巧用公约数
巧用公约数
教学目标
（一）让学生进一步巩固约数、公约数和最大公约数的概念，并能熟练地求出几个数的最大公约数。
（二）学会应用最大公约数解决实际问题
（三）让学生思考更灵活
教学重点和难点
重点：巧用最大公约数解决日常生活中的相关问题
难点：找出这类问题的规律
教学过程设计
（一）复习
1.选择填空。
在1、2、3、6、7、9、18、63这组自然数中，其中 1 、18、 2、 9 、3 、6 是18的约数， 1、63、3、21、7、9 是63的约数， 1、3、9 是
18和63的公约数， 9 是18和63的最大公约数。
（定义：如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b
为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约
数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。）
2.练习：口答下列几组数字的公约数。
（12 ，44） = 4 （45 ，25）=5 （21，49）= 7
（二）新课
我们今天以最大公约数为载体，进一步学习如何解决日常生活中的相关问题。
例1.一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在把它裁成一些大小相
等且尽可能大的正方形而无剩余，且边长是整厘米数，可以裁多少块？
[分析：7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米，因为题中要求裁后无剩余，所
以，正方形的边长必须是75和60的公约数。又因为裁成的正方形要最大，所以
正方形的边长一定是75和60的最大公约数。求出了正方形的边长，就不难求可
以裁多少块了。]
解：7分米5厘米=75厘米 6分米=60厘米
（75，60）=15
75×60=4500（平方厘米）
15×15=225（平方厘米）
4500÷225=20（块）
答：可以裁成20块。
巩固练习：将一块长90米，宽60米的长方形土地，划分成面积相等的小正方形而无剩余，小正方形的面积最大是多少？
（90，60）=30
30×30=900（平方米）
例2.一条道路由甲村经乙村到丙村。甲、乙两村相距450米，乙、丙两村相距630米。现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且甲、乙两村和乙、丙的中点都要栽上树。那么相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
[分析：由于甲、乙两村的中点和乙、丙两村的中点都要栽上树，也就是相当于要把450 ÷2=225米、630 ÷2=315米的平均分成若干段，并且使每段尽可能长，因此每段的长度是225和315的最大公约数。]
解： 450 ÷2=225（米）
630 ÷2=315（米）
5 ︱225 315
3 ︱45 63
3 ︱15 21
5 7
（225，315）=5 ×3 ×3=45
答：相邻两棵树之间的距离最多是45米。
巩固练习：学校举行春季运动会，要在长120米，宽84的长方形操场上等距离地插上一些彩旗，两面彩旗之间的距离最大是多少？
解：（120，84）=12
例3．用某数去除600余5，去除818余13，去除871少4。求某数最大是多少？[分析：根据已知条件可知：只要把600减去5，818减去13，871增加4后，这三个数都能被某数整除。再根据题中要求某数最大是多少，显然就是求（600-50）、（818-130和（871+4）这三个数的最大公约数。）]
解：600-5=595 818-13=805 871+4=875
（595，805，875）=35
答：。
巩固练习1.有一个自然数，去除121余1，去除81余1，去除61也余1，求这个自然数是多少？
解：121-1=120 81-1=80 61-1=60
（120 80 60）=20
巩固练习2.学校里每间宿舍的铺位完全相同，上学期住宿同学共有208人，有两间宿舍各有四个铺位，本学期住宿的同学共有350人，还有一间宿舍有两个铺位空着，问每间宿舍最多有多少铺位？
解：208+4×2=216 （人） 350+2×1=352（人）
（216，352）=8
C语言【最大公约数和最小公倍数】的两种方法 By Minecig 1. //第一种是比较麻烦的方法，着重看加粗的函数实现部分：#include return i; } } 2： //这种函数算法要好的多，利用了“辗转相除法”和“最小公倍数=x*y/最大公约数" 的算法#include 公约数与公倍数问题 知识框架 在公务员的考试中，公约数与公倍数问题考查点只有两种类型。无论生活场景如何改变，同学只要牢牢把握这两种类型，就能轻松搞定公约数与公倍数问题。 核心点拨 1.题型简介 （1）约数与倍数 若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。 （2）公约数与最大公约数 几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。 公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。 （3）公倍数与最小公倍数 几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。 公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。 考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。 2.核心知识 （1）两个数最大公约数和最小公倍数 一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。 A、把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。 B、把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。 