2.2 创建几何模型
2.2 创建几何模型
2.2.1 创建关键点
(1) 在给定坐标点创建关键点
命令：K, NPT, X, Y, Z
NPT - 关键点的编号，缺省时（0或空）自动指定为可用的最小编号。
X,Y,Z - 在当前坐标系中的坐标值，当前坐标系可以是CSYS 指定的坐标系。
如果输入的关键点号与既有关键点号相同，则覆盖既有关键点。即关键点是惟一的，并以最后一次输入的为准。如果既有关键点与较高级图素相连或已经划分网格，则不能覆盖，并给出错误信息。例如：/prep7 ! 进入前处理
k,,10 ! 创建缺省编号的关键点，其编号为1
k,15,10,5 ! 创建编号为15 的关键点
k,16,10,5,5 ! 创建编号为16 的关键点
k,,10,3 ! 创建缺省编号的关键点，其编号为2
k,15,10,6 ! 重新定义编号为15 的关键点
(2) 在两关键点之间创建一个关键点
命令：KBETW, KP1, KP2, KPNEW, TYPE, VALUE
KP1,KP2 - 第1 个和第2 个关键点号。
KPNEW - 指定创建的关键点号，缺省时系统自动指定为可用的最小编号。
TYPE - 创建关键点的方式，当TYPE=RATIO 时（缺省），VALUE 为两关键点距离的比值，即：(KP1-KPNEW)/(KP1-KP2)。当
TYPE = DIST 时，VALUE 为KP1 到KPNEW 之间的距离，且仅限于直角坐标系。
VALUE - 由TYPE 决定的新关键点位置参数，缺省为0.5。如果TYPE = RATIO，则VALUE 为比率，若小于0 或大于1，则在两个关
键点的外延线上创建一个新关键点。如果TYPE = DIST，则VALUE 为距离值，若小于0 或大于KP1 与KP2 之间的距离，会
在外延线上创建一个新关键点。
新创建的关键点位置与当前坐标系有关，如为直角坐标系，新点将在KP1 和KP2 之间的直线上；否则将在由当前坐标系确定的线上。
(3) 在两关键点之间创建多个关键点
命令：KFILL, NP1, NP2, NFILL, NSTRT, NINC, SPACE
NP1,NP2 - 两个既有关键点号.
NFILL - 在NP1 和NP2之间将要创建的关键点个数，缺省为|NP2-NP1| - 1。
NSTRT - 指定创建的第一个关键点号，缺省为NP1+NINC。此号最好指定，以防覆盖。
NINC - 将要创建的关键点编号增量，其值可正可负，缺省为(NP2-NP1) / (NFILL+1)。
SPACE - 间隔比，即创建关键点后，最后一个间隔与第一个间隔之比。缺省为 1.0，即等间隔。
与KBETW 相同，新创建关键点位置与当前坐标相关。
示例：
/prep7 ! 进入前处理
k,1 ! 创建关键点1，坐标：0，0，0
k,20,10 ! 创建关键点20，坐标：20，0，0
k,3,10,5 ! 创建关键点3，坐标：10，5，0
kfill,1,20,8 ! 采用缺省设置，在1 和20 之间创建8 个关键点
! 其编号依次为3, 5,……,17。而原来的关键点3 则被覆盖。
k,50,10,5 ! 创建关键点50，坐标：10，5，0
kfill,1,50,20,100,1 ! 在1 和50 之间创建20 个关键点，起始编号100，编号增量为1
k,60,10,10 ! 创建关键点60，坐标：10，10，0
kfill,1,60,15,222,3,2.5 ! 在1 和60 之间创建15 个关键点，起始编号为222，编号增量为3, ! 间隔比为2.5。创建的关键点间隔越来越大
(4) 复制创建关键点
命令：KGEN, ITIME, NP1, NP2, NINC, DX, DY, DZ, KINC, NOELEM, IMOVE
ITIME - 复制次数，缺省为2。
NP1,NP2,NINC - 按增量NINC 从NP1 到NP2 定义关键点的范围（缺省为NP1），NINC 缺省为1。NP1 也可为ALL 或组件名，此时NP2 和NINC 将被忽略。
DX,DY,DZ - 在当前坐标系中，关键点坐标的偏移量。对于柱坐标系为--,Dθ,DZ；对于球坐标系为--, Dθ,--，其中--表示不可操作。
KINC - 要创建的关键点编号增量，缺省时由系统自动指定.
NOELEM - 是否创建单元和节点控制参数。NOELEM=0（缺省）如果存在单元和节点则生成；NOELEM=1不生成单元和节点。
IMOVE - 关键点是否被移动或重新创建。IMOVE=0（缺省）原来的关键点不动，重新创建新的关键点；当IMOVE=1 不创建新关键点，原来的关键点移动到新位置，此时编号不变（即ITIME、KINC 和NOELEM均无效）单元和节点一并移动。
例如：
/prep7 ! 进入前处理
k,1 ! 创建关键点1
k,20,10 ! 创建关键点20
kgen,,1,20,19,,5,,,,1 ! 移动关键点1 和20，沿Y 轴偏移量为5
kgen,8,all,,,,,5 ! 沿Z 轴偏移5，复制8 次（含自身）
kgen,3,all,,,,15 ! 沿Y 轴偏移15，复制3 次（实际另外复制2次）
kgen,,all,,,,60,,,,1 !再将所有关键点沿Y 轴移动60
(5) 镜像创建关键点
命令：KSYMM, Ncomp, NP1, NP2, NINC, KINC, NOELEM, IMOVE
Ncomp - 对称控制参数，Ncomp = x，关于X（或R）轴对称（缺省）；
Ncomp = y，关于Y（或θ）轴对称；
Ncomp = z，关于Z（或Φ）轴对称。
可通过定义工作平面移动后，利用CSYS,4 设定当前坐标系，则当前坐标系原点位置与工作平面相同，在利用镜像时其几何位置也发生相应变化。当然也可通过局部坐标系对称。
例如：
/prep7 ! 进入前处理
k,1,1,1 ! 创建关键点1
k,20,10,10 ! 创建关键点20
kfill,1,20,8,30 ! 在1 和20 之间创建8 个关键点，起始编号为30
ksymm,x,all ! 所有关键点关于X 轴对称创建新的关键点
ksymm,y,all ! 所有关键点（包括上条创建的）关于Y 轴对称创建新的关键点
(6) 列表显示关键点信息
命令：KLIST, NP1, NP2, NINC, Lab
其中NP1,NP2,NINC 参数意义同命令KGEN 中。Lab 为列表信息控制参数，Lab = 0 或空则列出全部信息；Lab=COORD 则仅列出坐标值；Lab=HPT 则仅列出硬点信息。
例如：
klist ! 列出所选择的关键点的所有信息。
klist,,,,coord ! 列出所选择的关键点的坐标。
(7) 在屏幕上显示关键点
命令：KPLOT, NP1, NP2, NINC, Lab
其中Lab 为关键点或硬点控制参数。Lab=0 或空，则显示所有关键点；Lab=HPT 则只显示硬点。其余参数意义同KGEN 命令中的说明。
例如：
kplot ! 显示所选择的关键点。
kplot,,,,hpt ! 显示所选择的硬点。
(8) 删除关键点
命令：KDELE, NP1, NP2, NINC
其参数意义同KGEN 中的参数意义。
(9) 选择关键点
命令：KSEL, Type, Item, Comp, VMIN, VMAX, VINC, KABS
Type - 选择类型标识。其值可取：
S - 从所有关键点中（全集）选择一组新的关键点子集为当前子集。
R - 从当前子集中再选择一组关键点，形成新的当前子集。
A - 从全集中另外选择一组关键点子集, 添加到当前子集中。
U - 从当前子集中去掉一组关键点子集。
ALL - 重新选择当前子集为所有关键点，即全集。
NONE - 不选择任何关键点，当前子集为空集。
INVE - 选择与当前子集相反的部分，形成新的当前子集。
STAT - 显示当前子集状态。
Item - 选择数据标识，仅适用于Type=S,R,A,U。缺省为KP，可选择的有：
KP - 以关键点号选择，其后参数相应赋值。
EXT - 选择当前线子集中线的最外面关键点，其后无参数赋值。
