应用泛函分析复习主要内容及习题解答
《应用泛函分析》复习与总结
第一部分空间及其性质
泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分.空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间,函数空间,向量空间等,也包括空间的性质,例如完备性,紧性,线性性质,空间中集合的各种性质等等。以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间
（1）距离空间（集合+距离）
！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i)【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii)【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；
(iii)【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。
距离空间的典型代表：所有的赋范线性空间、所有的内积空间。（2）赋范线性空间（线性空间+范数）
！验证范数的三个条件：(,||||)X ?称为是赋范线性空间，如果X 是数域F 上的线性空间，对于F a ∈和,x y X ∈，成立
(i)【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】；(ii)【齐次性】||||||||||ax a x =?；
(iii)【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。
赋范线性空间的典型代表：n R 空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L a b 空间（1p ≤≤∞）、[,]C a b 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。
（3）内积空间（线性空间+内积）
！验证内积的四个条件：(,(,))X ??称为是内积空间，如果X 是数域F 上的线性空间，
对于F a ∈和,,x y z X ∈，成立
(i)【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii)【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii)【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv)【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。
内积空间的典型代表：n R 、2l 空间、2([,])L a b 空间。注.
1)从概念的外延来理解,有如下的关系:
{内积空间}?{赋范线性空间}?{距离空间}.
2)内积可导出范数,范数可导出距离,反之未必.例如在赋范线性空间中,如果范数满足平行四边形公式,则由范数可以定义内积.
3)在距离空间中，0k x x ρ
??
→?0(,)0k x x ρ→，当k →∞；赋范线性空间中，||||
0k x x ???
→?0||||0k x x -→，当k →∞；内积空间中，||||
0k x x ???
→?00(,)0k k x x x x --→，当k →∞.重点.！要求会验证距离,范数和内积.
二．完备性，稠密性，可分性（1）！完备性
距离的完备性是指“空间中的任何基本列都是收敛的”
具有完备性的距离空间称为完备距离空间；完备的赋范线性空间称为Banach 空间；完备的内积性空间称为Hilbert 空间.
重点.验证一个距离是否完备是泛函分析基本的技能。注.
距离空间的*完备化不是本课程的重点.（2）稠密性
若A B ?,则称A 在B 中稠密.当A B ?时,也称A 是B 的稠密子集.关于A 在B 中稠密的等价命题:
A 在
B 中稠密?y B ?∈,存在n x A ∈,使得n x y ρ
??
→;（3）！可分性
如果B 有可数的稠密子集A ,则称B 具有可分性.类似地可以定义可分的距离空间,可分的赋范线性空间,可分的内积空间等.不具有可分性的空间B 称为不可分空间.可分空间的典型代表：n R 空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤<∞）、([,])p L a b 空间（1p ≤<∞）、[,]C a b 空间、[,]k C a b 空间.不可分空间的典型代表：l ∞空间、([,])L a b ∞空间.
重点.要求会找出具体的可分空间中可数稠子集.掌握不可分空间的证明方法.
！不可分空间的证明方法:如果空间X 中含有一个不可数子集A ,且其中任何两个不同点之间的距离大等于一个确定的正数,则X 是不可分的.（例如l ∞中这样的集合是分量为零和1的无穷维向量全体；([,])L a b ∞中这样的集合是[,]a t 上的集特征函数全体）三空间中的集合
（1）开集、闭集、有界集、无界集；（2）内积空间中的正交集，！正交基.（3）有限维赋范线性空间的性质：
1.有界集即列紧集；
2.有限维赋范线性空间中任何两个范数都是等价的。
四具体的空间
已经学过的具体空间有：◆n R 空间（1,2,3,n =L ）;◆p l 空间（1p ≤≤∞）;◆([,])p L a b 空间（1p ≤≤∞）;◆[,]C a b 空间;◆[,]k C a b 空间。注.
