2020届甘肃省学年临夏中学高一上学期期中考试数学试题

甘肃省临夏中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学

试题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.设集合M ={x |-3＜x ＜2}，N ={x |1≤x ≤3}，则M ∩N =（ ）

A. B. C. D. [2,3][1,2](2,3]

[1,2)

2.下列等式成立的是（ ）A. B. log 2(8?4)=log 28?log 24

log 2．8log 24=log 284C. D. log 28=3log 22

log 2(8+4)=log 28+log 24

3.下列函数在R 上单调递增的是（ ）A. B. C. D. y =|x |

y =lg x y =x 12y =2x 4.

已知幂函数f （x ）=x m 的图象经过点（4，2），则f （16）=（ ）A. B. 4 C. D. 822425.若奇函数f （x ）在[1，3]上是增函数，且有最小值7，则它在[-3，-1]上（ ）

A. 是减函数，有最小值

B. 是增函数，有最小值?7?7

C. 是减函数，有最大值

D. 是增函数，有最大值?7?7

6.函数f （x ）=ln x +2x -6的零点一定位于下列哪个区间（ ）

A. B. C. D. (1,2)(2,3)(3,4)(5,6)7.

下列函数与y =x 有相同图象的一个函数是（ ）

A. B. 且y =x 2y =log a a x (a >0a ≠1)C. 且 D. y =a

log a a x (a >0a ≠1)y =x 2x 8.

三个数a =0.32，b =log 20.3，c =20.3之间的大小关系是（ ）A. B. C. D. a

A. 1，5

B. 1，

C. 0，

D. 4，()(4)(4)(0)

10.已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （-x ）=2-f （x ），若函数y =

与y =f （x ）图象的交x +1x 点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则（x i +y i ）=（ ）

∑m i =1A. 0 B. m C. 2m D. 4m

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

11.函数y =x 2与函数y =2x 在区间（0，+∞）上增长较快的一个是______．

12.设a ＞1，

函数f （x ）=log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为，则a =______．1213.下列命题：

①偶函数的图象一定与y 轴相交；

②任取x ＞0，均有（）x ＞（）x ；

1213③在同一坐标系中，y =log 2x 与y =x 的图象关于x 轴对称；lo g

12④y =在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．

1x 其中正确的命题的序号是______．

14.定义运算：则函数f （x ）=3-x ?3x 的值域为______．

a ?

b ={b ,a ≥b a ,a

15.已知f （x ）=是（-∞，+∞）上的增函数，求a 的取值范围．{(6?a )x?4a (x <1)

log a x (x ≥1)16.设集合A ={x |a -1＜x ＜a +1}，B ={x |x ＜-1或x ＞2}．

（1）若A ∩B =?，求实数a 的取值范围；

（2）若A ∪B =B ，求实数a 的取值范围．

17.求值：

（1）已知函数f （x ）=a x +a -x （a ＞0，且a ≠1），f （1）=3，求f （2）．

（2）已知3m =4n =12，求的值．1m +1n 18.已知函数f （x ）=log a （2x +1），g （x ）=log a （1-2x ）（a ＞0且a ≠1）

（1）求函数F （x ）=f （x ）-g （x ）的定义域；

（2）判断F （x ）=f （x ）-g （x ）的奇偶性，并说明理由；

（3）确定x 为何值时，有f （x ）-g （x ）＞0．

19.已知定义在R 上的函数f （x ）=是奇函数

b?2x

2x +a （1）求a ，b 的值；

（2）若对任意的t ∈R ，不等式f （t -2t 2）+f （-k ）＞0恒成立，求k 的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：∵集合M={x|-3＜x＜2}=（-3，2），N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2），

