DSP第三次实验报告
数字信号处理实验报告
第三次实验
实验名称：FIR数字滤波器的设计
一实验目的
1.掌握用窗函数法，频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉相应的
MATLAB编程。
2.熟悉线形相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性。
3.了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。
二.实验内容
1.N=45,计算并画出矩形窗，汉明窗，布莱克曼窗的归一化的幅度谱，并比较各自的主要特点。
实验程序：
clear all;
N=45;
wn1=kaiser(N,0);
wn2=hamming(N);
wn3=blackman(N);
[h1,w1] = freqz(wn1,1);
[h2,w2] = freqz(wn2,1);
[h3,w3] = freqz(wn3,1);
plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)),'-',w2/pi,20*log10(abs(h2)),'--',w3/pi,20*log10(abs(h3)),':');
grid;
xlabel('归一化频率/\pi'); ylabel('幅度/dB');
title('三种窗口函数');
legend('矩形窗','汉明窗','布莱克曼窗',3);
实验结果：
实验分析：比较各自的主要特点。
答：由图中可以看出，各窗口函数的主要特点是：
矩形窗：主瓣宽度最小，但旁瓣分量幅度很大，带内带外波动也很大；
汉明窗：主瓣宽度为矩形窗的两倍，但旁瓣幅度小，能量更集中在主瓣，带内外波动也小；
布莱克曼窗：主瓣宽度最宽，为矩形窗的三倍，但是相应的其旁瓣更低，即旁瓣衰减更大，能量最集中在主瓣，带内外波动最小。
注意矩形窗口的产生是利用凯塞窗wn1=kaiser(N,0)产生的，因为凯塞窗的参数beta等于0时相当于矩形窗。
2.N=15，带通滤波器的两个同带边界分别是ω1=0.3π，ω2=0.5π。用汉宁窗设计此线形相位带通滤波器，观察它的实际3dB和20dB带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响。
实验程序：
clear all;
N=15;
h= fir1(N-1,[0.3 0.5],'bandpass',hanning(N));
figure(1)
freqz(h,1)
title('N=15,汉宁窗');
N=45;
h= fir1(N-1,[0.3 0.5],'bandpass',hanning(N));
figure(2)
freqz(h,1)
title('N=45,汉宁窗'); 实验结果：
实验分析：观察它的实际3dB和20dB带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响。
答：3dB带宽指幅值等于最大值的二分之根号二倍时对应的频带宽度
幅值的平方即为功率，平方后变为1/2倍，在对数坐标中就是
-3dB的位置了，也就是半功率点了，对应的带宽就是功率在减少至其一半以前的频带宽度，表示在该带宽内集中了一半的功率。
同理，20dB带宽则指幅值等于最大值的十分之一时对应的频带宽度，相对于功率来说则是下降为最大值的100分之一。
N =15时，3dB带宽约为0.16pi 20dB带宽约为0.3pi
N=45时，3dB带宽约为0.12pi 20dB带宽约为0.24pi
由图中可以看出，随着N的增大，3dB带宽、20dB带宽越窄，阻带衰减越大，通带内更为平整，所以滤波特性更好。P200。。。。。
而且在相频图中也可看出，两种情况下的通带内相位皆为线性变化，所以设计符合要求。
3.分别改用矩形窗和布莱克曼窗，设计(2)中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点。
实验程序：
clc;
clear;
close all;
N1=15;
wn=[0.3 0.5];
b1=fir1(N1,wn,rectwin(N1+1)); [h1,w1]=freqz(b1,1,512); freqzplot(h1,w1);
title('N=15 矩形窗');
figure;
N2=45;
b2=fir1(N2,wn,rectwin(N2+1)); [h2,w2]=freqz(b2,1,512); freqzplot(h2,w2);
title('N=45 矩形窗');
figure;
N1=15;
wn=[0.3 0.5];
b1=fir1(N1,wn,blackman(N1+1)); [h1,w1]=freqz(b1,1,512); freqzplot(h1,w1);
title('N=15 布莱克曼窗'); figure;
N2=45;
b2=fir1(N2,wn,blackman(N2+1)); [h2,w2]=freqz(b2,1,512); freqzplot(h2,w2);
