用数学方法寻找飞机残骸
我
们知道，当飞机不幸失事，寻找飞机残骸和黑匣子就
成了当务之急。如果飞机坠入大海，黑匣子藏匿在大海里，那将给搜索工作带来极大的麻烦。
据统计，自1948年至今，全球共有80架航班彻底失踪，就这些飞机最后一次与地面联系的位置来看，它们中近六成消失在海上。毫无异议，这些飞机应该是失事了，只是在茫茫大海中找到残骸的难度太大，导致它们的葬身之地成为永久的谜。
不过，在面对这种困境时，搜救人员可采用统计学上一个叫“贝叶斯”的方法来缩减搜索范围。
小球扔出贝叶斯方法
18世纪40年代，苏格兰著名哲学家休谟提出一个观点，认为人们使用归纳法寻求自然现象之间的因果联系只是人们养成的习惯，并不意味着这里面必定有着因果关系。举个例子，当有人连续100天看到，公鸡一叫，太阳就升起来，就以为太阳是公鸡唤起的；并以归纳法推而论之，公鸡第101天鸣叫，太阳也必定会第101次升起。殊不知，公鸡叫和太
阳升起之间并没有因果关系。比如在阴雨天，任凭公鸡怎么叫，太阳都不会露脸。休谟认为，我们迄今的所有认识都是建立在归纳法基础上的，而“以归纳法来认识世界并不科学”。
一石激起千层浪，他的观点当时在社会上引发很大的争议，也引起了一位业余数学家托马斯·贝叶斯的研究兴趣。
贝叶斯决定使用数学来验证“以归纳法来认识世界是否科学”。他设想了一个思想实验：假想有一张台球桌，以及一颗白球和许多红球。这些球投在桌面，不会弹跳，也无法掉下桌去，只能在桌面有限地滚动。球和球之间也不会相撞。一颗球停在桌面任何位置的概率是均等的。
设想一名助手帮着投球，在实验中，贝叶斯本人则蒙上眼
睛，不能看桌面上的情形。助手先将白球投掷到桌面，接下去投出一颗颗红球，每投一次，就报出红球相对白球的位置，贝叶斯根据听到的情况进行猜测。比如，当助手报出“红球在白球左侧”，贝叶斯会猜测“白球在桌面右侧”。随后助手继续扔红球并报告两球相对位置，贝叶斯继续猜测白球的位置——如果第二个红球落在白球右侧，贝叶斯则会猜测“白球在桌面右侧，但不会处于右侧边缘”。做这个猜测的道理是显然的：如果白球处于桌的右侧边缘，那么白球和右侧桌沿之间的空间已经很小，再塞进一个球的概率是很小的。
这样，相比第一次，贝叶斯对白球位置的猜测更准确了。而台球桌面积有限，随着投出的红球数量增加，白球位置的范围越
用数学方法寻找飞机残骸
吴治华/文
2014年3月8日凌晨，马来西亚航空公司的MH370航班在南海上空神秘消失，直到今天仍然没有找到它的踪迹。
科学人文
来越窄，尽管贝叶斯无法得出白球的具体位置，但由于获得大量新信息，他对于白球位置的判断越来越精准，最后锁定白球最有可能在桌面上的范围。比如，在一个极端的情况下，如果所有红球都落在了白球的左侧，那么他就可以推断，白球位于桌面右侧边缘。
贝叶斯想通过这个思想实验证明，随着获得越来越多的新信息，我们对事实最初的猜测会逐渐得到修正和完善，越来越接近真相——所以休谟的观点不正确，通过归纳是可以认识世界真相的。贝叶斯的结论可以用一个公式来表达：
初始猜想+最新的客观数据=一个新的改进了的猜想。
然后，当又有新数据出现时，我们把上轮“改进了的猜想”当作“初始猜想”，迭代到公式中，形成一个更新的猜想，如此周而复始。这个方法现在被称为“贝叶斯方法”。
正概率和逆概率问题
贝叶斯对数学的最大贡献就是解决了如何计算逆概率问题。而这个逆概率，正是关切搜寻失事飞机的一个重要的数学问题。那么，什么是逆概率？
正概率问题是知道了原因，推测发生某个结果的概率。而逆概率问题则反过来，知道了结果，要倒推原因。如果原因有很多，我们要给出各种原因的概率。比如一个正概率问题是：“假设袋子里面有4个白球，6个黑球，你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大？”如果反过来问：“如果事先不知道袋子里黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取
出来的球的颜色之后，我们对袋
子里面黑白球的比例能做出什么
样的推测？比如说，猜对黑白球
比例的概率有多大？”这就是一
个逆概率问题。
再举一例。小红是一名爱美
的女孩，夏天晴朗的天气都要打
伞。现在正概率问题是：“下雨天
小红打伞的概率有多大？”毫无
疑问，这个概率几乎是100%。而
逆概率问题则是：“如果看到小
红打伞，那么这一天下雨的概率
有多大？”显然，这一天是雨天的
概率不可能是100%，因为那一
天也有可能是夏天里某个晴朗的
日子。
由此可见，正概率跟逆概
率不是一回事。不过，两者是有
联系的，这个联系就是贝叶斯公
式。除了贝叶斯公式，上一小节提
到的贝叶斯方法对于解决逆概率
问题也密切相关。为什么这么说
呢？我们还是以猜黑白球的游戏
为例来说明。
我们先把问题表述得清楚一
点：“假设袋子里,有10个球（6个
黑球，4个白球），分属黑白2种颜
色，但你对黑白球的比例一无所
知。现在，让你连续摸3次，每次
只能摸1个球，那么，你猜对袋中
黑白球比例的概率有多大？”
在摸球之前，让我们先来看
看，黑白两种颜色的10个球可能
有哪些比例。这些可能会出现的
比例是0:10，1:9，2:8，3:7，4:6，
5:5，6:4，7:3，8:2，9:1，10:0，总
共11种可能。因为我们事先对黑
白球的比例一无所知，所以一个
很自然的假设是，每一种比例出
现的概率是均等的。那么，猜对
正确答案6:4的概率只有1/11。
现在，让我们开始摸球。假
设第1次摸到的是1个黑球。摸到
之后，我们就想：袋子里黑球的
数目至少不能少于1。那么，在上
面那些比例中，黑球少于1的比例
就可以排除了。所以，排除0:10。
余下的10种比例，出现的概率还
是均等的，所以现在猜对的概率
是1/10。
若第2次摸到的是1个白球，同样的道理，10:0这个比例予以排除，那么现在猜对的概率上升为1/9。
继续摸。若第3次摸到1个白球，那么，我们由此可推之，袋中白球的数量不能少于2个。黑白球9:1这种情况可予以排除。现在猜对正确答案的概率为1/8……摸的次数越多，猜测越接近真实。但如果只准摸3次，那么我们就只能止于这样一个猜对概率为1/8的结果。尽管离真实的情况还有一段距离，但总比最初1/11的概率更接近于1（概率为1，代表你完全猜对了）。
在现实世界，不确定因素很多，而人类的观察能力是有局限性的，不可能把所有有用的信息都搜集到（就好比猜黑白球的例子中，只允许从袋子中摸3次球），这时就需要大胆猜测。而猜测同样具有不确定性，很可能有多种猜测都能满足目前的观测，但我们可以利用贝叶斯方法不断更新猜测，以求接近真相。
