傅立叶变换在图像处理中的作用
(2011-05-21 20:01:34)
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分类:学习历程
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杂谈
从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字,可以解释为深入的研究。从字面上来看,"分析"二字,实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看,"分析主义"和"还原主义",就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子,而原子不过数百种而已,相对物质世界的无限丰富,这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
在数学领域,也是这样,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类,这一想法跟化学上的原子论想法何其相似!奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇:
1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;
2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).
正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用
傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面,傅立叶的改进算法,
比如离散余弦变换,gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。
印象中,傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用:
1.图像增强与图像去噪
绝大部分噪音都是图像的高频分量,通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量,可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘;
2.图像分割之边缘检测
提取图像高频分量
3.图像特征提取:
形状特征:傅里叶描述子
纹理特征:直接通过傅里叶系数来计算纹理特征
其他特征:将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性
4.图像压缩
可以直接通过傅里叶系数来压缩数据;常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换;
傅立叶变换
傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下,傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象:一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器,每个成分的颜色由波长(或频率)来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜,将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性,对称性(可以用在计算信号的傅里叶变换里面);
时移性:函数在时域中的时移,对应于其在频率域中附加产生的相移,而幅度频谱则保持不变;
频移性:函数在时域中乘以e^jwt,可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理,通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性(将不同的信号调制到不同的频段上同时传输);
卷积定理:时域卷积等于频域乘积;时域乘积等于频域卷积(附加一个系数)。(图像处理里面这个是个重点)
信号在频率域的表现
在频域中,频率越大说明原始信号变化速度越快;频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时,表示直流信号,没有变化。因此,频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分,而低频分量决定信号的整体形象。
在图像处理中,频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度,也就是图像灰度的变化速度,也就是图像的梯度大小。对图像而言,图像的边缘部分是突变部分,变化较快,因此反应在频域上是高频分量;图像的噪声大部分情况下是高频部分;图像平缓变化部分则为低频分量。也就是说,傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像,可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。书面一点说就是,傅里叶变换提供了一条从空域到频率自由转换的途径。对图像处理而言,以下概念非常的重要:
图像高频分量:图像突变部分;在某些情况下指图像边缘信息,某些情况下指噪声,更多是两者的混合;低频分量:图像变化平缓的部分,也就是图像轮廓信息
高通滤波器:让图像使低频分量抑制,高频分量通过
低通滤波器:与高通相反,让图像使高频分量抑制,低频分量通过
带通滤波器:使图像在某一部分的频率信息通过,其他过低或过高都抑制
还有个带阻滤波器,是带通的反。
模板运算与卷积定理
在时域内做模板运算,实际上就是对图像进行卷积。模板运算是图像处理一个很重要的处理过程,很多图像处理过程,比如增强/去噪(这两个分不清楚),边缘检测中普遍用到。根据卷积定理,时域卷积等价与频域乘积。因此,在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。
