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同济高等数学公式大全

同济高等数学公式大全
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高等数学公式

导数公式:

基本积分表:

三角函数的有理式积分:

?

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C

a a dx a C

x ctgxdx x C x dx tgx x C

ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x

x

)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222

22

22

2C a

x

x a dx C x a x

a a x a dx C a x a

x a a x dx C a x

arctg a x a dx C

ctgx x xdx C tgx x xdx C

x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2

2222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

x a x a x dx x a C

a x x a a x x dx a x C

a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n

n arcsin 22ln 22)ln(221

cos sin 22

2222222

2222222

22

2

22

2

ππa

x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos 11

)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-

='+=

'--

='-=

'

2

22212211cos 12sin u du

dx x tg u u u x u u x +=

=+-=+=, , , 

一些初等函数: 两个重要极限:

三角函数公式: ·诱导公式:

x x

arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x

x

x x

x x

x -+=-+±=++=+-==+=

-=

----11ln

21)1ln(1ln(:2

:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x

x

x x x x

·和差角公式: ·和差化积公式:

2

sin

2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2

cos

2sin 2sin sin β

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβ

αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=

±?±=

±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(

·倍角公式:

·半角公式:

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

2

cos 12cos 2cos 12

sin -=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctg tg

·正弦定理:

R C

c

B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理:

C ab b a c cos 2222-+=

·反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -=

-=

2

arccos 2

arcsin π

π

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:

)

()

()()2()1()(0)

()()

(!

)1()1(!2)1()

(n k k n n n n n

k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+

'+==---=-∑

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理。

时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=

---'=-)(F )

()

()()()()())(()()(ξξξ

曲率:

.1;0.

)1(lim M s M M :.,13

202a

K a K y y ds d s K M M s

K tg y dx y ds s =

='+''==??='?'???=

=''+=→?的圆:半径为直线:点的曲率:弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:其中弧微分公式:αααα

α α

ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=

-=

-=-=-==

定积分的近似计算:

???----+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

b

a

n n n b

a

n n b

a n y y y y y y y y n

a

b x f y y y y n a b x f y y y n

a

b x f )](4)(2)[(3)(])(2

1

[)()()(1312420110110 抛物线法:梯形法:矩形法:

定积分应用相关公式:

??--==?=?=b

a

b a dt t f a b dx x f a b y k r

m

m k F A

p F s

F W )(1)(1

,2221均方根:函数的平均值:为引力系数引力:水压力:功:

空间解析几何和向量代数:

代表平行六面体的体积为锐角时,

向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影:点的距离:空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22

2

2

2

2

2

212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k

j i

b a

c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M

d z

y

x z y x

z

y x

z

y

x

z y x

z

y x z y x z

z y y x x z z y y x x u u

??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

(马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面:

同号)

(、抛物面:、椭球面:二次曲面:

参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程:

1

1

3,,2221

1};,,{,1

302),,(},,,{0)()()(122

222222

22222

222

22220000002

220000000000=+-=-+=+=++???

??+=+=+===-=-=-+++++=

=++=+++==-+-+-c

z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt

z z nt

y y mt

x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D

Cz By Ax d c

z

b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A

多元函数微分法及应用

z

y z x y x y x y x y x F F y z

F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x

v

v z x u u z x z y x v y x u f z t

v

v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z

u

dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??===???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

, , 隐函数+, , 隐函数隐函数的求导公式:

 

时,

,当

多元复合函数的求导法全微分的近似计算: 全微分:0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v

G u

G v F

u

F

v u G F J v u y x G v u y x F v

u v u ???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??== 隐函数方程组:

微分法在几何上的应用:

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y

x y x x z x z z y z y -=

-=-=-+-+-==??

??

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、过此点的法线方程::、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点处的切线方程:在点空间曲线

ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度:

上的投影。在是单位向量。方向上的

,为,其中:它与方向导数的关系是的梯度:在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为:沿任一方向在一点函数l y x f l

f

l j i e e y x f l

f j y

f i x f y x f y x p y x f z l x y f

x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(??∴?+?=?=????+??=

=??+??=??=

????

?

多元函数的极值及其求法:

????

???

??=-<-???><>-===== 不确定时值时, 无极

为极小值为极大值时,则: ,令:设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

重积分及其应用:

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=

==

???

