基本不等式知识点和基本题型
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ （2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形
（1）若*
,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2
2??
? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论
（1）若0x >，则1
2x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
（3）若0>ab ，则2≥+a
b
b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*
,R b a ∈，则
2
2111
22b a b a ab b
a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当
b a =时取“=”
6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2
2
2
2
2
2
2
1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥
b
a 112+
2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222
3、已知1a b c ++=，求证：2
221
3
a
b c ++≥
4、已知,,a b c R +
∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---
5、已知,,a b c R +
∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ???????????
6、选修4—5：不等式选讲
设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a ++≥.
7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2
23322-≥-
题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域
（1）
22213x x y +
= （2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x x
x y 题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知2>x ，求函数
424
42-+
-=x x y 的最小值；
变式1：已知2>x ，求函数424
2-+=x x y 的最小值；
变式2：已知2 24 2-+=x x y 的最大值； 练习：1、已知5 4x >，求函数14245y x x =-+-的最小值； 2、已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值； 题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 1、当时，求(82)y x x =-的最大值； 变式1：当时，求 4(82)y x x =-的最大值； 变式2：设2 3 0< < x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。 2、若02< 变式：若40< )28(x x y -=的最大值； 3、求函数)2 52 1(2512<<-+-=x x x y 的最大值； （提示：平方，利用基本不等式） 变式：求函数)4 1143(41134<<-+-=x x x y 的最大值； 题型五：巧用“1”的代换求最值问题 1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b = +11 的最小值； 法一： 法二： 变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b = +11 的最小值； 变式2：已知28 ,0, 1x y x y >+=，求xy 的最小值； 变式3：已知0,>y x ，且11 9x y +=，求x y +的最小值。 变式4：已知0,>y x ，且19 4x y +=，求x y +的最小值； 变式5：（1）若0,>y x 且12=+y x ，求11x y +的最小值；（2）若+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值； 变式6：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求n m 4 1+的最小值； 题型六：分离换元法求最值（了解） 1、求函数)1(11072-≠+++= x x x x y 的值域； 变式：求函数)1(18 2>-+=x x x y 的值域； 2、求函数5 22++=x x y 的最大值；（提示：换元法） 变式：求函数941 ++=x x y 的最大值； 题型七：基本不等式的综合应用 1、已知1log log 22≥+b a ，求b a 93+的最小值 2、（2009天津）已知0,>b a ，求ab b a 211++的最小值； 变式1：（2010四川）如果0>>b a ，求关于b a ,的表达式) (112 b a a ab a -++ 的最小值； 变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当1,0≠>a a 时，函数1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线 0=+-n y mx 上，求n m 24+的最小值； 3、已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值； 变式1：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围； 变式2：（2010山东）已知0,>y x ， 312121=+++y x ，求xy 最大值；（提示：通分或三角换元） 变式3：（2011浙江）已知0,>y x ，12 2=++xy y x ，求xy 最大值； 4、（2013年山东（理））设正实数z y x ,,满足0432 2=-+-z y xy x ,则当z xy 取得最大值时,z y x 212-+的最大值为（ 1 ） （提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值） 变式：设z y x ,,是正数，满足032=+-z y x ，求xz y 2 的最小值； 题型八：利用基本不等式求参数范围 1、（2012沈阳检测）已知0,>y x ，且9)1)((≥++y a x y x 恒成立，求正实数a 的最小值； 2、已知0>>> z y x 且 z x n z y y x -≥-+-11恒成立，如果+ ∈N n ，求n 的最大值；（参考：4） （提示：分离参数，换元法） 变式：已知0,>b a 满则 24 1=+b a ，若c b a ≥+恒成立，求 c 的取值范围； 题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式 ),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d b c a R d c b a ==∈若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ 2、二维形式的柯西不等式的变式 bd ac d c b a +≥+?+2222)1(， ),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d b c a R d c b a ==∈ 2)())()(3(bd ac d c b a +≥++， ),0,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d b c a d c b a ==≥ 3、二维形式的柯西不等式的向量形式 β αβα≤?， ),,,0(等号成立时使或存在实数当且仅当→ →→→==ββk a k 4、三维柯西不等式 若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2 2 2 2 2 2 2 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 5、一般n 维柯西不等式 设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有:22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 1、设,,x y z R ∈，若2 2 2 4x y z ++=，则z y x 22+-的最小值为 时，=),,(z y x 析：] 2)2(1)[()22(2 222222+-+++≤+-z y x z y x 3694=?= ，∴z y x 22+-最小值为6- 此时322)2(16221222-=+-+-==-=z y x ，∴ 32-=x ，34=y ，3 4 -=z 2、设,,x y z R ∈，226x y z --=，求2 2 2 x y z ++的最小值m ，并求此时,,x y z 之值。 Ans ：)3 4,32,34(),,(;4--==z y x m 3、设,,x y z R ∈，332=+-z y x ，求2 22)1(z y x +-+之最小值为 ，此时=y （析：0)1(32332=+--?=+-z y x z y x ） 4、（2013年湖南卷（理））已知,,,236,a b c a b c ∈++=则222 49a b c ++的最小值是 (12:Ans ) 5、（2013年湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2 2 2 1x y z ++=,2314x y z ++=,求z y x ++的值； 6、求φθφθθcos cos sin cos 3sin 2-+ 的最大值与最小值。