比如说一个均值模板,其频域响应为一个低通滤波器;在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应作一个低通滤波。
图像去噪
图像去噪就是压制图像的噪音部分。因此,如果噪音是高频额,从频域的角度来看,就是需要用一个低通滤波器对图像进行处理。通过低通滤波器可以抑制图像的高频分量。但是这种情况下常常会造成边缘信息的抑制。常见的去噪模板有均值模板,高斯模板等。这两种滤波器都是在局部区域抑制图像的高频分量,模糊图像边缘的同时也抑制了噪声。还有一种非线性滤波-中值滤波器。中值滤波器对脉冲型噪声有很好的去掉。因为脉冲点都是突变的点,排序以后输出中值,那么那些最大点和最小点就可以去掉了。中值滤波对高斯噪音效果较差。
椒盐噪声:对于椒盐采用中值滤波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果,但是会引起边缘的模糊。
高斯白噪声:白噪音在整个频域的都有分布,好像比较困难。
冈萨雷斯版图像处理P185:算术均值滤波器和几何均值滤波器(尤其是后者)更适合于处理高斯或者均匀的随机噪声。谐波均值滤波器更适合于处理脉冲噪声。
图像增强
有时候感觉图像增强与图像去噪是一对矛盾的过程,图像增强经常是需要增强图像的边缘,以获得更好的显示效果,这就需要增加图像的高频分量。而图像去噪是为了消除图像的噪音,也就是需要抑制高频分量。有时候这两个又是指类似的事情。比如说,消除噪音的同时图像的显示效果显著的提升了,那么,这时候就是同样的意思了。
常见的图像增强方法有对比度拉伸,直方图均衡化,图像锐化等。前面两个是在空域进行基于像素点的变换,后面一个是在频域处理。我理解的锐化就是直接在图像上加上图像高通滤波后的分量,也就是图像的边缘效果。对比度拉伸和直方图均衡化都是为了提高图像的对比度,也就是使图像看起来差异更明显一些,我想,经过这样的处理以后,图像也应该增强了图像的高频分量,使得图像的细节上差异更大。同时也引入了一些噪音。
图像傅立叶变换的物理意义
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。
傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。
傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。
为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实
际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。
另外我还想说明以下几点:
1、图像经过二维傅立叶变换后,其变换系数矩阵表明:
若变换矩阵Fn原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。
2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频,最亮,平移之后中间部分是低频,最亮,亮度大说明低频的能量大(幅角比较大)
大致思路可能是:解析函数属调和函数一部分,而圆盘内调和函数可表示为其圆周上的限制的一个积分,这个地方好象和富变换有些联系。你这个问题很有起发,我也一直想这类问题。拉普拉斯变换的推导途径:
1、从数学角度:通过积分变换进行函数到函数的变换,将微分方程变为代数方程。
2、从物理意义推导:本质上依然是将信号分解为多个正交的子信号的和(积分),或可以从FT推广出。
从傅里叶变换导出拉普拉斯变换,可以更加清晰地解释其物理含义,并且可以将两种变换紧密地联系起来。
拉普拉斯变换提供了一种变换定义域的方法,把定义在时域上的信号(函数)映射到复频域上(要理解这句话,需要了解一下函数空间的概念--我们知道,函数定义了一种“从一个集合的元素到另一个集合的元素”的关系,而两个或以上的函数组合成的集合,就是函数空间,即函数空间也是一个集合;拉普拉斯变换的“定义域”,就是函数空间,可以说,拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数。由于拉普拉斯变换定义得相当巧妙,所以它就具有一些奇特的特质),而且,这是一种一一对应的关系(只要给定复频域的收敛域),故只要给定一个时域函数(信号),它就能通过拉普拉斯变换变换到一个复频域信号(不管这个信号是实信号还是复信号),因而,只要我们对这个复频域信号进行处理,也就相当于对时域信号进行处理(例如设f(t)←→F(s),Re[s]>a,则若我们对F(s)进行时延处理,得到信号F(s-z),Re[s]>a+Re[z],那么就相当于我们给时域函数乘以一个旋转因子e^zt,即
f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z];只要对F(s-z)进行反变换,就可以得到f(t)e^zt)。
拉普拉斯变换被用于求解微分方程,主要是应用拉普拉斯变换的几个性质,使求解微分方程转变为求解代数方程(因为求解代数方程总比求解微分方程容易得多!而且,(可以很方便地)对求解结果进行拉普拉斯反变换从而得到原微分方程的解)。
我们总可以容易地画出实变函数的图像(绝大多数函数的确如此),但我们难以画出一个复变函数的图象,这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一;而另外一个原因,就是拉普拉斯变换中的复频率s没有明确的物理意义。
关于特征根和复数,建议提问者再去看看书中的定义,应该不难理解。
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示例图像用32*32像素,16色灰度
问题补充:
void Fft(char d1[][32],char f[][32],char fi[][32]) { int i,j,x,y; char t; for(i=0;i<32;i++) { for(j=0;j<32;i++) { t=pow(-1,i+j)*d1[i][j];