与猜黑白球的游戏类似，飞机失事也是一个典型的逆概率问题。导致飞机失事的因素很多，有恶劣气候、飞机机械故障和飞行员操作失误等等。当问“在恶劣天气下，飞机失事的概率有多
大？”这是一个正概率问题。但
现在，在飞机失事已成铁板钉钉
的事实的情况下，问“有多少概
率是由恶劣气候造成的，有多少
概率是由机械故障引起的？”这
就是一个逆概率问题。我们要做
的，就是找出符合当前情况的最
大可能因素。知道了飞机失事的
最大可能原因，才好缩小搜索范
围。
用贝叶斯方法找到法航447
贝叶斯方法在现实中应用非
常广泛，从经济金融领域到人工
智能，所有需要做出逆概率预测
的地方都可以见到贝叶斯方法的
影子。保险公司用它来设定保险
费率；著名的美国智囊团兰德公
司用它来预测发生核战争的概
率；人工智能专家用它来教机器
人识别图像；在二战期间，英国
数学家图灵用它破获了德国海军
的通讯密码，为奇袭德国潜艇立
下赫赫战功。由于飞机、舰艇的
失事是逆概率问题，所以搜索领
域是贝叶斯方法的强项。
在20世纪60年代，美国数学
家利用贝叶斯方法为美国军方先
后找到了遗失在海底的一枚氢弹
和核潜艇“天蝎号”。在近半个
世纪后，在2011年贝叶斯方法再
次大显身手。这次，它找到了牵
动全球关注、失踪近两年的一架
客机——法航447。
2009年5月31日晚10点，法
航447由巴西里约热内卢起航，
飞往巴黎。凌晨2点，客机不慎钻
进南北半球交界处雷电密集的危
险云层，随后神秘消失。失踪5天
后，飞机碎片在大西洋海面被发
现，但坠毁原因只能等找到黑匣
子才能回答。
你可能认为，找到了碎片就
会很容易找到飞机的其余部分，
但事情并不是那么简单。因为这
段时间里，碎片会随着洋流在海
上漂移。能模拟碎片如何漂移的
软件当然也有，但在这个例子中，
飞机坠毁地点靠近赤道，这里以
涌动的不可预测的洋流著称，尤
其在一年中的五六月。
美、法等国的航空部门联
手，动用了当时最新的技术，然
而在飞机失踪一周后，仅找到少
量残骸碎片和29具遇难者遗体。
由于被圈定的搜索海域广阔，并
且海底地形复杂，此后近两年
的艰苦搜索中，他们竟然再无斩
获。在这种情况下，法国航空事
故 调查局向一群有着丰富搜索经
验的美国统计学家求助。于是，
高级分析师克伦·凯勒带着她的
团队飞抵法国，协同搜索。
他们为此次飞机失事建立一
个数学模型。模型的数学基础就
是贝叶斯方法。它允许你同时评
估各种导致失事的原因的概率，
还可以根据得到的新信息，轻松
改进模型，给出更准确的答案。
法国航空事故 调查局已经做
了大量的工作，手头积累了很多
有关过去航空事故的历史数据和
这次搜索得到的新数据。凯勒和
她的同事仔细查阅了资料，为每 研究人员应用数学方法，在
茫茫大西洋中找到了失踪的法航
447飞机的残骸。
科学人文
文既震惊又痛苦。给了自己科学界的一位朋友，压下自己的成果，再三劝说之下，年轻人的论文一起公开出来。的起源》出版了的崇高荣誉，而那位与他几乎同时提出进化论的年轻人，却被后人不公正地遗忘了这
是科学史上众所周知的一段佳话。话说1836年达尔文环球考察归来后，萌生了进化的思
想；在此后的20多年里，一直在忙于思考和收集资料；那本划时代的巨著《物种的起源》，也才写到一半。一天，一位年轻人寄来一封信。随信附着一篇论文。这位年轻人在论文表述了与他相近的物种进化的思想，请达尔文审稿，并帮忙发表。看到自己准备了20年的理论，竟被人抢在了前头，达尔
一个数据设置了可信度。然后，团队在地图上把搜索海域划分成一个个小格，他们要根据模型，计算每一小块区域可能找到失事飞机的概率。
而为了计算出这些概率，他们首先需要看看导致飞机失事的各种原因。例如，他们评估了发生各种机械故障的原因，并为每一种可能发生的机械故障设定一个概率。然后，他们还查阅了过去飞机失事的历史资料，比如说，他们注意到，飞机失事地点往往跟它们最后一次现身地点很近。他们还要把已搜索过的区域的概率降低。
最后，在综合所有数据之
后，通过模型，他们终于计算得到一张概率分布地图。在图中，哪块海域的概率最大，是一目了然的。搜寻队马上被派往概率最大的海域搜索。
但很遗憾，他们没有发现飞机的踪迹，凯勒和她的团队沮丧地离开了法国。数月之后，法国方面请求他们回去对数据再分析一次。这一次在分析的时候，凯勒和她的同事对当初的一个假设起了疑心。
历史记录表明，在空难中，90%的情况下，黑匣子都会发出信号。但在这次事件中，在失事之后，搜寻队立马赶到飞机最后的现身地点，希望能够听到黑匣
子发出的信号，却一无所获。这使得凯勒把这块已搜索过的海域的概率设得非常低，而这块海域后来发现正是飞机藏身之所在。
是不是黑匣子损坏了，根本就没有发出信号呢？
凯勒把这一新的可能性考虑进去，重新用模型计算，算出概率最高的海域。然后搜寻队再次被派去搜寻，这一次，果然找到了飞机残骸。
飞机残骸和黑匣子找到后，这次空难的谜底也就解开了：空难是因为飞机遇到大西洋上空的恶劣天气，仪表失灵，飞机失去控制所致。而且在坠下来时，偏偏黑匣子也损毁了，没发出信号。
进化论创立者
华莱士
数学的公理化
数学的公理化 十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。 经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的发展，各种几何学的发展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个办法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。 对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。 十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公
理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。 在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进，把度量几何包括在射影几何之中。 十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”，由于基本概念太少而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。 希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。 希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、
