周期现象

§1.周期现象

预习案

学习目标

1，理解周期现象

2，能举出现实生活中有哪些例子是周期现象

学习重难点

周期现象概念

自主学习

1，观察钱塘江潮的图片，我们可以看到：波浪每间隔一段时间会重复出现，这种现象被称为周期现象。（见教材第3页图片）

2，判断下列哪些是周期现象：

(1)，地球上一年春，夏，秋，冬四季的变化

(2)，钟表的分针每小时转一圈，

(3)，昼夜交替，月亮盈亏

(4)，春去春又回

(5)，连续抛一枚银币，正面和反面向上

探究案

例1地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y随时间的变化是周期性的吗？

例2今天是星期二，再过60天是星期几？

四年级简单的周期问题练习题答案

四年级简单的周期问题练习题（答案） 四年班姓名 1.有一堆围棋子，如果按“二白三黑”的顺序依次排列起来（如图），第84颗是白色还是黑色？第53颗和第91颗呢？ ○○●●●○○●●●○○●●●…… 2+3=5（个）84÷5=16（组）……4（个） 53÷5=10（组）……3（个） 91÷5=16（组）……1（个） 答：第84颗是黑色的，第53颗也是黑色的，第91颗是白色的。 2．一个循环小数0.1428571428571428……,小数点后第100位的数字是多少？ 100÷6=16（组）……4（个） 答：小数点后第100位数字是8。 3．小明观察交通岗处的信号灯变化情况是红、黄、绿、黄、红、黄，……如果从红灯亮开始，当信号灯变化了39次时是什么颜色的灯在亮？ 39÷4=9（组）……3（次）答：第39次是黄色。 4．三种颜色的珠子依次排列如下图： ●●○○○◎◎●●○○○◎◎…… 第83个珠子是什么颜色的？ 83÷7=11（组）……6（个）答：第83颗珠子是◎。 5．2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几? 20-3+1=18（天）18÷7=2（周）……4（天）答：5月20日是星期日。 6．有△，□，○共720个，按2个△，3个□，4个○排列，如图： △△□□□○○○○△△□□□○○○○……

请回答： （1）△共有几个？ 2+3+4=9（个）720÷9=80（组）80×2=160（个）答：△一共有160个。 （2）第288个是哪种图形？ 288÷7=41（组）……1（个）答：第288个是△。 7.2001年6月1日是星期五，问9月1日是星期几? 30+31+31+1=93（天）93÷7=13（周）……2（天） 答：9月1日是星期六。 8．今天是星期四，再过90天是星期几？ 90+1=91(天) 91÷7=13（周）答：再过90天是星期三。 9.有一列数按“4327943279186……”排列，那么前54个数字之和是多少? 54÷8=6（组）……6（个） 4+3+2+7+9+1+8+6=40 4+3+2+7+9+1=26 40×6+26=240+26=266 答：前54个数字之和是266。 10．把写着1，2，3，4，……，200号的卡片依次分发给A,B,C,D四个人。已知13号发给A，28号发给（ D ）；105号发给（ A ）；134发给（ B ）。 28÷4=7（组） D 105÷4=26（组）……1（个） A 134÷4=33（组）……2（个） B 11.同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少人?

1-1周期现象

宝石学校活页课时教案(首页) 班级:高一年级科目:数学周次教学时间2012年2月日月教案序号 课题1-1 周期现象课型新授 教学目标(识记、理解应用、分析、创见) 知识目标：通过阅读教材，联想生活中的一些实例，如单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象。 能力目标：会判断周期现象。 情感目标：使学生感受到生活中处处有数学，从而激发学生用数学的观点方法来研究这些现象的欲望，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。 教学重点及难点教学重点：感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象. 教学难点：周期现象的深刻理解以及简单的应用. 教学方法观察、思考、交流、讨论、概括。教学反馈 板书设计 1-1 周期现象 对于函数f(x),自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,这样的函数我们就叫做周期函数.