如：求24、36的最大公约数与最小公倍数。 24、36的最大公约数为其共同质因数的乘积，即2×2×3=12； 24、36的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积，即(2×2×3)×(2×3) =72。 （2）三个数最大公约数和最小公倍数 A、求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数（除1外），然后把所有共同的质因数连乘起来。 B、求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。 如：求24、36、90的最大公约数和最小公倍数。 3.核心知识使用详解 （1）两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数。 （2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积。 最大公约数与最小公倍数应用（一） 一、知识要点： 1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。 例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。 2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。 a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。 例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]= 3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。 3、辗转相除法 二、热点考题： 例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。（运用性质2） 练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。 分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。” 例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。 分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。 练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。 例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。 习题四 1．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。 2．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。 3．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。 4．已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。 最大公约数 教学目标 1．使学生掌握公约数、最大公约数、互质数的概念． 2．使学生初步掌握求两个数的最大公约数的一般方法． 教学重点 理解公约数、最大公约数、互质数的概念． 教学难点 掌握求两个数的最大公约数的一般方法． 教学步骤 一、铺垫孕伏． 1．说出什么是约数、质因数、分解质因数． 2．求18、20、27的约数 3．把18、20、27分解质因数 二、探究新知． 教师引入：我们已经会求一个数的约数了，这节课我们学习怎样求两个数公有的约数．（一）教学例1【演示课件“最大公约数”】 8和12各有哪些约数，它们公有的约数有哪几个？最大的公有的约数是多少？ 板书：8的全部约数：1、2、4、8 12的全部约数：1、2、3、4、6、12 学生交流：发现了什么？ 学生汇报：8和12公有的约数是：1、2、4 最大的公有的约数是：4．（教师板书） 1．总结概念：8和12公有的约数，叫做8和12的公约数． 1、2、4是8和12的公约数．公约数中最大的一个叫做最大公约数，4是8和12的最大公约数． 2．阅读教材，理解公约数、最大公约数的意义． 3．反馈练习：把15和18的约数、公约数分别填在下面的圈里再找出它们的最大公约数． （二）教学互质数【演示课件“互质数”】 1．5和7的公约数和最大公约数各是多少？7和9呢？ 5的约数：1、5 7的约数：1、7 7的约数：1、7 9的约数：1、3、9 5和7的公约数：1 7和9的公约数：1 5和7的最大公约数：1 7和9的最大公约数：1 教师提问：有什么共同点？（公约数和最大公约数都是1） 教师点明：公约数只有1的两个数，叫做互质数． 2．学生讨论：8和9是不是互质数，为什么？ 强调：判断两个数是不是互质数，只要看这两个数的公约数是不是只有1． 3．分析：质数和互质数有什么不同？ （意义不同，质数是对一个数说的，互质数是对两个数的关系说的．） 最大公约数法 通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。 1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？ 2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？ 3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？ 4 有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度） 5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度） 6 把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度） 7 一个数除40不足2，除68也不足2。