高考数学选择题满分答题技巧
高考数学选择题满分答题技巧 前面讲到，高考选择题占高考分数比重十分可观，750分中约有320分为选择题，占总分的45%左右。其中数学选择题的分数为60分，而且单项分数很高，两道选择题的分数等于一道大题的分数。学生的在选择题这类题型上，又普遍失分严重，据不完全统计，400分左右的学生，选择题丢分高达150~240分。500分左右的学生选择题丢分80~150分。所以，一直以来，选择题是拉开同学们分数距离的一条屏障，老师总是利用选择题的特点，让高考的选拔形成梯度。如果选择题不丢分，同学们的总分就可以大幅度的提升，快速跨越当前的局限。 解答高考选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”。我们都会有算错的时候，怎样才不会算错呢？“不算就不会算错” 因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定，重要的是这种解答的思想方式。下面略举数例加以说明： 快速解题思维一、利用题目中的已知条件和选项的特殊性。对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 大家看题目，就可以看到所有选项都是数值。并且这个数值正是我们所求的k1k2的值。这么说来，无论任何情况下，都能满足这个条件。于是我们可以令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为短轴上的一个顶点，那么就极大地简化了计算过程，省去了“标准答案”中提供的设置未知数，产生庞大的计算量。通过特殊图形的构建，就能简化整个计算过程，最终得出选项为B（请大家自行计算）。 例2 △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，B是A和C的等差中项，则a+c与2b的大小关系是 （） A a+c<2b B a+c>2b C a+c≥2b D a+c≤2b 大家看这道题，本题中没有给定三角形的具体形状，故说明任何三角形都可以得出一个唯一选项。所以我们不妨令A=B=C=600，则可排除A、B，再取角A，B，C分别为300，600，900，可排除C，故答案为D。
(完整版)初中数学概念课教学模式的研究
初中数学概念课教学模式的研究 郭耀京、丁振棠、邓振新、邓燕、曾敏芝、高月、王星赞、杨桂春 一、模式研究背景 概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用。是用词或符号来概括事物的本质，是人对客观事物的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。它是数学知识的基石，是数学知识的重要组成部分，人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活．新的数学课程标准指出要让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，而正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提．因此，数学概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。 掌握数学概念是学好数学的基础，是学好定理、公式、法则和数学思想方法的前提，是提高解题能力的关键，是解决例题和练习题的依据。但在传统的数学概念课教学中，老师轻视概念的形成过程，课堂上采用的教学方式一般是学生自己看课本或教师运用讲授法进行讲解，然后学生就做例题和练习题。这种概念课的教学方式，产生的后果是学生对数学概念的感性认识很浅，理解一知半解；学习得到的概念太死板，不能灵活运用到学习中去；学生的学习能力也得不到提升和培养，学习积极性不高。为了突破这个教学难点，改变原来的教学方式，充分发挥学生的主体作用，打造切实可行的高效课堂。 新课程实施以来，我们初中数学学科一直致力于新形势下的课堂教学模式研究，取得了一定成果。结合自身学科特点，吸取先进教学理念，探索适合自身课堂教学的有效模式，真正做到了知识内容问题化、教学过程互动化、活动结论规律化、问题解决书面化、反思简记习惯化、评价方式多样化，从而学生思维的打开、飞跃、完善过程暴露无遗，使课堂教学更有针对性与实效性。 二、基本模式 数学概念教学过程是在教师指导下，调动学生认知结构中的已有感性经验和知识，去感知理解材料，经过思维加工产生认识飞跃(包括概念转变)，最后组织成完整的概念图式的过程。为了使学生掌握概念、发展认识能力，必须扎扎实实地处理好每一个环节。数学概念教学模式为：引入—形成—巩固与深化。（一）、概念的引入 概念的引入是数学概念教学的必经环节，通过这一过程使学生明确：“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备。新课程标准提倡通过主动探究来获取知识，使学生的学习活动不再单纯地依赖于教师的讲授，教师努力成为学习的参与者、协作者、促进者和组织者。因此，在引入过程中教师要积极地为学生创设有利于他们理解数学概念的各种情境，给学生提供广阔的思维空间，让他们逐渐养成主动探究的习惯。一般可采取下述方法： 1.联系概念的现实原理引入新概念。在教学中引导学生观察有关事物、模型、图识等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的。例如：在圆概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，一端固定在图板上，另一端套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出圆的定义。
数学公理化方法
