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(完整版)小学奥数-几何五大模型(相似模型)

模型四相似三角形模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

F E A

B C

F G

①AD AE DE AF AB AC BC AG

===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。

【例 1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长

度是多少？

【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，

所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4

10814

FC =?=+．

任意四边形、梯形与相似模型

【例 2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。

如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？

5040

2010

D C B

【解析】有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。

【例 3】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。

A E

D C

【解析】根据金字塔模型

:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，

22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，

设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷?=△份，所以

:4:15ADE ECB S S =△△。

【例 4】如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，

则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形。

F A D C

【解析】设1ADE

S =△份，根据面积比等于相似比的平方，

所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此

4AFG S =△份，9ABC S =△份，

进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形

【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长。

A E

D C

【解析】由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷?=

【巩固】如图， ABC △中，DE ，

FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形。

Q E G

F P

A D C

【解析】设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG

S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有

3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．

所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形

【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。

【例 5】已知ABC △中，DE 平行BC ，

若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △。

A E

D C

【解析】根据金字塔模型::2:(23)2:5AD AB DE BC ==+=，

22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，25421DBCE S =-=梯形份，DBCE S 梯形比ADE S △大17份，恰好是28.5cm ，所以212.5cm ABC S =△

【例 6】如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度

A C B

【解析】在沙漏模型中，因为:4:9MPN BCP S S =△△，所以:2:3MN BC =，在金字塔模型中有：

::2:3AM AB MN BC ==，因为4cm AM =，4236AB =÷?=cm ，所以

642cm BM =-=

【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________。

D C B

【解析】由沙漏模型得::3:2BO EO BC DE ==，再由金字塔模型得

::2:3AD AB DE BC ==．

【例 7】如图，ABC ?中，14AE AB =

，1

AD AC =，ED 与BC 平行，EOD ?的面积是1平方厘米。那么AED ?的面积是平方厘米。

A B C

【解析】因为14AE AB =

，1

AD AC =，ED 与BC 平行，根据相似模型可知:1:4ED BC =，:1:4EO OC =，44COD EOD S S ??==平方厘米，则415CDE S ?=+=平方厘米，

又因为::1:3AED CDE S S AD DC ??==，所以15

533

AED S ?=?=(平方厘米)．

【例 8】在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO V 的面积是ABO V 面

积的几倍？

O E

【解析】连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且

::1:2OA BE DA DE ==，所以CDO V 的面积等于CBO V 的面积；由

OA BE AC ==可得3CO OA =，所以3CDO CBO ABO S S S ==V V V ，即CDO V

的面积是ABO V 面积的3倍。

【例 9】如图，线段AB 与BC 垂直，已知4AD EC ==，6BD BE ==，那么图中阴影部分

面积是多少？

A B

【解析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴

看看．

作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，有ADO CEO S S =V V ，DBO EBO S S =V V ，且:4:62:3ADO DBO S S ==V V ．

设ADO V 的面积为2份，则DBO V 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份．因为610230ABE S =?÷=V ，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为

308415÷?=．

解法二：连接DE 、AC ．由于4AD EC ==，6BD BE ==，所以DE ∥AC ，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DE AC BD BA ===，

根据梯形蝴蝶定理，()()22:::3:35:35:59:15:15:25DOE DOA COE COA S S S S =??=V V V V ，所以()():1515:915152515:32ADEC S S =++++=阴影梯形，即15