故选：D．

由M与N，求出两集合的交集即可．

此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．

2.【答案】C

【解析】

解：log2（8-4）≠log28-log24=log22．故A不正确，

，故B不正确，

log28=3log22．C正确

log2（8+4）=log28+log24，D不正确

故选：C．

根据对数的运算性质，看出两个数的积，商的对数等于对数的和与差，真数

有指数时，指数要提到对数前面去，考查最基本的运算，分析后得到结果．

本题考查对数的运算性质，本题解题的关键是熟练应用对数的性质，能够辨

别真假，本题是一个基础题，若出现则是一个送分题目．

3.【答案】D

【解析】

解：A．函数y=|x|在x＞0时单调递增，在x＜0上单调递减．不成立．

B．函数y=lgx在（0，+∞）上单调递增，∴正确．

C．函数y=在[0，+∞）上单调递增，∴C错误．

D．函数y=2x，在R上单调递增，∴正确．

故选：D．

分别根据函数的性质判断函数的单调性即可．

本题主要考查函数单调性的判断，要熟练掌握常见函数的单调性．

4.【答案】B

【解析】

解：由于知幂函数f（x）=x m的图象经过点（4，2），则有4m=2，解得m=，故f（16）==4，

故选：B．

由题意可得4m=2，解得m=，可得f（16）=，运算求得结果．

本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．

5.【答案】D

【解析】

解：由奇函数的性质，

∵奇函数f（x）在（1，3）上为增函数，

∴奇函数f（x）在（-3，-1）上为增函数，

又奇函数f（x）在（1，3）上有最小值7，

∴奇函数f（x）在（-3，-1）上有最大值-7

故选：D．

奇函数在对称的区间上单调性相同，且横坐标互为相反数时函数值也互为相反数，由题设知函数f（x）在〔1，3〕上是增函数，且有最小值7，可得它在〔-3，-1〕上的单调性及最值．

本题考点是函数的性质单调性与奇偶性综合，考查根据奇函数的性质判断对称区间上的单调性及对称区间上的最值的关系，是函数的单调性与奇偶性相结合的一道典型题．

6.【答案】B

【解析】

解：∵函数f（x）=lnx+2x-6

f（1）=-4＜0，

f（2）=ln2-4＜0

f（3）=ln3＞ln1=0，

∴f（2）f（3）＜0，

∴函数的零点在（2，3）上，

故选：B．

要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入

函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端

点的乘积是否小于0，得到结果．

本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．

7.【答案】B

【解析】

解：A．y==|x|，与y=x的对应法则不相同，不是同一函数．

B．y=log a a x=x，函数的定义域和对应法则与y=x相同，是同一函数，满足条件．C ．y==a x与y=x的对应法则不相同，不是同一函数．

D．y==x，（x≠0），函数的定义域与y=x不相同，不是同一函数，

故选：B．

分别判断函数的定义域和对应法则是否和y=x相同即可．

本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致即可．

8.【答案】C

【解析】

解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，

由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1

∴b＜a＜c

故选：C．

将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图

象可知小于零．最后三者得到结论．

本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．

9.【答案】A

【解析】

解：由指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点

而要得到函数y=4+a x-1（a＞0，a≠1）的图象，

可将指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单

位．

则（0，1）点平移后得到（1，5）点．

点P的坐标是（1，5）．

故选：A．

根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）

点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标．

本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=4+a x-1（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．10.【答案】B

【解析】

解：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），

即为f（x）+f（-x）=2，

可得f（x）关于点（0，1）对称，

函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，

即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，

（x2，y2）为交点，即有（-x2，2-y2）也为交点，

…

则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）

=[（x1+y1）+（-x1+2-y1）+（x2+y2）+（-x2+2-y2）+…+（x m+y m）+（-x m+2-y m）]

=m．

故选：B．

由条件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交

点，计算即可得到所求和．

本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．

11.【答案】y=2x

【解析】

解：指数函数的增长速度要比幂函数快，

故答案为：y=2x．

在区间（0，+∞）上，指数函数增长快于幂函数，幂函数快于对数函数．

考查了指数函数，幂函数，对数函数的增长差异，属于基础题．

12.【答案】4

【解析】

解：∵a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值分别为log a2a，log a a=1，

它们的差为，

∴，a=4，

故答案为4

利用函数的单调性表示出函数的最大值和最小值，利用条件建立等量关系，解对数方程即可．

本题考查了对数函数的单调性，以及函数最值及其几何意义，属于基础题．13.【答案】②③

【解析】

解：①偶函数的图象不一定与y轴相交，比如偶函数y=x-2的图象与y轴无交点；

②任取x＞0，由幂函数的单调性均有（）x＞（）x；

③在同一坐标系中，y=log2x与y=x的图象关于x轴对称；

④y=在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数，并非定义域上为减函数，

比如x1=-1，x2=1，f（x1）＜f（x2）．

综上可得①④错误，②③正确．

故答案为：②③．

由偶函数y=x-2的图象与y轴无交点，可判断①；由幂函数的单调性可判断②；由对数函数的图象可判断③；由如x1=-1，x2=1，f（x1）＜f（x2）．可判断④．

本题考查函数的对称性和单调性、奇偶性的判断和运用，考查判断能力，属

于基础题．

14.【答案】（0，1]