1.要求掌握每个具体空间中收敛的含义；(例如有限维赋范线性空间中点列按范数
收敛意味着每个分量收敛、[,]C a b 点列的收敛意味着函数列的一致收敛等等)。
2.！要求掌握具体空间中距离或范数完备性的证明方法；（([,])p L a b 的完备性证明不作要求）
3.会用Holder 不等式、Minkowski 不等式、Cauchy 不等式等；
5.具体空间的共轭空间，仅限于要求掌握：
！p l 空间（1p ≤≤∞）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；([,])p L a b 空间（1p ≤≤∞）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）
；第二部分映射算子泛函
泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分.算子部分包括泛函分析所学过的各种抽象或具体的映射，算子，泛函等。也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理,例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。以下几点是对第二部分内容的归纳和总结。
一.泛函分析中的映射在泛函分析中,映射
:T X Y
→当,X Y 是空间时称为算子;当X 是空间,Y 是数域(F)时称为泛函;
当X 是线性空间时,主要考虑线性算子:
()T ax by aTx bTy +=+,,a b K ∈,,x y X ∈;
泛函分析中的非线性映射:
*压缩映射:(,)(,)Tx Ty x y ραρ≤,其中[0,1)α∈.
Banach 不动点定理.
二.有界线性算子
（1）(,)L X Y 是由X 映射到Y 的有界线性算子全体所组成的赋范线性空间（尤其是当Y 是Banach 空间时(,)L X Y 也是Banach 空间）；
（2）有界线性算子列0{}(,)k k T L X Y ∞=?的收敛：
算子列的按算子范数收敛：(,)
||||
0L X Y k T T ?????
→；算子列的强收敛：对于每一个x X ∈，||||0()()Y
k T x T x ???
?→；（3）重要定理
开映射定理、逆算子定理；！共鸣定理、！一致有界定理、；闭图像定理、
！范数等价性定理（P63引理1）；
注.重点在于定理的理解和应用，定理的证明通常不作要求。（4）共轭算子*
T 共轭算子的定义（[*]():()T f x f Tx =）以及简单性质；
重要实例：*以(,)K s t 为核的积分算子的共轭算子、！左位移（右位移）算子的共轭算子。
（5）具体的线性算子
●！以(,)K s t 为核的积分算子；●！由变上限积分所定义的算子；●微分算子；
●！由p l 到p l 的左位移（右位移）算子.注.线性算子的有界性等价于连续性.
重点.要求掌握：验证算子有意义、验证线性性质、验证线性算子是有界的、！会求较为简单的算子或泛函的算子范数。三.有界线性泛函
（1）*X 的概念和简单性质(*(,)X L X K =).
（2）*X 的实例：！p l 空间（1p ≤≤∞）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；
([,])p L a b 空间（1p ≤≤∞）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）
；（3）泛函列的收敛：设0{}*k k f X ∞=?，
k f 按算子范数收敛于0f （称为强收敛）：*
||||0X k f f ????
→；k f 弱*收敛于0f ：对于每一个x X ∈：0()()k f x f x ??
→。（4）点列的收敛：
◆在赋范线性空间X 中，设0{}k k x X ∞
=?，k x 按范数收敛于0x （称为强收敛）：||||0X
k x x ????
→；k x 弱收敛于0x ：对于每一个*f X ∈：0()()k f x f x ??
→；
k f 弱*收敛于0f ：对于每一个x X ∈：0()()k f x f x ??
→。 在Hilbert 空间H 中，设0{}k k x H ∞
=?，
k x 按范数收敛于0x （也称为强收敛）：||||0H
k x x ????
→；k x 弱收敛于0x 等价于对于每一个y H ∈，0(,)(,)k x y x y ??
→（4）！泛函延拓定理及其推论
注.泛函延拓定理及其推论是重点内容，但体现在定理的应用上。
1、设(),X C =Ω若规定
()()d (),
f x x x X ξξ
Ω
=?∈?则f 是一个线性函数,但2()()d x x ξξξΩ
? 却不是线性泛函.
证明
只证2()()d f x x ξξΩ
=?
不是线性泛函.事实上,2()[()()]d f x y x y ξξξΩ
+=+?
22[()()2()()]d x y x y ξξξξξ
Ω
=++?22[()()]d x y ξξξ
Ω
≠+?()().f
x f y =+ 2、线性算子T 在()D T 内处处连续T ?在()D T 内某一点x 处连续.证明
必要性显然,下证充分性.
{}(),,
n n x D T x x ??→取0(),x D T ∈从而00,n x x x x -+→于是00(),
n T x x x Tx -+→即
00.
n n n Tx Tx Tx Tx Tx Tx Tx Tx θ-+→?-→?→3、
设1[,]X C a b =(显然为[,]C a b 的子空间),X 按范数[,]
max |()|t a b x x t ∈= 成为Banach
空间.定义X 上的算子D 为
d
()()()(()),
d Dx t x t x t X t
=
?∈
则:[,]D X C a b →线性、无界.