这个数最大是多少？（适于六年级程度） 8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问三筐白菜各是多少千克？ 9 一个两位数除472，余数是17。这个两位数是多少？ 10 把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米） 最小公倍数法 通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。 1 用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？ 2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？ 3 有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。这个班级有多少人？ 4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度） 名师精编优秀教案 奥数公约数和公倍数 知识要点： 1、几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 3、求最大公约数和最小公倍数的方法：（1）枚举法；（2）分解质因数法（3）短除法。 4、最大公约数和最小公倍数的关系：两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 典例巧解 例1、有三根木棒，长度分别是1.5米、2.4米、1.8米，王师傅想把它们截成长度相等的小段。为了最大限度地利用材料，每小段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 例2、把一块长357厘米、宽105厘米、高84厘米的长方体木料，锯成同样大小的正方体木料，锯后不许有剩余。正方体的棱长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？ 例3、有一批作业本，无论是平均分给10人、12人还是15人，都剩余4本，这批作业本至少有多少本？ 例4、甲、乙、丙三人环绕操场步行一周，甲要3分钟，乙要4分钟，丙要6分钟。三人同时同地同向出发环绕操场走，当他们三人第一次相遇时，他们三人分别走了多少圈？ 名师精编优秀教案 13例5、狐狸和兔子进行跳跃比赛，狐狸每次跳4 米，兔子每次跳2 米，它们423每秒钟都跳一次，从起点开始，每隔12 米设有一个陷阱。当它们其中一个掉8进陷阱时，另一个跳了多少米？ 例6、小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819.甲数是多少？ 例7、A、B两个数都含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和是多少？ 最大公约数和最小公倍数练习题 一. 填空题。 3. 所有自然数的公约数为（）。 4. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 5. 在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。 6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（）。 7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（）。 10. 根据下面的要求写出互质的两个数。 （1）两个质数（）和（）。 （2）连续两个自然数（）和（）。 （3）1和任何自然数（）和（）。 （4）两个合数（）和（）。 （5）奇数和奇数（）和（）。 （6）奇数和偶数（）和（）。 二. 判断题。 1. 互质的两个数必定都是质数。（） 2. 两个不同的奇数一定是互质数。（） 3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。（） 4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。（） 三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。 26和13（）13和6（）4和6（） 5和9（）29和87（）30和15（） 13、26和52 （）2、3和7（） 四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数） 45和60 36和60 27和72 76和80 42、105和56 24、36和48 五. 动脑筋，想一想： 学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？ . 1、查找约数法． 先分别找出每个数的所有约数，再从两个数的约数中找出公有的约数，其中最大的一个就是最大公约数． 例如，求12和30的最大公约数． 12的约数有：1、2、3、4、6、12； 30的约数有：1、2、3、5、6、10、15、30． 12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数． 2 更相减损术 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。” 翻译成现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。 则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。 其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。 3、辗转相除法． 当两个数都较大时，采用辗转相除法比较方便．其方法是： 以小数除大数，如果能整除，那么小数就是所求的最大公约数．否则就用余数来除刚才的除数；再用这新除法的余数去除刚才的余数．