[Vip免费]【北师大版】2021年八年级数学下册 【全册】 同步导学案 打包下载
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(北师大版)八年级数学下册（全册）同步导
学案汇总
等腰三角形
一、问题引入：
1.请你用自己的语言说一说证明的基本步骤
2. 列举我们已知道的公理：.
（1）公理：同位角 , 两直线平行.
（2）公理：两直线 , 同位角 . （3）公理：的两个三角形全等.
（4）公理：的两个三角形全等. （5）公理：的两个三角形全等.
（6）公理：全等三角形的对应边 , 对应角 . 注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.
二、基础训练：
1. 利用已有的公理和定理证明：
“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”
2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）你能利用已有的公理及定理证明這些结论吗？
三、例题展示：
在△ABC中, AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC,
试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想.
四、课堂检测：
1. 如图, 已知：AB∥CD, AB=CD,
若要使△ABE≌△CD F,仍需添加一个
条件, 下列条件中, 哪一个不能使
△ABE≌△CDF的是（）
A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF.
2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数爲 .
3.（1）如果等腰三角形的一条边长爲3, 另一边长爲5, 则它的周长爲 . （2）等腰三角形的周长爲13cm, 其中一边长爲3cm, 则该等腰三角形的腰长爲 .
4. △ABC中, AB=AC, 且BD=BC=AD, 求∠A的度数.
5. 如图, 已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=A E,求证:BD=CE
中考真题：已知：如图, △ABC中, AD是高, CE是中线, DC=BE, DG⊥CE,G是垂足, 求证：（1）G是CE中点.
（2）∠B=2∠BCE.
等腰三角形
一、问题引入：
活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上, 提出问题：
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等), 你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?
答：
第二环节：自主探究
活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等), 观察其中有哪些相等的线段, 并尝试给出证明。
结论：等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等． 并对這些命题给予多样的证明。
如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”, 学生得到了下面的证明方法： 已知：如图, 在△ABC 中, AB=AC, BD 、CE 是△ABC 的角平分线． 求证：BD=CE ． 证法1：∵AB =AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=12 ∠ABC , ∠2=1
2 ∠ABC ,
∴∠1=∠2． 在△BDC 和△CEB 中,
∠ACB=∠A BC, BC=CB, ∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法2：证明：∵AB=AC , ∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠3=∠4． 在△ABC 和△ACE 中, ∠3=∠4, AB=AC, ∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
第三环节：经典例题 变式练习
活动内容：提请学生思考, 除了角平分线、中线、高等特殊的线段外, 还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上, 研究课本“议一议”：
在课本图1—4的等腰三角形ABC 中,
(1)如果∠ABD=13 ∠AB C, ∠ACE=1
4
∠ACB 呢?由此, 你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=12 AC, AE=12 AB, 那么BD=C E 吗?如果AD=13 AC, AE=1
3 AB 呢?由此你得到什
么结论?
4
2
31
E D C
B
A
第四环节：拓展延伸, 探索等边三角形性质
活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上, 思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图, ΔABC 中, AB=BC=AC ． 求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC 中, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C(等边对等角)． 同理：∠C=∠A, ∴∠A=∠B=∠C （等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C ＝180°（三角形内角和定理）, ∴∠A=∠B=∠C ＝60°． 结论： 等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°。
第五环节： 随堂练习 及时巩固
活动内容：在探索得到了等边三角形的性质的基础上, 让学生独立完成以下练习。 1.如图,已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形. 求证:AE=CD
等腰三角形
一、问题引入：
1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高）, 你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？
2.等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明. 已知： 求证： 证明：
E
D
C
B A
得出定理： .
问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们, 并与同伴交流.
二、基础训练；
1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2）, 由此得到什么结论？
2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等, 反过来此命题成立吗？并与同伴交流, 由此得到
什么结论？
得出定理：；简称： .