for(x=0;x<32;i++) { for(y=0;y<32;i++)
{ f[i][j]+=t*cos((2*pi*i*x+2*pi*j*y)/32);
fi[i][j]+=t*sin((2*pi*i*x+2*pi*j*y)/32); } }
d1[i][j]=sqrt(pow(f[i][j],2)+pow(fi[i][j],2));
putpixel(j,i,d1[i][j]); } } } void lowpass(char f[][32],char fi[][32]) { int i,j,dx; int d0=5; for(i=0;i<32;i++) { for(j=0;j<32;i++)
{ dx=sqrt(pow(i-16,2)+pow(j-16,2)); if(dx>d0) { f[i][j]=0;
fi[i][j]=0; } } } }
原文地址:https://www.wendangku.net/doc/ef17925205.html,/share/detail/859679尊重原作,嘿嘿
实验四 图像的傅立叶变换与频域滤波 一、 实验目的 1了解图像变换的意义和手段; 2熟悉傅里叶变换的基本性质; 3熟练掌握FFT 方法的应用; 4通过实验了解二维频谱的分布特点; 5通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。 6、掌握怎样利用傅立叶变换进行频域滤波 7、掌握频域滤波的概念及方法 8、熟练掌握频域空间的各类滤波器 9、利用MATLAB 程序进行频域滤波 二、 实验原理 1应用傅立叶变换进行图像处理 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具,它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能,将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说,把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。 2傅立叶(Fourier )变换的定义 对于二维信号,二维Fourier 变换定义为 : ??∞ ∞ -+-==dxdy e y x f v u F y x f F vy ux j )(2),(),()},({π
二维离散傅立叶变换为: ∑ ∑-=+--==10)(21 01 ),(),(N y N y u M x u j M x MN e y x f v u F π 图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样,有快速算法,具体参见参考书目,有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。实际上,现在有实现傅立叶变换的芯片,可以实时实现傅立叶变换。 3利用MATLAB 软件实现数字图像傅立叶变换的程序: I=imread(‘原图像名.gif’); %读入原图像文件 imshow(I); %显示原图像 fftI=fft2(I); %二维离散傅立叶变换 sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心 RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部 II=imag(sfftI); %取傅立叶变换的虚部 A=sqrt(RR.^2+II.^2);%计算频谱幅值 A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225; %归一化 figure; %设定窗口 imshow(A); %显示原图像的频谱 域滤波分为低通滤波和高通滤波两类,对应的滤波器分别为低通滤波器和 高通滤波器。频域低通过滤的基本思想: G(u,v)=F(u,v)H(u,v) F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式,H(u,v)是选取的一个低通过滤
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割,每一部分只是一个时间点对应一个信号值,一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后,其实还是个叠加问题,只不过是从频率的角度去叠加,只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值(或频率值),我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也
傅里叶变换图像压缩
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DSP实验进度汇报 组员:汪张扬、任艳波、陈雪松、谢聪、沈旭 任务分配:汪张扬由于考G,上周没有任务,沈旭负责自制二值图像的处理,陈雪松和谢聪负责其他图片的处理,任艳波负责搜集图像压缩评价的相关材料 以下为简要概括: 读入图像进行傅里叶变换和压缩 原始程序: a=imread('d:\1.jpg');b=figure;imshow(a);title('原始图像'); F=fft2(a); F_mm=abs(F);figure;imshow(F);title('原始幅度谱'); Fshift=fftshift(F); F_m=abs(Fshift);figure;imshow(F_m);title('幅度谱'); F_p=angle(Fshift);figure;imshow(F_p);title('相位谱'); T=@fft2; B1=blkproc(a,[8 8],T);%将图像分块为8×8矩阵进行处理 figure; imshow(a); title('原始图像'); mask=[100 000 00 0 10 0 0 0 0 0 00 1 000 0 0 00 0 1 000 0 000 0 0000 0 000 0 1 0 0 0 0 0 000 1 0 00 0 0 00 01];%与该矩阵相乘去掉中间行,即高频部分 B2=blkproc(B1,[88],'P1*x',mask); fun=@ifft2; F3=blkproc(B2,[88],fun); F=mat2gray(F3); figure; imshow(F); title('压缩87.5%的图像'); 刚开始的原始图像:
写在最前面:本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得,绝大部分内容非我所原创。在此向多位原创作者致敬!!! 为什么要进行傅立叶变换?傅立叶变换究竟有何意义?如何用Matlab实现快速傅立叶变换?来源:张宗帅.docx的日志 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换,虽然是英文文档,我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容,看了有茅塞顿开的感觉,在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享,希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发,这电子书籍是免费的,有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下,URL地址是: https://www.wendangku.net/doc/ef17925205.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换,确实需要一定的耐心,别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换?傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅立叶的工作,幸运的是,傅立叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
Matlab数字图像处理实验指导 实验目的: 通过实验,深入理解和掌握图像处理的基本技术,提高动手实践能力。 实验环境: Matlab变成 实验一图像的几何变换 实验内容:设计一个程序,能够实现图像的各种几何变换。 实验要求:读入图像,打开图像,实现图像的平移变换、比例缩放、转置变换、镜像变换、旋转变换等操作。 实验原理: 图像几何变换又称为图像空间变换,它将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置。学习几何变换的关键就是要确定这种空间映射关系,以及映射过程中的变化参数。 几何变换不改变图像的像素值,只是在图像平面上进行像素的重新安排。一个几何变换需要两部分运算:首先是空间变换所需的运算,如平移、镜像和旋转等,需要用它来表示输出图像与输入图像之间的(像素)映射关系;此外,还需要使用灰度插值算法,因为按照这种变换关系进行计算,输出图像的像素可能被映射到输入图像的非整数坐标上。 设原图像f(x0,y0)经过几何变换产生的目标图像为g(x1,y1),则该空间变换(映射)关系可表示为: x1=s(x0,y0) y1=t(x0,y0) 其中,s(x0,y0)和t(x0,y0)为由f(x0,y0)到g(x1,y1)的坐标换变换函数。 一、图像平移 图像平移就是将图像中所有的点按照指定的平移量水平或者垂直移动。
二、图像镜像 镜像变换又分为水平镜像和垂直镜像。水平镜像即将图像左半部分和右半部分以图像竖直中轴线为中心轴进行对换;而竖直镜像则是将图像上半部分和下半部分以图像水平中轴线为中心轴进行对换。 三、图像转置 图像转置是将图像像素的x坐标和y坐标呼唤。图像的大小会随之改变——高度和宽度将呼唤。
傅里叶变换在信号处理中的应用 姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013 摘要: 傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究,采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点,虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法,但是不得不承认,在此领域中,傅里叶变换分析始终有着广泛的应用,通过傅里叶变换实现信号的滤波,调制,抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频,实现频谱搬移,减少马间串扰,提高抗噪声新能,有利于信号的远距离传输,另外,对信号采样可以使连续信号离散化,有利于用计算机对信号进行处理,总之,傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。 关键词: 傅里叶变换,时域,频域,信号处理,信息科学与技术,滤波,调制,抽样。 一傅里叶变换 1.定义 f(t)是t的函数,如果t满足狄里赫莱条件:具有有限个间断点;具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换, ②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数,f(t)叫做 F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。 ① 傅里叶变换 傅里叶逆变换 2.分类 连续傅立叶变换:一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = \mathcal^[F(ω)] = \frac{\sqrt{2π}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(ω)e^{iωt}\,dω.