高中必修4教案第 2 页共 3 页一、新知探究 提出问题 ①什么是周期现象？每人各自举出3个以上周期现象的实例. ②周期现象与函数的概念有什么联系？ ③如何画出“散点图”？ ④如何理解“散点图”？图1中横坐标和纵坐标分别表示什么？ 活动:引导学生自主学习本节的相关内容，并思考理解周期现象的数学含义，理解周期现象中两个量的变化与函数中两个量的变化联系,尝试着用函数的视角来分析并解释周期现象.例如:对于函数f(x),自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,这样的函数我们就叫做周期函数. 实例1：让学生观察钱塘江潮的图片(投影图片)，并介绍:钱塘江是浙江省的第一大河，它位于浙江省北部，全长605千米，河域面积五万平方千米，占全省面积的百分之四十三，是我国东南沿海的一条著名江流.利用课件，让学生看看潮水，听听潮声，感受一下钱塘江潮的宏伟气势.教师适时引导学生注意波浪是怎样变化的？师生讨论总结得出:波浪每隔一段时间会重复出现，这是一种周期现象. 实例2：大海富饶、美丽、,博大、宽广,壮丽的海上日出,美丽的神话传说唤起了人们对海的向往.众所周知，海水受月亮、太阳的引力,在一定的时候发生涨落现象.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天刚刚学到的周期现象.人们根据海水的这一规律，在通常情况下,航船在涨潮时驶进航道,靠近码头，卸货后,在落潮时返回海洋，这是人们充分利用周期规律的典型例子. 实例3：我们平时所说的年、月、日，实际上是自然界存在的周期性天文现象.太阳东升西落的周期是一日；月亮由圆到缺，又由缺到圆，这就是一月，即周期为一月；冬去春来，循环往复，这就是一年，即周期为一年.这些周期性现象向人们展示了时间的进程. 实例4：太阳表面的太阳黑子活动也是周期性天文现象.黑子是光球层上的巨大气流漩涡，大多呈近似椭圆形，在明亮的光球背景反衬下显得比较暗黑，但实际上它们的温度高达4 000 ℃左右.倘若能把黑子单独取出，一个大黑子便可以发出相当于满月的光芒.太阳表面上黑子出现的情况是不断变化的，这种变化反映了太阳辐射能量的变化.太阳黑子的变化存在复杂的周期现象，平均活动周期为11.2年. 二、应用应用 1、地球围绕着太阳转(图2)，地球到太阳的距离y随时间t的变化是周期性的吗？ 图2 活动:教师引导学生回忆物理学的相关知识，结合函数的概念进行思考分析. 解: 根据物理学知识，我们知道在任何一个确定的时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，每经过一年地球围绕着太阳转一周.无论从哪个时刻t算起，经过一年时间，地球又回到原来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变化的. 2、图3是钟摆的示意图.摆心A到铅垂线MN的距离记为y，钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ.根据物理知识，y与θ都随时间的变化而周期性变化.

周期函数与其导函数周期相同的一个条件

周期函数与其导函数周期相同的一个条件 摘要：周期函数与导函数的周期可以保持不变，但并非完全相同，须满足一定的条件，它们才能够相同。 关键词：可微；原函数；导函数；周期性 命题：可微分的周期函数，其导函数仍为具有相同周期的周期函数。 我们讨论的周期相同，是指二者周期的集合相同（原函数的周期一定是导函数的周期；反之，导函数的周期一定是原函数的周期），或者二者最小正周期相同。 文献1中给出的“证明”，是由f（x+T）=f（x）得f?（x+T）=f?（x）[1]，这只能说明原函数的最小正周期T是导函数的一个周期，即对导函数的最小正周期T …而言，有T=KT …（K为正整数）.至于T是否为导函数的一个周期，即：是否T=T …，并未得证，尚需证T …一定也是原函数f（x）的一个周期：f（x+T …）=f（x），才有T=T ….许多书上的证明多是如此。 本文将指出：可微周期函数与其导函数最小正周期并非一定相同；同时，给出一个周期相同的一个充分条件。 1 现举一反例 我们约定J表示整数集合，R表示实数集合，E（x）表示不超过x的最大整数。 例1 设，考察定义在D上的函数f（x）=x-E（x）. 与正切函数类似，虽然f（x）在R上有可列间断点，但f（x）在其定义域D中每点连续可微. 首先，1/2不会是f（x）的周期，这只要取x0=k+1/4，有x0∈D，f（x0）=1/4； x0+1/2=k+3/4∈D，f（x0+1/2）=3/4，便有f（x0+1/2）≠f（x0）. f（x）的导函数f …（x）=1，1/2是f …（x）的一个周期.因为，对任意x ∈D，x+1/2∈D，f?（x）= f …（x+1/2）=1. 这样，我们已经得到f（x）与f …（x）周期集合不同，自然，最小正周期就不会相同.当然，我们也可以分别证明，f（x）最小正周期为1，f …（x）最

