培优班高一数学集合精品教案
学生姓名：张静依 辅导形式：小班 老师：陈波 学校：高一
【作业检查】
了解学生对上节课的掌握情况，查找学生还没有熟练的知识点。
【梳理知识】
集合的特性
教学目标：
1.理解集合的概念，掌握集合与元素的关系，集合与集合间的关系。
2.会用图型表示集合之间的关系，会用集合进行简单的运算。
教学重点、难点：掌握抽象集合的运算规则。 教学过程
归纳纲总，全面梳理
（1）集合的概念----------------集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法---------N 表示自然数集，N *或
N +
表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.
（3）集合与元素间的关系---------对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 2.集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n
个子集，它有21n
-个真子集，它有21n
-个非空子集，它有22n
-非空真子集.
3.集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
(9) 集合运算：交、并、补.
{|,}{|}{,}
A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈? U 交：且并：或补：且C
(10) 主要性质和运算律
包含关系：,,,,
,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ??????????? C 等价关系：
U A B A B A A B B A B U
??=?=?= C
集合的运算律：
交换律：.;A B B A A B B A == 新课标第一网 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==
0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ=== 等幂律：.,A A A A A A ==
求补律：A ∩CUA=φ A ∪CUA=U CUU=φ CU φ=U 反演律：CU(A ∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A ∪B)= (CUA)∩(CUB) (11) 有限集的元素个数
定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式：
(1)()()()()(2)()()()()
()()()()
card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+
(3) card( UA)= card(U)- card(A)
(12). ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R}坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集.
③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.
例： ??
?=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A ∩B =?） (13). 集合
12{,,,}
n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n
-个.
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法
（2）一元二次不等式的解法
0)
【测试检查】
一，填空题
1.下列八个关系式①{0}=
φ②φ=0 ③φ={φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}?φ⑥0?φ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ}其中正确的个数（）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有（）（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个
3．集合A={x
Z
k
k
x∈
=,
2
} B={
Z
k
k
x
x∈
+
=,1
2
} C={
Z
k
k
x
x∈
+
=,1
4
}又
,
,B
b
A
a∈
∈则有（）
（A）（a+b）∈ A (B) (a+b) ∈B (C)(a+b) ∈ C (D) (a+b) ∈ A、B、C任一个
4．设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ?B ，则下列式子成立的是（ ）
（A ）CUA ?CUB （B ）CUA ?CUB=U （C ）A ?CUB=φ （D ）CUA ?B=φ 5．已知集合A={
22≥-x x } B={
342≤+-x x x }则A B ?=（ ）
（A ）R （B ）{
1
2≥-≤x x x 或} （C ）{
2
1≥≤x x x 或} （D ）{
3
2≥≤x x x 或}
6．设f(n)＝2n ＋1(n ∈N)，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧
＝{n ∈N|f(n)∈P}，Q ∧
＝{n ∈N|f(n)∈Q}，则(P ∧
∩N eQ ∧)∪(Q ∧
∩N e
P ∧
)
＝( )
(A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7} 7．已知A={1，2，a2-3a-1},B={1,3},A =?B {3,1}则a 等于（ ） （A ）-4或1 （B ）-1或4 （C ）-1 （D ）4 8．设A={x
152=+-∈px x Z },B={x
52=+-∈q x x Z },若A ?B={2,3,5},A 、B 分别为（ ）
（A ）{3，5}、{2，3} （B ）{2，3}、{3，5} （C ）{2，5}、{3，5} （D ）{3，5}、{2，5}
9.已知集合 则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．[—1，2]
D ．
10．设U={1，2，3，4，5}，A ，B 为U 的子集，若A ?B={2}，（CUA ）?B={4}，（CUA ）?（CUB ）={1，5}，则下列结论正确的是（ ） （A ）3B A ??3, （B ）3B A ∈?3, （C ）3B A ?∈3, （D ）3B A ∈∈3,
11. 设集合
1
0,
2
A
??
=?
?
?
?,
1
,1
2
B
??
=??