title('N=45 布莱克曼窗');
实验结果：
实验分析：观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点。
矩形窗设计的滤波器过渡带最窄，但阻带最小衰减也最差，约为21dB；
汉宁窗设计的滤波器过渡带稍宽，但有较好的阻带衰减，约为44dB；
布莱克曼窗设计的滤波器阻带衰减最好，约为74dB，但过渡带最宽。
由以上两题的对比可以得出以下结论：当使用同种窗设计滤波器时，N越大，主瓣宽度越窄，通带越平坦，过渡带宽越小。对于同一个N值，当用不同窗设计时，矩形窗的过渡带最窄，但阻带衰减最差；Blackman窗的阻带衰减最好，但过渡带最宽；Hanning 窗的两种特性介于前两者之间。
4.用凯塞窗设计一专用线形相位滤波器，N=40，|H d(ejω)|如图，当β=4,6,10时，分别设计，比较它们的幅频和相频特性，注意β取不同值时的影响。
实验程序：
clear all;
N=40;
f = [0 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1];
a = [0 0 1 1 0 0 1 1 0 0];
beta=4;
h1= fir2(N-1,f,a,kaiser(N,beta));
freqz(h1,1);
title('beta=4 时凯塞窗专用线性相位滤波器');
figure;
beta=6;
h2= fir2(N-1,f,a,kaiser(N,beta));
freqz(h2,1);
title('beta=6 时凯塞窗专用线性相位滤波器');
figure;
beta=10;
h3= fir2(N-1,f,a,kaiser(N,beta));
freqz(h3,1);
title('beta=10 时凯塞窗专用线性相位滤波器');
figure;
实验结果：
实验分析：比较它们的幅频和相频特性，注意β取不同值时的影响。
答：由图中可以看出，β越大，则窗越窄，过渡带宽越大，主瓣的宽度也相应增加，而频谱的旁瓣越小，阻带最小衰减也越大。而且通带内更为平坦。
5.用频率采样法设计(4)中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令H(k)=0.5。比较两种不同方法的效果。
实验程序：
第二类线性相位滤波器：
clear all;
N=40;
Hk=[zeros(1,3) 0.5 ones(1,5) 0.5 zeros(1,1) 0.5 ones(1,5) 0.5 zeros(1,5) -0.5 -ones(1,5) -0.5 zeros(1,1) -0.5 -ones(1,5) -0.5 zeros(1,2)];
k=0:N-1;
hn=real(ifft(Hk.*exp(-j*pi*(N-1)*k/N)));
[H w]=freqz(hn, 1);
plot(w/pi, 20*log10(abs(H)));
axis([0 1 -80 10]);grid;
xlabel('归一化频率/\pi')
ylabel('幅度/dB')
title('频率采样法设计专用线性相位滤波器');
实验结果：
第四类线性相位滤波器：
clear all;
N=40;
Hk=[zeros(1,3) 0.5 ones(1,5) 0.5 zeros(1,1) 0.5 ones(1,5) 0.5 zeros(1,5) 0.5 ones(1,5) 0.5 zeros(1,1) 0.5 ones(1,5) 0.5 zeros(1,2)];
k=0:N-1;
hn=real(ifft(Hk.*exp(-j*(pi*(N-1)*k/N-pi/2))));
[H w]=freqz(hn, 1);
plot(w/pi, 20*log10(abs(H)));
axis([0 1 -80 10]);grid;
xlabel('归一化频率/\pi')
ylabel('幅度/dB')
title('频率采样法设计专用线性相位滤波器');
实验分析：比较两种不同方法的效果。
答：采样法从频域出发，对理想的频率响应进行等间隔的采样，而采样点之间的值则利用各采样点的内插函数叠加而成。因此，采样法在采样点上的频响就等于理想频响，所以，其阻带就比窗口法平坦。如果采样点之间的理想频率特性变化越陡，内插值与理想值的差别就越大，因而在理想频率特性变化的不连续点附近会出现肩峰和波纹，为改善这一特性，在过渡带安排一个采样值（H(k)=0.5）,这相当于加宽过渡带。
于是我们知道为了提高逼近质量，减小在通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡，在阻带、阻带的交界处认为地安排1到几个过渡点，可以减小样点间幅度值的落差，使过渡平缓，反冲减小，阻带最小衰减增大。
6.用雷米兹交替算法设计(4)中的滤波器，并比较(4),(5),(6)三种不同方法的结果。
实验程序：
clear all;
N=40;
f=[0 0.15 0.2 0.4 0.45 0.55 0.6 0.8 0.85 1];