? ????+??? ????+==='

D

z D

y D

x z y x D

y D

x D

D

y D

x D

D D

a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M

M y d y x d y x x M

M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2

3

22

2

2

3

22

2

2

3

22

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ, , ,其中:的引力:轴上质点平面)对平面薄片(位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量: 平面薄片的重心:的面积曲面

柱面坐标和球面坐标:

???????????????????????????

?????????Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

ΩΩ+=+=+====

=

=

===???=??

???=====???

??===dv

y x I dv z x I dv z y I dv

x M dv z M

z dv y M

y dv x M

x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z

z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ??

θθ??θ?θ

??θ???θ?θ?θθθθθθθπ

πθ?)()()(1,1,1

sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )

,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220

)

,(0

2

2

2

, , 转动惯量:, 其中 重心:, 球面坐标:其中: 柱面坐标:

曲线积分:

??

?==<'+'=≤≤??

?==?

?)()()()()](),([),(),(,)

()(),(2

2t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L

?βαψ?ψ?βαψ?β

α

特殊情况: 则: 的参数方程为:上连续,在设长的曲线积分):

第一类曲线积分(对弧

,通常设的全微分,其中:

才是二元函数时,=在:

二元函数的全微分求积注意方向相反!

减去对此奇点的积分,,应。注意奇点,如=,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;

、无关的条件:平面上曲线积分与路径的面积:时,得到,即:当格林公式:格林公式:的方向角。

上积分起止点处切向量分别为

和,其中系:两类曲线积分之间的关,则:的参数方程为设标的曲线积分):第二类曲线积分(对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·21

2,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00

)

,()

,(00==+=

+????????-==

=??-??=-=+=??-??+=??-??+=

+'+'=+?

?

?==??????????????y x

dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y

P x Q y

P

x Q G y x Q y x P G ydx

xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy

Pdx dxdy y P

x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt

t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D

L

D L

D L L

L

L

βαβαψψ??ψ?ψ?β

α

曲面积分:

??????????????????????∑

++=++±=±=±=++++=ds

R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy

y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx

yz

xy

xy

D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2

2γβα系:两类曲面积分之间的关号。,取曲面的右侧时取正

号;,取曲面的前侧时取正

号;,取曲面的上侧时取正

,其中:

对坐标的曲面积分:对面积的曲面积分:

高斯公式:

??????????????????Ω

Ω∑=++==?

A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n

div )cos cos cos (...

,0div ,div )cos cos cos ()(成:因此,高斯公式又可写,通量:则为消失的流体质量,若即:单位体积内所产生散度:—通量与散度:

—高斯公式的物理意义γβαννγβα

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

?????????Γ

Γ

∑∑

Γ

?=++Γ??

????=

??=

????=????=????????

=??????

++=??-??+??-??+??-??ds

t A Rdz Qdy Pdx A R

Q P z y x A y P

x Q x R z P z Q y R R

Q

P

z y x R Q

P

z y x dxdy dzdx

dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R

的环流量:沿有向闭曲线向量场旋度:, , 关的条件:空间曲线积分与路径无上式左端又可写成:k

j i rot cos cos cos )()()(

γβ

α

常数项级数:

是发散的

调和级数:等差数列:等比数列:n

n n n q q q q q n n 1

312112

)1(3211111

2

+++++=

++++--=

++++-

级数审敛法:

散。

存在,则收敛;否则发、定义法:

时,不确定

时,级数发散

时,级数收敛

,则设:、比值审敛法:

时,不确定时,级数发散

时,级数收敛

,则设:别法):—根植审敛法(柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞

→+∞→∞

→+++=??

?

??=><=??

?

??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ

。的绝对值其余项,那么级数收敛且其和

如果交错级数满足—莱布尼兹定理:—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞

→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛:

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

1时发散p 级数: 收敛;

级数:收敛;

发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n

幂级数:

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞===

≠==><+++++≥-<++++++++∞

→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n

n n n n n 时,时,时,的系数,则是,,其中求收敛半径的方法:设称为收敛半径。

,其中时不定

时发散时收敛

,使在数轴上都收敛,则必存收敛,也不是在全

,如果它不是仅在原点 对于级数时,发散

时,收敛于

ρρρ

ρρ

函数展开成幂级数:

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !

)0(!2)0()0()0()(00

lim )(,)()!1()()(!