找规律周期问题

找规律江万里 教学目标： 知识与技能：使学生结合具体情境，探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的是什么物体或图形。 过程与方法：使学生主动经历探索、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题的不同策略，能根据实际情况，选择合适的解决问题的策略。 情感态度与价值观:使学生在探索规律的过程中体会数学与日常生活的联系，获得成功的体验。 教学重点、难点： 重点：让学生经历探索和发现规律的过程，体会多样化的解决问题的策略以及方法逐步优化的过程。 难点：用计算的方法确定周期现象中某个序号所代表的物体或图形。 教学过程： 一、游戏激趣，导入新课 1.我们先来玩个小游戏：记忆力大比拼。 在5秒钟之内,男生记第一行数字,女生记第二行数字，比比谁记住的数字多。 男生：162536496481 女生：567856785678 汇报 2.为什么男生记住的数字少，而女生能全部记住呢？ 第二行数字有怎样的规律？（5678四个数字重复出现） 师：像这样依次不断重复出现的现象叫作周期现象，今天，我们一起来找一找周期现象中的排列规律。（板书课题：找规律） 二、创设情境，探索规律 节假日，公园里张灯结彩、花团锦簇。 1、教学例1 （出示例1情境图） 提问：在这幅图中，从左边起，盆花、彩灯、彩旗的排列有什么规律？（先圈一圈、再在小组内说一说） 学生回答，1人 教师：盆花按蓝红、蓝红2盆一组重复出现。 彩灯按红、紫、绿3盏一组重复出现。 彩旗按红、红、黄、黄4面一组重复出现。 提问：在图中我们只看到8盆花，如果照这样的规律摆下去，左起第15盆是什么颜色的花？ 请把你的想法和答案记录在练习纸上，然后在小组内交流自己的想法。 哪个小组来汇报， 我是这样想的 点评，他用了画图法，他用了②列举法（单数是蓝花，双数是红花，15是单数，所以第15盆是蓝花。）他用了③计算法：15÷2=7（组）……1（盆）其它组有补充吗？ 算式中的每一个数字各表示什么意思？ （15表示第15盆，2表示每2盆花为一组，7表示有7组，还余下一盆，这一盆就是蓝色。） 余下的一盆是第几组的第1盆，看不到第8组，怎么办？（看任意一组的第1盆） 谁再来说说。 同学们真了不起，想到了这么多不同的方法。 2.教学试一试 解决了盆花的问题，再来看看彩灯、彩旗中的数学问题。 根据学习任务单一进行学习。 小组学习任务单一：

周期现象

1. 周期现象：相同间隔重复出现的现象 2. 角的定义；有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 3. 角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 4.象限角：象限角：在直角坐标系中，以x 轴正半轴为始边旋转（无论逆时针还是顺时针旋转）终边落在第几象限就叫做第几象限的角。（落在坐标轴上的，不是象限角） 5.终边相同的角的表示法：角度值是β=k*360+α，k 是整数弧度制是β=2k π+α，k 是整数 例1.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 ；⑶－950°12＇ 例2.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) 例3.已知α角是第三象限角，则2α，α/2各是第几象限角？ 6.角度制：规定把周角的1/360作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制 弧度制：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角 ①将角度化为弧度： ②将弧度化为角度： 例4. 将下列角度化成弧度或将弧度化为度。 ⑴－130°；⑵640°;(3)5π/4 7. 弧长公式：弧长等于弧所对应的圆心角弧度数的绝对值与半径的乘积 例5：叙述并证明扇形的面积公式 8. 单位圆 9. 正弦函数与余弦函数定义 10. 特殊角的正余弦函数值 例6：tan600°的值是____________ 例7：若sin θcos θ＞0，则θ在第____________象限 11. 周期函数：自变量呈周期性变化的函数叫做周期函数

最小正周期： 例8.若cosθ＞0，sin2θ＜0，则θ的终边在第____________象限例9.在（0,2π）上满足sinx＞1/2的x的取值范围是____________ 12.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限（非常重要） 例10.化简： 练习：