数学公理化方法 在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。 公元前6世纪前后，希腊数学家泰勒斯（Thales)开始了几何命题的证明，开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。毕达哥拉斯学派的欧多克斯于公元前4世纪在处理不可通约量时，建立了一公理为依据的演绎方法。爱奥尼亚学派的芝诺（Zeno）在论辩术中运用了归谬法。伯拉图阐明了许多逻辑原则。亚里士多德在其著作《分析篇》中，对公理方法作了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。 公元前3、4世纪之交，希腊数学家欧几里德在总结前人积累的几何知识基础上，把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，运用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了传世之作《几何原本》，标志着数学领域中公理化方法的诞生。由于《几何原本》在第五公设的陈述和内容上复杂而累赘，引起人们对这一公设本身必要性的怀疑。在此后的2000多年间，人们试图给出一个第五公设的证明，但所有的尝试都失败了。19世纪，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系，创立了非欧几何学。这是公理化方法的进一步发展。 1899年，德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上，著《几何基础》一书，解决了欧氏几何的欠缺，完善了几何公理化方法，创造了全新的形式公理化方法。为了避免在数学中出现悖论，希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性，致使他从事“证明论的研究”，于是希尔伯特又把公理化方法推向一个新阶段，即纯形式化发展阶段，这就产生了纯形式公理化方法。 几何学的公理化，成为其它学科及分支的楷模。相继出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化，相对论公理化，数理逻辑公理化，概率论公理化等。同时，纯形式公理化方法推动了数学基础的研究，并为机算机的广泛应用开阔了前景。
高考数学选择题解题小技巧总结
高考数学选择题解题小技巧总结 1.直接法 就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解 题需要扎实的数学基础。 2.特例法 就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利 用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理， 由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。 3.图解法 就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用 直观几何性质分析，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种 解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解 答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速。 4.验证法 就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在 运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题 速度。 5.筛选法 也叫排除法、淘汰法。就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件 与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行
筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论 的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只 有一个答案正确。 对于数学学科，就具体题目来说的话，选填题大部分是送分，重要的话说三遍，要细心，要细心，要细心!不要出各种低级错误(当 年我在数学和物理上面犯的低级错误简直数不过来)。就往年的情况看，选择题的前面几个就在二次方程、复数、逻辑词、简单的积分、数列、数形结合、立体几何、解析几何、导数、算法这几个方面出题，基本上都没有多大难度。值得注意的是10、11、12三个题，选 择题里面可能拖时间的就在它们当中(一般1-2个，三个题都很难的 我没见过)，这些题考的基本上就是立几、解几、函数性质，关键是 多做题，找手感，而且考试的时候可以考虑代数值进去验算或者强 行构造特殊情况(感觉在教坏学弟。。。不过一定要在考后用正规方 法做一遍，这些题里面的运算思路都是有可能出现在大题当中的)。 填空题情况差不多，这里就不多说了。 学会听课 高二教学速度快、容量大、方法多，同学中会出现听了没办法记，记了来不及听的无所适从现象，但是做好笔记又是不容忽视的重要 环节，那就应该记思路和结论，不要面面俱到，课后再整理笔记。 另外要有效地练习。练习应具有针对性、同步性，如果见题就做， 常常起不到巩固作用;还要学会限时完成，才能提高效率，增强紧迫感，不至于形成拖拉作风;正确对待难题，即使做不出，也应该明确 此刻的收获不一定小，因为实质上已经巩固了相关知识与方法，达 到了一定的目的，不能因此影响信心。遇到困难问题，应先自己思考，实在没有头绪要及时向同学或老师请教，防止问题积累，降低 学习热情。 发展思维 平时教学中，好多同学都是一听就懂，一看就会，但是一做就错。什么原因呢?这是因为没有达到应有的思维层次。由于学习有三个能 力层次：一是“懂”，二是“会”，三是“悟”，因此在复习过程中，应根据加强基础、能力立意的指导思想，以高考中热点、重点
初中数学概念课堂教学设计