??, 函数
()
()
1
,
2
21,
x x A
f x
x x B
?
+∈
?
=?
?-∈
?,若0x A
∈
，且
()
f f x A
∈
??
??,则0x的取值范围是( )
A．
1
0,
4
??
?
?
? B．
11
,
42
??
?
?
? C．
11
,
42
??
?
?? D．
3
0,
8
??
??
??
二、填空题
12.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为 ______________________________
13.若A={x
10
3
2<
-
+x
x
} B={x
3
<
x
},全集U=R，则A
)
(B
C
U
?
=_______________
14.如果集合中只有一个元素，则a的值是_______________
15．设全集U={x x
为小于20的正奇数}，若A?（CUB）={3，7，15}，（CUA）?B={13，17，19}，又（CUA）?（CUB）=
φ，则A?B= ________
16．设全集为U，用集合A、B、C的交、并、补集符号表图中的阴影部分。
（1__________________ （2）_________________- （3）___________________
17．若集合
{}{}{}
22
,1,3,3,1,21,3,
A a a
B a a a A B
=+-=-+-=-
则A B=
________________。
18.设数集
31,43M x m x m N x n x n ????=≤≤+=-≤≤????
????，且M N 、都是集合{}01x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的长度的最小值是___________ 。 19.设全集
{}{}{}
22,3,23,2,,5U U a a A b C A =+-==,则a = __________ ，b =_______________。
20. 如图，全集为 ， ， ， 均为
的子集，那么阴影部分表示的集合是_________．
21. 已知三个元素的集合 ，
，如果 ，那么
的值为_____________．
22. 设全集为Z ，
，
，则
与
的关系是_______________ ．
23.已知U={-31，5，3}， 2{350}A x x px =+-=,2{3100}B x x x q =++=，1
3-∈A ∩B 求,U U C A C B
。
【家庭作业】
1.设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（CUA ）?（CUB ）=（ ）
（A ）{0} （B ）{0，1} （C ）{0，1，4} （D ）{0，1，2，3，4}
2．设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042
=-=?ac b ，则不等式ax2+bx+c ≥0的解集为（ ）
（A）R （B）φ（C）{a
b
x
x
2
-
≠
} （D）{a
b
2
-
}
3．设全集U={（x,y）
R
y
x∈
,
},集合M={（x,y）
1
2
2
=
-
+
x
y
}，N={(x,y)
4
-
≠x
y
},那么（CUM）?（CUN）等于（）
（A）{（2，-2）} （B）{（-2，2）} （C）
φ（D）（CUN）
4．不等式
6
5
2+
-x
x
（A）{x 2 ,2> - x或 } （B）{x 2 > x } （C）{ x 3 > x } （D）{ x 2 ,3 2≠ < < -x x且 } 5．已知全集合，，，那么是（）（A）（B）（C）（D） 6．已知集合，则等于（） （A）（B）（C）（D） 7．设全集，若，，，则下列结论正确的是（）（A）且（B）且（C）且（D）且 8.若A={1,4,x},B={1,x2}且A?B=B，则x=_____________ 9．设集合A={ 2 3≤ ≤ -x x },B={x 1 2 1 2+ ≤ ≤ -k x k },且A?B，则实数k的取值范围是_________ 10. 的解集可表示为 ? ? ? = - = + 2 3 13 3 2 y x y x __________________ 11.若，求实数的值。 12.已知集合 {} 20 A x x x m =++= ，若 A Rφ = ，则实数m的取值范围是 ? 13.已知集合，，，求实数的取值范围 课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本P-P内容 23二、新课教学（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：课本P的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，3对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5. 元 第八章 立体几何初步 8.5.3 平面与平面平行 一、基础巩固 1.已知平面//α平面β，直线m ?α，直线n ? β，下列结论中不正确的是（ ） A ．//m β B ．//n α C ．//m n D ．m 与n 不相交 2．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行 B ．直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内 C ．直线a α?，直线b β?，且//a β，//b α D ．α内的任何一条直线都与β平行 3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是11A D ，11A B 的中点，过直线BD 的平面α平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ） A 2 B ．98 C 3 D ．62 4．下列说法正确的是（ ） A ．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线 D ．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行 5．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α?，//m β，若使//αβ成立，则需增加条件（ ） A ．n 是直线且n ?α，//n β B ．,n m 是异面直线，//n β C ．,n m 是相交直线且n ?α，//n β D ．,n m 是平行直线且n ?α，//n β 6．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 7．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是空间两条不重合的直线，下列命题不正确．．．的是（） A ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥ B ．若l α⊥，m α⊥，则l m C ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥ D ．若l α⊥，αβ⊥，则l β∥ 8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α?，n ?α，则“αβ∥”是“m β且n β” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.已知a ，b ,c 为三条不同的直线，α，β，γ 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b ∥，b α?，则a α B ．若a α?，b β?，a b ∥，则αβ∥ C ．若αβ∥，a α，则a β∥ D ．若a αβ?=，b βγ=，c αγ?=，a b ∥，则b c ∥ 10.如图，四棱锥S ABCD -中，2的正方形ABCD ， AC 与BD 的交点为O ，SO ⊥平面ABCD 且2SO =E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为( ) 数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ? 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x 专题1.3 集合的基本运算 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M＝{m∈Z|－3 4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0 沪教版高一数学教案 精品文档 沪教版高一数学教案 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征; 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系; 掌握常用数集及其记法; 教学重点:掌握集合的基本概念; 教学难点:元素与集合的关系; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生～ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合 ，也简称集。 