HPT - 以硬点号选择，其后参数相应赋值。
LOC - 以当前坐标系中的坐标值选择，其Comp 可选择X,Y,Z，且其后参数相应赋值。
MAT - 以跟关键点相关的材料号选择，其后参数相应赋值。
REAL - 以跟关键点相关的实常数号选择，其后参数相应赋值。
TYPE - 以跟关键点相关的单元类型号选择，其后参数相应赋值。
ESYS - 以跟关键点相关的单元坐标选择，其后参数相应赋值。
Comp - 选择数据的组合标识。如Item = LOC 时的X,Y,Z。
VMIN - 选择项目范围的最小值。可以是关键点号、坐标、属性以及与选择项目相适应的数据等。当VMIN 为组件名时，VMAX 和VINC 将被忽略。
VMAX - 选择项目范围的最大值。缺省时VMAX=VMIN；如果VMAX=VMIN 则选择容差为
±0.005×VMIN；如果VMIN=0.0 则选择容差为±1.0E-6，如果VMIN≠VMAX，则选择容差为
±1.0E-8×(VMAX-VMIN)。选择容差的大小对于能否达到期望的结果有较大影响，例如当VMIN = 5000 = VMAX时，选择容差为±25，则4975~5025 均被选择。
VINC - 在选择范围内的增量。仅适用于整数（如关键点编号），必须大于零，缺省为1。
KABS - 绝对值控制标识。如为0，则在选择期间检查值的符号；如为1，则在选择期间使用绝对值，即忽略值的符号。
在使用KSEL 命令选择时，建议不要采用Item=KP，即编号选择。因为在使用命令流建模过程中，关键点有时是不知道的，如用编号选择，则需要用GUI 查看关键点编号，这样就降低了建模效率，并且不同的ANSYS 版本其编号顺序会有差别。因此建议采用坐标或其它选择方法。
示例：
/prep7 ! 进入前处理
k,1 ! 创建关键点1
k,20,10 ! 创建关键点20
kfill,1,20,8,30,1 ! 在1 和20 之间创建8 个关键点，起始编号为30
ksel,s,kp,,32,35,1 ! 在全集中选择编号32～35 的关键点
ksel,r,kp,,32,34,1 ! 在当前子集中重新选择编号32～34 的关键点
ksel,a,kp,,1,20,19 ! 将全集中的1 和20 号添加到当前子集
ksel,u,kp,,1 ! 在当前子集中去掉1 号关键点
ksel,inve ! 反选（当前为1,30,31,35~37）
ksel,stat ! 列表显示选择信息，
! 如选择关键点6 个，共10 个关键点，最大关键点号为37 ksel,none ! 不选择任何关键点（如使用KPLOT 则屏幕不变）
ksel,all ! 选择全集，所有关键点均在当前子集中
ksel,s,loc,x,0,5 !选择X 坐标为0～5 的关键点（当前为1,30~33）
k,100,2.22 ! 在关键点31 近处建立关键点100
ksel,s,loc,x,2.22 !选择X 坐标为2.22 的关键点,将31 点也选择了
! 因X31=2.222222，而此时选择容差为 ±0.005×2.22 = ±0.0111，即坐标在2.2089～2.2311 之间的点都将被选择
ksel,s,loc,x,2.22,2.221 !选择X 坐标为2.22～2.221 之间的关键点（当前为100）。此选择容差为±1.0E-8×(2.221-2.22) = ±1.0E-11，
! 显然非常严格。当关键点坐标值较大且较密时要特别注意。
(10) 选择与所选线相关的关键点
命令：KSLL, Type
其中Type 取值可为S,R,A,U。当使用KSEL 不便选择关键点时，可先选择线子集，然后选择与线子集相关的关键点。该命令在建模过程中也较常用，类似的命令是KSLN (选择与所选节点相关的关键点)。
(11) 修改关键点坐标
命令：KMODIF, NPT, X, Y, Z
其中NPT 为要修改的关键点号。X,Y,Z 为替代原有的坐标输入的数值，其值处于当前坐标系下。
要修改的关键点所依附的较高级图素，如线、面或体必须被选择，改变关键点后其较高级图素会重新生成。与命令K 不同，当所定义的关键点依附较高级图素时是不能覆盖的；而KMODIF 是直接修改关键点坐标且会同时修改所依附的较高级图素。
如果被修改的关键点依附较高级图素，执行时此命令会出现确认提示对话框。
例如：
/prep7 !进入前处理
rectng,,1,,4 !创建一矩形
kmodif,3,2,5 !修改关键点3 的坐标，原坐标为(1,4)，新坐标为(2,5)。则生成一四边形。(12) 关于硬点的操作
硬点是一种特殊的关键点，可以利用硬点施加荷载或从线和面上的任意点获取数据。硬点不改变几何模型的几何形状和拓扑关系。
大多数关键点的命令都可用于硬点，在使用更新模型命令时，任何与图素相关的硬点将被删除，因此应在模型创建完毕后再创建硬点。
如果删除与硬点相关的图素，当该硬点与其它图素无关时，则此硬点也被删除，否则此硬点不删除。
定义硬点的方法有两种，即在线上定义硬点和在面上定义硬点，命令均为HPTCREATE，删除硬点命令为HPTDELETE。
2.2.2 创建线
线也是在当前坐标系中定义的，在不同的坐标系中创建的线形状是不同的。当然不必总是明确创建所有的线，在创建较线高级的图素如面和体时，系统会自动创建线。在需要定义线单元（如LINK 或BEAM）或由线创建面时才需要创建线。而在土木工程中，线是经常需要创建的，例如杆系结构。
线的创建方法很多，其创建和管理命令如下表所示。
(1) 通过两关键点创建线
命令：L, P1, P2, NDIV, SPACE, XV1, YV1, ZV1, XV2, YV2, ZV2
P1,P2 - 分别为线始端和末端的关键点号。
NDIV - 线拟划分的单元数，通常不用。可使用LESIZE命令定义网格属性
SPACE - 划分网格的间隔比率，通常不用。可使用LESIZE定义网格属性。
XV1,YV1,ZV1 - 在当前坐标系中，与线的P1 端点相关的斜率矢量末点位置
XV2,YV2,ZV2 - 在当前坐标系中，与线的P2 端点相关的斜率矢量末点位置。此两个矢量点用于确定线的两个端点的曲率，如果不指定矢量，则系统自动计算。
用L 命令创建的线形状与当前坐标系相关，如直角坐标系生成直线，柱和球坐标系可生成曲线（如θ 相同，则也生成直线）。一旦创建线，则与随后的坐标系改变无关。曲线限制在180°范围，只有没有依附面时才可修改。
示例：
/prep7 ! 进入前处理
k,1,1,1,1 ! 创建关键点1
k,2,3,5,8 ! 创建关键点2
l,1,2 ! 创建线L1,缺省为总体直角坐标系，因此线1 是直线
csys,1 ! 设定柱坐标系
l,1,2 ! 创建线L2，为柱面曲线
csys,2 ! 设定球坐标系
l,1,2 !创建线L3，为球面曲线
(2) 通过两关键点创建直线
命令：LSTR, P1, P2
在总体直角坐标系中生成线，即直线，与当前坐标系没有关系。
例如：
/prep7 ! 进入前处理
k,1,1,1,1 ! 创建关键点1
k,2,3,5,8 ! 创建关键点2
csys,1 ! 设定柱坐标系
l,1,2 ! 创建线L1，为柱面曲线
lstr,1,2 ! 创建线L2，为直线，与柱坐标系无关
(3) 通过关键点创建圆弧线
命令：LARC, P1, P2, PC, RAD
P1 - 圆弧线始端关键点号。如P1=P 则采用GUI 方式拾取。
P2 - 圆弧线末端关键点号。
PC - 定义圆弧平面和圆弧曲率中心侧（RAD 为正值）的关键点，该点不能位于连接P1 和P2 的直线上，在曲率中心一侧任意一个关键点。
如果弧线角度大于180°则提示错误信息。
RAD - 弧线的曲率半径，即圆弧半径。如果RAD 为负，则曲率中心在关键点PC 的相反位置。如果为空，则由系统通过这三个关键点自动
计算半径。
示例：
/prep7 ! 进入前处理
k,1 ! 创建关键点1
k,2,1,-2 ! 创建关键点2
k,3,2,5 ! 创建关键点3
larc,2,3,1 ! 创建线L1，半径自动计算
