高中数学高考总复习复数习题及详解

高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题

1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i

2－3i

＝()

A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A

[解析]3＋2i

2－3i

＝

(3＋2i)(2＋3i)

(2－3i)(2＋3i)

＝

6＋9i＋4i－6

13＝i.

2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()

A．4＋8i

B．8＋2i

C．2＋4i

D．4＋i

[答案] C

[解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－2

2＝2，y＝

5＋3

2

＝4，

∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.

3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是()

A．－1

B．4

C．－1和4

D．－1和6

[答案] C

[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.

[点评] 复数z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．

4．(文)已知复数z ＝1

1＋i

，则z －·i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B

[解析] z ＝1－i 2，z －＝12＋i 2，z －·i ＝－12＋12i .实数－12，虚部12，对应点⎝ ⎛⎭⎪

⎫－12，12在第二象限，故选B.

(理)复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z 2＋1

z ( )

A ．是纯虚数

B ．是虚数但不是纯虚数

C ．是实数

D ．只能是零 [答案] C

[解析] 解法1：∵z 的对应点P 在单位圆上， ∴可设P (cos θ，sin θ)，∴z ＝cos θ＋i sin θ. 则z 2＋1z ＝cos2θ＋i sin2θ＋1cos θ＋i sin θ＝2cos 2θ＋2i sin θcos θcos θ＋i sin θ

＝2cos θ为实数．

解法2：设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )， ∵z 的对应点在单位圆上，∴a 2＋b 2＝1， ∴(a －bi )(a ＋bi )＝a 2＋b 2＝1，

∴z 2＋1z ＝z ＋1z

＝(a ＋bi )＋(a －bi )＝2a ∈R .

5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数

．．．．是()

A．－3＋i

B．－3－i

C．3＋i

D．3－i

[答案] A

[解析](3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.

6．(2010·湖南衡阳一中)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为()

A．－4

B．4

C．－1

D．1

[答案] A

[解析]由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.

7．(文)(2010·吉林市质检)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

[答案] D

[解析]∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.

(理)现定义：e iθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋b i等于() A．cos5θ＋isin5θ

B ．cos5θ－isin5θ

C ．sin5θ＋icos5θ

D ．sin5θ－icos5θ [答案] A

[解析] a ＋b i ＝C 50cos 5θ＋iC 51cos 4θsin θ＋i 2C 52cos 3θsin 2θ＋i 3C 53cos 2θsin 3θ＋i 4C 54cos θsin 4θ＋i 5C 55sin 5θ＝(cos θ＋isin θ)5＝(e i θ)5＝e i (5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.

8．(文)(2010·安徽合肥市质检)已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi (其中i 为虚数单位)，若复数a

b

∈R ，则实数x 的值为( )

A ．－6

B ．6 C.83 D ．－83

[答案] C [解析]

a b ＝3＋2i 4＋xi ＝(3＋2i )(4－xi )16＋x 2

＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2 i ∈R ，∴8－3x 16＋x 2

＝0，∴x ＝83.

(理)(2010·山东邹平一中月考)设z ＝1－i (i 是虚数单位)，则z 2

＋2

z

＝( )

A ．－1－i

B ．－1＋i

C ．1－i

D ．1＋i [答案] C

[解析] ∵z ＝1－i ，∴z 2＝－2i ，2z ＝2

1－i ＝1＋i ，

∴z 2＋2

z

＝1－i ，选C.

9．(2010·山东聊城市模拟)在复平面内，复数

2

1－i

对应的点到直线y＝x＋1的

距离是()

A.

2 2

B. 2 C．2 D．2 2 [答案] A

[解析]∵

2

1－i

＝

2(1＋i)

(1－i)(1＋i)

＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离

d＝1

2

＝

2

2，故选A.

10．(文)(2010·山东临沂质检)设复数z满足关系式z＋|z－|＝2＋i，则z等于() A．－

3

4＋i

B.

3

4－i

C.

3

4＋i

D．－

3

4－i

[答案] C

[解析]由z＝2－|z－|＋i知z的虚部为1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知a＝

2－a2＋1，∴a＝3

4，故选C.