周期函数与周期数列(终审稿)

周期函数与周期数列 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

第14讲周期函数与周期数列 本节主要内容有周期；周期数列、周期函数． 周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位．在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和．作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念．在中学数学中，我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究．中学数学里称函数的周期，没有特殊说明是指其最小正周期． 如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x) 恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期． 一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期． 1．若f(x＋T)=－f(x)，则2T是f(x)的周期，即f(x＋2T)=f(x) 证明：f(x＋2T)=f(x＋T＋T)=－f(x＋T)=f(x)， 由周期函数的性质可得f(x＋2n T)=f(x)，(n∈Z)

2．若f (x ＋T )=±，则2T 是f (x )的周期，即f (x ＋2T )=f (x )． 仅以f (x ＋T )=证明如下： f (x ＋2T )=f (x ＋T ＋T )==f (x )．由周期函数的性质可得f (x ＋2n T )=f (x )，(n ∈Z ) 3．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a +=对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期． A 类例题 例1（2001年上海春季卷）若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为（） A ．}{12+k a B ．}{13+k a C ．}{14+k a D ．}{16+k a 解析由数列{a n }前8项的值各异，n 8n a a =+对任意n ∈N ＋都成立， 得数列{a n }的周期T=8，则问题转化为2k ＋1，3k ＋1，4k ＋1，6k ＋1中k=1，2，3，…代入 被8除若余数能取到0，1，2，3，4，5，6，7即为答案． 经检验3k ＋1可以，故}{13+k a 可取遍{a n }的前8项值．答案为B ． 说明本题还可以奇偶性的角度考虑，在2k ＋1，3k ＋1，4k ＋1，6k ＋1中，2k ＋1，4k ＋1，6k ＋1都是奇数，除8后仍都是奇数，只有3k ＋1除8后余数能取到0，1，2，3，4，5，6，7．

三年级第一学期《周期问题》教案

《周期问题》教案 教学内容：沪教版三年级上《周期问题》 教学目标： 知识与技能： 1、使学生结合具体情境，探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的是什么物体或图形。 2、知道使用除法，利用余数进行推理方法的便捷，掌握利用余数进行推理的方法。 方法与过程： 1、体会画图、计算等解决问题的不同策略，能根据实际情况，选择合适的解决问题的策略。 情感态度与价值： 1、经历探索、合作交流的过程，使学生在探索规律的过程中体会数学与日常生活的联系，获得成功的体验。 教学重点：让学生用除法计算的策略解决这类排列问题。 教学难点：计算策略中，确定几个物体为一组，怎样根据余数来确定某个序号所代表的是什么物体或图形。 教具准备：多媒体 教学过程： 一、情景谈话，导入新课 1、谈话引入： 师：小朋友知道现在是什么季节吗？（秋季） 秋季过了，接下去是什么季节呢？（冬季） 再接着是什么季节呢？（春季、夏季） 过完夏季我们又该到什么季节了？ 师：我想过完秋季直接过春季行吗？ 那能不能再继续过秋季？为什么不行？ 师：又如我们每个星期的学习生活是从那天开始的？（周一）接着是周几？ 小结：一年四季春夏秋冬、每个星期都是按照规律依次重复出现，周而复始。 像这样：按照一定的规律，依次不断重复出现的，我们把这种现象叫“周期”

出示课题：周期问题 二、动手操作，感知周期（有序排列） 1、出示：下列图形发现什么规律？你能接着画吗？ ①○□○□○□ ②△□○△□○△□○ ③◇○○□□◇○○□□ 反馈交流 师：哪几个在重复出现的？ ①每两个一组，按照○□重复出现；②每三个一组，按照△□○重复出现；③每五个一组，按照◇○○□□重复出现； 小结板书：“每几个一组”、“依次重复出现” 三、自主探究，体会规律 １、出示： 想一想：这串图形中，第31个是什么图形？（在练习纸上试一试）（1）○△□○△□○△□……（）…… 反馈： ⑴：画图： ⑵：计算： 31÷3=10（组）……1（个）（板书）○ 讨论：算式中的“31”、“3”、“10”、“1”分别表示什么？ 师：那么这1个它是在第几组第几个？ 小结： 第31个是在第11组的第1个，每一组的第1个都是○，所以第31个是○。（2）△△△○△△△○……（）…… 计算： 31÷4=7（组）……3（个）（板书）△ 2、试一试： （1）盆花的问题

