，而量子通信在理论上的绝对保密特征，已经得到物理定理的证明，很显然在军事、国防、金融等领域有着广阔的应用前景。在大众商业市场，随着技术成熟，量子通信也将具有极大的发展潜力。 3.量子通信技术的发展趋势 4.不足但量子通信本身，仍然处在研究阶段，还远远没有达到大规模商用化的水平，实用的量子通信网络其保密的绝对性还有待商榷。量子通信面临四项难点：可扩展、强抗毁、广覆盖、立体化子密钥分发在未来推广应用方面面临两大挑战：融合性和安全性。量子通信从量子力学的

量子力学基本原理

量子力学基本原理量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。状态函数物理体系的状态由状态函数表示，状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其状态函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。（一般而言，量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之，它预言一组可能发生的不同结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量类似的系统作同样地测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果做出预言。）状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。根据狄拉克符号表示，状态函数，用<Ψ|和|Ψ>表示，状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率为概率密度的空间积分。状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如，其中|i>为彼此正交的空间基矢，为狄拉克函数，满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程， ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程，En是能量本征值，H是哈密顿算子。于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。

量子力学基础简答题(经典)【精选】

量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。

中山大学热力学统计思考题答案汇总

热力学思考题答案汇总第一章热力学的基本规律 ?什么是热力学平衡态(弛豫时间、热动平衡) 热力学平衡态：孤立系经过足够长的时间后，各种宏观性质在长时间内不发生变化弛豫时间：系统由初始状态达到热力学平衡态的时间，决定于趋向平衡的过程的性质。热动平衡：虽然平衡态下的宏观性质不随时间变化，但系统的微观粒子仍在不断运动涨落：平衡态下的宏观物理量在平均值附近的变化非孤立系的平衡态：将系统与外界看作复合的孤立系 ?什么是热力学第零、一、二定律(及其表达式) 热力学第零定律：如果两个系统A和B各自与第三个系统达到热平衡，那么A和B之间也处于热平衡热力学第一定律：系统在终态B 和初态 A 的内能之差U B- U A等于过程中外界对系统所作的功与系统从外界吸收的热量之和热力学第一定律就是能量守恒定律：自然界的一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化的过程中能量的数量不变热力学第一定律的另外一种表述：第一类永动机是不可能造成的 Q +W S= U B- U A热力学第一定律的数学表达式热力学第二定律的两种表述克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其它变化热力学第二定律开氏表述的另外一种说法：第二类永动机是不可能造成的 ?什么是物质的物态方程(理想气体、范氏方程) 物态方程的一般形式和相关物理量物态方程的一般形式由热平衡定律，平衡态下的热力学系统存在状态函数(温度)，物态方程就是温度与状态参量之间的函数关系f(p,V,T )=0 相关物理量体胀系数α：压强不变，温度升高1K的体积相对变化压强系数β：体积不变，温度升高1K的压强相对变化等温压缩系数k T：温度不变,增加压强的体积相对变化体胀系数α、压强系数β和等温压缩系数的关系加热固体或液体时很难实现体积不变，即压强系数β很难直接测量，通常是通过α和间

量子力学基础概念试题库完整

一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用 Dirac 符号时，若将ψ(,)? r t 改写为ψ(,)? r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开： ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2 n c ，F 在λλλd +~范围内的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时，若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0，其中（1） ∧) (H 0的本征值)(n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧，（2）∧ 'H 很小，称为加在∧) (H 0上的微扰，则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4 η。