(理)(2010·马鞍山市质检)若复数z＝a＋i

1－2i

(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a

＋2i|等于()

A．2

B．2 2

C ．4

D ．8 [答案] B

[解析]

z ＝a ＋i 1－2i ＝(a ＋i )(1＋2i )5＝a －25＋2a ＋1

5i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a －25＝02a ＋1

5≠0

，

∴a ＝2，

∴|a ＋2i |＝|2＋2i |＝2 2. 二、填空题

11．规定运算⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

a b c d ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪

⎪⎪ z i －i

2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数

z ＝________.

[答案] 1－i

[解析] 由已知可得⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

z

i －i

2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i . 12．(2010·南京市调研)若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i (i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．

[答案] －1

[解析] 因为z 1·z 2＝(a －i )(1＋i )＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1. 13．(文)若a 是复数z 1＝1＋i 2－i 的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于

________．

[答案] －2

5

[解析] ∵z 1＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋3

5

i ， ∴a ＝15

.

又z 2＝(1－i )3＝1－3i ＋3i 2－i 3＝－2－2i ，∴b ＝－2.

于是，ab ＝－2

5.

(理)如果复数2－bi

1＋2i

(i 是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b 等于________．

[答案] －2

3

[解析] 2－bi 1＋2i ＝2－bi 1＋2i ·1－2i 1－2i ＝2－2b 5－b ＋4

5i ，

由复数的实数与虚数互为相反数得，2－2b 5＝b ＋4

5，

解得b ＝－2

3

.

14．(文)若复数z ＝sin α－i (1－cos α)是纯虚数，则α＝________. [答案] (2k ＋1)π (k ∈Z )

[解析] 依题意，⎩⎨⎧ sin α＝01－cos α≠0，即⎩⎨⎧

α＝k π

α≠2k π

，所以α＝(2k ＋1)π (k ∈Z )．

[点评] 新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．

(理)(2010·上海大同中学模考)设i 为虚数单位，复数z ＝(12＋5i )(cos θ＋i sin θ)，若z ∈R ，则tan θ的值为________．

[答案] －

5

12

[解析] z ＝(12cos θ－5sin θ)＋(12sin θ＋5cos θ)i ∈R ， ∴12sin θ＋5cos θ＝0，∴tan θ＝－512

. 三、解答题

15．(2010·江苏通州市调研)已知复数z ＝a 2－7a ＋6

a ＋1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )．

试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

[解析] (1)当z 为实数时，⎩⎨⎧

a 2－5a －6＝0

a ＋1≠0

，

∴a ＝6，∴当a ＝6时，z 为实数．

(2)当z 为虚数时，⎩⎨⎧

a 2－5a －6≠0

a ＋1≠0

，

∴a ≠－1且a ≠6，

故当a ∈R ，a ≠－1且a ≠6时，z 为虚数．

(3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧

a 2－5a －6≠0

a 2

－7a ＋6＝0

a ＋1≠0

∴a ＝1，故a ＝1时，z 为纯虚数．

16．(2010·上海徐汇区模拟)求满足⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪z ＋1z －1＝1且z ＋2

z ∈R 的复数z . [解析] 设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )，

由⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

z ＋1z －1＝1?|z ＋1|＝|z －1|， 由|(a ＋1)＋bi |＝|(a －1)＋bi |，

∴(a ＋1)2＋b 2＝(a －1)2＋b 2，得a ＝0， ∴z ＝bi ，又由bi ＋2

bi ∈R 得，

b －2

b

＝0?b ＝±2，∴z ＝±2i .

17．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .

(1)设复数z ＝a ＋bi (i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

a －

b ＋2≥00≤a ≤4

b ≥0

表示的平面区域内(含边界)的概

率．

[解析](1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i 为实数，则b＝3.

依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为1

6.即事件“z－3i为实

数”的概率为1 6.

(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：

不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．

由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．

所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝18

36＝

1

2.