3. 请同学们阅读课本“想一想”, 這一结论成立吗？你能证明吗？若不会证明, 请看课本
小明是怎样证明的, 這种证明问题的方法与以前的证明方法相同吗？若不同应称爲什么方法？
三、例题展示：
如图, △ABC中, D.E分别是AC.AB上的点, BD与CE
相交于点O, 给出下列四个条件①∠EBO=∠D CO；
②∠BEO=∠CDO；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条
件中,
哪两个条件可判定是等腰三角形
,
请你写出一种情形, 并加以证明.
四、课堂检测：
1. 已知：如图, 在△ABC中, 则图中等腰直角三角形共有（）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2. 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, ∠BAC=1200, D.E是BC上两点, 且AD=BD, AE=CE, 猜
第1题
第2题第3题
第4题
想△ADE是三角形.
3. 如图, 在△ABC中, ∠ABC与∠ACB的平分线交与点O, 若AB=12, AC=18, BC=24, 则△
ABC的周长爲（）
A.30
B.36
C.39
D.42
4. 在△ABC中, AB=AC, ∠A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点O, 则图中共有
个等腰三角形.
5. 如图：下午14：00时, 一条船从处出发, 以28海里/小时的速度, 向正北航行, 16：
00时, 轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.
6.中考真题：同一底上的两底边相等的梯形是等腰梯形吗？如果是, 请给出证明；如果不是, 请给出反例.
等腰三角形
一、问题引入：
1. 已知△ABC中, AB=AC=5cm, 请增加一个条件使它变爲等边三角形.
2. 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.
得出定理：有一个角是的三角形是等边三角形.
二、基础训练：
做一做：用两个含300角的三角板, 你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.根据操作, 思考：在直角三角形中, 300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.
得出定理：在直角三角形中, 300角所对直角边等于斜边的 .
三、例题展示：
1. 等腰三角形的底边爲150, 腰长爲2a, 求腰上的高.
2. 判断：（1）在直角三角形中, 直角边是斜边的一半.（）
（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）
3. 证明三个角都相等的三角形是等边三角形.
四、课堂检测
1. 等腰三角形的底边等于150, 腰长爲20, 则這个三角形腰上的高是 .
2. 在Rt△ABC中, ∠ACB=900, ∠A =300, CD⊥AB, BD=1, 则AB= .
3. 在△ABC中, AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点, DE⊥AC,则A E:EC= .
4. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC, 使点C恰好落在
AB的中点D处, 则∠A= .
5. 在Rt△ABC中, ∠C=300, AD⊥BC, 你能看出BD与BC的大小关系吗？
中考真题：已知：如图, △ABC中, BD⊥AC, DE⊥AC, 点D是AB的中点, ∠A=300, DE=1.8, 求AB的长.
直角三角形
一、问题引入：
1. 说出你知道的勾股数
2. 勾股定理的内容是：_____________________________;
它的条件是：______________________________________;
结论是：__________________________________________.
3. 将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件, 其内容是：
下面试着将上述命题证明：
已知在△ABC中, AB2+AC2=BC2
求证：△ABC是直角三角形.
得出定理：如果三角形两边的__________等于__________, 那么這个三角形是直角三角形.
二、基础训练：
观察勾股定理及上述定理, 它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题, 是否也在类似关系
（1）如果两个角是对顶角, 那么它们相等.
如果两个角相等, 那么它们是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎, 那么他一定会发烧.
如果小明发烧, 那么他一定患了肺炎.
（3）三角形中相等的边所对的角相等.
三角形中相等的角所对的边相等.
像上述每组命题我们称爲互逆命题, 即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________.
三、例题展示：
1.判断
A．每个命题都有逆命题, 每个定理也都有逆定理.（）
B．命题正确时其逆命题也正确.（）
C．角三角形两边分别是3, 4, 则第三边爲5.（）
2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）
①8, 15, 17 ②4, 5, 6 ③7, 5.4, 8.5 ④ 24, 25, 7 ⑤ 5, 8, 10
A：①②④ B：②④⑤ C：①③⑤ D：①③④
四、课堂检测:
1. 以下命题的逆命题属于假命题的是（）
A.两底角相等的两个三角形是等腰三角形.
B.全等三角形的对应角相等.
