2019年湖北省荆门市中考数学试题(word版,带答案)
荆门市2019年初中学业水平考试
数 学
本试卷共6页，24题。全卷满分120分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。 1．2-的倒数的平方是
A ．2
B ．
2
1 C ．2-
D ．2
1-
2．已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒.用科学计数法表示31536000正确的是
A ．6101536.3?
B ．7101536.3?
C ．610536.31?
D ．81031536.0?
3．已知实数x ,y 满足方程组321,2.
x y x y -=??+=?则22
2y x
-的值为
A ．1-
B ．1
C ．3
D ．3-
4．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角 边互相垂直，则1∠的度数是 A ．?95 B ．?100
C ．?105
D ．?110
5．抛物线442
-+-=x x y 与坐标轴的交点个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．不等式组2131
5,3212
3(1)152(1).
x x x x x -+?-≤-?
??-+>--?的解集为 A ．02
1
<<-
x B ．021
≤<-
x
C ．02
1
<≤-
x D ．02
1
≤≤-
x 7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为b a ,.那么方程02=++b ax x 有解的概率是
A ．
2
1 B ．
3
1 C ．
15
8 D ．
36
19 8．欣欣服装店某天用相同的价格)0(>a a 卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是 A ．盈利 B ．亏损
C ．不盈不亏
D ．与售价a 有关
9．如果函数b kx y +=（b k ,是常数）的图象不经过第二象限，那么b k ,应满足的条件是
A ．0≥k 且0≤b
B ．0>k 且0≤b
C ．0≥k 且0 D ．0>k 且0 10．如图，OCB △Rt 的斜边在y 轴上，3=OC ，含?30角的顶点与原点重合，直角顶点C 在第二象限， 将OCB △Rt 绕原点顺时针旋转?120后得到B C O ''△,则B 点的对应点B '的坐标是 A ．)1,3(- B ．)3,1(- C ．)0,2( D ．)0,3( 11．下列运算不正确的是 A ．)1)(1(1+-=--+y x y x xy B ．2222)(2 1 z y x zx yz xy z y x ++=+++++ C ．3322))((y x y xy x y x +=+-+ D ．32233 33) (y xy y x x y x -+-=- 12．如图，ABC △内心为I ,连接AI 并延长交ABC △的 外接圆于D ,则线段DI 与DB 的关系是 A ．DB DI = B ．DB DI > C ．DB DI < D ．不确定 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 13．计算 =-+-?++30827 π30sin 3 21 . 14．已知21,x x 是关于x 的方程 012)13(22=++++k x k x 的两个不相等实数根，且满足 2218)1)(1(k x x =--，则k 的值为 . 15．如图，在平面直角坐标系中，函数)0,0(>>= x k x k y 的图象与等边三角形OAB 的边OA ，AB 分别交于点M ,N ，且MA OM 2=,若3=AB ,那么点N 的横坐标为 . 16．如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AC AB ,边于E D ,,再以点C 为 圆心，CD 长为半径作圆交BC 边于F ,连接F E ,,那么图中阴影部分的面积为 . 17．抛物线c bx ax y ++=2 (c b a ,,为常数）的顶点为P ,且抛物线经过点)0,1(-A ,)0,(m B ， )0,31)(,2(<<<-n m n C .下列结论： ①0>abc ， ②03<+c a ， ③,02)1(>+-b m a ④1-=a 时，存在点P 使PAB △为直角三角形. 其中正确结论的序号为 . 三、解答题：共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（8分） 先化简，再求值： b a b a a b a b a b a b a 343322)(2222÷--+-?-+，其中2,3==b a . 如图，已知平行四边形ABCD 中，132,3,5===AC BC AB . (1)求平行四边形ABCD 的面积； (2)求证：BC BD ⊥. 20.（10分） 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处.为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图.其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据. (1)求条形图中丢失的数据,并写出阅读书册数的众数和中位数； (2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数； (3)若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？ 已知锐角ABC △的外接圆圆心为O ,半径为R . (1)求证： R B AC 2sin =； (2)若ABC △中3,60,45=?=∠?=∠AC B A ,求BC 的长及C sin 的值. 22.（10分） 如图，为了测量一栋楼的高度OE ,小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处,恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （D C B A O ,,,,在同一条直线上）.测得m 2=AC ,m 1.2=BD ,如果小明眼睛距地面高度DG BF ,为m 6.1，试确定楼的高度OE . 为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m （元/公斤）与第x 天之间满足315 (115), 75 (1530). x x m x x +≤≤?=?-+<≤? （x 为正整数）， 销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图所示： 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元. (1)求销售量n 与第x 天之间的函数关系式； (2)求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；（日销售利润=日销售额-日维护费） (3)求日销售利润y 的最大值及相应的x . 