32ADEC

S S

阴影梯形；又11101066=3222ADEC S =??-??梯形，所以15

1532

ADEC S S ==阴影梯形．

【例 10】 (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形

ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．

G C

【解析】因为FGHE 为平行四边形，所以//EC AG ，所以AGCE 为平行四边形．

:3:1BG GC =，那么:1:4GC BC =，所以11

16444

AGCE ABCD S S =?=?=Y Y ．

又AE GC =，所以::1:3AE BG GC BG ==，根据沙漏模型，

::3:1FG AF BG AE ==，所以33

4344

FGHE AGCE S S ==?=Y Y ．

【例 11】已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，

交CD 于G ，求阴影部分的面积．

【解析】已知:2:1AF FC =，且EF ∥BC ，利用相似三角形性质可知

::2:3EF BC AF AC ==，所以2

EF BC =，且:4:9AEF ABC S S =V V ．

又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么1

EG BC =，

::3:423

EG EF ==，所以:1:4GF EF =，可得:1:8CFG AFE S S =V V ，所以

:1:18CFG ABC S S =V V ，那么18

CFG a

S =V ．

【例 12】已知正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且

10cm AE =，15cm AF =，求正方形ABCD 的边长．

【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有::BC AF CE EF =，

::DC AE CF EF =，设正方形的边长为cm x ，所以有

1BC DC CE CF

AF AE EF EF

+=+=，即

11510

x x

+=，解得6x =，所以正方形的边长为6cm ．方法二：或根据一个金字塔列方程即151015

x x

-=，解得6x =

【例 13】如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边120BC =毫米，高80AD =毫

米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？

D C

【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有

PN AP BC AB =，PH BP AD AB =，设正方形的边长为x 毫米，PN PH BC AD +=1AP BP

AB AB +=，即

112080

x x +=，解得48x =，即正方形的边长为48毫米．

【巩固】如图，在ABC △中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC

上，AH 是ABC △ 边BC 的高，交DE 于M ，:1:2DG DE =，12BC =厘米，8AH =厘米，求长方形的长和宽．

E H G

D C

【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以

DE AD BC AB =，DG BD AH AB =，所以有1DE DG AD BD

BC AH AB AB

+=+=，

设DG x =，则2DE x =，所以有21128x x +=，解得247x =

，4827x =，因此长方形的长和宽分别是48

7厘米，24

厘米．

【例 14】图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角

形，已知这个三角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？

D E F

E F

【解析】根据题中条件，可以直接判断出EF 与DC 平行，从而三角形GEF 与三角形GDC 相

似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．做GM 垂直DC 于M ，交AB 于N ．

因为EF ∥DC ，所以三角形GEF 与三角形GDC 相似，且相似比为

:4:121:3EF DC ==，

所以:1:3GN GM =，又因为12MN GM GN =-=，所以()18GM cm =，

所以三角形GDC 的面积为()21

12181082

cm ??=．

【例 15】如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，

求阴影部分的面积是多少？

【解析】根据相似三角形的对应边成比例有：

1223NF =++；12312

EM =

++，则5

9NF =

，53EM =， 1951

2225330

S ????=?-?-= ? ?????阴

【例 16】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面

积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是．

【解析】设大、小正方形的边长分别为m 厘米、n 厘米(m n >)，则2252m n +=，所以

8m <．

若5m ≤，则222525052m n +

验可知只有6m =、4n =满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，::6:43:2BG GF AB FE ===，而6BG GF +=，得

3.6BG =(厘米)，所以阴影部分的面积为：1

6 3.610.82

??=(平方厘米)．

【例 17】如图，O 是矩形一条对角线的中点，

图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？

【解析】连接OB ,面积为4的三角形占了矩形面积的

，所以431OEB S =-=△,所以:1:3OE EA =,所以:5:8CE CA =,由三角形相似可得阴影部分面积为

25258()88

?=．

【例 18】已知长方形ABCD 的面积为70厘米，E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的

三等分点，求阴影EHO △的面积是多少厘米？

C D

【解析】因为E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形

的长分成6份的话，那么3ED AD ==份、2BF FG GC ===份，大家能在图形中找到沙漏EOD △和BOG △：有34ED BG ∶=∶，所以34OD BO =∶∶，相当于把BD 分成(34+)7份，同理也可以在图中在次找到沙漏：EHD △和BHF △也是沙漏，

32ED BF =∶∶，由此可以推出：32HD BH =∶∶, 相当于把BD 分成(32+)5份，

那么我们就可以把BD 分成35份(5和7的最小公倍数)其中OD 占15份，BH 占14

份，HO 占6份，连接EB 则可知BED △的面积为35

7042

÷=，在BD 为底的三角

形中HO 占6份，则面积为：356

3235

?=(平方厘米).