)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式:充要条件是:可以展开成泰勒级数的余项:函数展开成泰勒级数:ξ 一些函数展开成幂级数:

)

()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--x n x

x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n

m

欧拉公式:

???

????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix

ix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数:

上的积分=在任意两个不同项的乘积正交性:。

,,,其中,0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )sin cos (2)sin()(001

10ππω???ω-====++=

++=∑∑∞

=∞

= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n

傅立叶级数:

是偶函数 ,余弦级数:是奇函数

,正弦级数:(相减)

(相加)

其中,周期∑?∑???∑+=

==

======+-+-=++++=

+++=

+++???

????=====++=--∞

=nx a a x f n nxdx x f a b nx b

x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n

n n n n n n n cos 2

)(2,1,0cos )(2

0sin )(3,2,1n sin )(2

012413121164

1312112461412185

1311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1

2)sin cos (2)(0

2

2222

2222

2

222

221

π

π

π

πππ

π

π

πππππππ

周期为l 2的周期函数的傅立叶级数:

???

????=====++=??∑--∞

=l

l n l l

n n n n n dx l x n x f l b n dx l x

n x f l a l

l x

n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos

)(12)sin cos (2)(10 其中,周期ππππ

微分方程的相关概念:

即得齐次方程通解。

代替分离变量,积分后将,,,则设的函数,解法:,即写成程可以写成

齐次方程:一阶微分方称为隐式通解。

得:的形式,解法:

为:一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程:u x y

u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x

y

y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0

),(),(),(???

一阶线性微分方程:

)

1,0()()(2))((0)(,0)()

()(1)()()(≠=+?

+?=≠?

===+?--n y x Q y x P dx dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx

dy

n dx

x P dx

x P dx

x P ,、贝努力方程:时,为非齐次方程,当为齐次方程,时当、一阶线性微分方程:

全微分方程:

通解。

应该是该全微分方程的,,其中:分方程,即:

中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y

u

y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),()

,(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程:

时为非齐次时为齐次,0)(0)()()()(2

2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy

x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:

2

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数;式中的系数及常数项恰好是,,其中、写出特征方程:求解步骤:

为常数;,其中?'''=++?=+'+''式的通解:出的不同情况,按下表写、根据(*),321r r

为常数;型,为常数

,]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''

求极限的各种方法

1.约去零因子求极限

例1:求极限1

1

lim 41--→x x x

【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1

)

1)(1)(1(lim

2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限

例2:求极限1

3lim 32

3+-∞→x x x x

【说明】

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3

11323=

+-=+-∞→∞→x x

x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;

(2) ????

???

=<∞>=++++++----∞→n

m b a n m n m b x b x b a x a x a n n

m m m m n n n n x 0lim 01101

1 3.分子(母)有理化求极限

例3:求极限)13(lim 22+-++∞

→x x x

【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】1

3)

13)(13(lim

)13(lim 2

2

22222

2

+++++++-+=+-++∞

→+∞

→x x x x x x x x x x

01

32lim

2

2

=+++=+∞

→x x x

例4:求极限3

sin 1tan 1lim

x

x

x x +-+→ 【解】x

x x x

x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim

3030

+-+-=+-+→→ 41

sin tan lim 21sin tan lim

sin 1tan 11

lim

30300

=-=-+++=→→→x x x x x x x

x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子...........是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限

两个重要极限是1sin lim 0=→x

x

x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1

0)1(lim )11(lim )11(lim ,

第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

例5:求极限x

x x x ??

?

??-++∞→11lim

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑X

1

+

,最后凑指数部分。 【解】22

212

12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x

x x x =????

????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6:(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ;(2)已知82lim =???

??-++∞

→x

x a x a x ,求a 。

5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】

(1)常见等价无穷小有:

当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -,

()abx ax x x b

~11,2

1~

cos 12-+-; (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式..

; (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选.....

。 例7:求极限0ln(1)

lim

1cos x x x x →+=-

【解】 002

ln(1)lim lim 211cos 2

x x x x x x

x x →→+?==-.

例8:求极限x

x

x x 30tan sin lim -→

【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 22

2102030-=-==-=-=→→→x

x x x x x x x x x 6.用罗必塔法则求极限

例9:求极限220)

sin 1ln(2cos ln lim x

x x x +-→ 【说明】

∞∞或0

型的极限,可通过罗必塔法则来求。

【解】22

0)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x

x x

x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim

20+--=→ 3sin 11

2cos 222sin lim

20-=??