C.两直线平行, 内对角相等.
D.直角三角形两锐角互等.
2. 命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3. 若一个直角两直角边之比爲3：4, 斜边长20CM, 则两直角边爲 .
4. 已知直角三角形两直角边长分别爲6和8, 则斜边长爲_______, 斜边上的高爲_______.
5. 台风过后, 某小学旗杆在B处断裂, 旗杆顶A落在离旗杆底部C点8M处, 已知旗杆
原长16M, 则旗杆在距底部几米处断裂.
6. 小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上, 這时梯子底端B到墙根C的距离是0.7M,
如果梯子的顶端垂直下滑0.4M, 那么梯子的底端B将向外移动多少米.
中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形, 其中a表示较短, 直角三角形, b表示较长的直角边, c表示斜边, 你能用這个图形证明勾股定理吗？
直角三角形
一、问题引入：
1. 直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；
2. 问题1：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？请证明你认爲正确的结论.
问题2：（做一做）你能用三角尺作已知角的平分线吗？不妨动手做一做, 并证明你的作法的正确性.
二、基础训练:
1.（议一议）如图已知∠ACB=∠BDA=90°, 要使△ACB≌△BDA, 还需要什么条件？把它们
分别写出来.
2. D是△ABC的BC边上的中点, DE⊥AC, DF⊥AB, 垂足分别爲E.F, 且DE=DF,
求证BF=CE [解析]本题解决的关键是利用“HL”证明△BFD≌△CED
三、例题展示：
1. 下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）
A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形.
B. 两条锐角边对应相等的两个直角三角形.
C. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形.
D. 有一个锐角及這个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.
2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）
① 8, 15, 17 ② 4, 5, 6 ③ 7.5, 4.8, 5 ④ 24, 25, 7 ⑤ 5, 8, 10
A. ①②④
B. ②④⑤
C.①③⑤
D. ①③④
3. 下列命题中, 假命题是（）
A．三个角的度数之比爲1：3：4的三角形是直角三角形.
B．三个角的度数之比爲1：3：2的三角形是直角三角形.
C．三边长之比爲1:3:2的三角形是直角三角形.
D．三边长之比爲2:2:2的三角形是直角三角形.
四、课堂检测:
1. 下列说法正确的有（）
（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.
（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等.
（4）有两条边相等的两个直角三角形全等.
（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2. 下列说法中错误的是（）
A. 直角三角形中, 任意直角边上的中线小于斜边.
B. 等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.
C. 直角三角形中每条直角边都小于斜边.
D. 等腰直角三角形一边长爲1, 则它的周长爲12
3. 以下列各组爲边长, 能组成直角三角形的是（）
A. 8, 15, 17
B. 4, 5, 6
C. 5, 8, 10
D. 8, 39, 40
4. 命题：若A＞B, 则A2＞B2的逆命题是__________________________.
5. AD是△ABC的中线, ∠ADC=45°, 把△ADC沿AD对折, 点C落在C｀的位置,
则BC`与BC之间的数量关系是____________.
6. 四边形ABCD中, 若AB=3, BC=4, CD=12, AD=13, 且AB⊥BC, 求四边形ABCD
的面积________.
线段的垂直平分线
一、问题引入：
1. 什么是线段的垂直平分线？
2. 你会画线段的垂直平分线？
3. “线段的垂直平分线上的点到這条线段的两个端点的距离相等”你能证明這一结论吗？
二、基础训练：
议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到這条线段的两个端点的距离相等”這一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是, 请证明, 并与同伴交流.
做一做：阅读P25做一做, 然后用尺规作出右图已知线段AB的垂直平分线CD, 并说明爲什么CD是线段AB的垂直平分线？
A B
反思：如何用尺规作图确定已知线段的中点？
三、例题展示：
例：如图在△ABC中, AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB.BC延长线于F.E
求证：（1）∠EA D=∠EDA ;
（2）DF∥AC
（3）∠EAC=∠B
四、课堂检测:
1. 已知：线段
AB
及一点
P, PA=PB,
则点P在上.