3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由: 大于3小于11的偶数; 我国的小河流; 非负奇数; 1 / 3 精品文档 方程x210的解; 某校2007级新生; 血压很高的人; 著名的数学家; 平面直角坐标系内所有第三象限的点全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体， 因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系; 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作:a?A 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作:aA 例如，我们A表示 “1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3?A 4A，等等。 6(集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C表示，集合的元素用 小写的拉丁字母a,b,c,表示。 ,(常用的数集及记法: 2 / 3 精品文档 非负整数集，记作N; 正整数集，记作N*或N+; 整数集，记作Z; 有理数集，记作Q; 实数集，记作R; 例题讲解: 例1(用“?”或“”符号填空: ; ; Z; 设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国，印度A， 英国 A。例2(已知集合P的元素为1,m,m23m3, 若3?P且-1P，求实数m的值。 三、函数思想方法的应用 【要点】 1．函数的思想，是指运用运动变化的观点，分析和研究数量关系，通过建立或构造函数关系式，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法． 2．方程的思想，是指根据数学问题中变量间的特殊关系，有意识地构造方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法． 3．函数和方程是密切相关的，可以互相转化。比如研究函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点问题，就是研究方程f(x)=g(x)的实数解的问题；解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点． 4．函数应用题的解题步骤简述如下： （1）审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论； （2）建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论； （4）作答：对结果进行验证或评估，作出解释或回答。 解应用题可归结为“过三关”：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。 【例题】 1．方程x 2=2x 的解的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知 155=-a c b ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤ 3．已知关于x 的方程 2x －(2 m －8)x +2m －16 = 0的两个实根 1x 、2x 满足 1x ＜2 3＜2x ，则实数m 的取值范围_______________． 4．关于x 的方程|x 2－4x +3|－a =0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是______． 5．若不等式x 4x 2--≥ 3 4x+11-a 的解集为{x|-4≤x≤-2}，求实数a 的值． 高一数学 集合 教学设计方案 教学目标： （1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念； （2）了解全集、空集的意义， （3）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力； （4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集； （5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想； （6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力． 教学重点：子集、补集的概念 教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别 教学用具：幻灯机 教学过程设计 （一）导入新课 上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识． 【提出问题】（投影打出） 已知{1,1}M =-，{1,1,3}N =-，2{10}P x x =-=，问： 1．哪些集合表示方法是列举法． 2．哪些集合表示方法是描述法． 3．将集M 、集从集P 用图示法表示． 4．分别说出各集合中的元素． 5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N 中元素3与集M 的关系用符号表示出来． 6．集M 中元素与集N 有何关系．集M 中元素与集P 有何关系． 【找学生回答】 1．集合M 和集合N ；（口答） 2．集合P ；（口答） 3．（笔练结合板演） 4．集M 中元素有－1，1；集N 中元素有－1，1，3；集P 中元素有－1，1．（口答） 5．1M -∈，1M ∈，1N -∈，1N ∈，3N ∈，1P -∈，1P ∈，3.M ?（笔练结合板演） 6．集M 中任何元素都是集N 的元素．集M 中任何元素都是集P 的元素．（口答） 【引入】在上面见到的集M 与集N ；集M 与集P 通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题． （二）新授知识 1．子集 （1）子集定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．． 一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。 记作：A B B A ??或 读作：A 包含于B 或B 包含A B A B x A x ?∈?∈，则若任意 当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作：A ?/B 或B ?/A ． 性质：①A A ?（任何一个集合是它本身的子集） ②A ??（空集是任何集合的子集） 【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？ 【解疑】不能把A 是B 的子集解释成A 是由B 中部分元素所组成的集合． 因为B 的子集也包括它本身，而这个子集是由B 的全体元素组成的．空集也是B 的子集，而这个集合中并不含有B 中的元素．由此也可看到，把A 是B 的子集解释成A 是由B 的部分元素组成的集合是不确切的． （2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．． 一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．． 一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B 。 例：{}{}1,11,1-=-，可见，集合B A =，是指A 、B 的所有元素完全相同． （3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ?，并且B A ≠，我们就说集合A 是集 合B 的真子集，记作：A B （或B A ），读作A 真包含于B 或B 真包含A 。 【思考】能否这样定义真子集：“如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集．” 集合B 同它的真子集A 之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A ，B ． 