【例 19】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，

则图中阴影部分的面积为平方厘米．

【解析】方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．

设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ．

可得1

AED ABCD S S V 平行四边形，

对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥EF ，所以

::2:344

DO ED BD BD ==，()()::32:31:3OE ED ED OD ED =-=-=，

所以 1111

7263434

AEO ABCD S S =?=??=V 平行四边形(平方厘米)，

212ADO

AEO S S =?=V V (平方厘米)．

同理可得6CFM S =V 平方厘米，12CDM S =V 平方厘米．所以 366624ABC AEO CFM S S S --=--=V V V (平方厘米)，于是，阴影部分的面积为24121248++=(平方厘米)．

方法二：寻找图中的沙漏，::1:2AE CD AO OC ==，::1:2FC AD CM AM ==，

因此,O M 为AC 的三等分点，11

721266

ODM ABCD S S ==?=△平行四边形(平方厘米)，

122644

AEO OCD S S ==??=△△(平方厘米)，同理6FMC S =△(平方厘米)，所以

72126648S =---=阴影(平方厘米)．

【例 20】如图，三角形PDM 的面积是8平方厘米，长方形ABCD 的长是6厘米，宽是

4厘米，M 是BC 的中点，则三角形APD 的面积是平方厘米．

P M

N A

B C D

【解析】本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一

般需要通过这一点做垂线．

取AD 的中点N ，连接MN ，设MN 交PD 于K ．

则三角形PDM 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK ，可知三

角形PDM 的面积等于182MK BC ??=(平方厘米)，所以8

MK=3

(厘米)，那么

433

NK =-=(厘米)．

因为NK 是三角形APD 的中位线，所以8

AP NK =?=(厘米)，所以三角形APD

的面积为 18

6823

??=(平方厘米)．

【例 21】如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，

OE 垂直AD 于E ，交AF 于O ，已知5cm AH =，3cm HF =，求AG ．

F G

【解析】由于AB ∥DF ，利用相似三角形性质可以得到::5:3AB DF AH HF ==，

又因为E 为AD 中点，那么有:1:2OE FD =，

所以3

:5:10:32

AB OE ==，利用相似三角形性质可以得到

::10:3AG GO AB OE ==，

而()()11534cm 22AO AF ==?+=，所以()1040

4cm 1313

AG =?=．

【例 22】

右图中正方形的面积为1， E 、F 分别为AB 、BD 的中点，1

GC FC =．求

阴影部分的面积．

B E

【解析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求

解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作FH 垂直BC 于H ，GI 垂直BC 于I ．

根据相似三角形性质，::1:3CI CH CG CF ==，又因为CH HB =，所以

:1:6CI CB =，即():61:65:6BI BC =-=，所以1155

22624

BGE S =??=V ．

【例 23】梯形ABCD 的面积为12，2AB CD =，E 为AC 的中点，BE 的延长线与AD 交

于F ，四边形CDFE 的面积是．

C D E

D E

【解析】延长BF 、CD 相交于G ．

由于E 为AC 的中点，根据相似三角形性质，2CG AB CD ==，11

GD GC AB ==，

再根据相似三角形性质，::2:1AF FD AB DG ==，:1:3GF GB =，而::2:1ABD BCD S S AB CD ??==，

所以11

12433

BCD ABCD S S ?==?=，28GBC BCD S S ??==．

又111236GDF GBC S S ??=?=，12EBC GBC S S ??=，所以111812633CDFE GBC GBC S S S ????