larc,2,3,1,2 ! 创建半径为2 的线，提示错误，即在2,3 点间不能创建半径为2 的圆弧
larc,2,3,1,5 ! 创建线L2，半径为5
larc,2,3,1,10 ! 创建线L3，半径为5
csys,1 ! 设定总体柱坐标系
l,2,3 ! 创建以曲线L4
larc,2,3,1,10 ! 与弧线L3 重合，不创建新线L5
(4) 创建圆或圆弧线
命令：CIRCLE, PCENT, RAD, PAXIS, PZERO, ARC, NSEG
PCENT - 圆中心的关键点。
RAD - 圆弧半径。
PAXIS - 定义圆轴线（与PCENT 点共同确定）的关键点。如果为空，轴线与工作平面正交。
PZERO - 定义与圆面垂直的平面之关键点（PZERO、PCENT 和PAXIS 三点定义面），此点作为圆弧起点位置。当然这三个点不能共线，
且PZERO 不必在圆面上。
ARC - 圆弧长度（度）。规定沿PCENT-PAXIS 矢量按右手规则为正，缺省为360°。
NSEG - 沿圆周生成的线段数。缺省按90°划分圆弧的线数。如360°则由4 条线段组成。生成的
关键点对于360°的圆为 4 个，小于360°
的圆弧生成NSEG+1个关键点。
示例：
/prep7 ! 进入前处理
k,1,5,5 ! 创建关键点KP1
circle,1,3 ! 以KP1 为圆心，以3 为半径，采用缺省设置创建圆
circle,1,5,,,210 ! 以KP1 为圆心，以5 为半径，创建250 度的圆弧
circle,1,6,,,260,8 ! 以KP1 为圆心，以6 为半径，创建230 度的圆弧，且分为8 段
k,50,1,5 ! 创建关键点KP50
k,51,0,5,5 ! 创建关键点KP51
circle,1,8,50,51,310,10 ! 以KP1 为圆心，以8 为半径，以KP1 和KP50 为圆轴线，以KP1、KP50 和KP51 组成的平面与圆垂
直，创建长度为310 的圆弧，分段数为10。
! 此圆弧与X 轴垂直。
(5) 对两条相交线倒角，创建圆弧线
命令：LFILLT, NL1, NL2, RAD, PCENT
NL1,NL2 - 相交线的线号，初始状态可不相交。
RAD - 倒角半径，应小于两条线的长度。如果倒角半径不合适，则会给出提示信息。
PCENT - 在圆弧中心创建的关键点号，缺省为空则不创建关键点。
例如：
/prep7 !进入前处理
k,1,1,1 $ k,2,10 $ k,3,10,5 ! 创建关键点KP1,KP2,KP3
l,1,2 $l,1,3 ! 创建线L1 和L2
lfillt,1,2,1,10 ! 对L1 和L2 交角倒角，倒角半径为1，在圆心创建关键点10 csys,1 ! 设定柱坐标系
l,2,3 ! 创建曲线L4
lfillt,1,4,2 ! 对直线L1 和曲线L4 倒角，倒角半径为2，创建圆弧线L5 l,3,4 ! 创建曲线L6
lfillt,4,6,1 ! 对两曲线L4 和L6 倒角，倒角半径为1，创建弧线L7
(6) 复制创建线
命令：LGEN, ITIME, NL1, NL2, NINC, DX, DY, DZ, KINC, NOELEM, IMOVE
ITIME - 复制次数，缺省为2 (包含自身)。
NL1,NL2,NINC - 按增量NINC 从NL1 到NL2 定义关键点的范围（缺省为NL1），NINC 缺省为1。NL1 也可为ALL 或组件名，
此时NP2 和NINC 将被忽略。
DX,DY,DZ - 在当前坐标系中，关键点坐标的偏移量。
对于柱坐标系为--,Dθ,DZ；
对于球坐标系为--, Dθ,--，其中-- 表示不可操作。
KINC - 要创建的关键点编号增量，缺省时由系统自动指定（不会覆盖）。
NOELEM - 是否创建单元和节点控制参数。NOELEM=0（缺省）如果存在单元和节点则生成；NOELEM=1 不生成单元和节点。
IMOVE - 线是否被移动或重新创建。IMOVE=0（缺省）原来的线不动，重新创建新线；当IMOVE=1 不创建新线，原来的线移动到新位置，
此时编号不变（即ITIME、KINC 和NOELEM 均无效），且单元和节点一并移动。(7) 合并两条或多条线
命令：LCOMB, NL1, NL2, KEEP
NL1,NL2 - 拟合并的两条线号。NL1 可为ALL，或组件名。
KEEP - 是否保留输入的线及其公共关键点控制参数。
KEEP=0 则删除NL1 和NL2 及其公共关键点，如果已经划分网格则不能删除，或者依附于其它图素也不能删除
KEEP=1 则保留线及其公共关键点，但公共关键点不依附于新创建的线。
● 该命令可以合并独立线或依附于同面上的线，合并后便于网格划分。
● 可合并的线可为直线或曲线，以及直线与曲线，可共线或不共线。
● 当为多条线时，应为多条首尾相连的线。
● 无论在何种坐标系下执行合并，合并后的线不改变合并前的空间位置。
例如：
/prep7 ! 进入前处理
k,1,1,1$ k,2,10 ! 创建关键点KP1,KP2,
k,3,10,5 $k,4,15,8 ! 创建关键点KP3,KP4
l,1,2 $l,2,3 $l,3,4 ! 创建线L1,L2,L3
lcomb,1,2 ! 合并L1 和L2，且删除L1,L2 及共用关键点KP2
lcomb,all ! 合并所有线，即将L3 与刚刚创建的线合并，此时仅有一条线和两个关键点
! 上述合并过程可一次执行，即lcomb,all 即可。
由于几条线形成折线，因而出现警告信息：
(8) 将一条线分为多条线
命名：LDIV, NL1, RATIO, PDIV, NDIV, KEEP
NL1 - 拟分的线号。NL1 可为ALL，或组件名。如为负值，则表示按第二个端点计算RATIO 的值，即反向间隔比。
RATIO - P1-PDIV 的长度与P1-P2 的长度之比，其值在0～1.0 之间，缺省为0.5。如果创建线的条数大于2（即NDIV>2），则RATIO
无效，即只能创建2 条以上的等间隔线。
PDIV - 在分割处生成的关键点号，缺省时由系统自动编号。
如果NL1=ALL 或NDIV>2 则输入无效，即必须由系统自动编号
如果PDIV 已经存在且位于NL1 线上（例如使用KL 命令在该线上创建关键点），则线在PDIV 点分割（这时RATIO 无效）；
如果PDIV 存在，且不位于NL1 线上，则PDIV 通过投影移到NL1 线最近的位置。PDIV 不能依附于其余线、面或体上。
NDIV - 创建线的条数，缺省为2。如果NL1 为曲线，则弧长等分计算。
KEEP - 旧线保留或删除参数，如KEEP=0 则删除旧线（缺省）；如KEEP=1 则保留旧线。
示例：
/prep7 ! 进入前处理
k,1,1,1 $ k,2,10, $k,3,20 ! 创建关键点KP1,KP2,KP3
l,1,2 $l,2,3 ! 创建线L1,L2
ldiv,-1,0.1 ! 将L1 分为2 段，且从KP2 到分割点的距离与L1 之比为0.1
ldiv,2,,,5 ! 将L2 分为5 个等长线段，线编号由系统指定，且删除旧线。
(9) 延长一条线
命令：LEXTND, NL1, NK1, DIST, KEEP
NL1 - 要延长的线号。NL1 可为P（进入GUI 拾取）
NK1 - 指定线NL1 上被延长一端的关键点号，即指定延长方向
DIST - 线将要延长的距离。
KEEP - 控制延长线是否保留参数。如KEEP=0（缺省）则表示不保留，仅创建一条新线；如KEEP=1 则保留旧线，创建一条新线，并有各
自的关键点。但当依附于较高图素上时，不管KEEP 为何值，则系统保留旧线，并创建新线。
无论在何种坐标系下，也无论要延长的线原来是直线还是曲线，所延长部分总是直线。
示例：
/prep7 ! 进入前处理
k,1,1 $ k,2,10,2 ! 创建关键点KP1,KP2
l,1,2 ! 创建线L1
lextnd,1,2,20 ! 向KP2 点延长L1，且删除旧线。
Lextnd,1,1,10,1 ! 向KP1 点延长L1，且保留旧线。此时有两条线存在。