证明
取()(),n t a n x t e --=则1,n x = 但是()().
n t a n n Dx ne Dx n n --=-?=→∞→∞ 4、设,X Y 都是Banach 空间,则线性算子T 连续T ?有界.证明
必要性反证.若T 连续且无界,则,,n n x X ??∈使.n n Tx n x > 令
,n n n x y n x =
则1
0(),n y n n =→→∞ 从而,n y θ→但是
10,
n n n n n n Tx n x Ty Ty n x n x θ=
>=≠?
?与T 连续矛盾.
充分性设T 有界,则,n n Tx M x ≤ 所以当n x θ→时,
00.
n n n n Tx M x Tx Tx T θθ≤→?→?→= 或这样证:T 有界,则()Tx Ty T x y M x y T -=-≤-? 连续.
5、
设[,],f L a b ∈定义积分算子:
T ()()()d ,
x
a Tf x f t t =?则
(1)将T 看成[,][,]L a b C a b →的算子时,1;T = (2)将T 看成[,][,]L a b L a b →的算子时,.T b a =- 证明
(1)1|()|d .
b
a
f f t t =
?
1
max |()()|max |()d |max |()|d |()|d ,
x
x
b
C a
a
a
a x b
a x b
a x b
Tf T f x f t t f t t f t t f ≤≤≤≤≤≤==≤≤
=??? 则1
sup
1.
C f Tf T f θ
≠=≤ 另一方面,取01
(),[,],f t t a b b a
=
∈-则011,f = 从而01
1
1
sup max d d 1,x
b
C C a
a
a x b
f T Tf Tf t t b a
b a
≤≤==≥===--?
?
于是 1.
T = (2)与(1)的区别在于将C Tf 换成L 空间中的范数
1|()()|d ,
b
a
Tf Tf x x =? 即
()
()11
|()d |d |()|d d |()|d d (),
b x b
x
b
b a
a
a
a
a
a
Tf f t t x f t t x f t t x b a f =≤≤=-???
?
?
? 然后
11
sup
.
f Tf T b a f θ
≠=≤- 为证相反的不等式,若仍取01(),[,],f t t a b b a =
∈-虽然011,f = 但011
(),2
Tf b a =- 从而只能得出1().2T b a ≥- 现对任何满足1
a b n
+<的,n 令
1
,,
()1
0,,
n n a t a n f t a t b n
?
≤≤+??
=?
?+<≤??
则11,n f = 而且
11111|()d |d ()d |d 0d |d b x a b a x n
n
n n a
a
a
a a
a n
n
Tf f t t x n x a x n x t x
+
+
+
+
==-++???
?
?
?
111()22b a b a n n n
=
+--=--所以
11sup :,
n T Tf n b a b a ?
?≥>=-?-??
故.
T b a =- 6、
[,]C a b 上定义线性泛函:
f ()()d ,
b
a f x x t t =?求.
f 解
在[,]C a b 上,()[,],x t C a b ?∈使得1,C x = 则
()
|()||()|d max |(|d (),
b b
C a
a
a x b
f x x t t x t t b a x b a ≤≤≤≤=-=-?? 遂1
sup |()|.
C x f f x b a ==≤- 另一方面,取0()1,[,],x t t a b =∈则01,C x = 且
01
sup |()||()||1d |,
C b
a
x f f x f x t b a ==≥==-? 因此.
f b a =- 7、Hilbert 空间X 到非零闭子空间M 上的正交投影算子P 是范数为1的线性算子.证明
由正交分解定理,可设,(1,2),i i i i x Px z z M
i ⊥
=+∈=于是
112211221122()(),
x x Px Px z z αααααα+=+++再由1122,Px Px M αα+∈1122z z M αα⊥
+∈可得11221122()P x x Px Px αααα+=+,即P 是线性的.又
由于
2222||||||||||||||||||||||||1Px x z x Px x P P =-≤?≤?≤? 有界,
而\{}x M θ∈时有,Px x =从而
\\sup
sup 1.
x M x M Px x P x x θθ∈∈===
8、在[0,1]C 上,1
()[0,1]D T C =,则d
d T t
=
是一个闭算子.证明
设1
()[0,1],n f D T C ∈=则().n n Tf f t '=若,,n n f f f g ??'??→??→
则
,
,
n n f f f g '????→????→一致收敛
一致收敛
所以[0,1],f g C '=∈即,Tf g =由此d d T t =
是一个闭算子.但T 不连续,例如取1
()sin(),n f t n t n
π 则0,()cos(),n n f f t n t ππ?'??