量子力学基本概念及理解

量子力学基本理论及理解基本概念概率波量子力学最基础的东西就就是概率波了,但我认为对概率波究竟就是什么样一种“波”,却并不就是很容易理解的,这个问题直到理查德,费恩曼(而不就是海森伯或者伯恩)提出了单电子实验,才让我们很清楚的瞧到什么就是概率波？有为什么就是概率波。什么就是概率波？为什么就是概率波？要回答这些问题,其实很简单,我们只需瞧下费恩曼的理想电子双缝干涉实验(刚开始时理想实验,不过后来都已经过证明了)就行了,我相信大家都会明白的。下面我们再瞧一下费恩曼给出了什么结果: 1.单独开启缝1或者缝2都会得到强度分布或者符合衍射的图样, 缝1与缝2都开启时得到强度符合干涉图样 2.由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样,即 3.每次让一个电子通过,长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电子通过双缝完全相同的图案 4.每次得到的就是“一个”电子其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须就是概率波,并且我们也很容易去除那些对概率波不对的理解,也就就是所谓的向经典靠拢的理解,从而得到必须就是概率波的事实。概率波从字面上来理解,也就就是这种波表示的就是一种概率分布,还就是在双缝干涉中我们瞧一下很简单的一些表现,若果就是概率波的话,我们很关心的就就是这个粒子分布的具体形状,粒子位置的期望值等,在这里我们可以瞧出来波函数经过归一化之后,就就是说电子还就是只有那一个电子,但就是它的位置不确定了,这才形成在一定的范围内的一个云状分布,您要计算某一个范围内的电荷就是多少,这样您会得到一个分数的电荷量,但这只能告诉您电子在您研究的范围内分布的概率有多大,并不就是说在这一范围内真正存在多少电子。

量子统计复习题

1. 证明量子正则系综的“等几率分布”是最可几分布。 2. 证明正则分布???() H H e Tr e ββρ --=的熵最大。 3. 证明巨正则系综分布??()??()?() H N H N e Tr e βμβμρ ----=的熵最大。 4. 证明等温等压系综??()??()?() H pV H pV e Tr e ββρ -+-+=的熵最大。 5. 证明：1）箱中自由粒子到达箱中任一位置的几率相等；2）箱中自由粒子波包的空间范围量级为3）箱中自由粒子的平均能量为 32 B k T 。@P52 6. 利用量子正则系综理论，求磁场B 中自由电子的平均自旋。@P57 7. 证明正则系综的密度矩阵满足微分方程???H ρρβ ?- =? @P58 8. 证明相对于谐振子，非谐振子对外做功的能力变小了。 9. 对一线性谐振子 222?1H 22 p m q m ω=-+，利用量子正则系综理论证明：@P52 (1) 12 V T H == （维里定理）已知： 2 2 [()tanh ()coth( )] 42 2 q m q q q q H e q ωωβωββ''-++--'= (2) 高温极限 1 2 ωβ<< ， 112 2 B V T H k T == = (已知:1x e x =++ ) (3) 低温极限 1 2 ωβ>> ，2 1 () 2 2(,)( )m q q m q q e ωω ρπ'- +'= ，对应n=0的基态极限情况。 10. 对正则系综，证明下列关系 (1) ,,()[ ()]V N B V N F S k T lnQ T T ??=-=?? (2) ,,( )( )T N B N T F S k T T lnQ V V ?? =-=?? (3) ,,()( )V T B V T F k T lnQ N N μ??=-=-?? (4) ,?[ ]N V U H lnQ β ?= =-? (5) 22 ,,2 ()( )[ ]V N V B N V S lnQ C T k T ββ ??==?? (6) S =(E -F)β

量子力学常用积分公式

量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ??--= 11 )0(>n (2) ) cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+=? (3) =?axdx e ax cos ) sin cos (22bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2 -=? (5) =?axdx x sin 2 ax a x a ax a x cos )2(sin 22 22-+ (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2 +=? (7ax a a x ax a x axdx x sin )2 (cos 2cos 3222 -+=?) )ln(2222c ax x a a c c ax x ++++ (0>a ) (8)? = +dx c ax 2 )arcsin( 22 2x c a a c c ax x --+ + (a<0) ? 20 sin π xdx n 2 !!!)!1(π n n - (=n 正偶数) (9) = ? 2 cos π xdx n ! !! )!1(n n - (=n 正奇数) 2π (0>a )

(10)? ∞ =0 sin dx x ax 2π- (0=a n 正整数) (12) a dx e ax π210 2 = ? ∞- (13) 1210 22!)!12(2 ++∞ --= ? n n ax n a n dx e x π (14) 1 122!2 +∞ -+= ?n ax n a n dx e x (15) 2sin 0 22a dx x ax π?∞ = (16) ?∞ -+= 2 22)(2sin b a ab bxdx xe ax (0>a ) ?∞-+-=0 2 22 2 2)(cos b a b a bxdx xe ax (0>a )