?

??+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限,常用罗必塔法则求解

例10:设函数f(x)连续,且0)0(≠f ,求极限.)()()(lim

??--→x x

x dt

t x f x dt

t f t x

【解】 由于?

??=-=

-=-0

00

)())(()(x x

x

u t x du u f du u f dt t x f ,于是

?????

-=--→→x

x

x x x x

x du

u f x dt

t tf dt t f x dt

t x f x dt

t f t x 0

)()()(lim

)()()(lim

=?

?+-+→x

x

x x xf du u f x xf x xf dt t f 0

)

()()

()()(lim

=?

?+→x x

x x xf du u f dt

t f 0

)

()()(lim

=)

()()(lim

x f x du

u f x dt

t f x

x

x +?

?

→=

.2

1

)0()0()0(=+f f f

7.用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限

例11:极限x

x x 20

)]1ln(1[lim ++→

【解】 x

x x 20

)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2

lim x x

x e

++→=.2)

1ln(2lim

)]

1ln(1ln[2lim

e e

e

x

x x

x x x ==+++→→

【注】对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限,也可用公式

)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -

因为

===-+)1)(1ln()(lim ))(ln()(lim )()(lim x f x g x f x g x g e e x f )()1)(lim(x g x f e -

例12:求极限3

01

2cos lim 13x x x x

→??+??-?? ???????

.

【解1】 原式2cos ln 33

1lim

x x x e

x +?? ???

→-=202cos ln 3lim x x x

→+?? ???= 20ln 2cos ln 3

lim x x x →+-=()01

sin 2cos lim 2x x x x

→?-+=()

011sin 1

lim 22cos 6

x x x x →=-?=-+

【解2】 原式2cos ln 33

1lim

x x x e

x +??

???

→-=2

02cos ln 3lim x x x →+?? ???= 20

cos 1

ln 3lim

x x x

→-+

=(1)

20cos 11lim 36x x x →-==- 8.利用Taylor 公式求极限

例13 求极限 ) 0 ( ,2

lim

2

0>-+-→a x a a x x x . 【解】 ) (ln 2

ln 122

2ln x a x a x e

a a

x x +++==,

) (ln 2

ln 122

2x a x a x a

x

++-=-;

). (ln 2222x a x a a x x +=-+-

∴ a x

x a x x a a x x x x 2

2222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ . 例14 求极限011lim (cot )x x x x

→-.

【解】 00111sin cos lim (cot )lim sin x x x x x x x x x x x

→→--= 323

230()[1()]3!2!lim x x x x x x x x

οο→-+--+=

3

33011(

)()

1

2!3!lim 3x x x x ο→-+==.

9.数列极限转化成函数极限求解

例15:极限2

1sin lim n n n n ??? ?

?

∞→

【说明】这是∞1形式的的数列极限,由于数列极限不能使用罗必塔法则,若直接求有一定难度,若转化成函数极限,可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

【解】考虑辅助极限6

1

1sin 1

10

11sin 222

lim lim 1sin lim -

???

? ??-→?

?? ?

?

-+∞

→+∞→===?

?? ?

?

+e e

e

x x y y y y x x x x x x

所以,6

1

2

1sin lim -

∞→=?

?? ?

?

e n n n n

10.n 项和数列极限问题

n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.

例16:极限???

?

??++++++∞→2222221

211

1lim n n n n n 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成[0,1]定积分。

?=????

????? ??++??? ??+??

? ??∞→10)(211lim dx x f n n f n f n f n n 【解】原式=??????

?

?

?

???

??++

+??? ??++?

?? ??+∞→22211

2111111lim n n n n n n 1212ln 2111

10

2+--=+=?

dx x

例17:极限???

?

??++++++∞→n n n n n 2221

211

1lim

【说明】(1)该题遇上一题类似,但是不能凑成???

?

????? ??++???

??+??? ??∞→n n f n f n f n n 211lim 的形式,因而用两边夹法则求解;

(2) 两边夹法则需要放大不等式,常用的方法是都换成最大的或最小的。

【解】???

?

??++

++++∞→n n n n n 2221

211

1lim 因为

1

1211

12

2

2

2

2

+≤

+++++

+≤+n n n

n n n n

n n

又 n

n n

n +∞

→2

lim

11

lim

2=+=∞

→n n n

所以 ???