专题讲座 初中数学概念课堂教学设计 俞京宁（北京教育学院丰台分院） 学生在数学学习中有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻。许多事实例证了正确地理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用数学知识解决问题的金钥匙。基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效。 一、什么是数学概念？ 概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。 可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容。为什么学生对数学概念的理解总是停留在表层，往往知其然，并不知其所以然？教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题。 二、目前概念教学的现状 数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度。但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式。 案例 1 ：前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长x 。
寻找身体上的数学秘密
寻找身体上的数学“秘密”说课稿 一、说教材 1、说课内容： 本节课的内容是北师大版，小学数学二年级上册，第88、89页，“寻找身体上的数学秘密”。 2、教材简析： 这是一节综合实践课，是在学生已经学过了乘法口诀，用乘法口诀求商和认识长度单位的基础上进行编排的。本次活动的定位是让学生感受到数学好玩。如何才能体现出真的好玩呢？我们想到了人体本身，学生通过动手测量发现人体中存在着许多有趣的数据及彼此的关系，激发学生的兴趣。安排这样的实践活动不仅能加深对米和厘米这两个度量单位的认识，发现人体中的秘密，更重要的是让学生通过实践操作，锻炼和增强学生间的合作与交流意识，引导学生自觉地把所学的数学知识和生活实际相结合，培养学生应用数学知识去解决具体问题的能力。 3、教学目标： （1）认知目标：通过活动，了解人体中的有趣现象，从数学的角度感受人体中的秘密。 （2）能力目标：在获得自己的一拃、一步的长度后，能估测一些物体的长度，培养应用意识和估算意识。 （3）情感目标：通过丰富多彩的活动感受学习数学的乐趣。
4、教学重点、难点： 教学重点：在获得自己的一拃、一步、一庹的长度后，能估测一些物体的长度，培养应用意识和估算意识。 教学难点：通过丰富多彩的活动感受学习数学的乐趣。 5、教具、学具准备： 多媒体课件、软尺、直尺、卷尺、表格等 二、说教法、学法 在教学中，我选择“情境教学法”、“自主实践法”、“合作交流法”，放手让学生自己动手操作、自主探究、小组交流合作，在轻松愉快的学习氛围中获取数学知识。 三、说教学过程 根据教材特点、目标的定位、教法，学法的要求，本节课，我设计了以下5个环节： 1、情境导入，激发兴趣 2、小组合作，探究新知 3 、自读教材，开阔视野 4 、联系生活，灵活运用 5、总结反思，深化认识 第一环节：情境导入，激发兴趣 出示情境图，利用情境图中的问题，组织学生进行验证。同桌相互测量，测量后发现拳头一周和脚长差不多是真的，激发学生进一步探索身体中其他秘密的欲望。
十大高考数学选择题解题技巧
十大2019高考数学选择题解题技巧 高考数学选择题比其他类型题目难度较低，但知识覆盖面广，要求解题熟练、灵活、快速、准确。现总结了高考数学选择题解题技巧，帮助同学们提高答题效率及准确率。1.剔除法：利用已知条件和选项所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 2.特特殊值检验法：对于具有一般性的数学问题，在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 3.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，采用极端性去分析，就能瞬间解决问题。 4.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。 5.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选项代入题干进行验证，从而否定错误选项而得出正确答案的方法。 6.正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选项出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。
7.数形结合法：由题目条件，做出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。 8.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。 9.特征分析法：对题设和选择项的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。 10.估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教
如何进行小学数学概念教学
如何进行小学数学概念教学 小学数学教学过程，就是“概念的教学”。一个数学教师，要把概念教学放到突出地位。小学数学中的一些概念，对小学生来说，由于年龄小，知识不多，生活经验不足，抽象思维能力差，理解起来有一定的困难。因此教师在有关概念的教学过程中，一定要从小学生年龄实际出发，这样才会收到好的教学效果。 一、为学生提供充分的探究空间、创设条件、营造氛围，引导学生自主探究、合作交 流，让学生充分理解数学概念的意义。 1.直观形象地引入概念 数学概念比较抽象，而小学生，特别是低年级小学生，由于年龄、知识和生活的局限，其思维处在具体形象思维为主的阶段。认识一个事物、理解一个数学道理，主要是凭借事物的具体形象。因此，教师在数学概念教学的过程中，一定要做到细心、耐心，尽量从学生日常生活中所熟悉的事物开始引入。这样，学生学起来就有兴趣，思考的积极性就会高。如在教平均数应用题时，我利用铅笔做教具，重温“平均分”的概念。我用9个同样大的小木块摆出三堆，第一堆1块，第二堆2块，第三堆6块，问：“每堆一样多吗？哪堆多？哪堆少？”学生都能正确回答。这时，我又把这三堆木块混到一起，重新平均分三份，每份都是3块，告诉学生“3”这个新得到的数，是这三堆木块的“平均数”。我再演示一遍，要求学生仔细看，用心想：“平均数”是怎样得到的。学生看我把原来的三堆合并起来，变成一堆，再把这堆木块分做3份，每堆正好3块。这个演示过程，既揭示了“平均数”的概念，又有意识地渗透“总数量÷总份数=平均数”的计算方法。然后，又把木块按原来的样子1块，2块、6块地摆好，让学生观察，平均数“3”与原来的数比较大小。学生说，平均数3比原来大的数小，比原来小的数大，这样，学生就形象地理解了“求平均数”这一概念的本质特征。 2、从动手操作中形成概念。 俗话说：“实践出真知，手是脑的老师。”数学源于实践，又服务于实践，在教学中尽量让学生参与动手实践，让学生摸一摸，拼一拼，移一移，折一折，减一减等形式的动手操作活动，获取丰富的感性认识，再经过大脑加工，由表及里，由浅入深，去伪存真地辩论分