函数的周期性练习题兼答案(供参考)

函数周期性分类解析 一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数 4、 y=f(x)满足f(x+a)=() x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1- (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1()()1() f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1() f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= )(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ） 是它的一个周期。 10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则 函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； 11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函 数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； 12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它 的一个周期。 13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

周期问题(含答案)

简单的周期问题 一、填空题 1．某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_________． 2．1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期_________． 3．按如图摆法摆80个三角形，有_________个白色的． 4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是_________灯． 5．时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是_________时． 6．把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在_________列． 7．把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是_________． 8．循环小数与．这两个循环小数在小数点后第_________位，首次同时出现在该位中的数字都是7． 9．一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数． （1）其中共有_________个1，_________个9_________个4； （2）这些数字的总和是_________．10．所得积末位数是_________． 二、解答题（共4小题，满分0分） 11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：1989286… 这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？ 12．1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？ 13．n=，那么n的末两位数字是多少？ 14．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

四年级简单的周期教学设计

《简单的周期》教学设计 实验小学阚黎 教学内容： 苏教版小学数学第七册第30、31页 教材分析： 《简单的周期》是新教材增加的新内容，重在“发现”，发现规律的价值是帮助学生解决问题。教材精选了生活中按规律摆放的盆花、彩灯、彩旗等场景，把学生的注意力集中到对不同物体摆放规律的观察上，在教师的指导下经历探索规律和解决问题的过程。 学情分析： 四年级学生已具有一定探究规律的能力，有一定的生活经验，能够从生活中发现一些简单的周期规律现象，只是他们还不能完整清晰地表述其规律，借助具体的现象去观察，能够从部分推断出整体情况。在有规律的分组中，学生能够与已掌握的有余数的除法计算经验联系起来。教师只要调动学生的学习需求，启发学生理解周期现象的结构特点，创造充分的自主探究、合作交流的学习过程。学生能够寻求解决周期问题的策略，并体会除法计算的优越性。 教学目标： 1.使学生结合具体情境，探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的是什么物体或图形。 2.使学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题的不同策略以及方法逐步优化的过程。

3.使学生在探索规律的过程中体会数学与日常生活的联系，获得成功的体验。 设计理念： 《简单的周期》一课，原是苏教版五年级上册第五单元的内容，新教材将它提前放在了四年级上册中。在没有学过画图法、列举法时，来学习本课时内容，这对学生活动的层次性和实效性要求就特别高。因此在教学中我主要设计了三个层次，首先是初步感知并引发兴趣，其次是深入并归纳规律，最后是回顾与反思。 教学重点： 在探索和发现规律的过程，让学生选择合适的策略解决这类排列规律的问题。 教学难点： 在解决策略中，确定几个物体为一组，怎样根据余数来确定某个序号所代表的是什么物体或图形。 教学具准备： 多媒体课件 教学方法： 谈话法、探究法、小组合作法、讲授法 教学过程： 一、游戏导入，激发兴趣 1、小游戏： （1）比比谁的记忆力强：

(完整版)专题函数的周期性

专题函数的周期性 一知识点精讲 1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集 2性质 ①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期； 3?几种特殊的具有周期性的抽象函数: 函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数) (1) f x f:X a，则y f x的周期T a . (2) f x a f x，贝U f x的周期T2a . (3) f x a的周期T2a . ，贝U T x f x (4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a . (5) f(x a)1 f (x)，则f x 1 f(x)的周期 T2a . (6) f(x a) 1 f(x)，则f 1 f (x) x的周期T4a数. (7) f(x a) 1 f (x)，则f x 1 f(x) 的周期T4a . (8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为 T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a . (9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是 以2 b a为周期的周期函数. (10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数 f (x)是2 b a为周期的周期函数. (11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数 f (x)是以4 b a为周期的周期函数. (12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a. 二典例解析 1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( ) A.0.5 B. —0.5 C.1.5 D. —1.5 2. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( ) ②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为 2 2