?

??++++++∞→n n n n n 2221

2111lim =1 12.单调有界数列的极限问题

例18:设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== (Ⅰ)证明lim n n x →∞

存在,并求该极限;

(Ⅱ)计算2

1

1lim n x n n n x x +→∞

?? ???

. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.

【详解】 (Ⅰ)因为10x π<<,则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=,则数列{}n x 有界.

于是

1sin 1n n

n n

x x x x +=<,(因当0sin x x x ><时,), 则有1n n x x +<,可见数列{}n x 单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞

存在.

设lim n n x l →∞

=,在1sin n n x x +=两边令n →∞,得 sin l l =,解得0l =,即lim 0n n x →∞

=.

(Ⅱ) 因 22

11

1sin lim lim n

n x x n n n n n n x x x x +→∞

→∞

??

??= ?

???

??

,由(Ⅰ)知该极限为1∞型,

6

1

sin 0

1sin 11003

2

22

1

lim lim sin 1lim -

-→??

?

??-→→===??

? ??+++e e

e x x x

x x x x x x x x

x (使用了罗必塔法则)

故 22

1

1

116sin lim lim e n

n x x n n n n n n x x x x -+→∞

→∞

??

??== ?

?????

.

求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。(这就不多说了~)

2.第一类换元法。(凑微分)

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([?????

其中)(x ?可微。

用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项内容,同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2: 例1:?

+-+dx x x x

x )

1(ln )1ln(

【解】)

1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=

-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2

)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2:

?+dx x x x

2)ln (ln 1

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称:高等数学一 课程编号: 学分:4 适用对象: 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程,它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性,对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础,也是培养理性思维的重要载体,在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 (二)教学目标 通过本课程的学习,逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力,尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力,一是为后继课程提供必需的基础数学知识;二是传授数学思想,培养学生的创新意识,逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 (三)基本要求 1、基本知识、基本理论方面:掌握理解极限和连续的基本概念及其应用;熟悉导数与微分的基本公式与运算法则;掌握中值定理及导数的应用;掌握不定积分的概念和积分方法;掌握定积分的概念与性质;掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面:掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法,培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念,了解函数的几种特性(有界性),掌握复合函数的概念及其分 解,掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念,掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系,了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性, 10、了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理), 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法(极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性)。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

同济高数上册公式大全

第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)0)(lim 0 =→x f x x ,0)(lim 0 =→x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3)) ()(lim x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 这个定理说明:当) ()(lim x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→;当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时,)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(H L 'ospital )法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)∞=→)(lim 0 x f x x ,∞=→)(lim 0 x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→) ()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时,12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习,要使学生获得:1、函数与极限;2、一元函数微积分学;3、向量代数与空间解析几何;4、多元函数微积分学; 5、无穷级数(包括傅立叶级数); 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课,分为高等数学A(一)、(二)、(三),总学时为90+72+54,学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明:教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述,要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念,掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念,掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则,了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理,柯西(Cauchy),审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念,了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理,最大最小值定理,一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理,了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质,掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质,了解函数可积的充分必要条件。

同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 (一) 函数 1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性); 2、 反函数、复合函数、函数的运算; 3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数; 4、 函数的连续性与间断点; 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类:左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. (二) 极限 1、 定义 1) 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2) 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时,当 左极限:)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限:)(lim )(0 0x f x f x x + →+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1))(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2) a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限. 3、 无穷小(大)量 1) 定义:若0lim =α则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大量. 2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在,则(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则; 3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限: a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5) 无穷小代换:(0→x ) a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则

大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

同济上册高数总结 微分公式与积分公式 三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

同济高等数学公式大全

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高数上册公式大全(同济六版)

高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , ,  a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

同济大学2016-2017学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用,无论是重修只求及格,还是为了拿优保研,复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重,作为一个重修过高数的学长,望大家不要舍本求末,记住这样一句话,只有当你付出了,你才可能有收获。 同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 选择填空题(3'824'?=) 1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其 反函数1()x f y -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有 【A 】 ()'A k k = ; 1 ()'B k k =; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ?充分小时都有 2 ()1x y x o x x ?= ?+?+, 则有 【C 】 2 22 1()()(1)x A f x x -=+; 2()()11x B f x x =++; () C ()l 1 f x =+; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分 2 ()f x dx ? . 【D 】 12()l i m ()n n k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 1 1 ()lim 2()n n k k D f n n →∞=∑. 4. 要使反常积分 +∞ ? 收敛, 则实数p 的取值范围是 【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <. 5. 如果作换元sin x t =, 则积分3 (sin )f x dx π = ? .