csys,1 ! 设定总体柱坐标系
l,1,2 ! 创建曲线L3
lextnd,3,2,15 ! 延长曲线L3
(10) 通过多个关键点按样条创建一条曲线
命令：BSPLIN, P1, P2, P3, P4, P5, P6, XV1, YV1, ZV1, XV6, YV6, ZV6
P1,P2,P3,P4,P5,P6 - 样条曲线拟合的关键点，至少需要两个点。P1 可以为P（进入GUI 方式拾取关键点,且以拾取的顺序进行拟合）。当
采用关键点号时，只可使用6 个关键点定义，多于6 个关键点时，可以使用ALL，此时与关键点编号顺序无关，起
始关键点为编号最小的关键点，且按最接近上一个关键点的距离依次确定其它关键点顺序。当有两个关键点距离上一
个关键点距离相同时，则按曲率方向变化数目较小的路径确定顺序。
XV1,YV1,ZV1 - 在P1 点与创建线相切外矢量的末点坐标，矢量坐标系的原点在关键点P1 上，缺省时其方向与当前坐标系方向相同。但创
建的曲线与当前坐标系无关，总是按直角坐标系生成。
XV6, YV6, ZV6 - 在P6 点与创建线相切外矢量的末点坐标。如果关键点数目少于6 个，则指最后一个关键点，而不是P6 点。矢量坐标系
同上。如果外矢量的末点坐标省略，则末端采用零曲率拟合，即自然顺滑的曲线。创建曲线后，所有关键点均保留，但
曲线由首尾两个关键点组成。
示例：
/prep7 ! 进入前处理
pi=acos(-1) ! 利用函数得到π=3.1415926，并赋值给变量pi
*do,I,0,10,1 ! 利用循环，循环变量从0～10，增量为1。创建11 个关键点
x1=i/5*pi ! 求得x
y1=sin(x1) ! 求y，使用了内部函数
k,2*I+1,x1,y1 ! 创建关键点
k,2*I+50,x1,y1+1
*enddo ! 结束循环
ksel,s,,,1,21 ! 仅选择下面形成正弦曲线上的点形成当前子集
bsplin,all ! 按样条创建曲线
bsplin,all,,,,,,0,5,0,10,-6 ! 利用同样的关键点但给定两端矢量，可看出L1 和L2 的区别。采用多个关键点时按距离确定顺序的情况
ksel,all ! 选择全部关键点，即关键点全集
bsplin,all ! 按样条创建曲线L3
(11) 关键点绕轴线创建旋转线
命令：LROTAT, NK1, NK2, NK3, NK4, NK5, NK6, PAX1, PAX2, ARC, NSEG
NK1,NK2,NK3,NK4,NK5,NK6 - 将要旋转的关键点编号。NK1 可为P、ALL 或组件名。
PAX1,PAX2 - 旋转轴的关键点编号。
ARC - 弧长（度），对PAX1-PAX2 旋转轴按右手规则为正，缺省为360°
NSEG - 沿圆周的线段数，最多为8 段。缺省时按90°划分线，即360°按4 段划分。
例如：
/prep7 ! 进入前处理
k,1 $k,2,4 $k,3,3,2 $k,4,5,5 $k,5,1,-3 $k,6,2,-4 ! 创建6 个关键点
lrotat,3,4,5,6,,,1,2,280,7 ! 以1 和2 为旋转轴旋转3,4,5,6，旋转角为280，分为7 段。
(12) 通过坐标轴镜像创建线
命令：LSYMM, Ncomp, NL1, NL2, NINC, KINC, NOELEM, IMOVE
Ncomp - 对称控制选项，可选X（缺省），Y，Z 值。其余参数意义可参考LGEN 命令。该命令要求当前坐标系为直角坐标系，线可以在任
意象限。与KSYMM 相同，可通过设定当前坐标系为工作平面或局部坐标系而改变镜像位置。
(13) 显示线和删除线
命令：LPLOT, NL1, NL2, NINC
(14) 删除线
命令：LDELE, NL1, NL2, NINC, KSWP
KSWP - 控制是否删除关键点。当KSWP=0（缺省）则仅删除线当KSWP=1 则删除线及不依附于其它几何图素上的关键点；当线已经划分了单元网格，则不能删除。
(15) 列表输出线信息
命令：LLIST, NL1, NL2, NINC, Lab
其中Lab 控制采用列表方式，可选择：
空：显示所有信息。
Lab=RADIUS：输出线上的关键点和圆弧半径。直线、非圆弧线和不能确定为圆弧的线均显示半径为0。
Lab=HPT：只输出包含硬点的线。
Lab=ORIENT：输出线的清单，列出确定方位的关键点和与线相关的截面ID号。用于具有方位点和
截面号的梁单元（如BEAM18X 等）。
其余参数同LGEN 命令中的说明。
(16) 选择一组线
命令：LSEL, Type, Item, Comp, VMIN, VMAX, VINC, KSWP
Type - 同KSEL 命令。
Item - 选择数据标识，仅适用于Type=S,R,A,U。缺省为LINE，Item 可选择
LINE - 以线号选择，其后参数相应赋值。
EXT - 选择当前线子集中面的最外面线，其后无参数赋值。
LOC - 以当前坐标系中的坐标值选择，其Comp 可选择X,Y,Z，而X,Y,Z 为线的中点坐标，且其后参数相应赋值。注意采用的是当前坐标
系的坐标值。
TAN1 - 以线始点外切单位矢量选择，其Comp 可选择X,Y,Z
TAN2 - 以线末点外切单位矢量选择，其Comp 可选择X,Y,Z
NDIV - 以指定线的划分数目选择，其后参数相应赋值。
SPACE - 以线的划分间隔率选择，其后参数相应赋值。
MAT, TYPE ,REAL,ESYS, - 跟线相关的材料号、单元类型号、实常数号、单元坐标号。
SEC - 以截面ID 号选择，其后参数相应赋值。
LENGTH - 以线的长度选择，其后参数相应赋值。
RADIUS - 以线的半径选择，其后参数相应赋值。
HPT - 仅选择包含硬点的线，其后无参数。
LCCA - 仅选择连接线（使用LCCAT 命令创建的线）
VMIN, VMAX, VINC - 同KSEL 中。
KSWP - 控制选择方式。当KSWP=0（缺省）则仅选择线；当KSWP=1则选择与线相关的关键点、节点和单元，但仅在Type=S时有效。
(17) 选择与面相关的线
命令：LSLA, Type
其中Type 仅可为S,R,A,U，其意义同上。
(18) 选择与关键点相关的线
命令：LSLK, Type, LSKEY
其中Type 意义同LSLA 中。
LSKEY 为包含关键点控制，当LSKEY=0（缺省）则只要线的任意一个关键点在选择集中（使用了KSEL 命令），则选择该线。当LSKEY=1 则要求线的所有关键点均在选择集中才选择该线。
最后三条命令在以后几何建模和网格划分中使用，这里不再给出例子。
2.2.3 创建面
采用自顶向下的方法创建面，则ANSYS 自动创建其线和关键点，线和关键点编号由系统自定义。
自顶向下建模时几何图素均在工作平面内创建，因此图素的方位均与工作平面方位和位置有关。
如果采用自底向上方法创建面，则必须预先创建关键点或线。
ANSYS 创建面的方法很多，其创建命令和管理命令如表所示：
(1) 通过关键点创建面
命令：A, P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13,P14, P15, P16, P17, P18
其中P1~P18 为关键点号。最多18 个关键点，最少为3 个关键点。关键点必须按顺时针或逆时针顺序输入，同时按右手规则确
定面的正法线方向。
当关键点数≥4 时，应该保证所有关键点位于同一平面或曲面内，即在当前坐标系下有一相同的坐标值，如Z 相同，则该面位于XY 平面内。
★如果相邻两关键点已经存在线（直线或曲线），则创建面时使用该线，该线形状与当前坐标系无关；
★如果存在多条线，则采用其中最短的线（直线）。
★如果相邻关键点没有线，则创建面时边的形状决定当前坐标系，如在直角坐标系下生成直线边，而在柱坐标系下生成曲线边。但是一旦由这些关键点创建了面，再改变当前坐标系也不能改变面的形状了。
示例：
/prep7 ! 进入前处理
csys,1 ! 设定柱坐标系