高中数学高考总复习复数习题及详解

高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题 1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i 2－3i ＝() A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A [解析]3＋2i 2－3i ＝ (3＋2i)(2＋3i) (2－3i)(2＋3i) ＝ 6＋9i＋4i－6 13＝i. 2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是() A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案] C [解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－2 2＝2，y＝ 5＋3 2 ＝4， ∴点C对应的复数为2＋4i，故选C. 3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是() A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 [答案] C

[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C. [点评] 复数z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点． 4．(文)已知复数z ＝1 1＋i ，则z －·i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B [解析] z ＝1－i 2，z －＝12＋i 2，z －·i ＝－12＋12i .实数－12，虚部12，对应点⎝ ⎛⎭⎪ ⎫－12，12在第二象限，故选B. (理)复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z 2＋1 z ( ) A ．是纯虚数 B ．是虚数但不是纯虚数 C ．是实数 D ．只能是零 [答案] C [解析] 解法1：∵z 的对应点P 在单位圆上， ∴可设P (cos θ，sin θ)，∴z ＝cos θ＋i sin θ. 则z 2＋1z ＝cos2θ＋i sin2θ＋1cos θ＋i sin θ＝2cos 2θ＋2i sin θcos θcos θ＋i sin θ ＝2cos θ为实数． 解法2：设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )， ∵z 的对应点在单位圆上，∴a 2＋b 2＝1， ∴(a －bi )(a ＋bi )＝a 2＋b 2＝1， ∴z 2＋1z ＝z ＋1z ＝(a ＋bi )＋(a －bi )＝2a ∈R .

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》知识点总复习含答案

【高中数学】数学复习题《复数》知识点练习 一、选择题 1．设复数4273i z i -= -，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729- B ．1729 C ．129- D ．129 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数运算法则求解1712929z i = -，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929 i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129- 故选：C 【点睛】 此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念. 2．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)= -+，则z (= ) A ．10 B C ．5 D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】 4244z 3i 3i 13i (1i)(2i) =-=-=--+Q ，z ∴== 故选B ． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A B C ．2 D ．3

【解析】 ()11z i i i =-=+，故2z =，故选A. 4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2i C ．12i -+ D ．12i -- 【答案】B 【解析】 试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故 ，则12i z =-，选B. 【考点】注意共轭复数的概念 【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 5．a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i +=，则a=（ ） A ．2 B 3 C 2 D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 2||21230,3a i a a a a i +=+=∴=±>∴=Q ，选B. 6．设i 是虚数单位，则()() 3211i i -+等于( ) A ．1i - B ．1i -+ C ．1i + D ．1i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】 () ()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i i i -----===-++ 故答案选B

高考数学复数习题及答案

高考数学复数习题及答案决战高考 高考复试卷含答案 一、选择题 1.(2017·山东) 复数3-i等于( )。 A。1+2i B。1-2i C。2+i D。2-i 答案：C 解析：(3-i)(3-i)(1+i) = 4+2i = 2+i。故选C。2.(2017·宁夏、海南) 复数(2-3i)/(2+3i) = ( )。A。-2i B。2 C。-1/2 D。2i

答案：D 解析：(2-3i)/(2+3i) = [(2-3i)(2-3i*)]/(2^2+3^2) = 13i/13 = i。故选D。 3.(2017·陕西) 已知z是纯虚数，|z|=1是实数，那么z等于( )。 A。2i B。i C。-i D。-2i 答案：D 解析：由题意得z=ai(a∈R且a≠0)。则|z|=|ai|=a=1.故a=1，z=-i。故选D。 4.(2017·武汉市高三年级2月调研考试) 若f(x)=x^3-x^2+x-1，则f(i)=( )。 A。2i B。-i+2 C。-2i D。-2

答案：B 解析：f(i) = i^3-i^2+i-1 = -i+1+i-1 = -2.故选B。 5.(2017·北京朝阳4月) 复数z=i/(2-i)在复平面内对应的点 位于( )。 A。第一象限 B。第二象限 C。第三象限 D。第四象限 答案：D 解析：z=i/(2-i) = (2+i)/(5-2i)。由此可知，z对应的点位于 第四象限。故选D。 6.(2017·北京东城3月) 若将复数(2+ib)/(1+i)表示为a+bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则a的值为( )。 A。-2 B。-1 C。2 D。1 答案：A