【解析】

解：如图为y=f（x）=3-x?3x的图象（实线部分），

由图可知f（x）的值域为（0，1]．

故答案为：（0，1]．

作出f（x）=3-x?3x的图象，结合图象能求出函数f（x）=3-

x ?3x 的值域．

本题考查指数函数的性质和应用，解题时作出图象，数形结合，事半功倍．15.【答案】解：f （x ）=是（-∞，+∞）上的增函数，

{(6?a )x?4a (x <1)

log a x (x ≥1)当x ≥1时，f （x ）=log a x 是增函数，

∴a ＞1，

当x ＜1时，f （x ）=（6-a ）x -4a 是增函数，

∴6-a ＞0，

∴a ＜6，

又由（6-a ）×1-4a ≤log a 1，得a ≥，

65∴a 的取值范围≤a ＜6

65【解析】需要分类讨论，当x≥1时，f （x ）=log a x 是增函数，求出a 的范围，当x ＜1时，f （x ）=（6-a ）x-4a 是增函数，求出a 的范围，再根据f （x ）在（-∞，+∞）上的增函数，得到关于a 的不等式，继而求得范围．

本题主要考查了对数函数的性质，函数的单调性的性质，二次函数的性质，属于基础题．

16.【答案】解：（1）集合A ={x |a -1＜x ＜a +1}，B ={x |x ＜-1或x ＞2}，

若A ∩B =?，则{a?1≥?1a +1≤2

即，解得：0≤a ≤1，

{a ≥0

a ≤1实数a 的取值范围时[0，1]；

（2）∵若A ∪B =B ，∴A ?B

则a +1≤-1或a -1≥2，

解得：a ≤-2或a ≥3，

则实数a 的取值范围为（-∞，-2]∪[3，+∞）．

【解析】（1）若A∩B=?，则，解不等式即可得到所求范围；

（2）若A ∪B=B ，则A ?B ，则a+1≤-1或a-1≥2，解不等式即可得到所求范围．本题考查集合的运算，主要是交集、并集，同时考查集合的包含关系，注意运用定义法，考查计算能力，属于基础题．

17.【答案】解：（1）已知函数f （x ）=a x +a -x （a ＞0，且a ≠1），f （1）=3，可得a +a -1=3，

f （2）=a 2+a -2=（a +a -1）2-2=9-2=7．

（2）已知3m =4n =12，

可得m =，n =，

lg 12lg 3lg 12

lg 4==1．1m +1n lg 3+lg 4lg 12【解析】

（1）利用函数的表达式，推出a 的关系式，然后求解f （2）．

（2）求出n ，m 然后利用对数运算法则化简求解即可．

本题考查函数值的求法，对数运算法则的应用，是基本知识的考查．18.【答案】解：（1）要使函数有意义，则有．{2x +1>01?2x >0∴{x |?12＜x ＜12}（2）F （x ）=f （x ）-g （x ）

=log a （2x +1）-log a （1-2x ），

F （-x ）=f （-x ）-g （-x ）

=log a （-2x +1）-log a （1+2x ）

=-F （x ）．

∴F （x ）为奇函数．

（3）∵f （x ）-g （x ）＞0

∴log a （2x +1）-log a （1-2x ）＞0

即log a （2x +1）＞log a （1-2x ）．

①0＜a ＜1，．

0＜2x +1＜1?2x ∴?12＜x ＜0②a ＞1，．

2x +1＞1?2x ＞0∴0＜x ＜12【解析】（1）利用对数函数的性质求函数的定义域．

（2）利用函数奇偶性的定义去判断．

（3）若f （x ）＞g （x ），可以得到一个对数不等式，然后分类讨论底数取值，即可得到不等式的解．

本题主要考查了函数的定义域以及函数奇偶性的判断，判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称，然后在利用奇偶性的定义去判断，同时考查不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．19.【答案】解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （0）=0，∴b =1，

∵f （-1）=-f （1），∴=-，∴a =1；

1?1212+a 1?22+a （2）由（1）知f （x ）=-1+，

22x +1∴f ′（x ）=＜0

?2xln 2

(2x +1)2∴f （x ）在（-∞，+∞）上为减函数，

所以（t -2t 2）+f （-k ）＞0等价于t -2t 2＜k ，

∴k ＞t -2t 2=-2+对任意t ∈R 恒成立，

(t?14)218∴k ＞．

18【解析】（1）利用奇函数定义f （-x ）=-f （x ）中的特殊值f （0）=0求b 的值，f （-1）=-f （1），求a 的值；

（2）结合单调性和奇函数的性质把不等式f （t-2t 2）+f （-k ）＞0转化为关于t 的一

元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．

本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．