（Ans ：最大值为22，最小值为 ?22） 析：构造法：令→ a ? (2sin ?，3cos ?，? cos ?)，→ b ? (1，sin ?，cos ?) 不等式的概念及其基本性质 一、知识点复习： 1. 用 不等号 连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。 2．不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-； （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c >； （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果)0(<>c b a ，那么bc ac <， c b c a <； （4）如果a b >，那么b a <； （5）如果a b >，b c >，那么a c >。 二、经典题型分类讲解： 题型1：考察不等式的概念 1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。其中不等式有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 题型2：考察不等式的性质 2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（ ） A 、22b a < B 、b a 22< C 、22+<+b a D 、b a -<- 3. 若0a b <<，则下列式子：12a b +<+ , 1a b > , a b ab +< , 11a b <,其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若a c b c +>+，则a b > C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b > 基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+（2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ 解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果,R a b ∈，那么2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果,a b 是正数，那么 2a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。 （3）2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2 a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2 CD CA CB =?，即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所 以：22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小） 不等式的知识要点 1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>> 0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)(0*2N n a n ∈≥（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）非负式：0,0||,2≥≥∈a a R a 则若；.0,0≥≥a a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）二元均值不等式：如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 常用为：a b +≥a=b 时取等号），2()2 a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 不等式链：如果a ,b 都是正数，那么 2 112a b a b +≤+（当仅当a=b 时取等号） ,3 a b c a b c R +++∈(4)三元均值不等式：若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 4.几个著名不等式 （1）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则 若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,, 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 初中不等式知识点总结 一、不等式的概念 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的.解法 一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将 x 项的系数化为 1。 四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 第九章不等式与不等式组 一、目标与要求 1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上; 2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想; 3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。 二、知识框架 三、重点 理解并掌握不等式的性质; 正确运用不等式的性质; 建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程; 寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型; 一元一次不等式组的解集和解法。 四、难点 一元一次不等式组解集的理解; 弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式; 正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。 五、知识点、概念总结 1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。 一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)"≥"，"≤"连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 5.不等式解集的表示方法： (1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3 (2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形 四、列一元一次方程解应用题的步骤有： 1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。 2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。 5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。 7、作答：正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题： 1、和差倍分问题: （1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量 2、等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝ r 2h （2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽 3、数字问题： 一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a ， 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ） （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) （4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折： 折后价（售价）=标价×10 x 计算。 5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。 （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 6、工程问题： （1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间 （2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1 （3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和 （4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和 基本不等式知识点归 纳 基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； 基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解
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