依此类推，直到一个除法能够整除，这时作为除数的数就是所求的最大公约数． 例如：求4453和5767的最大公约数时，可作如下除法． 5767÷4453＝1余1314 4453÷1314＝3余511 1314÷511＝2余292 511÷292＝1余219 292÷219＝1余73 219÷73＝3 于是得知，5767和4453的最大公约数是73． 辗转相除法适用比较广，比短除法要好得多，它能保证求出任意两个数的最大公约数．4、求差判定法． 如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得的差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数．例如：求78和60的最大公约数．78－60＝18，18和60的最大公约数是6，所以78和60的最大公约数是6． 如果两个数相差较大，可以用大数减去小数的若干倍，一直减到差比小数小为止，差和小数的最大公约数就是原来两数的最大公约数．例如：求92和16的最大公约数．92－16＝76，76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12和16的最大公约数是4，所以92和16的最大公约数就是4． 5、分解因式法． 先分别把两个数分解质因数，再找出它们全部公有的质因数，然后把这些公有质因数相乘，得到的积就是这两个数的最大公约数． 例如：求125和300的最大公约数．因为125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以125和300的最大公约数是5×5＝25． 6、短除法． 为了简便，将两个数的分解过程用同一个短除法来表示，那么最大公约数就是所有除数的乘积． 例如：求180和324的最大公约数． 因为： 5和9互质，所以180和324的最大公约数是4×9＝36． 7、除法法． 当两个数中较小的数是质数时，可采用除法求解．即用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小的数是这两个数的最大公约数． 例如：求19和152，13和273的最大公约数．因为152÷19＝8，273÷13＝21．（19和13都是质数．）所以19和152的最大公约数是19，13和273的最大公约数是13． 五年级下最大公约数和最小公倍数——课堂讲解 姓名：_____________ 一、知识导航（熟记！！！） 1．几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 2．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 3．求几个数的最大公约数和最小公倍数可以用短除法或分解质因数法。 4．两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 二、经典例题 例1．甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人。把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要多少条船？ 同步演练1：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余。每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 例2．兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次。兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？ 同步演练2：三个朋友每人隔不同的天数去图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次。上次三人是星期二在图书馆相逢的，至少要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？ 例3．两个数的最大公约数是14，最小公倍数是84。已知其中一个数是28，则另一个数是多少？ 同步演练3：甲数是28，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数。 例4．三个连续自然数的最小公倍数是360，求这三个数。 同步演练4：三个连续自然数的最小公倍数是1092，求这三个数。 例5．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？ 同步演练5：大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花坛的周长。亮亮每步长54厘 最大公约数和最小公倍数的比较 教学目标 (一)进一步理解并掌握最大公约数和最小公倍数的概念，分清求最大公约数和最小公倍数的相同点和不同点。 (二)培养学生仔细、认真的做题习惯和比较的思维方法。 (三)培养学生观察、分析、比较的能力。 教学重点和难点 最大公约数和最小公倍数异同点的比较。 教学用具 教具：小黑板，投影片。 学具：判断卡，选择卡。 教学过程设计 (一)复习准备 教师： ①什么叫最大公约数和最小公倍数？ ②怎样求最大公约数和最小公倍数？ ③求下面各题的最大公约数和最小公倍数？(口答) 8和1613和262和97和15 教师：对上面几道题你是怎么想的？各有什么特点？你能发现什么规律？ 明确： ①两个数有倍数关系，最大公约数最较小数，最小公倍数是较大数。 ②两个数互质，最大公约数是1，最小公倍数是两个数乘积。 (二)学习新课 1．出示例5。 求28和42的最大公约数和最小公倍数。(要求学生独立完成。) 学生口述教师板书。 28和42的最大公约数是： 2×7=14 28和42的最小公倍数是 2×7×2×3=84 教师：观察上面两道题，谁能说出求最大公约数和求最小公倍数有什么地方相同？什么地方不同？(讨论) 在讨论的基础上，总结出下面的结论。 教师：为什么求最大公约数只要把所有除数乘起来，而求最小公倍数就要把所有除数和商都乘起来呢？ 