k,1,1 $ k,2,1,90 ! 在柱坐标系下创建关键点
l,1,2 ! 在柱坐标系创建线
csys,0 ! 设定直角坐标系
k,3,-1 $k,4,0,-1 $ k,5,0.5,-0.7 ! 在直角坐标系下创建关键点
kpscale,all,,,3,3 ! 用比例创建另外一组关键点
a,1,2,3,4,5 ! 在直角坐标系下创建面
l,6,7 ! 在直角坐标系创建线
csys,1 ! 设定柱坐标系
a,6,7,8,9,10 ! 在柱坐标系下创建面
(2) 通过线创建面
命令：AL, L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7, L8, L9, L10
其中L1～L10 为线编号，最少要3 条线，当采用输入线号时最多10 条线。生成面的正法线方向按右手规则由L1 的方向确定。
当L1 为负值时则表示面的正法线方向相反。L1 可为ALL、P 或组件名，当L1=ALL 时面的法线由L2 定义面的法线方向，当L2 为空
时则默认为最小编号的线，且此时线数不受限制。
线号可以按任意顺序，但这些线必须是首尾相连可形成封闭的面。当线数≥4时，线必须在同一平面内或曲面内。由于采用既有线创建面，线形就决定了面边的形状。
示例：
/prep7 !进入前处理
csys,1 !设定柱坐标系
*do,I,1,12 !用循环创建关键点
k,I,5,30*(I-1)
*enddo
*do,I,1,11 !用循环创建直线
lstr,I,I+1
*enddo
L,1,12 !在当前坐标系下创建线（曲线）
AL,ALL !由上述线创建面
(3) 沿路径拖拉创建面
命令：ADRAG, NL1, NL2, NL3, NL4, NL5, NL6, NLP1, NLP2, NLP3, NLP4, NLP5, NLP6 NL1~NL6---将要拖拉的线号，也可为ALL或元件名，线必须是连续的。
NLP1~NLP6---路径线的编号，也必须是连续的。也可为元件名。
★用ADRAG 创建的面，其线和关键点号由系统自动定义
★相邻面共用线、相邻线共用关键点。
★拖拉线与拖拉路径不一定相交，拖拉线仅仅将路径作为方向和参考长度，该命令在创建复杂曲面时较为方便。
示例：
/PREP7 ! 进入前处理
PI=ACOS(-1) ! 利用函数得到π=3.1415926，并赋值给变量PI *DO,I,0,10,1 ! 利用循环创建11 个关键点
K,2*I+1,I/5*PI,SIN(I/5*PI)
*ENDDO ! 结束循环
SPLIN,ALL ! 按样条创建曲线
CM,PATH1,LINE ! 定义组件PATH1
K,50,,,2 ! 创建关键点50
K,51,,1,4 $L,1,50 $L,50,51 ! 创建关键点51 及两条线
ADRAG,11,12,,,,,path1 !沿路径PATH1拖拉线L11和L12创建面
(4) 线绕轴旋转生成弧面
命令：AROTAT, NL1, NL2, NL3, NL4, NL5, NL6, PAX1, PAX2, ARC, NSEG
NL1, NL2,NL3,NL4,NL5,NL6 - 将要旋转的线号，必须位于旋转轴的一侧，且与旋转轴共面，即旋转轴与线不能相交，但轴可通过线的端
点。NL1 也可为ALL、P 或组件名。
PAX1,PAX2 - 旋转轴的关键点编号。
ARC - 弧长（度），对PAX1-PAX2 旋转轴按右手规则为正，缺省为360°
NSEG - 沿圆周的线段数，最多为8 段。缺省时按90°划分线，即360°按4 段划分。
示例：
/PREP7 ! 进入前处理
PI=ACOS(-1) ! π=3.1415926
*DO,I,0,10,1 ! 利用循环创建11 个关键点
K,I+1,I/5*PI,SIN(I/5*PI)
*ENDDO ! 结束循环
*do,i,1,10 ! 利用循环创建多段直线
l,i,i+1
*enddo
k,50,2,2 ! 创建旋转轴的关键点
k,51,8,3
arotat,all,,,,,,50,51,270,6 ! 绕旋转轴旋转线创建270°弧面，并分为6 段
常见的几何模型 一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。 这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。 1.绕点型（手拉手模型） （1）自旋转： ? ? ? ? ? ? ? ，造中心对称 遇中点旋 全等 遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋 遇 ，造等边三角形 旋 遇 自旋转构造方法 180 90 90 60 60
例题讲解： 1. 如图所示，P是等边三角形ABC的一个点，PA=2，PB=3 2，PC=4，求△ABC的边长。 C A B P 2. 如图，O是等边三角形ABC一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？ https://www.wendangku.net/doc/e417729522.html,/Services/BlogAttachment.ashx?AttachmentID=1924 3.如图，P是正方形ABCD一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则∠APD= . 4.如图（2-1）：P是正方形ABCD一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。 A B C O
（2）共旋转（典型的手拉手模型） 模型变形： 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形
例题讲解： 1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、 CD 之间存在的数量关系。 2.（13中考） 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（?<
三角形之鸟头模型 共角定理（鸟头模型） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则 AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ??=?=?? (夹角两边：大 大小 小??) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解： 1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积． 3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2， 平方厘米12=?ADE S ，求△ABC 的面积．
4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘 米，求ABC △的面积． E D C B A 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那 么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A
小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A
三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A
几何五大模型——鸟头模型 本讲要点 一两点都在边上：鸟头定理： （现出“鸟头模型” 。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。） S AD×AE △ADE = S AB×AC △ABC A E D B C 二一点在边上，一点在边的延长线上： S CD×CE △CDE = S BC×AC △ABC A E D B C