同济高数上册公式大全

第一章函数与极限 一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设 lim f(x) 0, limg(x) 0 且血丄凶 l g(x) (1) l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[ g(x)],称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 (2) l 工0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3) l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当x - 0时 a 1 - cos.L X — sin x ~ x ,tan x ~ x , arcsinx ~ x , arccosx ~ x , x 1- cos x ~ x A 2/2 , e -1 ~ x , ln(1 x) ~ x , (1 x) 1~ x 求极限的方法 1 ?两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.(夹逼定理)设g(x) < f (x) < h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ,则 lim f(x) A 2 ?两个重要公式 sin x 彳 公式1 lim 1 x 0 x 公式 2lim (1 x)1/x e x 0 3 ?用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4?用泰勒公式 当x 0时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 sin x cosx 2 x 3 x 2! 3! 3 5 x x 3! 5! 2 4 x x 2! 4! n! OX 〉 2n 1 1)n A / 2n 1 、 o(x ) 2n n x 2n x x

同样适用. 使用洛必达法则时必须注意以下几点: (1) 洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“一”型的未定式,其它的未定式须 先化简变形成“ ”或“一”型才能运用该法则; (2) 只要条件具备,可以连续应用洛必达法则; (3) 洛必达法则的条件是充分的,但不必要.因此,在该法则失效时并不 能断 In(1 x) 3 f... ( 1) n n 1 x / n o(x ) n (1 x) (1) 2! x 2 (1)-( (n 1))x n n! o(x n ) arcta n x 2n 1 n 1 X 2n 1 1) o(x ) 2n 1 5 ?洛必达法 则 定理1 (1) f(x)、F(x)满足下列条件: lim F(x) 0 ; x x o (2) (3) 设函数 lim f (x) 0 , x x f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导,且 上存在(或为无穷大),则im 丄? -■ ■ x x 0 F(x) 3存在时,佃出 x x 0 F(x) lim x x o F (x) F (x) 0 ; ..f (x) lim x x 0 F (x) 这个定理说明:当 匕为无穷大时, lim x 冷 F (x) lim 卫勺也是无穷大. x X o F(x) 也存在且等于lim x x 0 F (x) f (x).当 lim x x o F (x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达(L H ospital )法则. 一型未定式 X o 定理2设函数f(x)、 lim f(x) x X 0 f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导,且 F(x) 0 ; ..f (x) lim x x F (x) (1) (2) F(x)满足下列条件: ,lim F(x) ; x x o 存在(或为无穷大),则叫鵲 注:上述关于x x 0时未定式一型的洛必达法则,对于x (3) ..f (x) lim x x o F (x) 时未定式一型

同济高等数学公式大全

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高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)0)(lim 0 =→x f x x ,0)(lim 0 =→x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3))()(lim 0x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 这个定理说明:当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→;当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(H L 'ospital )法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)∞=→)(lim 0 x f x x ,∞=→)(lim 0 x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3)) () (lim 0x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 注:上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则,对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型 同样适用. 使用洛必达法则时必须注意以下几点: (1)洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则;) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

同济大学---高数上册知识点

高等数学上册复习要点 」、函数与极限 (一)函数 1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性); 2、反函数、复合函数、函数的运算; 3、初等函数:幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数; 4、函数的连续性与间断点; 函数f(x)在X o连续> lim f(x)二f(x°) X T X o ‘第一类:左右极限均存在? 间断点可去间断点、跳跃间断点 .第二类:左右极限、至少有一个不存在? 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其 推论. (二)极限 1、定义 1)数列极限 limX n=a= PEA。,m N EN,x/n>N, x^ a < s n T°o 2)函数极限 lim f (x) = A= * > 0,我> 0, %,当0^|x-x°|"时,f(x)-A —X r X o