明确：求最大公约数是两个数公有质因数的积；求最小公倍数既要包含两个数公有质因数，又要包括各自独有的质因数。 教师：既然求两个数的最大公约数和最小公倍数的短除过程是相同的，那么，我们就可以用一个短除式来表示。例5怎样做简便？(由学生 公约数公倍数的问题：是指用求几个已知数的最大公约数或最小公倍数来解答的应用题。题中常常出现“最大”“最小”“最少”“至少”一类的词，一般都不直接指明是求最大公约数，还是求最小公倍数。我们要通过对已知条件进行全面分析，才能更好解题。 最后几题是剩余定理的题目，之所以把这两个类型的题目放一起，是因为求解过程中经常要先求公倍数，剩余定理的题目基本是余同、差同、和同或它们的变式，通常也可以通过代入法直接解决。在常规做剩余定理的时候，经常要先求最小公倍数，然后加余，加和或者减差得出答案。 2、加工一种机器零件有三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成36个，第二道工序每个工人每小时可完成32个，第一道工序每个工人每小时可完成24个。则每道工序最少应分别安排多少工人，才能使生产顺利？ A、4 7 6 B、6 7 9 C 、8 9 12 D、10 12 15 3、学习委员收买练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组2.61元，第二组3．19元，第三组2.61元．第四组3.48元，又知道每本练习本价格都超过1角，全班共有多少人?( ) A、29 B、33 C 、37 D、41 4、大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合，所以雪地上纸留下60个脚印，这个花圃的周长是多少米？ A、1030 B、2160 C 、4320 D、12960 5、有三根电线，分别长300厘米，444厘米、516厘米。把它们截成同样长且尽可能长的整厘米小段，不许剩余，每小段折成一个正方形。然后将这些小正方形混放在一起拼成一个长方形（每次一拼都必须全部用上这些小正方形），这样可能拼成的长方形有几张？ A、3 B、4 C 、6 D、8 7、三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲乙丙三个人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步。开始时，三个人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长1/5千米，中圈跑道长1/4千米，里圈跑道长3/8千米。甲每小时跑7/2千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米。他们同时出发，几小时后，三人第一次同时回到出发点？（） A、5 B、6 C 、7 D、8 8、有一些铅笔分给三个小组，平均每人正好分6支，若只分给第一组，则平均没人分10枝，若只分给第三组，则平均每人分21枝，已知第二组人数在5-10人之间，则铅笔共有多少枝？（） A、210 B、420 C 、630 D、315 9、西桥小学中年级学生列队时，若每排3人，则多1人；若每排5人，则多3人；若每排8人，则多6人；则该小学人数有多少（） A、122 B、120 C 、118 D、115 10、袋子里有一百多个小球，五个五个取出来剩余4个，六个六个取出来剩余3个，八个八个取出来剩余1个，问袋子里面有多少个小球？（） A、109 B、119 C 、129 D、139 11、一个数除以5余2，除以7余3，除以8余6，问最小三位数是多少？（） A、112 B、118 C 、236 D、262 1、解析：由题意可知下一次三人相遇需要过3×4×5=60天，60/7=8……4。所以相遇时时星期一。选D 2、解析：36、32、24的最小公倍数是288，因此第一道工序需要8人，第二道工序需要9人，第三道工序需要12人。选C 最大公约数和最小公倍数怎么求？ 首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。 比如：求45和30的最小公倍数。 45=3*3*5 30=2*3*5 不同的质因数是2,3,5。3是他们两者都有的质因数，由于45有两个3，30只有一个3，所以计算最小公倍数的时候乘两个3. 最小公倍数等于2*3*3*5=90 又如：计算36和270的最小公倍数。 36=2*2*3*3 270=2*3*3*3*5 不同的质因数是5。2这个质因数在36中比较多，为两个，所以乘两次；3这个质因数在270个比较多，为三个，所以乘三次。 最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=540 最大公约数和最小公倍数<练习题> 1．有一级茶叶96克，二级茶叶156克，三级茶叶240克，价值相等．现将这三种茶叶分别等分装袋（均为整数克），每袋价值相等，要使每袋价值最低应如何装袋？ 2．a、b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a与b． 3．两个数的积是6912，最大公约数是24，求：（1）它们的最小公倍数；（2）满足已知条件的自然数是哪几组？ 4．甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次，如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面，那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日？ 5．求被5除余2，被6除余3，被7除4的大于1000、小于1500的所有自然数． 6．某个数与36的最大公约数是12，与36的最小公倍数是180，求这个数． 7．有三个自然数a、b、c，a与b的最大公约数是2；b和c的最大公约数是4；a和c的最大公约数是6；a、b、c三个数的最小公倍数是60，求这三个数的最小的和是多少？ 答案仅供参考： 1．三种数量不等的茶叶价值相等，等分装袋后，每袋价值仍相等，由于每种茶叶的总价值相等，每袋价值也要相等，所以这三种茶叶分装的袋数也一定相同．