【提问】 （1） 写出数集N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示。 高中数学必修一函数培优题 集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?，且1k A +?，那么称k 是A 的一个“孤立元”． 给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 6 2．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2． 若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321 ,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．6 3．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）： 当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=； 当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=?，例如343412⊕=?=． 在上述定义中，集合(){} *|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．15 4．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有 个．3 5．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=； ③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-； 则0*2= ．2 6．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠； ⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． 则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”． 例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． ⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）． 或 7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对 ()m n ，满足下述条件： ① ()11f m =， ； ② 若m n <，()0f m n =， ； ③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-???? 1.1.1集合的概念 【教学目标】 1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质． 2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．【教学重点】 集合的基本概念，元素与集合的关系． 【教学难点】 正确理解集合的概念． 【教学过程】 新 课 元素都是不同的对象． 4. 集合的分类． (1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集． (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集． 5. 常用数集及其记法． (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作N； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N＋或N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作Z； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作Q； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作R． 注意：（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0； （2）自然数集内排除0的集，表示成或，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示，，； （3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如，，…不再适用． 例1 判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由． (1) 小于10 的自然数的全体； (2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的26 个大写字母； (4) 非常接近1 的实数． 练习1 判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ∈Q，b ∈Q，则a＋b ∈Q． 2．选择题 ⑴以下四种说法正确的( ) (A) “实数集”可记为{R}或{实数集} (B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 1.1.1集合的概念 教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念 教学过程： 1．引入 （1）章头导言 （2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容） 2．讲授新课 阅读教材，并思考下列问题： （1）有那些概念？ （2）有那些符号？ （3）集合中元素的特性是什么？ （4）如何给集合分类? （一）有关概念: 1、集合的概念 （1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象. （2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合. （3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、…… 2、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A a 要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写. 3、集合中元素的特性 （1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 4、集合分类 根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 注：应区分Φ，} {Φ，}0{，0等符号的含义 5、常用数集及其表示方法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：全体实数的集合.记作R 注：（1）自然数集包括数0. （2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z* 课堂练习：教材第5页练习A、B 小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质 课后作业：第十页习题1-1B第3题 专题1.1 集合的含义 知识储备 集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． 【提醒】互异性即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 【思考】能否用 点拨： 能力检测 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是() A．P是由元素1，3，π组成的集合，Q是由元素π，1，|－3|组成的集合 B．P是由π组成的集合，Q是由3.141 59组成的集合 C ．P 是由2，3组成的集合，Q 是由有序数对(2，3)组成的集合 D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数组成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集 【答案】A 【解析】由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A. 2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形 【答案】A 【解析】由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等． 