2. 已知：如图, ∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠AD C= .
3. △ABC中, ∠A=500, AB=AC, AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数 .
4. △ABC中, DE.FG分别是边AB.AC垂直平分线, 则∠B∠BAE, ∠C∠GAF ,
若∠BAC=1260, 则∠EAG= .
5. 如图, △ABC中, AB=AC=17, BC=16, DE垂直平分AB, 则△BCD的周长是 .
6. 有特大城市A及两个小城市B.C, 這三个城市共建一个污水处理厂, 使得该厂到B.C两
城市的距离相等, 且使A市到厂的管线最短, 试确定污水处理厂的位置.
中考真题：已知：如图, DE是△ABC的AB边的垂直平分线, 分别交AB.BC于D.E, AE平分∠BAC, 若∠B=300, 求∠C
线段的垂直平分线
一、问题引入：
1. 等腰三角形的顶点一定在上.
2. 在△ABC中, AB.AC的垂直平分线相交于点P, 则PA.PB.PC的大小关系是 .
第1题第4题第5题
3. 在△AB C中, AB=AC, ∠B=580, AB的垂直平分线交AC于N, 则∠NBC=.
4. 已知线段AB, 请你用尺规作出它的垂直平分线.
A B
二、基础训练：
1. 三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点, 這一点到三个顶点的距离是否相等？剪一
个三角形纸片, 通过折叠观察一下, 并与同桌交流.
2. 上面的问题如何证明？
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于 , 這一点到三个顶点的距离 .
三、例题展示：
3.如图, 在△ABC中, ∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点, 求∠OCB的度数；
4.如果将（1）中的的∠A度数改爲700, 其余的条件不变, 再求∠OCB的度数；
5.如果将（1）中的的∠A度数改爲锐角a, 其余的条件不变, 再求∠OCB的度数.你发现了
什么规律？请证明；
6.如果将（1）中的的∠A度数改爲钝角a, 其余的条件不变, 是否还存在同样的规律？你又
发现了什么？
四、课堂检测：
1. 在三角形内部, 有一点P到三角形三个顶点的距离相等, 则点P一定是（）
A. 三角形三条角平分线的交点；
B. 三角形三条垂直平分线的交点；
C. 三角形三条中线的交点；
D. 三角形三条高的交点.
2. 已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上, 则△ABC的形状爲（）
A. 锐角三角形；
B. 直角三角形；
C. 钝角三角形；
D. 不能确定
3. 等腰Rt△ABC中, AB=AC, BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O, 则点O
到三角形三个顶点的距离是 .
4. 已知线段a.b, 求作以a爲底, 以b爲高的等腰三角形.
a b
中考真题：已知：如图, Rt△ABC中, ∠ACB=900, ∠BAC=600, DE垂直平分BC, 垂足爲D, 交AB于点E, 点F在DE的延长线上, 且AF=CE, 试探究图中相等的线段.
角平分线
一、问题引入：
三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？
二、基础训练：
1. 如图：设△ABC的角平分线https://www.wendangku.net/doc/ee18010738.html,交于P, 求证：P点在∠BAC的平分线上
定理：三角形的三条角平分线交于点, 并且這一点到三条边的距离 .
引申：三角形的三条角平分线交于一点, 若设這一点到其中一边的距离爲m, 三边长分别爲
a.b.c, 则三角形的面积S= .
2. 已知：△ABC中, BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线, 且交于P,若P到边AB的距
离爲3cm, △ABC的周长爲18cm, 则△ABC的面积爲 .
3. 到三角形三边距离相等的点是（）
A.三条中线的交点；
B.三条高的交点；
C.三条角平分线的交点；
D.不能确定
三、例题展示：
例：△ABC中, AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于E.
7.已知：CD=4cm,求AC长
8.求证：AB=AC+CD
四、课堂检测：
1. 到一个角的两边距离相等的点在 .
2. △ABC中, ∠C=900,∠A的平分线交BC于D, BC=21cm, BD:DC=4:3, 则D到AB的
距离爲 .