=--== ???

．

【例 24】如图，三角形ABC 的面积为60平方厘米，D 、E 、F 分别为各边的中点，

那么阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形

的面积之差．而从图中来看，既可以转化为BEF ?与EMN ?的面积之差，又可以转化为BCM ?与CFN ?的面积之差． (法1)如图，连接DE ．

由于D 、E 、F 分别为各边的中点，那么BDEF 为平行四边形，且面积为三角形

ABC 面积的一半，即30平方厘米；那么BEF ?的面积为平行四边形BDEF 面积的

一半，为15平方厘米．

根据几何五大模型中的相似模型，由于DE 为三角形ABC 的中位线，长度为BC 的

一半，则::1:2EM BM DE BC ==，所以1

EM EB =；

::1:1EN FN DE FC ==，所以1

EN EF =

．那么EMN ?的面积占BEF ?面积的111

236

?=，所以阴影部分面积为

115112.56??

?-= ???

(平方厘米)．

(法2)如图，连接AM ．

根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE EC ??==，::1:1ACM BCM S S AD DB ??==，

所以11

602033BCO ABC S S ??==?=平方厘米，

而11603022BDC ABC S S ??==?=平方厘米，所以1

7.54

FCN BDC S S ??==平方厘米，

那么阴影部分面积为207.512.5-=(平方厘米)．

【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：

⑴利用面积公式：底?高2÷； ⑵利用整体减去部分； ⑶利用比例和模型．

【例 25】如图,ABCD 是直角梯形，4,5,3AB AD DE ===，那么梯形ABCD 的面积是

多少?