3．由实数－a ，a ，|a |，2a 所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，???<->==0 ,0,2a a a a a a ，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素，故选B. 4．方程组???=-=+9 122y x y x 的解集是( ) A ．(－5，4) B ．(5，－4) C ．{(－5，4)} D ．{(5，－4)} 【答案】D 【解析】解方程组? ??=-=+9122y x y x 得???-==45y x ，故解集为{(5，－4)}，选D. 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： 专题18 等比数列 一、单选题 1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31 B ．15 C ．8 D ．7 2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．16 3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3240a S +=，则10a =（ ） A ．512- B ．512 C ．1024 D ．1024- 4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列{}n a 中，已知134a a =，9256a =，则8a =（ ） A ．128 B ．64 C ．64或64- D ．128或128- 5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列{}n a 的公差为3,若134,,a a a 成等比数列,则2a 等于() A ．9 B ．3 C ．-3 D ．-9 6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12342,20a a a a =++=，则5S =（ ） A ．2 B ．0 C ．2- D ．4- 7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的4 5 .若这堆货物总价是425655n ?? - ??? 万元，则n 的值为（ ） 第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； （2）初步了解“属于”关系的意义； （3）初步了解有限集、无限集、空集的意义； 教学重点：集合的含义与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 教学过程： 一、问题引入： 我家有爸爸、妈妈和我； 我来自燕山中学； 省溧中高一（1）班； 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。 二、建构数学： 1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B …… 集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。 2．关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念： 5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应 的=R 课题:§1.2集合间的基本关系 教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型：新授课 教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义； （2）理解子集、真子集的概念； （3）能利用Venn 图表达集合间的关系； （4）了解与空集的含义。 教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。 教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别； 教学过程： 一、引入课题 1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白： （1）0 N ；（2 ；（3）-1.5 R 2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣 布课题） 二、新课教学 （一） 集合与集合之间的“包含”关系； A={1，2，3}，B={1，2，3，4} 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。 记作：)(A B B A ??或 读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B 用Venn )(A B B A ??或 （二） A B B A ??且，则B A =中的元素是一样的，因此B A = 即 ??????=A B B A B A 练习 结论： 任何一个集合是它本身的子集 （三） 真子集的概念 若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper ? 高一年段数学培优教材（4） 高一数学备课组 第四讲 三角函数 一、基础知识： 1． 函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2 x k k Z π π=+ ∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈； cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2 k k Z π π+ ∈ tan (,)2 y x x k k Z π π=≠+ ∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形。 2． 求三角函数最值的常用方法： ① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ω?=++的形式，再利用正弦函数的有 界性求其最值。 ② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。 ③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x b y c x d += +）可利用正弦函数的有界性 来求。 ④ 利用函数的单调性求。 二、综合应用： 1． 已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3 α= 时， )f α=_________________ 2． 已知22 2,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________ 3． 函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________ 4． 函数5cos 23sin ,[,]63 y x x x ππ =+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5． 函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________ 6． 函数sin (0)2cos x y x x π= <<+的最大值是_________________ 7． 函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4 y a bx π =+ 的最小正周期。 8． 已知函数2 ()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0, ]2 π ，值域是[5,1]-，求,a b 的值。 9． 已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象关于直线8 x π =- 对称，求a 的值。 10．已知()sin cos (,,f x A x B x A B ωωω=+是常数，且0)ω>的最小正周期为2，并且当1 3 x = 时，()f x 取最大值为2。 （1）求()f x 表达式； （2）在区间2123 [,]44 上是否存在()f x 的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由。 高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0新课标高一数学人教版必修1教案全集
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