高中数学复数练习题含答案

高中数学复数练习题含答案 一、单选题 1．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．5 B ．5 C ．2 D ．2 2．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ） A ．2 B ．3 C ．23 D ．32 3．已知 i 是虚数单位，复数4 1322i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ） A ．2i - B ．2i C ．2- D ．2 6．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ） A ．2i - B ．12i - C ．1+2i - D ．2i -- 8．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ） A 17 B ．4 C 7 D 59．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 10． 3i 3i -+=+（ ）

A ．43i 55 + B ．43i 55 -+ C ． 43i 55 D ．43i 55 -- 11．复数1i 1i +-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 12．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．i D ．1- 13．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 14．设复数5 3i --的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 15．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ） A ．5 B C ．10 D 16．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i + B ．1917i + C ．1117i - D ．1923i + 17．已知复数z 满足()2 1i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．i 18．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ） A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2i D ．z ＝－2＋i 19．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ） A ．－1＋i B ．1－i C ．－5－5i D ．5＋5i 20．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位 于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 二、填空题 21．若复数2 (1i)34i z +=+，则z =__________． 22．若复数z 满足i 3 i= i z -+，则z =________. 23．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________． 24．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．

高中数学高考专题29 复数(解析版)

专题29 复数 命题规律 内 容 典 型 １ 考查复数的模 2020年高考全国Ⅰ卷文数2 ２ 考查复数点表示 2018年高考北京卷文数 ３ 考查复数运算 2020年高考全国Ⅲ卷文数2 ４ 考查复数的概念 2019年高考全国Ⅱ卷文数 命题规律一 考查复数的模 【解决之道】对复数的模问题，先将复数化成代数形式),(R b a bi a ∈+，再利用模公式2 2 b a +计算. 【三年高考】 1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数2】若312i i z =++，则z = （ ） A ．0 B ．1 C D ．2 【答案】C 【解析】∵31+21+2i i i i 1i z =+=-=+，∴z == C ． 2.【2020年高考上海卷3】已知复数12z i =-（i 为虚数单位），则|z |= . 【解析】z == 3.【2019年高考浙江卷】复数1 1i z = +（i 为虚数单位），则||z =______________． 【答案】 2 【解析】由题可得1|| |1i |z = == +． 4.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i 12i z -= +，则||z =（ ） A ．2 B C D ．1 【答案】C

【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17 i (12i)(12i)55z --= =-+-，所以||z ==C ． 方法2：由题可得|3i ||||12i |z -====+，故选C ． 5.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设1i 2i 1i z -= ++，则||z =（ ） A ．0 B ．1 2 C ．1 D 【答案】C 【解析】因为21i (1i)2i 2i +2i 2i i 1i (1i)(1i)2 z ---=+==+=++-，所以1||z ==，故选C ． 6.【2019年高考天津卷文数】i 是虚数单位，则5| i i |1-+的值为______________． 【解析】由题可得5i (5i)(1i) | ||||23i |1i (1i)(1i) ---==-=++-． 7.【2019年高考浙江卷】复数1 1i z = +（i 为虚数单位），则||z =______________． 【解析】由题可得1|| |1i |2z = == +． 命题规律二 考查复数的点表示 【解决之道】对复数的点表示，要熟记复数在复平面内的对应点的坐标意义，只要利用复数点表示的意义即可解决此类问题. 【三年高考】 1.【2018年高考北京卷文数】在复平面内，复数 1 1i -的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D

高中数学复数专题复习(知识点、例题、习题附解析)

高中数学复数专题复习(知识点、例题、习题附解析) 复数 复数的概念 定义 i 的周期性 复数的分类 复数的几何意义 复数的模 复数的四则运算 加法 减法 乘法 除法 运算常用结论