为了使每袋价值最低，就应使袋数尽可能多， 第五讲--最大公约数与最小公倍 数 第五讲最大公约数与最小公倍数 【知识导引】 一、约数的概念与最大公约数 约数又叫因数（在正整数范围内）整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。最大公约数：如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为[a,b] 的约数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 1.求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 例如：231 3 7 11， 252 223" 7，所以（231,252） 3 7 21 ； 21812 ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：暮6，所以 3 2 （12,18） 2 3 6 ； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最 大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一 个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一 个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0 为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1,那么原来的 两个数是互质的）。例如，求600和1515的最大公约数：1515 600 2L 315 ；600 315 1L 285 ； 315 285 1L 30 ； 285 30 9L 15 ； 30 15 2L 0 ;所以1515 和600的最大公约数是15。 2.最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。 3.求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各 个分数的分子的最大公约数b；b即为所求。 a 二、倍数的概念与最小公倍数 对于整数m能被n整除(n/m),那么m就是n的倍数。女口15能够被3或5整除, 我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 1.求最小公倍数的方法 ①分解质因数法求最小公倍数 例如：231 3 7 11， 252 22327，所以 231,252 22 32 7 11 2772 ； ②短除法求最小公倍数 218 12 例如：3L_6，所以18,12 2 3 3 2 36 ； 3 2 ③公式法：［a,b］弭 (a,b) 2.最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 《最大公约数》教学设计 教学内容：小学数学第十册“公约数，最大公约数” 教学目标：1、理解和掌握公约数和最大公约数、互质数的概念；会根据概念求最大公约数； 2、知道互质数是指两个数的关系，会判断两个数是不是互质数，掌握互质数的三种特殊情况； 3、训练思维的有序性和条理性。 教学重难点：理解公约数和最大公约数的意义，以及互质数的意义。 教学准备：1-48号号码纸、小黑板 教学过程： 一、导入： 1、请同学们各自写出自己学号的约数。（学生动手练习） 2、谁的学号只有一个约数的，请举手。你是几号？（1号）1的约数只有1。 3、只有两个约数的是哪些同学？这些数叫什么数？（质数）质数的约数只有2个。 4、剩下的同学你们的约数有几个？都是什么数？（合数）合数的约数至少有三个。 [复习铺垫时先给学生编号，让学生写出各自号码的约数。复习约数、质数合数的目的是加强新旧知识间的联系，为学好新知作好铺垫，为顺利导入新课，突破难点打好基础。] 二、公约数和最大公约数的教学 1、请学号是12的同学走上前来。汇报一下12所有的约数。 （板书：12的约数有：1、12、2、6、3、4） 请学号是1、2、3、4、6的同学站到12的旁边，1、2、3、4、6、12都是12 的约数。 2、请学号是30的同学走上前来，汇报一下30所有的约数。 （板书：30的约数有1、30、2、15、3、10、5、6。） 请学号是1、2、3、5、6、10、15的同学站到30的旁边，1、2、3、5、6、10、15、30都是30 的约数。 3、刚才我们把12和30的约数都找到了前面，这边是12的约数，（故意地）你的约数怎么只有4和12了呢？怎么不把你的约数看好呢？ （学号是12的同学和约数是30 的同学挣抢学号是1、2、3、6的这几位同学） 全班同学一起来做个裁判，1、2、3、6这几位同学到底该站在哪边呢？ （学生争议） 生：我觉得站在他们两个数的中间比较好。 师：为什么？请说出理由。 师：像这样1、2、3、6几个约数，可以给他们起个什么名称呢？ 生：叫公约数吧。 4、（明确指出）1、2、3、6就是12和30 的公有约数，我们称它们是12和30 的公约数。6是其中最大的一个，叫12和30 的最大公约数。 板书：12和30的公约数有：1、2、3、6 5、说一说什么叫做公约数？什么叫做最大公约数？ 出示概念。刚刚我们是怎么找到12和30的公约数的？ 6、请按照刚才的方法，找出下列各组数的公约数和最大公约数 （1）16和24 16的约数有： 24的约数有： 16和24的公约数有最大公约数是： （2）15和18 15的约数有： 18的约数有： 15和18的公约数有最大公约数是： （3）8和9 公约数有：最大公约数是： （4）1和12 公约数有：最大公约数是： （5）3和7 公约数有：最大公约数是： （6）4和5 公约数有：最大公约数是： [联系实际，初步感知：为了使学生初步感知公约数和最大公约数的意义，充分发挥学生的主观能动性，设计了学生活动，把12和30的约数同 ?最大公约数和最小公倍数练习题 一. 填空题。 3. 