3. Rt△ABC中, AB=AC, BD平分∠ABC, DE⊥BC
于E, AB=8cm, 则DE+DC= cm.
4. △ABC中, ∠ABC和∠BCA的平分线交于O, 则
∠BAO和∠CAO的大小关系爲 .
5. Rt△ABC中, ∠C=900, BD平分∠ABC, CD=n, AB=m, 则△ABD的面积是 .
6. 已知：OP是∠MON内的一条射线, AC⊥OM, AD⊥ON, BE⊥OM, BF⊥ON, 垂足分别爲
C.D.E.F, 且AC=AD求证：BE=BF
中考真题：三条公路围成了一个三角形区域, 今要在這个三角形区域内建一果品批发市场到這三条公路的距离相等, 试找出批发市场的位置.
角平分线
一、提出问题：
1. 角平分线的定义：______________________________________
2. 问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？
你是怎样得到的？你能证明它吗？
定理归纳：
问题2：你能写出這个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是, 你能证明它？
定理归纳：
二、基础训练：
用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.
三、例题解释：
例：如图, 已知AD 爲△ABC 的 角平分线, ∠ABC =90°, E F⊥AC , 交BC 于点D, 垂足爲F, DE=DC, 求证：BE=C F.
四、课堂检测
1. OM 平分∠BOA , P 是OM 上的任意一点, PD⊥OA , PE⊥OB , 垂足分别爲D.E, 下列结论中错误的是（ ）
A ：PD=PE
B ：OD=OE
C ：∠DPO=∠EP O
D ：PD=OD
9.如图所示, AD 平分∠BAC , DE⊥AB , 垂足爲E, DF⊥AC , 垂足爲F, 则下列结论不正确的
是（ ）
A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFD C:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDF
3. △ABC 中, ∠ABC.∠ACB 的平分线交于点O, 连结AO, 若∠OBC=25°, ∠OCB=30°, 则∠OAC=_____________°
4. 与相交的两直线距离相等的点在（ ） A ：一条直线上 B ：一条射线上 C ：两条互相垂直的直线上 D ：以上都不对
5. ∠AOB 的平分线上一点M, M 到OA 的距离爲2CM, 则M 到OB 的距离爲_________.
6. 在RT△ABC 中, ∠C=90°, AD 是∠BAC 的平分线, 若BC=16, BD=10, 则D 到AB 的距离
F
E
D
C
B A
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 ※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 ※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac
北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定、性质： 1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形） 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 二、等腰三角形的性质: 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定: 1. 有关的定理及其推论 : 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命
题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定 理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线、角平分线 : 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 如果a>b,那么 a+c>b+c, a-c>b-c.（注：移项要变号，但不等号不变） 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac
北师大版八年级下册数学考试知识点 第一章 三角形的证明 一、全等三角形的判定及性质 ※1性质：全等三角形对应 角 相等、对应 边 相等 ※2判定：①判定一般三角形全等：（SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）. ②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形 ※1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. ※2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． ※3. 推论：等腰三角形 顶角平分线 、 底边中线 、 底边上的高 互相重 合（即“ 三线合一 ”）． ※4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60° ；等边三角形是轴对称 图形，有 3 条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形 ※1. 勾股定理及其逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足关系22b a =2 c ，那么这个三角 形是直角三角形 （勾股定理的逆定理）（满足的三个正整数，称为勾股数：，常见的勾股数有：
（1）3，4，5； （2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 ※2.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. ※3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和 等于第三边的平方”． ②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定 方法． 四. 线段的垂直平分线 ※1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 . ※2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 五. 角平分线 ※1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平
1、一支蜡烛长20厘米,．点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n (厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是（ ） A B C D 2、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ） A C D 3、甲、乙两人同时沿着一条笔直的公路朝同一方向前行，开始时，乙在甲前2千米处， 甲、乙两人行走的路程S （千米）与时间t （时）的函数图象（如图所示），下列说法正 确的是（ ） A 、乙的速度为4千米/时 B 、经过1小时，甲追上乙 C 、经过0.5小时，乙行走的路程约为2千米 D 、经过1.5小时，乙在甲的前面 4、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ） A 、－1 B 、0 C 、4 1 - D 、1 5、若错误!未找到引用源。是169的算术平方根，错误!未找到引用源。是121的负的平方根，则（错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。）2的平方根为（ ） A. 2 B. 4 C.±2 D. ±4 6、满足－3＜x ＜5的整数x 是（ ） A 、－2,－1,0,1,2,3 B 、－1,0,1,2,3 C 、－2,－1,0,1,2 D 、－1,0,1,2 7、如图，有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm (π=3)．在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约等于 （ ） A ．10cm B ．12 cm C ．19cm D ．20cm 8、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ） A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b << 9、如果0ab >， 0a c <，则直线a c y x b b =-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10、如图，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ） x y x y x y x y O O O O S(千米) 1 2 3 4 0.5 1 乙 甲 O t (时)