一、复数的概念 1．定义 形如i (,)=+∈z a b a b R 的数叫做复数．复数常用字母z 表示，其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部，i 叫做虚数单位，规定2i 1=-．全体复数所成的集合叫做复数集，用C 表示． 注意：复数不能比较大小，只有相等和不相等，当对应的实部和虚部相同时，我们说复数相等． 例如：32i 32i 23i +=+≠+． 例1 复数2+3i 的实部是______，虚部是_______；复数-2-i 的实部是______，虚部是______． 解析：注意i 前面的数字才是虚部，包含正负号． 答案：2 3 -2 -1 例2 已知21i (3)i x y y -+=--，求x 与y ． 解析：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等． 由题意，得211(3)x y y -=⎧⎨=--⎩，解得524 x y ⎧ = ⎪⎨⎪=⎩． 答案：5,42 x y == 2．i 的周期性 1234i i i 1i i i 1==-=-=，以此类推，可得： 4142434i i i 1 i i i 1()n n n n n +++==-=-=∈Z 4142434i i i i 0()n n n n n ++++++=∈Z 例如：19873i i i ==-，2020 4i i 1==（指数除以4，只保留余数，如果整除，即为4i ）． 3．复数的分类 对于复数a +b i ，当0b =时，它是实数；当0b ≠时，它是虚数；当0a =且0b ≠时，叫做纯虚数． 0i 0,000,0()()()()b z a b b a b b a =⎧⎪ =+≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩ 实数一般虚数 虚数纯虚数 例如：2（实数），3i （纯虚数），2+3i （一般虚数）．

高考数学压轴专题海口备战高考《复数》基础测试题含答案解析

【高中数学】单元《复数》知识点归纳 一、选择题 1．设复数21i x i = -（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1i + B ．i - C ．i D ．0 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果． 【详解】 解：复数2(1i x i i =-是虚数单位）， 而1122332020202020202020 202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2 121(1)111(1)(1) i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020 202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题． 2．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1 B ．2 C D ．3 【答案】D 【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D. 3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A B C ．3 D ．5 【答案】B 【解析】 (2)2z i i i i =-=-==B ． 4．已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）

A ．1i - B ．1i + C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A 【解析】 因为|2(1)11(1)(1) i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 5．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i - C ．3i D ．3- 【答案】D 【解析】 【分析】 首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】 由题意可得：()()()() 362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-. 本题选择D 选项. 【点睛】 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 6．已知(,)a bi a b R +∈是 11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．1 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用复数的除法运算法则求出 11i i +-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】 ()()21(1)21112 i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1，

高中数学复数练习题(含解析)

高中数学复数练习题（含解析） 一、单选题 1．已知()2 1i 32i z -=+，则z =（ ） A ．3 1i 2 -- B ．3 1i 2 -+ C ．3i 2-+ D ．3i 2 -- 2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A ．1 B ．–1 C ．2 D ．–2 3．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程()1040x x -=的根”，卡尔丹求得该方程的根 分别为5+55和5．若() 55z =，则复数z =（ ） A ．1 B ．1 C D 4．已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i + 5．已知 i 为虚数单位， 复数12i i z +=， 则z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i + D ．2i - 6．复数1 13i -的虚部是（ ） A ．310 - B ．110 - C ． 110 D ． 310 7．设(1i)1i x y +=+，其中i 为虚数单位，,x y 是实数，则x yi +=（ ） A ．1 B C D ．2 8．若()()1i 11i z --=+，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i 9．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ） A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数 B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅= C ．如果2z z =，则1z = D ．1212z z z z =

新高中数学复数多选题专项训练专题复习及答案(1)

一、复数多选题 1．已知i 为虚数单位，复数322i z i += -，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为 4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限 答案：AD 【分析】 先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 ，故，故A 正确. 的虚部为，故B 错，，故C 错， 在复平面内对应的点为，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考 解析：AD 【分析】 先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 ()()32232474725555 i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确. z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数. 2．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．|z |= B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限