所有自然数的公约数为（）。 4. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 5. 在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。 6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（）。 7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（）。 10. 根据下面的要求写出互质的两个数。 （1）两个质数（）和（）。 （2）连续两个自然数（）和（）。 （3）1和任何自然数（）和（）。 （4）两个合数（）和（）。 （5）奇数和奇数（）和（）。 （6）奇数和偶数（）和（）。 二. 判断题。 1. 互质的两个数必定都是质数。（） 2. 两个不同的奇数一定是互质数。（） 3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。（） 4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。（） 三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。 26和13（）13和6（）4和6（） 5和9（）29和87（）30和15（） 13、26和52 （）2、3和7（） 四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数） 45和60 36和60 27和72 76和80 42、105和56 24、36和48 五. 动脑筋，想一想： 学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？ 一、基本概念和知识 1.公约数和最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12； 18的约数有：1，2，3，6，9，18。 12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。 2.公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，… 12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。 3.互质数 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。 二、例题 例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？ 分析∵要求的数去除30、60、75都能整除， ∴要求的数是30、60、75的公约数。 又∵要求符合条件的最大的数， ∴就是求30、60、75的最大公约数。 解：∵ （30，60，75）=5×3=15 这个数最大是15。 例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。 解：∵［3，4，5］=3×4×5=60， ∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。 例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 分析∵要截成相等的小段，且无剩余， ∴每段长度必是120、180和300的公约数。 又∵每段要尽可能长， ∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数. （120，180，300）=30×2=60 ∴每小段最长60厘米。 120÷60+180÷60+300÷60 =2＋3＋5=10（段） 答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。 例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 论在小学教材中求最大公约数和最小公倍数的方法 班级：08数三班 学号：30308346 姓名：钟世校 初等数论是研究整数最基本性质的一门十分重要的数学基础课程,整除理论是初等数论的基础,其中心内容是最大公约数理论和算术基本定理,而我现在要论述的是求最大公约数和最小公倍数的几种方法 首先,让我们一起在来来了解一下最大公约数与最小公倍数的定义: 最大公约数: 设1a , 2a ,…，n a (n ≥2)是不全为零的整数,如果d| i a (i =1,2,3…,n),则称d 为 1a , 2a ,…，n a 的公约数,全体公约数中最大的一个数称为 1a , 2a ,…，n a 的最大公约数,记作(1a , 2a ,…，n a ). 最小公倍数: 设1a , 2a ,…，n a 是非零整数.若有整数M, 使 i a | M (i =1,2,3…,n ),则称 M 为1a , 2a ,…， n a 的公倍数,公倍数中最小的正数,称为1a , 2a ,…，n a 的最小公倍数,记作[1a , 2a ,…，n a ]。 求最大公约数的方法通常有两种,即用分解质因数法求最大公约数或用辗转相除法求最大公约数（亦称欧几里得算法），而求最小公倍数通常是用分解质因数或利用最大公约数来求最小公倍数,下最面我通过几道例题来演示上述方法. 一、 求最大公约数的方法. ⒈用分解质因数法求最大公约数. 例1. 求2700 、 7560、3960的最大公约数 解：把2700 、7560 、3960分别分解质因数. 得 2700=32 2 35 2?? 7560=3 3 357 2??? 3960= 2 3 352 11 ??? ∴ (2700,7560,3960)= 2 2 352 ??180 = 即2700 、 7560 、3960的最大公约数为180. 求最大公约数教案 道真县中等职业学校张学东 教学目标： 1．使学生进一步理解和掌握公约数和最大公约数的意义。 2．使学生理解和掌握用短除法、分解质因数的方法两个数的最大公约数的算理。 