例 1 如图， AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，△ABC 的面积是平方厘米． 例 2 例 2 （ 1）如图在△ ABC中， D、E 分别是 AB，AC上的点，且 AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ ABC 的面积是 16 平方厘米，求△ ABC的面积。 （2）如图在△ ABC中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC上，且 AB:AD=5:2， AE:EC=3:2,△ ADE 的面积是12 平方厘米，求△ABC的面积。
例3 已知△ DEF的面积为12 平方厘米， BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ ABC的面积。 例4 三角形 ABC面积为 1， AB 边延长一倍到 D， BC 延长 2 倍到 E， CA延长 3 倍到 F，问三角形DEF的面积为多少？ F A E C B D
例5 长方形 ABCD面积为 120， EF 为 AD上的三等分点， G、 H、 I 为 DC上的四等分点，阴影面积是多大？ 例 6 如图，过平行四边形 ABCD内的一点 P 作边AD、BC的平行线 EF 、GH，若 PBD 的面积为 8 平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ AG D P E F B H C
第五章几何模型的建立 第一节几何模型的定义和形式 1、几何模型的定义 反映分析对象几何特征的求解域 几何模型是网格划分的基础 几何建模的时候必须对实际对象进行简化 几何模型并不要求与实际结构完全相同 2、几何模型的形式 1）线框模型 杆件结构 轴对称薄壳 2）表面模型 平面应力应变问题 轴对称问题 薄板弯曲及薄壳问题3）实体模型 空间问题 第二节形状处理方法 本节主要介绍几何建模时根据形状和边界条件等特点对结构进行的简化方法 1、降维处理 2、细节简化 1）细节处的应力大小 2）计算内容 3、形式变换（做等效处理） 4、对称性的利用 1）对称的基本形式 （1）反射对称 （2）周期对称
2）对称性利用的注意事项 （1）对称面上的载荷取1/2 （2）对称面上存在板和梁则节点必须在对称面上，且相应的刚度应取整个单元的一半，而不是1/2单元的全部 （3）用对称面剖分结构的时候，应尽量使剖封面不在结构的最大应力位置 第三节几何建模与模型处理方法1、实体模型建立方法 1）体素建模仿法 输入简单三维形体 立方体圆柱体球体锥体锥台 2）扫描变换法 （1）拉伸变换 （2）旋转变换 3）构造实体法 （1）并运算（2）交运算（3）差运算（4）图案运算（5）平面切割运算（6）倒圆运算（）倒角运算 （7）倒角运算 4）断面拟合法 （1）定义断面 （2）各断面按一定顺序排列5）由曲面变换成实体（1）拉伸变换 （2）投影变换 （3）偏置变换 6）变换生成实体（1）整体比例变换（2）表面比例变换（3）弯曲变换 2、曲面模型建立方法1）点阵拟合 2）曲线拟合 3）曲线扫描变换 ）由实体生成曲面 4）由实体生成曲面 （1）删除部分曲面 （2）提取中面3、几何模型的处理 产品开发的环节：设计—分析—测试—制造 几何模型处理方法 1）曲线剪断2）曲面分裂 3）实体分裂4）提取扫描面 5）提取中面6）特征处理
几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
（3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
小学平面几何五大模型 一、共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别就是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 证明:由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC 可推导出 若△ABC 与△ADE 中, ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°, 则 ADE ABC S S ??=AE AD AC AB ?? 二、等 积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两 个三 角形底相等,面积比 等于它们的高之比; 如下图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD . ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”): ① 1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 速记:上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”): b a S 2 S 1 D C B A
1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2 ）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （ 3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △ EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接 AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
3、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN ”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB,AD 上各存在一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2， 求PCQ 的度数。 Q
几何五大模型 一、等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等。 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。 3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。 二、共角定理模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 三、蝴蝶定理模型 （说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。） 四、相似三角形模型 相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。 五、燕尾定理模 等积变形: 等积变形是小学几何里面一个非常重要的思想，小学所以的几何题，或多或少的都会用到等积变形的思想，几何五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的。
一半模型 平行四边形、梯形、任意四边形中的一些一半模型。 一、 模型归纳总结 1、等面积变换模型 (1)直线AB 平行于CD ，可知BCD ACD S S ??=； 反之，如果BCD ACD S S ??=，则可知直线AB 平行于CD ．如图A (2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ::ABD ACD S S BD CD =△△如图 B D C B A D C B A 图A 图B (3)一半面积关系 S 4 S 3 S 2S 1 A B C D D C A 1 2 S S =阴影 长方形 1324 S S S S +=+