答案：CD 【分析】 根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】 由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一 解析：CD 【分析】 根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得. 【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122 i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得 ||2 z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22 ，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】 本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面. 3．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．． 的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数 D ．纯虚数z 的共轭复数是z - 答案：AB 【分析】 由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】 解：因为 当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确； 当时，复数为实数，故C 正确； 对于B ：，则即，故B 错误； 故错误的有AB 解析：AB 【分析】 由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】

高中数学数学复数多选题专项训练试题附解析

一、复数多选题 1．已知复数1z =-(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（ ） A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限 B ．1w = C ．w 的实部为12 - D ．w 答案：ABC 【分析】 对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】 对选项由题得 . 所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确 解析：ABC 【分析】 对选项,A 求出1=22 w - +，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项 ,C 复数w 的实部为12- ，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】 对选项,A 由题得1,z =- 12w ∴===-+. 所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确； 对选项B ，因为1w = =，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为1 2 -，所以选项C 正确； 对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC

【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件 答案：BC 【分析】 设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】 设，则， 则，若，则，，若，则不为纯虚数， 所以，“”是“为纯虚数”必要不充分 解析：BC 【分析】 设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】 设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件； 22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件. 故选：BC. 【点睛】 本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题. 3．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z += B ．当1z ，2z C ∈时，若22 12 0z z +=，则10z =且20z =

精选高中数学复数多选题专项训练100含答案

一、复数多选题 1．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠ C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数 D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 答案：AC 【分析】 根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确； 对于：若复数是纯虚数则且，故错误； 对于：若，互为共轭复数 解析：AC 【分析】 根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确； 对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误； 对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2 122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误； 故选：AC 【点睛】 本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题． 2．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z += B ．当1z ，2z C ∈时，若2212 0z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅

高中数学复数多选题专项训练100含解析

高中数学复数多选题专项训练100含解析 一、复数多选题 1．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）． A ．234i i i i 0+++= B ．3i 1i +>+ C ．若()2 z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限 D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 答案：AD 【分析】 根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D. 【详解】 ，则A 正确； 虚数不能比较大小，则B 错误； ，则， 解析：AD 【分析】 根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D. 【详解】 234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确； 虚数不能比较大小，则B 错误； ()22 1424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--， 其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣ ， =，解得0x = 则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确； 故选：AD 【点睛】 本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题. 2．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件

高考数学专题02 复数(解析版)

专题02 复数 一、单选题 1．（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数()()2i 1i z a =++（其中i 为虚数单位，a R ∈）在复平面内对应的点为()1,3，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．0 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为()()()2i 1i 22i z a a a =++=-++， 又因为复数在复平面内对应的点为()1,3， 所以2123a a -=⎧⎨+=⎩， 解得1a = 故选：A 2．（2022·河北保定·高三期末）()()2 2 12i 1i --+=（ ） A ．32i -- B ．36i -- C ．32i - D ．36i - 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的四则运算计算即可. 【详解】 22(12i)(1i)34i 2i 36i --+=---=--. 故选：B 3．（2022·河北张家口·高三期末）已知12z i =-，则5i z =（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．105i - D ．105i -+

【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法化简可得结果. 【详解】 ()()() 5i 12i 5i 5i 2i 12i 12i 12i z +===-+--+， 故选：A. 4．（2021·福建·莆田二中高三期末）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位， []0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即 22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】 ()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ +⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以 cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=， 当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π 5 k θ= ，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π 5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++， 3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即 ()421π5 k θ+= ，4k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ= ，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5 m θ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C

高中数学复数选择题专项训练100附解析(1)

高中数学复数选择题专项训练100附解析(1) 一、复数选择题 1．复数2 1i =+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 答案：C 【分析】 根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 . 故选：C 解析：C 【分析】 根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 21i =+2(1) (1)(1)i i i -=+-2(1) 12i i -=-. 故选：C 2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ．3 1 55i + B ．1355i + C ．1 13i + D ．13i + 答案：B 【分析】 利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】 ，. 故选：B. 解析：B 【分析】 利用复数的除法法则可化简1i z +，即可得解. 【详解】 2z i =-，()() ()()1211131 3 222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.