定积分中奇偶函数和周期函数处理方法

定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法 一、基本方法 (一)、奇偶函数和周期函数的性质 在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论 1、若()x f 是奇函数（即()()x f x f --=），那么对于任意 的常数a ，在闭区间][a a ,-上，()0=?-a a dx x f 。 2、若()x f 是偶函数（即()()x f x f -=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上()()??-=a a a dx x f dx x f 02。 3、若()x f 为奇函数时，()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时，()x f 只有唯一原函数为奇函数即()?x dt t f 0. 事实上：设()()C dt t f x d x f x +=??0，其中C 为任意常数。 当()x f 为奇函数时，()?x dt t f 0为偶函数，任意常数C 也是偶函数?()x f 的全体原函数()C dt t f x +?0为偶函数； 当()x f 为偶函数时，()?x dt t f 0为奇函数，任意常数0≠C 时为偶函数? ()C dt t f x +?0 既为非奇函数又为非偶函数，?()x f 的原函数只有唯一的 一个原函数即()?x dt t f 0是奇函数。

4、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），且在闭区间][T ,0上连续可积，那么()()()??? +-==T a a T T T dx x f dx x f dx x f 0 22 。 5、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），那么()?x dt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=?T dt t f 事实上：()()()()()??? ??+=+=++T x T x x T x x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0 0，由此可得 ()()?? =÷x T x dt t f dt t f 0 ?()?T dt t f 0 。 (二)、定积分中奇偶函数的处理方法 1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间。 2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。 3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设()()()x f x f x p -+= ，()()()x f x f x q --=，则()()()2 x q x p x f +=，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计 算。 (三)、定积分中周期函数的处理方法 对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性

三年级下简单周期问题

海豚教育个性化简案 学生姓名：年级：科目： 授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时 教学目标1、找到规律解决周期问题 2、利用周期问题解决实际问题 重难点导航 利用周期问题解决实际问题 教学简案： 1、一些数、图形的变化也是周而复始地循环出现的，我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题 2、找到规律解决周期问题 3、利用周期问题解决实际问题 4、个性化练习 授课教师评价：□准时上课：无迟到和早退现象 （今日学生课堂表□今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况 （大写）□海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象学生签字：教师签字：

海豚教育个性化教案 我们知道，一年有12个月，从一月开始，一月、二月、三月、……十二月；每周有七天，从星期一开始，星期一、星期二、……星期天。在日常生活中有许多类似这样重复出现的现象，一些数、图形的变化也是周而复始地循环出现的，我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。解答这类题目只有找到规律，才能获得正确的方法。 例1．●●○●●○●●○…… 上面黑、白两色小球探险一定的规律排列着，其中第90个是（） 例2．有同样大小的红、白黑珠共150个，按先5个红的，再4个白的，再3个黑的排列着。第144个珠是什么颜色？ 例3．有249朵花，按5朵红花、9朵黄花、13朵绿花的顺序排列，最后一朵花是什么颜色的？ 例4．有同样大小的红、黄、蓝弹子共180个，按先4个红的，再2个黄的，再3个蓝的排列着。三种颜色的弹子各有多少个？

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数优化训练北师大版必修

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数优化训练 北师大版必修 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.月球围绕着地球转，月球到地球的距离y 随时间的变化是周期性的吗？ 解析：由月球的运动规律,可知是周期性变化. 2.走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？ 解：如图所示，以ON 代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP 位置，设θ=∠PON 为摆动的幅角，而y 为P 点离开直线ON 的水平距离，r 为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsin θ . 3.列举自然界中存在的周期性现象. 答案：自然界中存在的周期现象有：太阳的东升西落；月亮的圆缺；春、夏、秋、冬的变化等. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.下列函数中函数值y 随x 的变化而周期性变化的是（ ） ①f(x)=x ②f(x)=2x ③f(x)=1 ④f(x)= A.①② B.③ C.③④ D.①②③④ 解：①f(x+T)=x+T≠x，T≠0;②f(x+T)=2x+T ≠2x =f(x)；③f(x+T)=1=f (x)；④设T 是任意一个有理数，那么当x 是有理数时，x+T 也是有理数；当x 为无理数时，x+T 也是无理数，就是说f(x)与f(x+T)或者都等于1或者都等于0，因此在两种情况下，都有f(x+T)=f(x). 答案：C 2.今天是星期一，158天后的那一天是星期几? 解：∵158=7×22+4，而今天是星期一, ∴158天后的那一天是星期五. 3.我们选定风车轮边缘上一点A ，点A 到地面的距离y 随时间t 的变化是周期性的吗？ 答案：是周期性的. 4.已知f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=，若f(-1)=1，（1）求证：f(x+4)=f(x)；（2）求f(-3). （1）证明：∵f(x+2)= )(1) (1)(11)(1) (11) 1(1)1(1x f x f x f x f x f x f x f -=- +-- + +=+-++， ∴f(x+4)==f(x). （2）解：∵f(x)是奇函数， ∴f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-f(-1)=-1. 5.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+3)=f(x),f(1)=-1,求f(11)的值. 解：由f(x)为奇函数，得f(-x)=-f(x)，f(-1)=-f(1).