数学试题 一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以 数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（ ， ） D ）
11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示， 则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的 三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填 在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪， 拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图
八年级数学下册教学 工作计划 本学期我继续担任八年级（2）班的数学教育教学工作。为了更好地完成教育教学任务，现就本学期的教育教学计划制定如下：一、学生情况分析 上学期期末考试的成绩总体来看，成绩不太理想。在学生所学知识的掌握程度上，大部分学生能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但个别学生连简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一步加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去。 二、本学期教学内容分析 本学期教学内容共计六章，第一章《三角形的证明》本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。第二章《一元一次不等式和一元一次不等式组》本章通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应用．第三章《图形的平移与旋转》本章将在小学学习的基础上进一步认识平
面图形的平移与旋转，探索平移，旋转的性质，认识并欣赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。第四章《分解因式》本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种基本方法。第五章《分式与分式方程》本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简单的实际应用问题。第六章《平行四边形》本章将研究平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探索多边形的内角和，外角和的规律；经历操作，实验等几何发现之旅，享受证明之美。 三、本学期教学内容目的要求，重难点 第一章主要让学生经历证明等腰三角形和直角三角形的图形性质与判定的过程，进一步发展推理能力；第二章主要让学生经历探索发现不等关系，进一步体会模型思想，体会不等式，函数，方程之间的联系；第三章主要让学生经历平移与旋转的认识及应用的过程，发展空间观念，增强观察，归纳，抽象，概括等能力；第四章主要让学生体会因式分解的意义，体会因式分解与整式乘法间的联系与区别；第五章主要让学生了解分式的概念，探索分式的基本性质，能用分式方程解决简单的实际问题，体会模型思想；第六章主要让学生探索并证明平行四边形的有关性质与判定及多边形的内角和，外角和公式，积累数学活动经验，发展推理能力。 重点：（１）掌握等腰三角形和直角三角形的性质与判定，能证
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的 平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那 么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组 勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得 得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不 解：连结AC ，在Rt △ADC 中， 在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??-
八年级下册数学各章节知识点总结 第一章一元一次不等式和一元一次 不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非 负数<===> 大于等于0(≥0)<===> 0 和正数<===> 不小于0 非正数<===> 小于等于0(≤0)<===> 0 和负数<===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果 a>b,那么 a+c>b+c, a-c>b-c. (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果 a>b,并且 c>0,那么 ac>bc, a >b . c c (3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果 a>b,并且 c<0,那么 ac
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章勾股定理 1、勾股定理(1)直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄 图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41） 4、 勾股数的规律： （1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数， 两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2， 那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如： （6,8,10）（8,15,17）（10,24,26） 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；
北师大新版八年级下册 数学知识点 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
北师大版八年级下册数学考试知识点 第一章 三角形的证明 一、全等三角形的判定及性质 ※1性质：全等三角形对应 角 相等、对应 边 相等 ※2判定：①判定一般三角形全等：（SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）. ②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形 ※1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. ※2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． ※3. 推论：等腰三角形 顶角平分线 、 底边中线 、 底边上的高 互相重合 （即“ 三线合一 ”）． ※4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60° ；等边三角形是轴对称 图形，有 3 条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形 ※1. 勾股定理及其逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足关系22b a =2 c ，那么这个三角形 是直角三角形
（勾股定理的逆定理）（满足的三个正整数，称为勾股数：，常见的勾股数有：（1）3，4，5； （2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 ※2.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边 等于斜边的一半. ※3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第 三边的平方”． ②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方 法． 四. 线段的垂直平分线 ※1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线 上 . ※2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 五. 角平分线 ※1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
