高考数学命题热点名师解密专题：线性规划求解技巧

专题35 线性规划求解技巧

一．【学习目标】

1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决．2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义,注意线性规划问题与其他知识的综合．二．【知识要点】

1．二元一次不等式表示的平面区域

(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面),不包括边界直线．

不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．

(2)在平面直角坐标系中,设直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0,y0),则

①若B>0,Ax0＋By0＋C>0,则点P(x0,y0)在直线的上方,此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．

②若B>0,Ax0＋By0＋C<0,则点P在直线的下方,此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．

③若是二元一次不等式组,则其平面区域是所有平面区域的公共部分．

2．线性规划相关概念

名称意义

约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组

线性约束

由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组

条件

目标函数关于x,y的函数解析式

可行解满足线性约束条件的解

可行域所有可行解组成的集合

线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数

最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值3

一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．

解线性规划问题的一般步骤：

审题、设元——列出约束条件

(通常为不等式组)——建立目标函数作出可行域求最优解．

1。二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法 第一种：若用y ＝kx ＋b 表示的直线将平面分成上下两部分

不等式 区 域

y ＞kx ＋b 表示直线上方的半平面区域 y ＜kx ＋b

表示直线下方的半平面区域

第二种：用Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)表示的直线将平面分成上下两部分(B ＝0读者完成)

不等式 B ＞0

B ＜0

Ax ＋By ＋C ＞0 表示直线上方的半平面区域 表示直线下方的半平面区域 Ax ＋By ＋C ＜0

表示直线下方的半平面区域

表示直线上方的半平面区域

第三种：选特殊点判定(如原点),取一点坐标代入二元一次不等式(组),若成立,则平面区域包括该点,反之,则不包括。

2。线性规划问题求解策略

(1)解决线性规划问题时,找出约束条件和目标函数是关键,一般步骤如下： ①作：确定约束条件,并在坐标系中作出可行域；

②移：由z ＝ax ＋by 变形为y ＝－a b x ＋z b ,所求z 的最值可以看成是求直线y ＝－a b x ＋z

b 在y 轴上的截距

的最值(其中a,b 是常数,z 随x,y 的变化而变化),将直线ax ＋by ＝0平移,在可行域中观察使z

b 最大(或最小)

时所经过的点；

③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标,并将其代入目标函数求得最大值和最小值； ④答：写出最后结论。

(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域,也可以是一个封闭的多边形,若是一个多边形,目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得。

(3)若要求的最优解是整数解,而通过图象求得的是非整数解,这时应以与线性目标函数的距离为依据,在直线的附近寻求与此直线最近的整点,或者用“调整优值法”去寻求最优解。 四．典例分析

例1．设满足约束条件,则的最大值是

A ．0

B ．4

C ．5

D ．6 【答案】D

由,解得,

即,此时,故选D．

【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题。求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值。学-科网-

练习1．已知实数x,y满足,若不等式ax-y>0恒成立,则实数a的取值范围为( )

A．（－∞,）B．（4,＋∞）C．（,4）D．（,4）

【答案】B

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：

若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立,即平面区域在直线y＝ax的下方即可．

即A（1,4）在y＝ax的下方或在直线上即可,即a＞4,

故选：B．

练习2．若满足 则的最小值等于

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】由,满足作出可行域如图,即为线段AB,

联立

,解得

,化目标函数

为

,

由图可知,当直线过A 时,直线在轴上的截距最小, 有最小值为

,故选：B ．

（二）含绝对值的不等式

例2。 设,x y 满足约束条件,则z x y =+的最大值是__________．

【答案】2

【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．

由图形得,当0,0x y ≥≥时,

,且当直线经过点()0,2A 时z 有最大值2,故可得

z x y =+的最大值为2．

答案：2

练习1．已知实数x , y 满足条件,则2z x y =+的最小值为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 【答案】C

【解析】由约束条件画出可行域如下图,目标函数可变形为z=2x+y,即2y x z =-+,求截距的最小值,过点C(2,1)时, min 5z =,选C 。

【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：

（1）截距型： ,与直线的截距相关联,若0b >,当

z

b

的最值情况和z 的一致；若0b <,当

z

b

的最值情况和z 的相反； （2）斜率型：

与

()