左极限:f(X0) = lim f (X) 右极限:f(X。)= lim f (x) X T X o I X o

lim f (x)二 A 存在二 f (x0) = f(x 0 ) X _;Xo 2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1) y^ X^ Z n ( n - n °) 2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限. 3、 无穷小(大)量 1) 定义:若lim 〉二0则称为无穷小量;若lim 〉八:则称为无穷大量 2) 无穷小的阶:高阶无 穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小 2 ) lim y n = lim z n = a 丿 n ^^ n -^c lim x n 二 a n 》:: Th1 :~ :二: o(: ) ? Th2 -?:,? ,lim 一存在, a r lim —= a lim —(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则; 3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限: 「 sin x 彳 a) li 叫 1 b) X r ° x 1 lim (1 x)x X r 0 lim (V -)^ e x 』: x a) x ~ si n x ?tan x ?arcs in x ?arcta nx

高数公式大全

高等数学公式 (tanx) sec2 x 2 (arcsin x) 1 1 x2 (cot x) csc (secx) secx x tanx (arccos x) 1 1 x2 (cscx) cscx cot x 1 (a x) a x ln a (arctan x) 2 1 x (log a x) 1 x ln a (arccot x) 1 1 x2 导数公式:基本积分表: kdx kx C (k 为常数)x u dx x u 1 C u 1 1 dx x ln x C 1 1 x2 dx arctan x C 1 dx 1 x2 arcsin x C cosxdx sin x C sin xdx cosx C 1 cos2 x dx sec2 xdx tan x C 1 2 dx sin x 2 csc xdx cot x C secx tan xdx secx C cscxcot xdx cscx C e x dx e x C a x a x dx C ln a 两个重要极限: lim sin x 1 x 0 x lim(1 1 x e x x )

三角函数公式: sin 2 2sin cos cos 2 2cos 2 1 1 2sin 2cos2sin2 2 2 sin cos 1 2 2 sec 1 tan 零点定理:设函数 f x 在闭区间a, b 上连续,且 f a f b 0 ,那么在开区间a, b 上至少一点,使f 0 。(考点:利用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时,还需证明方程对应的函数的单调 性) 罗尔定理:如果函数 f x 满足三个条件: (1 )在闭区间a, b 上连续; (2 )在开区间a, b 内可导; (3 )在区间端点处的函数值相等,即 f a f b , 那么在a, b 内至少有一点 a b ,使得f0 。(选择题:选择符合罗尔定理条件的函数;证 明题) 拉格朗日中值定理:如果函数 f x 满足 (1 )在闭区间a,b 上连续; (2 )在开区间a,b 内可导, 那么在a, b 内至少有一点 a b ,使等式 f b f a f b a 成立。(证明题) 定积分应用相关公式 1 b 函数的平均值y f x dx b a a 空间解析几何和向量代数: 空间两点的距离 d M 1 M 2 2 x2 x1 2 y1 y2 2 z1z2 '

同济大学---高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、函数与极限 (一)函数 1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性); 2、反函数、复合函数、函数的运算; 3、初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数; 4、函数的连续性与间断点; 函数在连续 第一类:左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. (二)极限 1、定义 1)数列极限 2)函数极限 左极限:右极限:

2、极限存在准则 1)夹逼准则: 1) 2) 2)单调有界准则:单调有界数列必有极限. 3、无穷小(大)量 1)定义:若则称为无穷小量;若则称为无穷大量. 2)无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小 1 ; 2 (无穷小代换) 4、求极限的方法 1)单调有界准则; 2)夹逼准则; 3)极限运算准则及函数连续性; 4)两个重要极限: a)b) 5)无穷小代换:() a) b)

c)() d)() e) 二、导数与微分 (一)导数 1、定义: 左导数: 右导数: 函数在点可导 2、几何意义:为曲线在点处的切线的斜率. 3、可导与连续的关系: 4、求导的方法 1)导数定义; 2)基本公式; 3)四则运算; 4)复合函数求导(链式法则); 5)隐函数求导数; 6)参数方程求导; 7)对数求导法. 5、高阶导数

1)定义: 2)公式: (二)微分 1)定义:,其中与无关. 2)可微与可导的关系:可微可导,且 三、微分中值定理与导数的应用 (一)中值定理 1、罗尔定理:若函数满足: 1);2);3); 则. 2、拉格朗日中值定理*:若函数满足: 1);2); 则. 3、柯西中值定理:若函数满足: 1);2);3) 则 (二)洛必达法则

同济高等数学公式大全

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高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

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