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交流电有效值的计算

交流电有效值的计算

江苏省新海高级中学 崔晓霞 222006

交变电流的大小和方向随时间作周期性变化。为方便研究交变电流的特性,根据电流的热效应引入了有效值这一物理量。

一、 正弦交流电有效值表达式的推导:

交流电的有效值是用它的热效应规定的,因此设法求出正弦交流电的热效应,才能求出其有效值,正弦交流电电压的瞬时值u =U m ·sin ωt ,如果把这加在负载电阻R 上,它的瞬时电功率2

2cos 1sin 2222t R U t R U R u P m m ?-?=?==ωω 其图像如图1所示.由微元法可知,P-t 图线和t 轴之间

所包围的面积就是功(图中打斜条的部分).

不难看出,图中有斜条打△的部分和无斜条打△的部分面

积是相同的,因此打斜条部分的面积就是P =U 2m /2R 线和t 轴之

间的面积.设正弦交流电电压的有效值是U ,根据有效值的定义:R

U R U m 222= 可得:2/m U U = 同理可得:2/m I I =;2/m E E =

此关系式仅适用于正弦交流电,那么非正弦交流电的有效值又该如何求解呢?

二、非正弦交流电有效值的计算

例1. 如图2甲乙所示分别表示交变电流随时间变化的图象,则这两个交流电的有效值分别是 V 和 A 。

交流电有效值的计算

解析:对于图甲,该交变电流在每个周期

T 内都可看作两个阶段的直流电流:前T /3中,U 1=100V ,后2T /3中,U 2=50V 。在一个周期中,该交变电流在电阻R 上产生的热量为:

3250310032322222

1T R T R T R U T R U Q ?+?=+?= ① 设该交流电电压的有效值为U ,则上述热量T Q ?=R

U 2

联立①、②两式,可得有效值为V 250=U 对于图乙,从t =0开始的任意一个周期内,前半周期是大小不变的直流电,为I A 15=,

图1

图2 甲 乙

后半周期是有效值为I A 252

=的交变电流。 设所求交变电流的有效值为I ,根据有效值的定义,选择一个周期的时间,利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等,由焦耳定律得

I RT I R T I R T 2122222=+ 即I 22251252

12=?+?() 解得I A =532 点评:对于非正弦交流电,要从有效值从定义出发,根据热效应求解。根据有效值的定义,可以选择计算交流电一个周期之内在某电阻上产生的热量,然后计算多大的直流电在该电阻上相等时间内产生相等的热量,该直流电的值就是交变电流的有效值。

练习1:如图3甲为电热毯的电路图,电热丝接在U =311sin100πt(V)的电源上,电热毯被加热到一定温度后,通过装置P

使输入电压变为图乙所示波形,从

交流电有效值的计算

而进入保温状态,若电热丝电阻保

持不变,此时交流电压表的读数是

( )

A. 110V

B. 156V

C. 220V

D. 311V

答案:B

三、利用能量守恒求解变化电流的有效值

例2.如图4所示,ab 是半径不L ,电阻不计的1/4圆周的金属环,固定于竖直平面,圆心为o ,oa 是质量不计的金属杆,其电阻为r ,它的一端挂在

o 点(无摩擦),另一端连一金属小球,小球的质量为m ,与

交流电有效值的计算

金属环接触良好无摩擦,ob 是一根竖直的与金属环相连接

的金属丝,其电阻为R ,上述整个装置置于水平方向垂直纸

面向里的匀强磁场中,磁感应强度为B ,现将金属小球从a

点由静止开始释放,它滑到b 点时的速度为v ,所经历的时

间为t ,问:(1)这一过程中,回路的平均感应电动势多大?

(2)这一过程中,感应电动势的有效值是多大?

解析:(1)小球下落过程中,oba 围成的面积减小,B 不变,

φ减小,有感应电动势。t

B l t S t n 4B E 2π=????Φ== (2)由能量守恒可知,在小球下落过程中,重力势能的减小等于动能的增加和产生的热量,故221mv Q mgl += ① t r R E Q +=2 ② 由①②得:)2

1(2mv mgl t r R E -+= 点评:交流电的峰值、有效值、平均值在应用上是有区别的

(1) 峰值:即最大的瞬时值,当线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线方向的轴匀速转动时,所产生感应电动势的峰值为εm =NBS ω,即仅由匝数N ,线圈面积S ,磁感强度B 和角速度ω四个量决定。与轴的具体位置,线圈的形状及线圈是否闭合都是无关的。峰值对纯电阻电路图

3

来说,没有什么应用意义。若对含电容电路,在判断电容器是否会被击穿时,则需考虑交流的峰值是否超过电容器的耐压值。

(2)有效值:交流的有效值是按热效应来定义的,对于一个确定的交流来说,其有效值是一定的。在计算交流通过电阻产生的热功率时,只能用有效值;在实际应用中,交流电器铭牌上标明的额定电压或额定电流都是指有效值,交流电流表和交流电压表指示的电流、电压也是有效值,解题中,若题示不加特别说明,提到的电流、电压、电动势时,都是指有效值。

(3)平均值:由公式t

n ??Φ=ε确定,其值大小由某段时间磁通量的变化量来决定,在不同的时间段里是不相同的。如对正弦交流,其正半周或负半周的平均电动势大小为

π

ωεnBs T Bs n 22/2=?=,而一周期内的平均电动势却为零。在计算通过导体的电量时,只能用平均值,而不能用有效值。