,x y 的斜率,常见的变形：

,

,。

（3）点点距离型：表示(),x y 到(),m n 两点距离的平

方；

（4）点线距离型：表示(),x y 到直线

的距离

的2

2

a b +倍。

练习2．若实数,x y 满足,则21x y ++的取值范围是（ ）

【答案】A

【解析】作出不等式组表示的可行域如图．

令2z x y =+ ,则,则

12

z 表示直线2z x y =+在y 轴上的截距,截距越大, z 越大 由题意可得12A -（，） ,此时12C -（， ） 又可行域过点B 时, z 最大,

过点D 时z 最小,

,

,则

故选A

3．若实数满足不等式组,则的最大值是（ ）

A ．15

B ．14

C ．11

D ．10 【答案】B

【解析】由题可知,作出目标函数的可行域,如图所示,由知,当目标函数经过点

取得最大值,

即

,故选B ．

（三）与圆有关的线性规划 例3．设满足约束条件

,则的最小值为__________．

【答案】

,由点到直线的距离公式得,（取负值）,即的最小值为。

【点睛】本小题主要考查线性规划的知识,考查线性型目标函数的最值的求法,属于基础题。题目所给的约束条件中,表示的是圆心为,半径为的圆的圆上和圆内的点构成的区域。对于目标函数,由于,当直线截距最大时,取得最小值,这个在解题过程中要特别注意。

练习1．若点满足,点在圆上,则的最大值为A．B．C．D．

【答案】A

【解析】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示

因为在圆上,所以即求可行域内到点距离加半径即可

由图可知,可行域内点（1,1）到点（-2,3）的距离最大,

所以,所以PQ最大值为5+1=6

所以选A

练习2．设不等式组表示的平面区域为D,若圆C：不经过区域D上的点,则r的取值范围为

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

作出不等式组表示的平面区域,

得到如图的及其内部,其中,,

圆：表示以为圆心,半径为的圆,由图可得,当半径满足或时,圆不经过区域上的点,

,

当或时,圆不经过区域上的点,

故选

练习3．若,则函数的最小值等于______．【答案】

故答案为：

例4．已知满足约束条件则目标函数的最小值为（）

A．B．C．1D．

【答案】B

【解析】由已知得到可行域如图：

目标函数的几何意义是区域内的点到原点距离,所以原点到图中OP的距离即为所求,d,

所以目标函数的最小值为：；

故选：B．

练习1．若实数,满足,则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】,而表示正方形及其外部（如图）,所以

的最小值为点（1,0）到AB：y=-x+2的距离平方减去1,即,选D。

【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围。

例5。已知实数x,y满足,则的取值范围是__________。

【答案】

【解析】∵实数x,y满足x2﹣4x+3+y2＝0,即（x﹣2）2+y2＝1,表示以C（2,0）为圆心,半径等于1的圆．

则1,表示圆上的点M（x,y）与定点A（1,﹣3）连线的斜率k加上1,如图．当切线位于AB这个位置时,k最小,k+1最小．

当切线位于AE这个位置时,k不存在,k+1不存在．

设AB的方程为y+3＝k（x﹣1）,即kx﹣y﹣k﹣3＝0,由CB＝1,可得1,求得k．

而AE的方程为x＝1,

故k+1的范围为[,+∞）,

故答案为：[,+∞）．

练习1．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界）,则的取值范围是（）A．B．C．D．

【答案】D

【解析】画出曲线与围成的封闭区域,如图阴影部分所示．

表示封闭区域内的点和定点连线的斜率,

设,结合图形可得或,

由题意得点A,B的坐标分别为,∴,

∴或,∴的取值范围为．故选D．

练习2．若变量满足约束条件则的最大值是（）

A．B．0C．1D．2

【答案】C

【解析】由约束条件作出可行域如图：

表示可行域内的点与定点连线的斜率,由图像易知,点与定点连线的斜率最大,由

得,所以的最大值是。

故答案为1

练习3．若实数x,y满足不等式组,则目标函数的最大值是

A．1B．C．D．

【答案】B

【解析】实数x,y满足不等式组的可行域如图：

目标函数；的几何意义是可行域内的点与连线的斜率,

目标函数的最大值转化为的最小值,由图形可知最优解为,

所以目标函数的最大值是：．

故选：B．

练习4．已知满足不等式组,若,则的取值范围为___。

【答案】

【解析】作出不等式组表示的平面区域,如下图：

由得：,

所以表示点到点距离的平方。

由图可知,

,

的取值范围为

练习5．已知实数满足,则的最小值为________。

【答案】

【解析】由题意作出实数x,y满足平面区域,z＝（x﹣1）2+（y﹣5）2可看成阴影内的点P到点D （1,5）的距离的平方,阴影内的点P到点D（1,5）的距离的平方最小值转化为：D到x﹣y+1＝0的距离的