北师大版二年级数学上册教案第二课时寻找身体上的数学“秘密”
北师大版二年级数学上册教案第二课时寻找身体上的数学 “秘密”“秘密” 第二课时寻找身体上的数学“秘密” 教学内容： 教材第88、89页。 教学目标： 通过测量头长、一搾长、一步长、两臂平伸的长度等以及测量教室的长宽实际长度活动，加深对厘米、米的认识，巩固在在刻度尺上量物体的方法，进一步建立长度观念。通过对身体各部长度的测量，掌握测量方法的多样性，同时也感受数学与实际生活的密切联系。在生活中培养学生分工合作意识，在于他人的交流过程中，获得良好的情感体验。 教学重难点： 重点：进一步掌握厘米和米的相关知识。 难点：对不同物体进行测量。 教学准备： 卷尺、米尺、线 教学过程： 一、创设情景，导入课堂。 师：同学们，我们身体上有很多数学“秘密”你们知道在哪吗？这节课老师就带领大家一起探究一下我们身上的数学“秘密”，你们愿意吗？（板书课题） 二、动手测量，探究活动。 1、动手测量，初探秘密 师：同学们，你们道吗？我们拳头的一周和我们的脚长差不多，我们一起来验证一下吧，测量之前，老师有个疑惑，你们怎么知道拳头的长度呢？又怎样测量脚的长度呢？ 生1：用线先绕拳头量一周，然后量出这条线的长度就行了。 生2：把脚放在尺子上，从0刻度开始量。 （1）学生动手量一量。 （2）交流汇报。 2、测量小组同学身体各部位的长度。
（1）师先找一学生站在讲台上，教师量这个学生，为接下来小组测量做个示范。 （3）汇报填写表格。 （4）仔细观察，发现规律。 （5）读读课本89页“读一读，讲一讲” 3、测量教室的长和宽。 （1）要从一个墙角量到另一个墙角。 （2）卷尺要拉进，不要弯曲。 （4）汇报交流。 4、说一说我们身体上还有哪些可以作为标尺？ 三、课堂小结。 同学们，这节课你收获了什么？ 教学反思： 注重数学与生活的联系,注重发挥学生的主体作用。通过观察、操作、比较、分析、归纳等一系列活动,使学生主动建构,积极参与知识的形成过程,自己发现规律,并在合作交流中相互补充、修正,获得学习的成功体验。
高考数学选择题的解题技巧精选.
高考数学选择题解题技巧 数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为 （ ） 125 27 . 12536.12554.12581.D C B A 解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于 （ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．16 解析：由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8，两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入，得|AF 1|+|BF 1|＝11，故选A 。 例4、已知log (2)a y ax =-在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．[2，+∞） 解析：∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数，∵ log (2)a y ax =-在[0，1]上是减函数。 ∴a>1，且2-a>0，∴1
小学数学概念教学的策略研究
优化小学数学概念教学的策略研究开题报告 1、课题研究的背景 数学概念是学生数学知识学习的基础，是判断和推理的起点，同时也是培养学生数学能力、发展学生思维的基础。所以，重视概念教学，优化概念教学，是我们每一位数学教师都必须认真深入思考的问题。但现在的数学课堂教学中不可避免地存在这样的一些问题 1、教师对概念教学重要性的认识不足。处理时往往是蜻蜓点水，一带而过。对概念的认识仅仅停留于概念的外显（即定义的描述），而忽略了概念的内涵（即本质属性与特征），较多的是死记硬背、通过习题的反复操练来巩固概念，学生生厌，而且也忽略了学生思维能力的发展。 2、教师对教材的研读和把握不到位。没有真正把握概念的内涵和外延，致使一些概念的外在特征给学生带来了认知上的偏差。 3、孤立地学习数学概念。教师往往执行于教材编排，把一些概念分课时逐一进行教学，殊不知这样的教学方式，会导致学生对一些概念的掌握零零碎碎，缺乏一定的体系，从而使得学生在理解和运用概念上增加障碍，不利于学生的学习。 4、概念与应用脱节。学习概念后需要通过应用环节来巩固概念的理解和内化，但发现有时练习的跟进与针对性不强；还发现学生在应用中，往往会忽略概念的本质属性与特征去推理辨析，把概念给架空了。 5、重视和优化概念教学是数学教师走向智慧型教学的硬功夫和必备能力。引领学生经历从现象到本质的探究过程，促使学生养成研究问题的良好意识和能力。教师也在大量的实践中，深刻洞悉、把握规律，勤于反思、创造性驾驭，不断提升教学智慧。> 因此，优化小学数学概念的教学，对激发学生兴趣，提高课堂效益，培养学生探索创新的能力有不容低估的意义。同时也是提高教师自身素养，提高教学能力，向智慧型教师发展的一个途径，是素质教育背景下有益的探索和创新。 2、研究述评： 在当前的小学数学概念教学中，教师还是比较重视数学概念的引入，而相对比较忽视概念建立和概念巩固的作用和实效，在后两方面也缺乏相应的理性框架和实践的积累。往往重书本，轻实践；重理论轻探索；重计算轻过程等。目前一线教师还缺失对概念的内涵与外延的理解深入，小学数学概念教学还没有做到具体细化到每一个概念的教学，教学实例比较缺乏。这也将是我们希望通过研究以后有所收获的方面。 1、关于概念建立的教学策略。小学生建立数学概念往往有两种基本形式：一是概念形成，二概念的同化。由于小学生的思维特点处于由形象思维向抽象逻辑思维过度的阶段，所以，小学生学习数学概念大多以“概念形成”的形式为主。而数学概念的形成，一般要经过直观感知、建立表象、解释本质属性三个过程。希望通过一些课堂实例的研究，帮助学生建立正确清晰的数学概念。 2、概念巩固的教学策略。随着学习的不断深入，学生掌握的概念不断增加，有些概念的文字表述、内涵会比较相近，学生容易混淆；由于教师没有主动地去创造一些条件，让学生在解决一些实际问题中灵活运用，有的学生常常会在变式题或综合性比较强的问题面前，表现得束手无策；由于概念之间有着必不可少的联系，当学生掌握了一定数量的概念后，教师应该向学生进一步提示概念之间的联系，以帮助学生有条理地、系统地掌握这些概念。这些都迫切需要我们教师这一