【例1】、如图，每一个正方形四边中点的连线构成另一内接小正方形，则阴影部分面积为原正方形面积的几分之几? 第8题 【例2】、如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ B C G H
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平 方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， 任意四边形、梯形与相似模型
全等三角形常见的几何 模型 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：???????，造中心对称遇中点旋全等 遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角 旋遇，造等边三角形 旋遇自旋转构造方法0000 018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和 △ BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） B H 平分∠AHC （7） G F ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。 （4） A E 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
3、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CB N，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)?如图1，当点D在边BC上时，求证：①?BD=CF???②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； ? (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2， 求PCQ 的度数。
<2> 几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型 鸟头定理（共角 定理）模型’ 两个三舀葩中有一个角相同或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面和出等于对应角（相同角或互补角）两夹边的乘积之比。 如下图在A A BC 中* D, E 分别是基禺AC 上的点（或D 在的延长线 上，E 在盘C 上人 则 S^BC ：S^ADE =（AB X AQ:（AD X AEJ 证明: 最后我们会发现两种情况的证明方迭完全一样° 卑头定理（共角定理）辺難 逹接BE*在ZiAEB 申「 吕_ AD SiABE AB 在A ABC 中I _ 竺 S A AEC AC 将（1> x （?）有* s 込呼_理EXAD 5 A ABC ACi 例题1: 如上图，在△ABC 中，D,卫分别是AE AC 卜的点，賞中：ECEAE, AD=2DB, S MEC =1，求△ ADE 的面积? 题_ 解法 利用鸟头定理有：严匹 S^ABC 所 fA SiADE~ 7 AE AD 12 1 __ x ___ = _ V _ ——_ AC X AB 4 X 3 6 本題也可以不用鸟头定理，而用等积变换。 连接BE 在AAEF 中， S AAED ' S AAEB =AD : AB=2:3 S AAED ^CJ^S ZIAEF 在△ABC 中, S AAEB ： S AABC =AE: AC=1:4 E △血 EB =（1/4）￡_ABU 由（“（2）式可得 S ^D= ；x|xS_kB c=; 题_ 解法二 ; AEXAD ACxAB 诵过观察题一的解袪二我们可以找到一个证明如模型图一中鸟头定理的方 例题2: 如上图「在A ABC 中，E 是AC 上的点，D 县BA 証萇线卜的一占? EC=2AE, AB=2AD, S_AEC =1 ,求 A ADE 的面憩 连接BE 在中， SUDE _ 空 S 4iABE AS 1SAA&C 中， SgEE ； _ AE S ￡I AB 匚 AC 将(1) X (2)有' S 企ADE ； ” AEX 血D S ^AEC ACXAB 证毕。 Cl) (2> 1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋 顶角，造旋转全等遇中点旋1800，造中 心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: 3、(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN，”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. B 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P 一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于C D 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,A B A C 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在A C 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 五大模型 1S 2 S 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。 初中几何常见九大模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?】 ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?` ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ' ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； - ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?< ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等 边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?' ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导 ? 模型四：角含半角模型90° 三角形之鸟头模型 共角定理（鸟头模型） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比 等于对应角 （相等角或互补角）两夹边的乘积之比. 如图在△ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图（或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上），则 即，共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比 例题讲解： 1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。求三角形 ABD 的面积是 三角形ADC 面积的多少倍？ 2、如右图，已知在厶 ABC 中, BE=3AE CD=2AD 若厶ADE 的面积为1平方厘米.