傅里叶变换在图像处理中的作用 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰 注: 1、图像经过二维傅立叶变换后,其变换系数矩阵表明: 若变换矩阵Fn原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频,最亮,平移之后中间部分是低频,最亮,亮度大说明低频的能量大(幅角比较大) 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面,傅立叶的改进算法, 比如离散余弦变换,gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中,傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用: 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量,通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量,可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘; 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量
傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念:编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著,机械工业出版社2012年发行。 定义 f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个周期内具有有限个间断点,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅里叶变换, ②式的积分运算叫做F(ω)的傅里叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数,f(t)叫做 F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译
名,常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见,本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小)。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; *卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性,是指两函数的线性组合的傅里叶变换,等于
数字图像的傅里叶变换 一. 课程设计目的 (1)了解图像变换的意义和手段 (2)熟悉傅里叶变换的基本性质 (3)热练掌握FFT的方法反应用 (4)通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅里叶变换 二.课程设计要求 (1)熟悉并掌握傅立叶变换 (2)了解傅立叶变换在图像处理中的应用 (3)通过实验了解二维频谱的分布特点 (4)用MATLAB实现傅立叶变换仿真 三.设计思路 1.相关知识原理 (1)应用傅里叶变换进行数字图像处理 数字图像处理(digital image processing)是用计算机对图像信息进行处理的一门技术,使利用计算机对图像进行各种处理的技术和方法。 20世纪20年代,图像处理首次得到应用。20世纪60年代中期,随电子计算机的发展得到普遍应用。60年代末,图像处理技术不断完善,逐渐成为一个新兴的学科。利用数字图像处理主要是为了修改图形,改善图像质量,或是从图像中提起有效信息,还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩,便于传输和保存。数字图像处理主要研究以下内容:傅立叶变换、小波变换等各种图像变换;对图像进行编码和压缩;采用各种方法对图像进行复原和增强;对图像进行分割、描述和识别等。随着技术的发展,数字图像处理主要应用于通讯技术、宇宙探索遥感技术和生物工程等领域。 傅里叶变换在数字图像处理中广泛用于频谱分析,傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具,它使我们能够定量地分析诸如数字化系统,采样点,电子放大器,卷积滤波器,噪声,显示点等地作用(效应)。傅里叶变换(FT)是数字图像处理技术的基础,其通过在时空域和频率域来回切换图像,对图像的信息特
Matlab中快速傅里叶变换FFT结果的物理意义 FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后,就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外,FFT可以将一个信号的频谱提取出来,这在频谱分析方面也是经常用的。 虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去做,但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。 现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍,这些我就不在此啰嗦了。 采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。N个采样点,经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算,通常N取2的整数次方。 假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点,(1/fs*n=t)刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz(fs/n即频域两点间距)。如果要提高频率分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。 假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果,就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为:An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性,通常我们只使用前半部分的结果,即小于采样频率一半的结果。 