二年级奥数-简单的周期问题

简单的周期问题 知识要点 在日常生活中，有很多现象总是按一定的规律重复地出现。如：一年总是按春、夏、秋、冬四个季节循环往复；一个星期总是由周一、周二、周三……周日，又到周一、周二、周三……如此反复；时钟总是从1点到2点．3点……12点，再回到1点开始，又一轮的运行。像这样按规律不断重复出现的现象叫周期现象。 研究周期问题时，首先要认真审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式找出余数，最后根据余数得出正确的结果。 例题1：找出下面图形排列的规律，根据规律算出第16个图形是什么？ 同步训练1 1．仔细观察下面图形的排列规律，算出第20个图形各是什么？ 2．按照图形规律接着画下去，第25个图形各是什么？ 例题2： 有一列数：2，3，l，2，3，l，2，3，1，…观察它们的规律并回答问题： (1)第25个数是几？ (2)这25个数的和是多少？ 同步训练： 1．有一列数：4，3，2，4，3，2，4，3，2，…观察它们的规律井回答问题： (1)第29个数是几？ (2)这29个数的和是多少？

2．小丁丁在一张纸上很整齐地写了两排字： 第一列上、下两个字分别是“我”和“我”，第二列上、下两个字分别是“爱”和“是”……第38列上、下两个字各是什么？ 例题3： 小南、小红、小花和小云四个小朋友顺次坐成一排，张老师手里拿了38张卡片，从小南开始顺次发卡片。最后一张卡片发给了谁？每人各发到几张卡片？ 同步训练： 1．妞妞练习书法，她顺次写“我爱美丽的家园”，这七个字反复书写。你知道妞妞第60个字写的是什么字吗？这时每个字各写了几遍？ 2．黄浦江大桥上挂彩灯，按“红、黄、蓝、绿、紫、青”六种色彩的顺序挂。桥的一边一共挂了50盏彩灯，每种颜色的彩灯各挂了几盏？ 例题4： 小花有一本故事书，每两页之间有3页插图。那么第37页是插图还是文字？ 同步训练： 1．一本书每两页之间有4页插图，也就是说4页插图的前后各有1页文字。那么第48页是插图还是文字？ 2．同学们做队列练习，每2名女生中间有3名男生。第55名同学是男生还是女生？

(推荐)周期现象

1.周期现象：相同间隔重复出现的现象 2.角的定义；有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 3.角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 4.象限角：象限角：在直角坐标系中，以x轴正半轴为始边旋转（无论逆时针还是顺时针旋转）终边落在第几象限就叫做第几象限的角。（落在坐标轴上的，不是象限角） 5.终边相同的角的表示法：角度值是β=k*360+α，k是整数弧度制是β=2kπ+α，k是整数 例1.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 ；⑶－950°12＇ 例2.写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) 例3.已知α角是第三象限角，则2α，α/2各是第几象限角？ 6.角度制：规定把周角的1/360作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制 弧度制：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角 ①将角度化为弧度： ②将弧度化为角度： 例4. 将下列角度化成弧度或将弧度化为度。 ⑴－130°；⑵640°;(3)5π/4 7.弧长公式：弧长等于弧所对应的圆心角弧度数的绝对值与半径的乘积 例5：叙述并证明扇形的面积公式

8. 单位圆 9. 正弦函数与余弦函数定义 10. 特殊角的正余弦函数值 例6：tan600°的值是____________ 例7：若sin θcos θ＞0，则θ在第____________象限 11. 周期函数：自变量呈周期性变化的函数叫做周期函数 最小正周期： 例8. 若cos θ＞0，sin2θ＜0，则θ的终边在第____________象限 例9. 在（0,2π）上满足sinx ＞1/2的x 的取值范围是____________ 12. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限（非常重要） 例10. 化简： 角度 函数 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π /3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3 /2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/ 2 -√2/ 2 -√3/2 -1 0 1

定积分中奇偶函数和周期函数处理方法

定积分中奇偶函数和周期 函数处理方法 The final edition was revised on December 14th, 2020.