→=
但.n f π'= 9、设线性空间X 上有两个范数1? 与2,? 若X 关于这两个模都构成Banach 空间,而且2
? 比1? 强,则这两个范数等价.
证明
考虑恒等算子:,I X X →把它看成21:(,)(,).I X X ?→? 由假设2? 比1? 强知
0,C ?>使得
12
(),
x C x x X ≤?∈ 由此I 是连续的.而I 既是单射也是满射,由定理3.9,I 可逆,且1
I
-连续,从而0,M ?>使得
121
(),
I x C x x X -≤?∈ 又1
,I x x -=从而21.
x C x ≤ 10、设,X Y 都是Banach 空间,,(,)n T T L X Y ∈是双射,||||0(),n T x Tx x X -→∈若,,n n Tx y T x y ==则0,n x x C →??>使得1
||||().
n T C n -≤?∈ 证明
充分性1
1
1||||||||||()||||||0.
n n n n n n n x x T y T T x T Tx T x C Tx T x ----=-=-≤-→必要性,y Y ?∈由条件,可令1
1
,.n n x T y x T y --==由n x x →可得1
1
,n T y T y --→从而,
y Y ?∈0,ε?>,N ?当n N >时,适合
11,
n T y T y ε---< 所以
11111,
n n T y T y T y T y T y ε-----≤-+<+ 最后由共鸣定理,1
{||||}n T -有界.
11、设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明)
,(1),(),(___
y x d y x d y x d +=
是X 上的距离证明
（1）若0),(___
=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而
t
t
+1在),[∞o 上是单增函数，于是)
,(),(1)
,(),(),(),(1),(),(___
___
z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=
≤+==
)
,(),(1)
,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++
++)
,(1)
,(),(1),(z y d z y d z x d z x d ++
+≤=),(),(___
__z y d z x d +。证毕。11、设21223,(,,,)(,,,)n n X l Ax A x x x x x x === ，试求()A σ。解
对任意λ，若1λ<，定义(1,,,,)n x λλλ= ，显然
22,(,,,,)(1,,,,)n n x l Ax x λλλλλλλλλλ∈=== ，因此{1}λλ=的内点都是A
的点谱，由于()A σ是闭集，则{1}()A λλσ=?。
对任意x A ∈，显然Ax x ≤，因此1A ≤，所以(){}{1}A A σλλλλ?≤?=。这样我们就证明了(){1}A σλλ==。
12、证明：[,]C a b 是按范数
[,]
max ()t a b x x t ∈=不是内积空间.
证：若C [a ,b ]中范数||·||是可由某内积(·,·)诱导出的，则范数||·||应满足平行四边形等式．
而事实上，C [a ,b ]中范数||·||是不满足平行四边形等式的，因此，不能引进内积(·,·)使其适合上述关系．
范数||·||是不满足平行四边形等式的具体例子如下：
设f (x )=(x –a )/(b –a )，g (x )=(b –x )/(b –a )，则||f ||=||g ||=||f +g ||=||f –g ||=1，显然不满足平行四边形等式．
13、设K(t,s)为定义在],[],[b a b a ?上的二元复值连续函数，T 是复希尔伯特空间],[],[2
2
b a L b a L →的
有界线性算子：],[)(,)(),()(2b a L s x ds s x s t K t Tx b
a
∈?=
?
，求T 的共轭算子。
???????
?