八年级下册数学各章节知识点总结 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac
最新北师大版八年级数学上册知识点总结 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222 a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角 三角形。满足222 a b c +=的三个正整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： a （2）性质：①当a ≥0≥0；当a ＝a a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 x a =，那么x 是a （2a =；②3 a = 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5 （a ≥0，b ≥0） a ≥0，b ＞0）。 第三章 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相=b a b =
北师大版八年级数学上期末复习提纲 姓名 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即2 22a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足2 22a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。满足222a b c +=的三个正 整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： 叫做a 的算术平方根。 （2）性质：①当a ≥0 0；当a ＝a a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 x a =，那么x 是a ； （2 a =； ② 3 a = 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数和无理数；有理数可分为整数和分数；实数按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5．算术平方根的运算律： )0,0(≥≥=?b a ab b a （a ≥0，b ≥0）； （a ≥0，b ＞0）。 第三章 图形的平移与旋转 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位 置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （2）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。 =实数 无理数(无限不循环小数) 有理数 正分数 负分数 正整数 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数
八年级下册 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1、（4页）一般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2、（7-8页） 不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 3、（10页）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 （11页）求不等式解集的过程叫做解不等式。 4、（14页）不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5、（27页）一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 6、（28页）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 第二章 分解因式 7、（44页）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 8、（47页）多项式bc ab +的各项都含有相同的因式b 。我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如b 就是多项式bc ab +各项的公因式。 9、（47页）如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。 10、（57页）形如222b ab a ++或222b ab a +-的式子称为完全平方式。 11、（57页）如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 ()()b a b a b a -+=-22 )2222b a b ab a +=++ ()2 222b a b ab a -=+- 第三章 分式 12、（66页）整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式。如果除式B 中含有字母，那么称B A 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。 13、（68页）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 14、（69页）把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 15、（74页）分式乘除法的法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 16、（80页）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 17、（82页）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 18、（87页）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
教案
第一章三角形的证明
教学目标 1.能证明并会应用直角三角形全等的“HL”判定定理。 ２.体会转化的数学思想。 3.逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。 教学重点证明直角三角形全等的“ＨL”判定定理及其应用 教学难点证明直角三角形全等的“HL”判定定理及其应用 教学过程复备一.【预习指导】 １、直角三角形全等的条件有哪些？ 2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗?为什么? 思考:我们知道:斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS” 判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“A ＳA”或“AAS”判定它们全等;两对直角边相等的两个直角三角形,可以根据 “SAS”判定它们全等. 如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角),这两个三角形是否 可能全等呢? 二.【效果检测】 １.如图1(１),在△ABC与△A'B＇C＇中，若AB＝A＇B＇,AC=A'C',∠C=∠ C＇＝90°，这时Rt△ＡＢC与Ｒｔ△A'Ｂ'C'是否全等? 导学: 把Rｔ△AＢC与Rt△A'B'C＇拼合在一起，如图1（２），因为 ∠ACＢ＝∠A＇C'B'＝9０°，所以B、C(C＇）、B＇三点在一条直线上， 因此，△AＢB＇是一个等腰三角形,可以知道∠B=∠B'．根据AAS公理可知R ｔ△A＇B'C＇≌Rt△ABC。 请你按照上面的分析，尝试着完成本题的证明过程。 证明： 反思：1.为什么要说明B、C(C＇）、B＇三点在一条直线上呢? 2.前面我们曾用画图剪拼的方法,比较感性的获得“斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形的全等。”但是,由于观察并不一定可靠,通过今天严谨的
第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件） 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形， 且最长边所对的角是直角。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实 数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根
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