a=[0 0 1 1 0 0 1 1 0 0];
wt=[2 1 2 1 2];
b=remez(N-1,f,a,wt);
freqz(b,1);
title('雷米兹交替算法设计专用线性相位滤波器');
实验结果：
实验分析：比较(4),(5),(6)三种不同方法的结果
答：比较用Kaise窗、频率采样法以及雷米兹交替算法设计的滤波器，可以得出以下结论：Kaise窗的过渡带较宽，但它的阻带波动较小；频率采样法的过渡带较窄，但它的阻带波动较大。即：
①当过渡带宽越大时，幅频特性曲线的误差就越小，阻带波纹起伏小；
②当过渡带宽越小时，幅频特性曲线的误差就越大，阻带波纹起伏大。
由此可知，过渡带宽和误差是矛盾的，当满足了带宽的要求就必然会带来误差，这误差表现为阻带波纹状。
几种方法进行比较可得：
用凯塞窗设计滤波器，需要额外的参数beta,beta取值不同设计出来的滤波器频谱也很不同。
用频率采样法设计滤波器，需要设计合理的过渡点的H(k),可以减小在通带边缘由于采样点的突变而引起的起伏震荡。
用雷米兹交替算法可以精确地控制通带和阻带的边界，但是会出现波纹。
7.利用雷米兹交替算法，设计一个线形相位高通FIR数字滤波器，其指标为：通带边界频率fc=800Hz，阻带边界fr=500Hz，通带波动δ=1dB，阻带最小衰减At=40dB，采样频率fs=5000Hz。实验程序：
clear all;
fedge=[500 800];
mval=[0 1];
dev=[0.01 0.109];
fs=5000;
[N,fpts,mag,wt]=remezord(fedge,mval,dev,fs);
b=remez(N,fpts,mag,wt);
freqz(b,1);
title('雷米兹交替算法设计线性相位高通FIR 数字滤波器'); 实验结果：
三：思考题
1. 定性地说明用本实验程序设计的FIR 滤波器的3dB 截止频率在什么位置？它等于理想频率响应H d （e jw ）的截止频率吗？ 答：
截止频率是用来说明电路频率特性指标的特殊频率。当保持电路输入信号的幅度不变，改变频率使输出信号降至最大值的0.707倍，或某一特殊额定值时该频率称为截止频率。 而3dB 截止频率是幅度下降为最高幅度的根号2分之一（-3db ），所以称为3db 截止频率，因为20lg （二分之根号2）=3。
故在理论上，3dB 截止频率等于理想频率响应H d （e jw ）的截止频率
2.如果没有给定h(n)的长度N ，而是给定了通带边缘截止频率c ω和阻带临界频率p ω，以及相应的衰减，能根据这些条件用窗函数法设计线性相位FIR 低通滤波器吗？ 答：可以，可以用雷米兹交替算法来设计。P219
四、实验结论
总结三种不同设计方法的特点，归纳设计中的主要公式。
窗口设计法
优点：
? 简单、方便、实用 缺点：
? 若H d （e jw ）不能用简单的涵数表达，则很难求出h d (n)
? 采用加窗法很难精确控制滤波器的通、阻带边界频率。 主要公式
∑?-=--
=→=→=
→1
)()()()()()(21
)()(N n n
j j d n
j j d d j d e n h e H n h n w n h d e
e H n h e H ωω
ωπ
π
ωω
ωπ
频率采样法
优点：
? 可以在频域直接诶设计，并且适合于优化设计。
? 特别适用于设计窄带选频滤波器。只是只有少数几个非零值的H(k)，因而
设计计算量小。 缺点：
? 抽样频率只能等于
N π2的整数倍或等于N π2的整数倍加上N
π，因而不能确保截止频率的自由取值。要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点
数N ，但这又使计算量加大。
主要公式
()()[]k H IDFT n h =, 1,,1,0-=N n
()()∑-=-----=
1
0111N k k N
N
z W k H N z z H ()()
k N
j d d e H k H πωω
2=
=, 1,,1,0-=N k
N 的估算公式为
()12+?=
m N ω
π
最优化设计
数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），
用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频率特性H d (e j ω
)的逼近。说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好”“坏”的恒量标准不同，也会得出不同的结论，窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法，所需变量，然后再讨论其逼近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计就是将所有采样值皆为变量，以获得最优结果。最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计。
主要公式