定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法 一、基本方法 (一)、奇偶函数和周期函数的性质 在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论 1、若()x f 是奇函数（即()()x f x f --=），那么对于任意 的常数a ，在闭 区间][a a ,-上，()0=?-a a dx x f 。 2、若()x f 是偶函数（即()()x f x f -=），那么对于任意的常数a ，在闭区间 ][a a ,-上()()??-=a a a dx x f dx x f 02。 3、若()x f 为奇函数时，()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时，()x f 只有唯一原函数为奇函数即()?x dt t f 0. 事实上：设()()C dt t f x d x f x +=??0 ，其中C 为任意常数。 当()x f 为奇函数时，()?x dt t f 0 为偶函数，任意常数C 也是偶函数?()x f 的全体 原函数()C dt t f x +?0 为偶函数； 当()x f 为偶函数时，()?x dt t f 0 为奇函数，任意常数0≠C 时为偶函数? ()C dt t f x +?0 既为非奇函数又为非偶函数，?()x f 的原函数只有唯一的一个原 函数即()?x dt t f 0 是奇函数。 4、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），且在闭区间][T ,0上连续可积，那么()()()? ?? +-==T a a T T T dx x f dx x f dx x f 0 22 。 5、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），那么()?x dt t f 0 以T 为周 期的充要条件是 ()00 =?T dt t f

最新四年级简单的周期问题练习题答案

最新四年级简单的周期问题练习题答案 四年班姓名 1.有一堆围棋子,如果按“二白三黑”的顺序依次排列起来（如图）,第84颗是白色还是黑色？第53颗和第91颗呢？ ○○●●●○○●●●○○●●●…… 2+3=5（个）84÷5=16（组）……4（个） 53÷5=10（组）……3（个） 91÷5=16（组）……1（个） 答：第84颗是黑色的,第53颗也是黑色的,第91颗是白色的. 2．一个循环小数0.1428571428571428……,小数点后第100位的数字是多少？ 100÷6=16（组）……4（个） 答：小数点后第100位数字是8. 3．小明观察交通岗处的信号灯变化情况是红、黄、绿、黄、红、黄,……如果从红灯亮开始,当信号灯变化了39次时是什么颜色的灯在亮？ 39÷4=9（组）……3（次）答：第39次是黄色. 4．三种颜色的珠子依次排列如下图： ●●○○○◎◎●●○○○◎◎…… 第83个珠子是什么颜色的？ 83÷7=11（组）……6（个）答：第83颗珠子是◎. 5．2001年5月3日是星期四,问5月20日是星期几? 20-3+1=18（天）18÷7=2（周）……4（天）答：5月20日是星期日. 6．有△,□,○共720个,按2个△,3个□,4个○排列,如图： △△□□□○○○○△△□□□○○○○……

请回答： （1）△共有几个？ 2+3+4=9（个）720÷9=80（组）80×2=160（个）答：△一共有160个. （2）第288个是哪种图形？ 288÷7=41（组）……1（个）答：第288个是△. 7.2001年6月1日是星期五,问9月1日是星期几? 30+31+31+1=93（天）93÷7=13（周）……2（天） 答：9月1日是星期六. 8．今天是星期四,再过90天是星期几？ 90+1=91(天) 91÷7=13（周）答：再过90天是星期三. 9.有一列数按“432791864327918643279186……”排列,那么前54个数字之和是多少? 54÷8=6（组）……6（个） 4+3+2+7+9+1+8+6=40 4+3+2+7+9+1=26 40×6+26=240+26=266 答：前54个数字之和是266. 10．把写着1,2,3,4,……,200号的卡片依次分发给A,B,C,D四个人.已知13号发给A,28号发给（ D ）；105号发给（ A ）；134发给（ B ）. 28÷4=7（组） D 105÷4=26（组）……1（个） A 134÷4=33（组）……2（个） B 11.同学们做早操,36个同学排成一列,每两个女生中间是两个男生,第一个是女