北师大版-数学-二年级上册-《寻找身体上的数字“秘密”》精品教案
《寻找身体上的数字“秘密”》精品教案 一课时 教学内容 寻找身体上的数学“秘密”。(教材第88、89页) 教学目标 1. 在活动中发现人的身体上特有的规律。 2. 培养学生估测物体长度的意识和能力,逐步形成一定的技能技巧。 3. 感受用身体的某部分测量物体的普遍性,养成估测意识。 重点难点 重点:在活动中发现人的身体上特有的规律。 难点:养成良好的学习习惯,逐步形成估测技能。 教学教具 课件、尺子。 教学过程 问题情境 师:同学们,你们知道我们的身体上蕴藏着很多的数学“秘密”吗?今天我们就一起来寻找我们身体上的数学“秘密”,你们有兴趣吗? 【设计意图:借助谈话的形式调动学生学习的积极性,以及学生参与活动的兴趣,感受数学就在我们身边。】 自主探究 师:淘气有什么发现呢?我们先一起来看看吧! 课件出示:教材第88页第一幅图。 生:淘气的妈妈告诉他拳头的一周和脚长差不多。 师:这是真的吗?太有趣了,让我们同桌两人为一组,合作测量进行验证吧。 学生合作测量,教师巡视,了解情况,组织学生交流汇报。 师:原来真的是这样的。我们的身体上还有哪些“秘密”是我们以前不知道的?现在我们就一起来测量一下吧。把测量的结果填写在教材第88页表格内。 学生同桌两人为一组,合作测量,完成表格。教师巡视,指导个别有困难的学生。 组织学生交流汇报,师生共同完成表格。
师:通过测量你发现了哪些有趣的“秘密”? 生1:我发现双臂平伸的长度和身高差不多。 生2:我发现一般头长的5倍就等于身高。 生3:我发现腰围是脖子一周长度的2倍。 …… 给学生充分的时间测量、观察思考,发现“秘密”。 师:大家发现的“秘密”还真多啊!现在就读一读教材第89页《我的身体是一把尺子》,读完跟同学说说你知道了什么。 学生自主交流。 师:请借助刚才测量的步长,用步测的方法测量我们教室的长和宽,然后用卷尺测量进行比较。 学生分组合作测量教室的长和宽。教师巡视,了解不同情况。 组织学生交流,汇报比较的结果。 【设计意图:在活动中经历发现身体上秘密的过程,感受估测的价值。】 总结提升 师:我们身体上有许多“尺子”。在测量物体的长度时,我们可以先用我们身上的“尺子”估一估,再选择适当的工具进行测量。 板书设计 教学反思 注重数学与生活的联系,注重发挥学生的主体作用。通过观察、操作、比较、分析、归纳等一系列活动,使学生主动建构,积极参与知识的形成过程,自己发现规律,并在合作交流中相互补充、修正,获得学习的成功体验。 课堂作业新设计 A类 列式计算。
九年级数学公理与定理
2.3公理和定理 一、教学目标： 1、了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解本教科书所使用的定理。 2、通过介绍欧几里得的原本，使学生感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。 二、教学重点、难点： 公理和定理的区别和联系 三、教法：引导发现法 四、教具准备：投影仪 五、教学过程： 一．创设情景 想一想 如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢？ 在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。 公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得将前人积累下来的几何学成果整理在系统的逻辑体系之中。他挑选了一部分不定义的数学名词(称为原名)和一部分公认的真命题(称为公理)作为证实其他命题的起始依据，定义出其他有关的概念，并运用推理的方法，证实了数百个有关的命题，使几何学成为一门具有公理化体系的科学。 二．回顾总结 通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。例如，欧几里得将“两点确定一条直线”，“直角都相等”等五条基本几何事实作为公理。通过推理得到证实的真命题叫做定理。 本教科书选用如下命题作为公理：
此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”，简称为“等量代换”。 三．应用举例 由上面给出的公理，可以证明如下命题的正确性：等角的补角相等。 已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180，∠2+∠4=180。 求证：∠3=∠4 证明：∵∠1+∠3=180，∠2+∠4=180(已知)， ∴∠3=180-∠1，∠4=180-∠2 (等式的性质) ∵∠1=∠2 (已知)， ∴∠3=∠4 (等式的性质)。 这样，我们便可以把上面这个经过证实的命题称作定理了。已经证明的定理可以作为以后推理的依据。 证明一个命题的正确性，要按照“已知”、“求证”、“证明”的顺序和格式写出。其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件(已知)出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论(求证)的过程。四、巩固练习： 课本随堂练习2、习题1、2
(完整版)高考数学选择题的解题技巧