D A

【解析】延长EO 交AB 于F 点，分别计算,,,AOD AOB DOC BOC △△△△的面积，再求和． 31DE BF DO OB ==∶∶∶

∴31AOD AOB S S =△△∶∶；31DOC BOC S S ==△△∶

AOD BOC S S =△△

又∵1

45102ABD S =??=△

∴3

7.54

AOD ABD S S ==△△, 2.5,7.5,337.522.5AOB BOC DOC BOC S S S S ====?=△△△△

∴7.5 2.57.522.540ABCD S =+++=梯形

【例 26】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面

积是多少平方厘米？

【解析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB 分别交,

AC AD于,O H两点，

122035

AO OC AB EC

===

∶∶∶∶，35

AH BC AO OC

∶∶∶

∴38

AO AC=

∶∶，35

AH AD=

∶∶，940

AHO ADC

S S=

△△

∶∶

∵2

1272

ADC

S=?=

△

∴997216.2

4040

AHO ADC

S S

==?=

△△

【例 27】如右图，长方形ABCD中，16

EF=，9

FG=，求AG的长．

D A

【解析】因为DA∥BE，根据相似三角形性质知

DG AG

GB GE

=，

又因为DF∥AB，DG FG

GB GA

=，

所以AG FG

GE GA

=，即22

25922515

AG GE FG

=?=?==，所以15

AG=．

【例 28】(第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且:1:3

DE EC=，AF与BE相交于点G，求

ABG

△

D C

【解析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有

::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏

有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432

(442)471111

ABG ABE S S ==??÷=

+△△．方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =?÷=△，

4441232247

AEF S =?-?÷-?÷-=△，根据

蝴蝶

定理

::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4

432

(442)47

1111

ABG ABE

S S =

=??÷=

+△△．

【例 29】如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点，

BF 交EC 于M ，求BMG ?的面积．

F E D C B

【解析】解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而

::1:2FD BC FH HC ==，

::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，

并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以

::2:3BG EF BM MF ==，

所以25BM BF =，1111

2224BFD ABD ABCD S S S ??==?=Y ；

又因为13BG BD =，所以121211

3535430

BMG BFD S S ??=??=??=．

解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，

可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，

::2:3BM MF BC IF ==，

25BM BF =，1

BG BD =(鸟头定理)，

可得212111

5353430

BMG BDF ABCD S S S ??=?=??=Y

【例 30】 (清华附中入学试题)正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，

F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．

H G

C B

H G

【解析】欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ?和CHF ?的面积．

由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：1

EBG BCE S S ??=

将AB 、DF 延长交于M 点，可得：

:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，

而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得2

CH CE =，

而12CF BC =，所以121

255CHF BCE BCE S S S ???=?=

111

12030224

BCE S AB BC ?=??=?=

1177

3014

51515

EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ????=--==?=四边形．

连接EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也

能解出．

【例 31】

如图，已知14ABC S =△,点,,D E F 分别在,,AB BC CA 上，且2,5,AD BD AF FC ===，ABE DBEF S S =△四边形则ABE S △是多少？

【解析】 ABC △的面积已知，若知道ABE △的面积占ABC △的几分之几就可以计算出

ABE △的面积．连接CD ．

∵ABE DBEF S S =△四边形 ∴DEF ADE S S =△△ ∴AC 与DE 平行， ∴ADE CDE S S =△△ ∴ABE CDB S S =△△ ∵2AD =，5BD =

∴:2:5ACD CDB S S =V V

∴55

141077

ABC ABB CDB S S S ===?=△△△

【例 32】如图，长方形ABCD 中，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，DE EC =，

2FB AF =，求::PM MN NQ ．

Q F

【解析】如图，过E 作AD 的平行线交PQ 于G ．

由于E 是DC 的中点，所以G 是PQ 的中点．

由于DE EC =，2FB AF =，所以:2:3AF DE =，:4:3BF CE =．根据相似性，:::2:3PM MG AM ME AF DE ===，

:::3:4GN NQ EN NB EC BF ===，

于是25PM PG =，33365735MN PG GQ PG =+=，44

NQ GQ PG ==，

所以2364

::::7:18:105357

PM MN NQ ==．

【例 33】如下图，D 、E 、F 、G 均为各边的三等分点，线段EG 和DF 把三角形ABC

分成四部分，如果四边形FOGC 的面积是24平方厘米，求三角形ABC 的面积．

F B

【解析】设三角形以AB 为底的高为h ，

由于:2:3FG AB =，所以:1:2ED FG =；

所以三角形OGF 以GF 为底的高是122

339h h ?=；

又因为三角形CFG 以FG 为底的高是2

h ，

所以三角形OGF 的面积与三角形CGF 的面积之比22

:1:393

h h ==，

所以三角形CFG 的面积为3

241831

?=+(平方厘米)，

而三角形CFG 的面积占三角形ABC 的224

339

?=，

所以三角形ABC 的面积是4

1840.59

÷=(平方厘米)．

【例 34】 (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，ABCD 为

正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？

【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC

MN DC

，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的1

6，

所以12

1(112)63

SPQR S =??++=2(cm )．

(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ?=??=(2cm )，而RB ER

AB EF

，所以2RB AB EF EF ==，2216

8333

ABR ABE S S ??==?=

(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ??==???=(2cm )，因为MN MP

DC PC =

，所以13MP MC =，则114

24233

MNP S ?=???=(2cm )，阴影部分面积等于

1642

33333

ABR ANS MBQ MNP S S S S ????--+=--+=(2cm )。

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??）【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-精选.