?=?>
<=====>=>=<<∈?b
a
b
a
b
a
b
a
b a
b
a
b
a b
a
b
a ds s y t s K t y T y T x dt t y T t x dt ds s y t s K t x ds
dt t y s t K s x dsdt t y s x s t K dt
t y t Tx u Tx y T x b a L s y s x )
)(),()(**,)(*)())(),(()())(),(()()()(),()())((,*,]
,[)()(2，证：14、设X 是正整数集合，令d (x ,y )=|1/x –1/y |，证明(X ,d )不是完备距离空间．[证明]首先直接验证可知(X ,d )是距离空间．
?n ∈正整数，设x n =n ．则{x n }是(X ,d )中的基本列．
若{x n }收敛于x ∈X ，则d (x n ,x )→0，即|1/x n –1/x |→0(当n →∞时)．由此推出1/x =0，而这是不可能的．
所以基本列{x n }不收敛，因此(X ,d )不是完备距离空间．15、设M ,N 是内积空间中的两个子集，求证：M ?N ?N ⊥?M ⊥．
证明：若x ∈N ⊥，则?y ∈N ，(x ,y )=0．而M ?N ，故?y ∈M ，也有(x ,y )=0．因此x ∈M ⊥．所以，N ⊥?M ⊥．
16、设]1,0[C f ∈，求证方程?+=t
ds s x t f t x 0
)(21)()(，]1,0[∈t 有连续解．[解]
考虑映射],0[],0[:a C a C T →，?+
=t
dt s x t f t Tx 0)(2
1)()(．注意到),(2
1
|)()(|max |21|),(0]1,0[y x d ds s y s x Ty Tx d t t ≤-=?∈，
所以T 为压缩映射，故有唯一不动点],0[1a C x ∈，此1x 即为方程的解．17、证明],[b a C 上的泛函?=b
a dt t x x f )()(是有界线性泛函，且a
b f -=||||。
[证明]显然f 是线性泛函。对],[b a C x ∈?有
||||)(|)(|max )(|)(||)(||)(|]
,[x a b t x a b dt t x dt t x x f b a t b
a
b
a
-=-≤≤=∈??，
所以f 是有界线性泛函，且a b f -≤||||。进一步，取],[0b a C x ∈使得1)(0≡t x ，则1||||0=x 。得到a b x f x f f x -=≥==|)(||)(|sup ||||01
||||。
18、取定],[0b a t ∈，在],[b a C 上定义泛函1f 如下：)()(01t x x f =。证明1f 是有界线性泛函，
1||||1=f 。
[证明]显然1f 是线性泛函，由|||||)(|max |)(||)(|]
,[01x t x t x x f b a t =≤=∈，知1f 有界1||||1≤f 。取
],[0b a C x ∈使1)(0≡t x ，则1||||0=x ，得1|)(||)(||)(|sup ||||000111
||||1==≥==t x x f x f f x 。
19、设22:l l S n →满足对221),,,,(l x n ∈=? ξξξ有),,()(21 ++=n n n x S ξξ。证明n S 是有界线性算子，1||||=n S 。[证明]
显然n S 是线性算子。因为21
21
2
2
||||||||||)(||x x S k k n k k
n =≤=
∑∑∞
=∞
+=ξξ
，2l x ∈?，所以
||||||)(||x x S n ≤，2l x ∈?，可见n S 是有界线性算子，且1||||≤n S 。令),0,1,0,0,0( =n x （仅
第)1(+n 个坐标不为零），则2l x n ∈，1||||=n x ，),0,1()( =n n x S ，1||)(||=n n x S 。所以
1||)(||||)(||sup ||||1
||||=≥==n n n x n x S x S S 。
20、设C[-1,1]上的线性泛函f 定义为
??-=-1
1
)()()(dt t x dt t x x f ，试求||
||f
解：[]11,1x C ?∈-,
()()
1
1
2f x x
dt dt x
-≤+=?
?，
所以2f ≤，
取()1n
x t t =，n 为正奇数，[]1,1t ∈-则1x
=，
()1110
11
100122211
1n
n
n
n
f x t dt t dt t dt f n n
-=
-===≤++??? 由于2sup
21
n
n =+,故2f ≥.综上所述，
2f =。
21、设X 为Banach 空间,T 为X 到X 的线性算子,若T T =2
,且)(T N 和)(T R 都是闭的,试证明
),(X X L T ∈.
证：由于T 的定义域为X ,因此明显地,只需证明T 为闭线性算子.设有点列X x n ∈}{,X y x ∈,,当
∞→n 时,x x n →,y Tx n →.由)(T R 是闭的,)(T R Tx n ∈可知必有X x ∈0,使得0Tx y =.
由于T T
=2
,因此0)(2=-=-n n n n Tx x T x Tx T ,即)(T N x Tx n n ∈-.由)(T N 是闭的,可得
)()(lim T N x Tx x y n n n ∈-=-∞
→,从而0)(=-x y T .
因此y Tx Tx T Ty Tx ====00)(,所以T 为闭线性算子.由闭图像定理可知)
,(X X L T ∈22、设X 是内积空间,X y ∈,试证明),()(y x x f =是X 上的线性连续泛函,且||||||||y f =.