平方,解得。

故答案为：．

（六）其它形式的目标函数

例6。．已知点满足,的取值范围是__________．

【答案】。

【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

∵,

∴表示可行域内的点到直线和的距离之和的倍,结合图形可得无最大值．

由解得,所以点A的坐标为．

此时．

由解得,所以点A的坐标为．

此时．

∴的最小值为2,

故得的取值范围为．

练习1．已知,满足,的最小值、最大值分别为,,且对上恒成立,则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】B

显然的最小值为0,

当点在线段上时,

；

当点在线段上时,

；

即；当时,不等式恒成立,

若对上恒成立,则在上恒成立,

又在单调递减,在上单调递增,即,即．

练习2．设不等式组表示的平面区域为,则（）

A．的面积是B．内的点到轴的距离有最大值

C．点在内时,D．若点,则

【答案】C

【解析】画出可行域如下图所示：有图可知,可行域面积是无限大的,可行域内的点到轴的距离也是没有最大值的,故两个选项错误。注意到在可行域内,而,故D选项错误。有图可知,可行域内的点和连线的斜率比的斜率要小,故C选项正确。所以选C。

练习3．已知变量,满足条件则目标函数的最大值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

点睛：本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题。求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值。

练习4．已知实数x , y 满足不等式组,若直线()1y k x =+把不等式组表示的平面区域分

成面积相等的两部分,则k =（ ） A ．

14 B ．13 C ．12 D ．3

4

【答案】B

【解析】不等式组对应平面区域是以A(-1,0),B(1,-1),C(0,2)为顶点的三角形（如图）,因为()1y k x =+过定点A （-1,0）,由题意直线()1y k x =+过BC 的中点E 11,22??

???

,所以斜率13k =,选B 。

（七）线性规划的实际应用

例7。“五一”期间,为了满足广大人民的消费需求,某共享单车公司欲投放一批共享单车,单车总数不超过100辆,现有A,B两种型号的单车：其中A型车为运动型,成本为400元辆,骑行半小时需花费元；B型车为轻便型,成本为2400元辆,骑行半小时需花费1元若公司投入成本资金不能超过8万元,且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次,每次不超过半小时不足半小时按半小时计算,问公司如何投放两种型号的单车才能使每天获得的总收入最多,最多为多少元？

【答案】公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多,最多为120元．

【解析】根据题意,设投放A型号单车x辆,B型号单车y辆,单车公司每天可获得的总收入为Z,

则有,

即,

且,

画出不等式组表示的平面区域,由,解得。

当目标函数,经过点时,取得最大值为：。

答：公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多,最多为120元。

【点睛】用线性规划的方法来解决实际问题：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示,进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来,建立数学模型,再画出表示的区域。

练习1．电视台应某企业之约播放两套连续剧,其中,连续剧甲每次播放时间80分钟,其中广告时间1分钟,

至少播放广告6分钟,而电视台每周至多提供320分钟节目时间。

（1）设每周安排连续剧甲次,连续剧乙次,列出,所应该满足的条件；

（2）应该每周安排两套电视剧各多少次,收视观众最多？

【答案】（1）（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套

【解析】（1）由题意可得：；

（2）收视观众数为万,则,所以,因此直线在y轴截距最大时,取最大值；

画出可行域

易知当,时,有最大值,最大值是200,收视观众200万。

每周应安排甲、乙连续剧2套、4套

练习2．两类药片有效成分如下表所示,若要求至少提供12mg阿司匹林,70mg小苏打,28mg可待因,问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？

成分

阿司匹林小苏打可待因每片价格(元)

种类

A(mg/片)2510。1

B(mg/片)1760。2

【解析】设两种药品分别为片和片,

则有,两类药片的总数为,两类药片的价格和为。

如图所示,作直线,

将直线向右上方平移至位置时,直线经过可行域上一点,且与原点最近．

解方程组,得交点坐标为。

由于不是整点,因此不是的最优解,

结合图形可知,经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是,

经过的整点是,因此的最小值为。药片最小总数为片．

同理可得,当时,取最小值,

因此当类药品片、类药品片时,药品价格最低。

练习3．《九章算术》中记载了“今有共买豕,人出一百,盈一百；人出九十,适足。问人数、豕价各几何？”。其意思是“若干个人合买一头猪,若每人出100,则会剩下100；若每人出90,则不多也不少。问人数、猪价各多少？”。设分别为人数、猪价,则___,___。

【答案】10900

【解析】由题意可得,解得。

故答案为10 900