下面以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号,它含有2V的直流分量,频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V 的交流信号,以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下: S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos参数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样,总共采样256点。按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道,每两个点之间的间距就是1Hz,第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率:0Hz、50Hz、75Hz,应该分别在第1个点、第50个点、第76个点上出现峰值,其它各点应该接近0。实际情况如何呢?我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
快速傅里叶变换地现实作用 (快速傅里叶变换)是数字信号处理地经典算法,学过或者芯片设计地人大多知道这个算法.但是,大家是否想过,为什么数字信号处理会有那么多呢?有人会说,为了分析信号地频谱.那么下边地问题就是,分析频谱对我们地日常需求,比如手机打电话,雷达测量速度和方向等等一些与实际需求有什么联系?为什么如此重要?本文举一些简明地例子,阐释一下到底有什么用. 先回忆一下是什么.上世纪年代之前,我们主要通过模拟电路来进行信号处理,比如大家熟悉地用二极管和电容进行调制信号地包络检波一样,随着数字系统地普及,我们可以用处理器或者数字电路更为精确地处理信号,比如我们做检波,实际上可以用载波把信号混频(与余弦函数做乘法),再进行低通滤波,那么这个过程可以用数字电路地乘法器和滤波器来做,比二极管和电容构成地低通滤波器阶数高地多,性能自然更为理想,同时,由于数字电路易于做成集成电路,因此我们更多地是将原先地模拟信号(比如麦克风地音频)通过模拟数字转换器,转换为数字值后进行处理.这样地系统有几个问题,一个是信号需要被采样,其次是信号被分成若干量阶.信号被采样,也就意味着我们得到地不是原先地连续地信号了,而是一个离散地一些采集地样点.那么对时域信号进行采样,必然造成频谱地周期化,如果原先频谱仅限于有限地带宽,那么周期化之后,只要周期大于原先地带宽,那么实际上没有混叠失真.而数字电路限制我们只能进行乘加
等二进制域地计算,获得另一些离散地点,因此我们不得不将频谱也进行“采样”,频域地抽样导致时域上又周期化了,好在如果我们只取有限地长度,可以假定没采集地部分进行地是周期化延拓(由于平稳系统认为信号可以分解为正余弦函数地组合,而正余弦函数是可以周期延拓地,所以这个假设没有问题),那么我们得到了时域和频域都是离散地周期延拓地点集.既然是周期延拓地,那么延拓地部分和主值区间(靠近地那个周期)是重复地数值,因此我们只保留主值区间地部分,这样地时域点集到频域点集地变换关系叫离散傅里叶变换().然而它地运算过于复杂,因此库里和图基(, )两人力图化简它,找到了这个算法地一些内在运算规律,得到地运算量由原来地平方级降为级,这个算法就叫按时间抽取快速傅里叶变换,桑德和图基研究按频率抽取也可以得到类似地低复杂度算法,这类算法统称快速傅里叶变换(),地计算结果和是完全等价地,只是运算量降低了.又由于时频变换能量不变(定理),所以频域地绝对数值没有意义了,只要获得相对数值即可,因此数字系统中地量化阶数以及数字系统溢出后地缩放调整对地计算结果影响仅在于精度,而不是对错,从而,正好满足数字系统可以处理地前提,同时运算复杂度不高,因此获得了广泛地应用.那么,模拟系统能不能做类似地呢?可以,构造与频点数量相同个数地带通滤波器,组成一个阵列,信号进入这个带通滤波器组,每个滤波器只保留了相应频点为中心地类似于地频响函数,那么就可以得到地结果.当然,这个代价不是一般地系统可以负担地.所以,在没有数字电路普及地年代里,基本是数学算法,是不可实现地.
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 傅里叶变换属于谐波分析。 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 1、为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么? 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。 因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 2、图像傅立叶变换的物理意义 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区
图像的傅里叶变换
成绩 实验论文 题目:图像的傅里叶变换 学生姓名:代朋车 学生学号:1114020207 系别:电气信息工程学院 专业:电子信息工程 年级:2011级 任课教师:沈晓波
电气信息工程学院制 2013年12月 图像的傅里叶变换 学生:代朋车 任课教师:沈晓波 电气信息工程学院 电子信息工程 1实验题目 图像的傅里叶变换 2实验对象 声音信号(自己的声音)/图像信号(自选)/自定义时域信号 3 实验任务 (1) 自行录制一段自己的语音或下载一段音乐,完成FFT 运算,具体参数自行规 定 基本要求:显示原语音信号图像、FFT 频谱,要求以上图像显示在同一个fig ,最终还原语音信号。 (2) 自行下载一幅图,格式不限,完成FFT 运算,具体参数可自行设定。 基本要求:显示原点在中心位置,画出幅度谱、相位谱能量或功率谱、虚部、实部,最终还原图像信号,要求以上图像显示在同一个fig 。 4 实验原理 4.1理论基础 连续傅里叶变换的定义:函数f(x)的一维连续傅里叶变换由下式定义: 2()()j ux F u f x e dx π∞ --∞=? 式中, 21J =-。 F(u)的傅里叶反变换定义为: 2()()j ux f x F u e du π∞ -∞==? 这里f(x)是实函数,它的傅里叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、
能量和相位分别表示如下:
所示。F(u)傅里叶频谱、相位谱和能量谱分别表示如下; F(u)=R(u)+jI(u) 傅里叶频谱 )()(R |F |22u I u u +=)( 相位谱 )(/)(arctan u R u I u =)(φ 能量谱 )()(|)(|222u I u R u F u +==E ) ( 同连续函数的傅里叶变换一样,离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形,其二维离散傅里叶变换定义为: F(u,v)=∑∑==+1-N 0x 1-N 0y vy )/N (ux j2y)e F(x ,1πN 式中,u=0,1,2,…,N-1, v=0,1,2,…,N-1。二维离散傅里叶反变换定义为: F(x,y)=∑∑-=-=+101 0/)(2),(1N u N v N vy ux j e v u F N π 式中,x=0,1,2,…,N-1, y=0,1,2,…,N-1,u,v 是频率变量。与一维情况一样,二维函数的离散傅里叶频谱、相位谱和能量谱为: 傅里叶频谱 F(u,v)=),(),(22v u I v u R + 相位谱 ),(/),(arctan ,v u R v u I v u =)(φ 能量谱 ),(),(|),(|,222v u I v u R v u F v u +==E ) ( 4.2设计方案 4.2.1对音频进行FFT 运算 clear all; fs=8000; x1=wavread('安妮的仙境.wav'); t=(0:length(x1)-1)/8000; subplot(1,2,1); plot(t,x1) grid on;axis tight; title('原始语音信号'); xlabel('time(s)'); ylabel('幅度'); y1=fft(x1,2048); f=fs*(0:1023)/2048; %对信号做2048点FFT 变换 subplot(1,2,2);
图像傅里叶变换 冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象:一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器,每个成分的颜色由波长(或频率)来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜,将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是:任何信号(如图像信号)都可以表示成一系列正弦信号的叠加,在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码:频率f、幅值A、相位γ这 三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节,例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude(amplitude)sin函数的幅值用于描述对比度,或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。(一个负幅值表示一个对比逆转,即明暗交换。) 3.相位表示相对于原始波形,这个波形的偏移量(左or右)。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码,他们的频率从0开始(即没有调整,相位为0,平均亮度处),到尼奎斯特频率(即数字图像中可被编码的最高频率,它和像素大小、resolution有关)。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码:一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值,峰值高度等于对应的振幅amplitude,或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。
实验三 图像的傅里叶变换 一、 实验目的 1.了解图像变换的意义和手段; 2.掌握FFT 变换方法及应用; 3.通过实验了解二维频谱的分布特点; 4.通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。 二、 实验原理 1 应用傅立叶变换进行图像处理 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具,它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、 电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能,将有助于解决 大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说,把时间用在 学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。 2 傅立叶(Fourier )变换的定义 对于二维信号,二维Fourier 变换定义为: 2()(,)(,)j ux uy F u v f x y e dxdy π∞∞ -+-∞-∞= ?? 逆变换: 2()(,)(,)j ux uy f x y F u v e dudv π∞∞ +-∞-∞= ?? 二维离散傅立叶变换为: 11 2()00 1(,)(,)i k N N j m n N N i k F m n f i k e N π---+===∑∑ 逆变换: 11 2()00 1(,)(,)i k N N j m n N N m n f i k F m n e N π--+===∑∑ 三、 实验步骤及结果 步骤: 1将图像内容读入内存; 2用Fourier 变换算法,对图像作二维Fourier 变换; 3将其幅度谱进行搬移,在图像中心显示; 4用Fourier 系数的幅度进行Fourier 反变换;
5用Fourier系数的相位进行Fourier反变换; 6比较4、5的结果,评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。 7记录和整理实验报告。 结果: 四、程序源代码 clear; I=imread('1.gif'); I=rgb2gray(I); subplot(3,3,1); imshow(I); title('1.gif'); E=fft2(double(I)); sfftI=fftshift(E); %正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称RR=real(sfftI); II=imag(sfftI); A=sqrt(RR.^2+II.^2); A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225 ; subplot(3,3,2);
龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/ef17925205.html, 快速傅里叶变换算法(FFT)在无线通信系统正交频分复用(OFDM)结构中的重要作用 作者:郑严 来源:《数字化用户》2014年第02期 【摘要】OFDM(正交频分复用)技术是无线通信系统中应用非常广泛的技术之一,由于其高频谱效率、低信噪比、链路独立调制等优秀的特点,OFDM在第三代无线通信中也将得到非常广泛的应用。OFDM技术采取了多载波调制的思想,将高速数据信号转换成并行的低速子数据流,调制到自信道上进行传输。为了减小信道带宽,正交频分复用技术必须采取傅里叶变换的算法实现各子载波之间相互正交,本文对傅里叶变换算法在正交频分复用复用技术上的应用做了较为详细的描述。 【关键词】正交频分复用傅里叶变换 OFDM(正交频分复用)技术已经发展了几十年,然而近几年这项技术被广泛的应用到现代通信系统中,如移动无线FM信道,高比特率数字用户线系统(HDSL),不对称数字用户线系统(ADSL),数字音频广播(DBA)系统等。IEEE802.11a通过了一个SGHz的无线局 域网标准,其中OFDM调制技术被采用为物理层标准,使得传输速率可达54Mbps。欧洲电信组织(ETsl)的快带射频接入网的局域网标准也把OFDM定为它的调制标准技术。拥有我国 自主知识产权的3G标准——TD-SCDMA提出的B3G/4G的目标是在高速移动环境下支持高达100Mb/s的下行数据传输速率,在室内和静止环境下支持高达1Gb/s的下行数据传输速率,而OFDM技术也将扮演重要的角色。 一个典型的OFDM系统如下图中所示,图一、图二分别为OFDM系统的发送端和接收端。在发送端,数据流先经过一个调制器进行QPSK或QAM的调制编码,然后经过一个快速傅里叶逆变换(IFFT)算法之后把数据变成多个相互正交的子载波,最后通过数模变换之后数据就成为基带信号可以发送了。接受端则是发送端的相反过程,值得注意的是,此时使用的是快速傅里叶变换(FFT),而发送端使用的是逆向的傅里叶变换。 IFFT是OFDM调制过程中最重要的一个步骤,每个IFFT输出的数据符号都是由所有子载波信号经过叠加而生成的,即对连续的多个经过调制的子载波的叠加信号进行抽样得到的。IFFT和FFT并不是信号在时域与频域中的转换过程,而仅仅代表了一种算法,通过这种算法,将OFDM数据中的每个子载波相互的正交起来,已达到在传输过程中,因为正交而相互独立传输的目的。
傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用 王家硕 学号:1252015 一、 Fourier 变换 1. 一维连续傅里叶变换 设 f (x)为x 的实变函数,如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件: (1)具有有限个间隔点。 (2)具有有限个极点。 (3)绝对可积。 则 f (x )的傅里叶变换(Fourier Transformation ,FT )定义为: Fourier 正变换:dt e t f t f f F t j ? +∞ ∞ --==ωω)()]([)(; Fourier 逆变换:ωωπ ωd e f t F f t f t j ? ∞ +∞ ---= =)(21)]([)(1 , 式中:1-= j ,ω 为频域变量。 f (x )与F (w )构成傅里叶变换对,可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数,则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数,于是F (w )可写成 F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1) 式中:R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式: 式中: F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱,f (w )为f (x )的相位谱。 2. 二维连续傅里叶变换 如果二维函数f (x , y )是连续可积的,即∞? +∞ ∞ -dxdy y x f |),(,且F (u , v )是可积的, 则二维连续傅里叶变换对可表示为: dt e y x f v u F t j ? ?+∞ ∞ --+∞∞ -= ω),(),( dt e v u F y x F t j ? ? ∞ +∞ -∞ +∞ -= ω),(),( 对于图像 f (x, y),F(u, v)是它的频谱。变量u 是对应于x 轴的空间频率,变量v 是 对应于y 轴的空间频率,与在一维的情况类似,可定义二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱为:
图像的傅立叶变换数字图像处理实验报告
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计算机与信息工程学院验证性实验报告 专业:通信工程 年级/班级:2011级 2013—2014学年第一学期 课程名称 数字图像处理 指导教师 段新涛 本组成员 学号姓名 实验地点 计科楼111 实验时间 周五5-6节 项目名称 图像的傅立叶变换 实验类型 验证性 一、实验目的 1了解图像变换的意义和手段; 2熟悉傅立叶变换的基本性质; 3熟练掌握FFT 变换方法及应用; 4通过实验了解二维频谱的分布特点; 5通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。 6评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。 二、实验原理 1 应用傅立叶变换进行图像处理 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具,它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能,将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说,把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。 2 傅立叶(Fourier )变换的定义 对于二维信号,二维Fourier 变换定义为: 2()(,)(,)j ux uy F u v f x y e dxdy π∞∞ -+-∞-∞= ?? 逆变换: 2()(,)(,)j ux uy f x y F u v e dudv π∞∞ +-∞-∞= ?? 二维离散傅立叶变换为: 112()00 1(,)(,)i k N N j m n N N i k F m n f i k e N π---+===∑∑ 逆变换: 112()001(,)(,)i k N N j m n N N m n f i k F m n e N π--+===∑∑