24.（12分） 已知抛物线c bx ax y ++=2 顶点)1,2(-，经过点)3,0(，且与直线1-=x y 交于B A ,两点. (1)求抛物线的解析式； (2)若在抛物线上恰好存在三点N M Q ,,,满足S S S S NAB MAB QAB ===△△△，求S 的值； (3)在B A ,之间的抛物线弧上是否存在点P 满足?=∠90APB ？若存在，求点P 的横坐标，若不存在，请说明理由. (坐标平面内两点),(),,(2211y x N y x M 之间的距离2 212 21)()(y y x x MN -+-=） 荆门市2019年初中学业水平考试 数学试题参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A 二、填空题 13.31- 14.1 15. 253+ 16. 432312π-+ 17.②③ 三、解答题 18.解： 原式= ) (34)(3)(222b a ab b a b a ---+ )(34)(2222b a ab b a --+= ) (3) (22 222b a b a -+=, 2, 3==b a Θ，∴原式3 10 )23(3)23(2=-+= . 19.解： (1)作AB CE ⊥,交AB 的延长线于E , 设h CE x BE ==,， 在CEB ?Rt 中：922=+h x ……① 在CEA ?Rt 中：52)5(2 2 =++h x ……② 联立①②解得：5 12 ,59== h x ， ∴平行四边形ABCD 的面积为12=?h AB ； (2)如图：作AB DF ⊥,垂足为F , ADF ?Θ≌BCE ?,5 12 ,516,59====∴DF BF BE AF , 在DFB ?Rt 中： 16)5 16 ()512(22222=+=+=BF DF BD , 4=∴BD ,又5,3==DC BC Θ,BC BD BC BD DC ⊥∴+=222. 20.解： (1)设阅读5册书的人数为x ，由统计图可知： %3012 8612 =+++x ，14=∴x ； ∴阅读书册数的众数是5，中位数是5； (2)阅读5册书的学生人数频率为 20 7 14128614=+++ 该校阅读5册书的学生人数约为 420120020 7 =?（人）； (3)设补查人数为y ,依题意：148612+<++y ，4<∴y ， ∴最多补查了3人. 21.解： (1)连接AO 并延长交圆于D 点，连接CD , AD ∵为直径， ?=∠∴90ACD ,且ADC ABC ∠=∠, 在ACD ?Rt 中：R AC AD AC ADC ABC 2sin sin == ∠=∠, R B AC 2sin =∴ ； (2)由(1)知 R B AC 2sin =，同理可得R A BC C AB 2sin sin == 260sin 3 2=? = ∴R ， 245sin 2sin 2=?=?=∴A R BC ， 如图，作AB CE ⊥,垂足为E , 2260cos 2cos =?=?=∴B BC BE ， 2 6 45cos 3cos =?=?=A AC AE ， 22 26+=+=∴BE AE AB , 4 2 62sin ,sin 2+== ∴?=R AB C C R AB Θ. 22.解： 设E 关于点O 的对称点为M ,由光的反射定律知，延长FA GC ,相交 于M ， 连接GF 并延长交OE 于H , GF Θ∥AC ,MAC ?∴∽MFG ?, MH MO MF MA FG AC ==∴ , 即 BF OE OE OH MO OE MH OE BD AC +=+==, 1 .22 6.1=+∴ OE OE , 32=∴OE . 答：楼的高度OE 为32米. 23.解： (1)当101≤≤x 时，设b kx n +=，由图可知：???+=+=b k b k 103012，解得10,2==b k ， 102+=∴x n ， 同理当1030x <≤时，444.1+-=x n ， 210(110)1.444(1030)x x n x x +≤≤?∴=?-+<≤? ； (2)80-=mn y Θ，(210)(315)80(110) ( 1.444)(315)80(1015)( 1.444)(75)80(1530)x x x y x x x x x x ++-≤≤?? ∴=-++-< 即22266070(110)4.2111580(1015)1.41493220(1530)x x x y x x x x x x ?++≤≤? ∴=-++< ； (3) 当101≤≤x 时，706062 ++=x x y Θ的对称轴是5-=x ， y ∴的最大值是127010=y ， 当1015x <<时，5801112.42 ++-=x x y Θ的对称轴是5.132.134 .8111 <≈= x ， y ∴的最大值是2.131313=y ， 当3015≤≤x 时，32201494.12 +-=x x y Θ的对称轴是308 .2149 >= x ， y ∴的最大值是130015=y ， 综上，草莓销售第13天时，日销售利润y 最大，最大值是2.1313元. 24.解： (1)依题意)0(1)2(2 2 >--=++=a x a c bx ax y ，将点)3,0(代入得： 314=-a ，1=∴a ， ∴函数的解析式为342+-=x x y ； (2) 作直线AB 的平行线l ，当l 与抛物线有两个交点时，由对称性可知：l 位于直线AB 两侧且与l 等距离时，会有四个点符合题意，因 为当l 位于直线 AB 上方时，l 与抛物线总有两个交点N M ,满足 NAB MAB S S ??=， 所以只有当l 位于直线AB 下方且与抛物线只有一个交点Q 时符合题意，此 时QAB ?面积最大； 设)34,(2 +-t t t Q ，作QC ∥y 轴交AB 于)1,(-t t C ， 那么)45(2 3 )]34()1[(23)(2122-+-=+---=-= ?t t t t t x x QC S A B QAB 当25=t 时QAB ?面积最大，最大面积为827，8 27=∴S ； (3)若存在点P 满足条件，设)41)(1)2(,(2 <<--t t t P ， PB PA ⊥Θ,222AB PB PA =+∴, 即18]4)2[()4(]1)2[()1(2 2 2 2 2 2 =--+-+--+-t t t t ， 设)21(2<<-=-m m t ，代入上式得： 18)4()2()1()1(222222=-+-+-++m m m m ， 02424=+--∴m m m ，即0)2()4(22=---m m m ， 0)1)(2(223=-++-∴m m m m ，即0)1)(1)(2(2=-++-m m m m ， 01,02,21>+<-∴<<-m m m Θ，012=-+∴m m , 251+-= ∴m 或12 5 1-<--=m （舍去）， 代入m t =-2得：2 5 3+= t ， 综上所述，存在点P满足条件，点P的横坐标为 25 3 .