教学难点：用分解质因数的方法求两个数的最大公约数的算理。 教学设计： 一约数 【引例】看下面的式子： 18÷6 25÷5 24÷3 99÷11 169÷13这些除式中，商都是整数，余数为0.我们在数的整除中已经知道，这些除式都是整除式。 【小结】如果一个整数a除以整数b（b≠0）除得的商正好是整数而没有余数，那么我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。 上式中6是18的约数，5是25的约数，3是24的约数，11是99的约数，13是169的约数……，显然约数只存在于整除式中，故不是整除式就不存在约数。 二公约数及最大公约数 【引例】看下面的式子： 48÷8 24 ÷8 56÷8 ，显然，这些都是整除式，8是48、 24、56、这些所有整数的约数。 【小结】如果一个整数同时是几个整数的约数，那么就称这个 整数是它们的公约数。 公约数亦称公因数，公约数中最大的我们称它为最大公约数，若a 、b 的最大公约数为c ， 三 公约数与最大公约数的求法 求最大公约数的求法一般有：枚举法、短除法、分解质因数法、 1、短除法： 【讲解】 短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A 、B ，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z （通常从最小的质因数开始），然后在短除号的下方写出这两个数被Z 整除的商a 、b ，对a 、b 重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所有的除数相乘，其积即为A 、B 的最大公约数。 例1： 用短除法求12和18的最大公约数。 解:∵ ∴12和18的最大公约数为2×3=6 2、分解质因数法 【讲解】将要求最大公因数的两个数A 、B 分别分解质因数，再从中找出A 、B 公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得到A 、2 12 18 6 9 3 最大公约数与最小公倍数 1. n 个不同的正整数中，,a A 分别是其中最小数，最大数。,c C 分别是它们的最大公约 数和最小公倍数，证明：,A C na c n ≥≤。 2. 求三个不同的正整数,,l m n ，使得222 (,),(,),(,)m n m n n l n l l m l m =+=+=+。 3. 设12,,,n a a a 为正整数，均不超过2,4n n ≠，证明：1m in ,6(1)2i j i j n n a a ≤<≤?? ??≤+?????? 。 4. 若12,,,,k n a a a 是整数120k n a a a ≥≥≥≥> ，且对于所有的i 和j ，i a 和j a 的最 小公倍数不超过n ，证明：对于1,i i k ia n ≤≤≤。 5. （1）对什么样的自然数2n >，有一个由n 个相继自然数组成的集合，使得集合中最 大一个数是其余1n -个数的最小公倍数的约数。（2）对什么样的自然数2n >，恰有一个集合具有上述性质？ 6. (,)x y 表示正整数,x y 的最大公约数，设a 和b 是两个正整数，(,)1,3a b p =≥为一素 数，,p p a b a b a b α?? +=+ ?+?? ，试证： （1）(,)1a α=；（2）1α=或p α=。 7. n 为大于1的整数，确定形如pq 的数的倒数的和，这里,p q 为整数，满足 0,p q n p q n <<≤+>，且,p q 的最大公约数是1。 8. 求正整数(3)n n ≥，使得存在n 个正整数12,,,n a a a ，满足任何两个数的最大公约数 大于1，任意三个数的最大公约数等于1.若所有的整数(1,2,,)i a i n = 均小于5000，求满足如上条件的n 的最大值。 昆明理工大学信息工程与自动化学院学生实验报告 （2011 —2012 学年第 1 学期） 课程名称：算法设计与分析开课实验室：信自楼应用、网络机房445 2011 年10月 19日年级、专业、班计科094 学号200910405429 姓名徐章林成绩 实验项目名称求最大公约数指导教师吴霖 教师评语该同学是否了解实验原理： A.了解□ B.基本了解□ C.不了解□ 该同学的实验能力： A.强□ B.中等□ C.差□ 该同学的实验是否达到要求： A.达到□ B.基本达到□ C.未达到□ 实验报告是否规范： A.规范□ B.基本规范□ C.不规范□ 实验过程是否详细记录： A.详细□ B.一般□ C.没有□ 教师签名： 年月日 一、上机目的及内容 1.上机内容 求两个自然数m和n的最大公约数。 2.上机目的 （1）复习数据结构课程的相关知识，实现课程间的平滑过渡； （2）掌握并应用算法的数学分析和后验分析方法； （3）理解这样一个观点：不同的算法能够解决相同的问题，这些算法的解题思路不同，复杂程度不同，解题效率也不同。 二、所用仪器、材料（设备名称、型号、规格等或使用软件） 1台PC及VISUAL C++6.0软件 三、实验原理及基本技术路线图（方框原理图或程序流程图） （1）分解质因数法的流程分析如下图： （2）连续整数检测法流程分析如下图： （3）殴几里德流程分析如下图： 四、实验方法、步骤（或：程序代码或操作过程） /*--------------------用多种方法计算两个数的最大公约数----------------------*/ /*-----------------作者：200910405429--------开发环境：DEV C++----------------*/ #include "stdio.h" #include "conio.h" #include"time.h" /*------------------------以下是分解质因数法--------------------------------*/ int gcd_factor(int a,int b) { int k=1,i,temp; { temp=a; a=b; b=temp; } if(a%b==0) { return b; } else { for(i=2;i