证：由()(,)f x x y =可知f 线性泛函,且|()||(,)|||||||||f x x y x y =≤?,因此f 是X 上的连续线性泛函,并且||||||||f y ≤,取||||
y y x =
,则
||||||||1,|()||(,)|()||||
y y x f x x y y y ====，所以，||||||||f y =.23、设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥的充要条件为对任意F ∈α,有||||||||y x y x αα-=+.证：若x y ⊥,则对任意K α∈,有
2222
||||(,)(,)(,)(,)(,)||||||||||x y x y x y x x x y y x y y x y αααααααα+=++=+++=+且2
2
2
2
||||||||||||||
x y x y αα+=+因此||||||||y x y x αα-=+.
反过来,若K α∈,有||||||||y x y x αα-=+,则由
(,)(,)(,)(,)(,)
x y x y x x x y y x y y αααααα++=+++和
(,)(,)(,)(,)(,)
x y x y x x x y y x y y αααααα--=--+可知2(,)2(,)0
x y y x αα+=令(,)x y α=,则2
2
|(,)||(,)|0x y x y +=因而(,)0x y =,所以x y ⊥.
24、设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥当且仅当对任意F ∈α,有||||||||x y x ≥+α.证：若x y ⊥,则对任意K α∈,有x y α⊥,因此
22222||||||||||||||||||x y x y x αα+=+≥，所以||||||||x y x ≥+α.
反过来,若对任意K α∈,有||||||||x y x ≥+α,则令2
(,)||||
x y y α=-
,由22||||||||0
x y x α+-≥及
|||||),(|)
,(|||||),(||||||),(||||||),(|),(||),(),(),(),(),(),(),()
,(),(2
2
4222222≥-=+--=++=-+++=-++y y x y y y y x y y x y y x y y x y y x x x y y x y y x x x x x y x y x ααααααααα因此(,)0x y =,所以,x y ⊥.
25设X 是Hilbert 空间,T 是X 到X 的线性算子,若对任意,x y X ∈,有(,)(,)Tx y x Ty =,试证明T 是连续线性算子.
26、试举例说明算子强收敛不一定有一致收敛.
27、设函数),(y x f 在)},(],,[|),{(+∞-∞∈∈=y b a x y x H 上连续,处处都有偏导数),('y x f y ,且满足
+∞
<≤≤ ),(1 1 ???x f M T +- =证明T 为压缩算子,然后利用S.Banach 不动点定理. 28、设f 是实内积空间3R 上的线性连续泛函,若32132)(x x x x f ++=,试求X y ∈,使得),()(y x x f =.解:取)3,2,1(,3=∈y R y ,则一定有32132)(x x x x f ++=. 29、设X 是赋范线性空间，X x ∈0，00≠x ，则必存在X 上的有界线性泛函)(x f ，使得 1||||=f ，并且||||)(00x x f =. 30 )2,1(≠∞<≤p p l p 是按范数∑∞ ==1 1 )||(||||n p p n x x 不是内积空间 （因为不满足平行四边形公式）。 31、设实数列∞ =1 k } {k a 对任何满足∞<∑∞ =1 2 ||k k x 实数列∞=1 k } {k b 有+∞<∑∞ =1 ||k k k b a ，求证： ∞<∑∞ =1 2||k k a 。 32、证明Banach 空间X 上的非零有界线性泛函是开映射。 33、X 是内积空间，若),(),(||||||||,,x x x x x x n X x x n n n →→+∞→∈，，当，则有n x 收敛于x。 34、|||| ,2 11 2||||,,:2 2212212 2 A x Ax x x x R x x x R R A 求：，???? ??=+=∈? ?? ? ??=→35、例4.28，4.29，4.30，4.38 36、例3.35，3.39，3.40 试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =? (iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞ 泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z) ' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!-- 泛函分析在力学和工程中的应用 陆章基 （复旦大学应用力学系） 摘要 本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。并介绍当前非线性分析中部分动态。 $ 1 泛函分析概述 泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。于是，具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。（iv）Banach空间。它是完备的线性赋范空间。完备性使该空间具有十分良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。（v）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。（vii）Sobolev空间W m,p（Ω）（p （Ω）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，≥1，m≥0）[3]。它是由L p 并配上Sobolev空间。它是特殊的线性赋范空间。其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为H m（Ω），称作Hilbert-Sobolev空间。 泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算 1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16） 2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间 泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), ,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页 泛函分析在控制工程中的 应用 作者：景苏银 学号： 0211443 单位：兰州交通大学 日期：2011.12.1 泛函分析在控制工程中的应用 【摘要】本文综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论，通过泛函理论求解工程中可微方程的极值问题，为工程的设计提供了理论基础。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。 【关键词】泛函分析控制工程控制优化 泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。主要内容有拓扑线性空间等。它广泛应用于物理学、力学以及工程技 术等许多专业领域。 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 Functional analysis in water conservancy of application Abstract：This article through the functional theory solution of differential equations can be hydraulic extremum problems, for water conservancy project design provides theory basis. It draws function theory, geometry, algebra point of view to study the infinite dimensional vector space function, operator and limit theory. It can be as infinite dimensional vector space analytic geometry and mathematics analysis。 