求三角形 ABC 的面积. 3、如图在△ ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2 ，AE : EC = 3: 2， S ADE 12平方厘米，求△ ABC 的面积 . S ADE S ABC AD AE AB AC AD AE AB AC （夹角两边: 1) p 4、如图在 △ ABC 中，D,E 分别是AB, AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE: AC 4:7 , S A ADE 16平方厘米, 求厶ABC 的 面积. 6、如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为AB 的中点，AF 2CF ，三角形AFE （图中阴影部分） 的面积为 【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 么三 角形ABC 的面积是多少？ ADE 的面积等于1，那 【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD 积是 甲部分面积的几倍？ DC 4，BE 3，AE 6，乙部分面 5、如图在 △ ABC 中，D 在BA 的延长线上， AE:EC 3: 2 , ADE 12 平方厘米, E 在 AC 上，且 AB: AD 5: 2， 求△ ABC 的面积. C 几何模型：一线三等 角模型 一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 同侧 锐角直角钝角 P 异侧 相似篇 A 同侧锐角直角钝角 异侧 三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质，反之未必是内心. 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这 就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A 三角形等高模型与鸟头模型 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形； ⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案 不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，长 12厘米，长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形的面积是三角形面积的多少倍？ ⑵ 求三角形的面积是三角形面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形、三角形和三角形在分别以、和为底时，它们的高都是从 A 点向边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形的面积12=?高26÷=?高 三角形的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形的面积是三角形面积的43 倍； 三角形的面积是三角形面积的3倍。 【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米， 那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。 C D B A 个性化辅导讲义 【知识梳理】 梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）: 2 2 ① Si : S 3 a : b 2 ③S 的对应份数为a b 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模 型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果. （具体的推理过程我们可以用将在第九讲 所要讲的相似模型进行说明） 例3如图，S2 1 2 3 , S3 4 5，求梯形的面积。 【举一反三】 I 、如下图，梯形ABCD 勺AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于0,已知△ AOB 与^ BOC 的面积分别 为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形 ABCD 勺面积是 ____________________ 方厘米. 例4如图，梯形ABCD 勺对角线AC 与 BD 交于点0,已知梯形上底为2,且三角形ABO 勺面积等于 2 三角形B0C S 积的3 ，求三角形A0D 与三角形BOC K 面积之比. 3 【举一反三】 I 、在下图的正方形ABCD 中, E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为I 平 方厘米，那么正方形 ABCD S 积是多少平方厘米？ 【课堂总结】 我的收获 我的疑惑 3、 梯形的下底是上底的倍，三角形 OBC 勺面积是9cm ，问三角形AOD 的面积是多少？ 6长方形中，若三角形I 的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角 形I 的面积为 __________________ . 7、 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点.求图中阴影部分的面积. 8、 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，E ，F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积. 9、 如图，正六边形面积为 6 7 8 9，那么阴影部分面积为多少？ 【课后作业】 2 如图相邻两个格点间的距离是I ,则图中阴影三角形的面积为 ____________ 。 3 如图，每个小方格的边长都是I ,求三角形ABC 的面积。 2 4、如图，梯形ABCD 中, AOB 、 COD 的面积分别为和，求梯形 ABCD 勺面积. 5、如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块， 已知三角形ADG 的面积是II ,三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积. ② Si : S 3 ： S 2 : S 4 2 2 a : b : ab : ； 全等三角形常见的几何 模型精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△ BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE≌△DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC （1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△A CM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，E F．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)?如图1，当点D在边BC上时，求证：①?BD=CF???②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； ? (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型