3．设复数1i z i = +，则z 的虚部是（ ） A ．12 B ．12i C ．12- D ．12 i - 答案：A 【分析】 根据复数除法运算整理得到，根据虚部定义可得到结果. 【详解】 ，的虚部为. 故选：. 解析：A 【分析】 根据复数除法运算整理得到z ，根据虚部定义可得到结果. 【详解】 ()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，z ∴的虚部为12. 故选：A . 4．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．5 B C ． D ．5i 答案：B 【分析】 由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】 ，所以， 故选：B 解析：B 【分析】 由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】 (2)21z i i i =+=- ，所以|z | 故选：B 5．已知复数5i 5i 2i z = +-，则z =（ ） A B ．C ．D ．答案：B 【分析】

精选高中数学复数选择题专项训练100及答案

精选高中数学复数选择题专项训练100及答案 一、复数选择题 1．已知复数1z i =+，则 21z +=（ ） A ．2 B C ．4 D ．5 答案：B 【分析】 先求出，再计算出模. 【详解】 ， ， . 故选：B. 解析：B 【分析】 先求出21z +，再计算出模. 【详解】 1z i =+， ()()() 21221112111i i z i i i -∴+=+=+=-++-， 21z ∴+== 故选：B. 2．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B 【分析】 先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为复数， 所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B 解析：B 【分析】 先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.

【详解】 因为复数()11z i i i =⋅+=-+， 所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B 3．已知复数()2m m m i z i --= 为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 答案：C 【分析】 结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可 【详解】 解析：因为为纯虚数，所以，解得， 故选：C. 解析：C 【分析】 结合复数除法运算化简复数z ，再由纯虚数定义求解即可 【详解】 解析：因为()()22m m m i z m m mi i --==--为纯虚数，所以200 m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =， 故选：C. 4．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 答案：D 【分析】 由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】 ，. 故选：. 解析：D 【分析】 由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】 ()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+. 故选：D . 5．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分

高中数学(人教A版)必修第二册《第7章 复数》单选题专项练习(含答案解析)

高中数学（人教A版）必修第二册《第7章复数》单选题专 项练习（含答案解析） 一、单选题 1．已知x，y∈R，i为虚数单位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，则x，y的值为（）A．3，0B．2，1C．1，2D．1，-1 【答案】A 【分析】 根据复数相等的定义即可求解. 【详解】 解：因为（x-1）+（y+1）i=2+i， 所以 12 11 x y -= ⎧ ⎨ += ⎩ ，解得3,0 x y ==， 故选：A. 2．复数i(2i) -的虚部为（） A．-2B．2C．-2i D．2i 【答案】B 【分析】 由复数的运算得出虚部. 【详解】 i(2i)12i -=+，即该复数的虚部为2. 故选：B 3．已知复数1i z=+，那么||z等于（） A．1B．2C D 【答案】C 【分析】 根据给定条件利用复数模的定义直接计算作答.【详解】 因复数1i z=+ ，则||z= 所以||z . 故选：C 试卷第1页，共39页

4．设复数z 12i =-，则复数z 的模为（ ） A ．1 B ．10 C ．3 D 【答案】D 【分析】 根据复数模的定义求解即可. 【详解】 z 12i =-,z ∴ 故选：B 5 ．已知复数1z =+（i 为虚数单位），设z 是z 的共轭复数，则z 的虚部是（ ） A B ． C D ． 【答案】B 【分析】 先求出共轭复数，从而可求出其虚部 【详解】 由1z =，得1z =， 所以z 的虚部是 故选：B 6．复数()()1i 2i 3i --++等于（ ） A ．1i -+ B ．1i - C ．i D ．i - 【答案】A 【分析】 按照复数的加法和减法法则进行求解. 【详解】 (1i)(2i)3i (12)(i i 3i)1i --++=-+--+=-+ 故选：A. 7．已知复数23i z =-，若()i z a ⋅+是纯虚数，则实数=a （ ） A ．23 - B ． 23 C ．32- D ．32 【答案】D 【分析】 根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.