Functional Analysis (Functional Analysis) is the modern a branch of mathematics, belongs to learn Analysis, the study of main object is function consists of the space. Functional analysis is made to transform (such as Fourier transform, etc.) of the nature of the study and differential equation and integral equation of research and development. Using functional as a statement from the variational method, representative of the function for function. And take Hector <(Stefan Banach) is functional analysis of the theory of the primary founders, and mathematician and physicist voltaire pull (Vito Volterra) to the wide application of functional analysis is an important contribution. Functional analysis is the 1930 s of the formation of the mathematics branch. From the variational problem, integral equation and theoretical physics research develops. Functional analysis in mathematical physics equation, probability theory, the calculation of mathematics branch all has the application, is also a degree of freedom with an infinite physical system mathematical tools. Main content have topological space, etc. It is widely used in physics and mechanics and engineering skills and Art etc many professional fields. 【正文】 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（ ）. A. 1- B. 12 C. 1 D. 12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。 2、任何赋线性空间的共轭空间是（ ）。 3、1l 的共轭空间是（ ）。 4、设X按积空间 现代数学基础学习报告 泛函分析应用 院系： 专业： 导师： 姓名： 学号： 摘要 信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。 1.泛函分析介绍 泛函分特点和内容[1] 泛函分析是20世纪30年代形成的分科，是从变分问题，积分方程和的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和。它可以看作无限维向量空间的解析几何及。泛函分析在，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的。 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个的系统的运动，实际上需要有新的来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多力学系统的例子。一般来说，从力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在、概率论、函数论、连续介质力学、、计算数学、、等学科中都有重要的应用，还是建立理论的基本工具，也是研究无限个自由度的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析在数学物理方程、、、、等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。 泛函的理论[2] 泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++ (,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤ 泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、 度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性） 3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式） 则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空 间或距离空间(metric space )。 （这个定义是证明度量空间常用的方法） 注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为 度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 1.1举例 泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的 1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞ 1． 对于积分方程 ()()() 1 t s x t e x t ds y t λ--=?为一给定的函数，λ为 常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。 2． 设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为 ()11,21+k k k k k k x y ξηρξη=-=-∑，其中， ()() 11,,,=,,n n x y ξξηη=??????。求证s 为 一完备的距离空间。 3． 在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>， 存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。求证{}n x 收敛。 4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的* B 空间 5． 为了()F C M ?使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的 且等度连续的函数族。 6． 设 () ,A x y ?∈，求证（1）. 1 sup x A AX ≤=，（2 ） 1 sup x A AX <=。 7． 设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数， 并存在0M >，使得( ),a x y M x y ≤，则存在唯一的()A x ?∈， 使得 ()() ,,a x y x Ay =且 ()(),0,0 ,sup x y X X x y a x y A x y ∈?≠≠=。 8． 求证()2f L ?∈Ω，方程() 0u f u ?Ω?-?=Ω?? =??在内若解存在唯一。 9． 设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ?∈≠。求 证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()() ()02.x f x x ρρ≤ 。 10． 叙述开映象定理并给出证明。 11． 叙述共鸣定理并给出证明。 应用泛函分析解决桥梁工程中的一个问题 摘要：本文简单介绍泛函分析方法和在力学和桥梁工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法等。并通过两个例子来说明泛函在力学和桥梁工程当中的应用。 关键词：泛函变分法桥梁工程 中图分类号：U441.5 一泛函分析概述 泛函分析（Functional Analysis）其研究的主要对象是函数构成的空间，是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和桥梁工程中常见的有： 1、度量空间：现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。 3、巴拿赫空间理论（Banach space） 巴拿赫空间理论是1920年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广sup n n x x ，巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。 4、内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和桥梁工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导范数，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间； 5、Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel 不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案
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