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =， 16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．三角形等高模型与鸟头模型

E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设 8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =， 6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E D C B A A B C D E 甲乙【解析】连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 △ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE) 厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4), S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份，则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比三角形等高模型与鸟头模型【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方图⑵

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形么三角形ABC的面积是多少？ ?/ EC =3AE --S A BC = 3S ABE 又??? AB =5AD --S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,??? S ABC 如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ ?/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE 又T BD =DC =4 , --S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE , 【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S A ABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】, 所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ ADE的面积等于1，那 = 15S ADE =15 . 【巩固】【解析】连接AD . 【解析】

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型 The latest revision on November 22, 2020

几何五大模型——鸟头模型本讲要点一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。）二一点在边上，一点在边的延长线上：

例1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米．例2 例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。例4 三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少例5 长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大

如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求 CDE △的面积。 2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等于． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、 ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使 2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少家庭作业例6 A C E

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型一、共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°，则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ；反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

例1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC 的面积是平方厘米．例2 例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。例4 三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少例5 长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大

如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求CDE △的面积。 2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在 AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等于． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少家庭作业例6 A C E

小学奥数几何五大模型

几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示， S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示， S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，则可知直线AB平行于CD。例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！

如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]： S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/su b]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

小学奥数-几何五大模型

模型四相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例 1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4 10814 FC =?=+．【例 2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？【解析】有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。【例 3】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。【解析】根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=， 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数平面几何五大模型

小学奥数平面几何五大定律一、等积模型图(1) 图(2) 图(3) 图(4) ① 等底等高的两个三角形面积相等如图(1)：D 为BC 中点，则S△ABD=S△ACD 如图(4)：l1平行于l2，则S△ACD=S△BCD ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比如图(2)： S △ABDS △ACD=BDCD ③ 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如图(3)：BC=EF ，则 S △ABCS △DEF=h1h2 ④ 夹在一组平行线之间的等积变形如图(4)：l1平行于l2 ，则 S△ABD=S△ACD 反之如果S△ABD=S△ACD，则可知直线l1平行于l2 ⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ⑦ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、共角定理(鸟头定理) 两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O ），这两个三角形叫做共角三角形． D B h A B D C h1 h2 l2 l2 B C h1 F E D h2 B C D h

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．共角互补角图(1) 图(2) 如图(1)：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2)：D 在BA 的延长线上，E 在AC 上；∠BAC+∠BAC ＝180O (互补)，则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE)；或 S △ABCS △ADE=AB × ACAD × AE 三、相似模型数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。相似符号：“∽” 相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形传递性：如果图A 相似于图B ，图B 相似于C ，则 A 相似C 即：图A ∽图B ，图B ∽图C ；则，图A ∽图B ∽图C a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小图(1) 图(2) 图(3) 图(4) c a d b A B C D E A D E F C B D E O B A

小学奥数-几何五大模型

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=，任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ :AG GC ？A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC ．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ．解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵1 3 ABD BCD S S ，∴1 3AH CG ，∴13AOD DOC S S ，∴13AO CO ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ．【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162 8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862，根据蝴蝶定理， ::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1 1 2 21233 GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

奥数专题：几何五大模型(鸟头模型)

鸟头模型如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16 ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等

于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E D C B A A B C D E 甲乙【解析】连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，

小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三角形等高模型与鸟头模型

两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、 BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4 3 倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。【例 3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326?÷=(平方厘米)。 C D B A

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化?但是，当三角形的底和高同时 1 发生变化时，三角形的面积不一定变化?比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来 3 的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状. 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S i :S2 a:b ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD ? ④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.

你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶ 6个面积相等的三角形。 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考: 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ ⑵求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍? 因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从 A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD 的面积 12高2 6高三角形ABC 的面积（12 4）高2 8高三角形ADC 的面积 4高2 2高 4 所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的-倍； 3 三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的3倍。如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。 D C 图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即4 3 2 6（平方厘米）。（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是 50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米。【例1】【解【例2】【解析】【例3】【解析】 ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考:

小学的奥数几何五大模型燕尾模型

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么，上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积. 通过一道例题证明燕尾定理：如右图，D 是BC 1423:::S S S S BD DC == 【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==. 【例 1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理， 12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以55 12 12 DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133 ABD ABC S S ==△△， 1121 2233 ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以 11 ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111 22323212 DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512 ．【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积. 【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103 ABE ABC S S ==△△，1152 ABD ABC S S ==△△．例题精讲燕尾定理