高考数学选择题的解题技巧 解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做． 方法一 直接法 直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择． 例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1 ＝1 3，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n 必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错． 将函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移 m (m >0)个单位、向右平移n (n >0)个单位所得到的图象都与函数y ＝sin(2x ＋π 3)(x ∈R )的图象重 合，则|m －n |的最小值为( ) A.π6 B.5π6 C.π 3 D.2π 3 解析 函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位可得y ＝sin 2(x ＋m )＝sin(2x ＋2m )的图象，向右平移n (n >0)个单位可得y ＝sin 2(x －n )＝sin(2x －2n )的图象．若两图象都与函数 y ＝sin(2x ＋π 3)(x ∈R )的图象重合，则??? 2m ＝π 3＋2k 1π， 2n ＝－π 3 ＋2k 2 π，(k 1 ，k 2 ∈Z )即??? m ＝π 6＋k 1 π， n ＝－π 6＋k 2 π. (k 1， k 2∈Z )所以|m －n |＝|π3＋(k 1－k 2)π|(k 1，k 2∈Z )，当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝π 3 .故选C . 方法二 特例法 特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． 特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略． 小学数学概念的教学方法 吕彬 前言：学习数学，离不开概念，概念是客观事物的特有属性（或叫本质属性）在人们头脑中的反映。无论什么事物，只要我们认识了它的本质属性，就会在自己头脑中产生相应的概念。数学概念就是现实世界中空间形式数量关系及其特有的属性（即本质属性）在人们头脑中的反映。因此，所有数学的内容的展开，都是基于数学概念之上。可以说，数学概念就好比数学的肌体上的细胞。引导学生学好概念是使学生融会贯通地掌握数学基础，理解数学思想，是使学生把知识学好、学活、增强能力、提高数学素养的必由之路。 一、概念教学的重要性 （一）概念具有确定研究对象和任务的作用 小学数学教学大纲明确规定教学内容、目标和任务和作用，因此，重视概念教学，能有效的帮助学生端正学习方向，明确学习任务，使他们在开始学习一门学科时就产生极大的热情，并兴趣盎然地投入到学习中去。 （二）数学中的概念都相互联系，由简到繁自成体系的 数学的概念之间既存在着差异，又相互紧密联系在一起，构织了数学本身严谨的系统。数学的发展又是一个循环往复、螺旋式上升、由简到繁的过程。 （三）概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础 数学的任何对象，都是以该对象的概念为出发点，进而探讨研究对象的判定和性质的。所有定理法则的逻辑推导，都是以相关概念为基础的。 （四）数学概念不仅是建立理论体系的中心环节，同时也是提高解决问题能力的前提许多数学概念不但为学习数学所必需，而且也是解决数学问题、学习其他学科知识、提高文化素质的重要工具。 二、概念的教学阶段 概念教学一般分为“引入”、“形成”、“深化”三个阶段。下面对数学概念的教学阶段进行展开说明。 （一）概念的引入 数学概念是抽象的，因此新概念的引入一定要坚持从学生的认识水平出发，要密切联系生产、生活实际。不同的概念有不同的引入方法。 1．以数学故事引入数学概念 《寻找身体上的数学“秘密”》 梅县区新城中心小学李苑娜一、概述 《寻找身体上的数学“秘密”》是北师大版，小学数学二年级上册，第88、89页数学好玩的内容。本课是一节综合实践课，本课的定位是让学生感受到数学好玩。如何才能体现出真的好玩呢？我们想到了人体本身，学生通过动手测量发现人体中存在着许多有趣的数据及彼此的关系，激发学生的兴趣。安排这样的实践活动不仅能加深对米和厘米这两个度量单位的认识，发现人体中的秘密，更重要的是让学生通过实践操作，锻炼和增强学生间的合作与交流意识，引导学生自觉地把所学的数学知识和生活实际相结合，培养学生应用数学知识去解决具体问题的能力。 二、教学目标： （1）认知目标：通过活动，了解人体中的有趣现象，从数学的角度感受人体中的秘密。 （2）能力目标：在获得自己的一拃、一步的长度后，能估测一些物体的长度，培养应用意识和估算意识。 （3）情感目标：通过丰富多彩的活动感受学习数学的乐趣。三、教学重点、难点： （1）教学重点：在获得自己的一拃、一步、一庹的长度后，能估测一些物体的长度，培养应用意识和估算意识。 （2）教学难点：通过丰富多彩的活动感受学习数学的乐趣。 四、教学资源与教具准备： 多媒体课件、软尺、直尺、卷尺、表格等 五、教学方法的选择和设计 设计本课时力求把新的教学理念融入到课堂教学中，所以整节课我放手让学生自己动手操作、自主探究、小组交流合作，让学生在活动中感知“数学从生活中来，运用到生活中去”。学生在轻松愉快的学习氛围中既获取了数学知识又激发了学习数学的兴趣。 六、教学过程 （1）情境导入，激发兴趣 出示情境图，利用情境图中的问题，组织学生进行验证。同桌相互测量，测量后发现拳头一周和脚长差不多是真的，激发学生进一步探索身体中其他秘密的欲望。 （设计意图：通过这一情境设计，激发学生进一步探索身体中其他秘密的欲望。） （2）小组合作，探究新知 利用学生想进一步探索身体中其他秘密的欲望，引导学生通过小组间的相互测量、分工合作，共同完成测量表格。课改后的课堂很重视合作学习，合作学习是指通过明确的分工合作，共同完成任务的一种方式，合作学习的方式不仅仅是一个认知的过程，也是一个交往的过程和分享的过程。本节课的一项重要活动就是测量，所有的数据都需要学生亲自动手，在这个环节中就需要老师引导学生自觉地把小学数学概念的教学方法
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