圆的切线证明题)
C
E
A
B
O
P
细说如何证明圆的切线
1、证切线---------------90°（垂直）
2、有90°------------------证全等
3、有⊥------------------证∥，错过来
4、利用角+角=90°
关注：等腰（等边）三线合一；中位线；直角三角形
1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，
垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点
E,(1)求证：PB为⊙O的切线；
2 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。
3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.
D
4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，
于点．
（1）求证：是的切线；
5已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．
(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．
(2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．
6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的长；(3)求图中阴影部分的面积．
7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、
B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90?。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
(2) 如果∠ACB=75?，圆O的半径为2，求BD的长。
8、（2011?）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
9 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。
11（7分）（2013?）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
细说如何证明圆的切线
2 已知⊙O 中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。
点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。
证明：连结OD。
∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD
∴∠COB＝∠COD
∵CO为公用边，OD＝OB
∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC
∵BC是切线，AB是直径，
∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，
∴CD是⊙O的切线。
点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。
3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
3(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，
于点．
D
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
（1）证明：，
又，
又于，，
是的切线
4已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．
(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．
(2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．
如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求弦BD的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
5.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90?。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
(2) 如果∠ACB=75?，圆O的半径为2，求BD的长。
6、（2011?）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。
证明：连结OD，则OD⊥CE。
∴∠EDA＋∠ODA＝90°
∵OA⊥OB
∴∠A＋∠P＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA
∵∠EDA＝∠CDP，
∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD
点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。
7（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证:BE是⊙O的切线。
【答案】解：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），
（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，∴
BD DE
AC AB
=。
∵BD=BA =12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13。
∴
12DE
1312
=，解得：
144
DE
13
=。
（3）证明：连接OB，OD，
在△ABO和△DBO中，∵
AB DB
BO BO
OA OD
=
?
?
=
?
?=
?
，
∴△ABO≌△DBO（SSS）。
∴∠DBO=∠ABO。
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC。∴OB∥ED。
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。
8．（7分）（2013?）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
考点：切线的判定与性质；菱形的性质．3481324
分析：（1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠
OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线
平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则
∠BOC=2∠ODC，
由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°
可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可．
解答：（1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，
∵AB与⊙切于A点，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
在△ABC和△CBO中
，
∴△ABC≌△CBO，
∴∠BOC=∠OAC=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；
（2）解：∵△ABC≌△CBO，
∴∠AOB=∠COB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，CB=CD，
∴点O在BD上，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，
而OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠BOC=2∠ODC，
而CB=CD，
∴∠OBC=∠ODC，
∴∠BOC=2∠OBC，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°．
点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．
（19）(08长春中考试题)在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（B）A．B．1 C．2 D．