启迪教育暑期小班三角形讲义8
1/ 6启迪教育联系电话： 130********
地址：河东区津滨大道金堂南里2-4-104
等腰三角形暑期讲义
【回顾与思考】
等腰三角形60??????????
??????????
??????
???????????????????????????
等边对等角性质三线合一腰与底边不等的等腰三角形等角对等边判定定义三边相等
性质三角都相等有一个角等于的等腰等边三角形三角形判定三边都相等(或三角都相等)的三角形
1．等腰三角形的定义和性质
（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．其中，?相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底的夹角叫做底角． （2）性质：①等腰三角形两腰相等；
②等腰三角形两底角相等，简写成“等边对等角”； ③等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”； ④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的中垂线． 误区警示 （1）“等边对等角”的适用条件是在同一个三角形中，?在不同三角形中不能用； （2）“三线合一”指的是底边上的高、底边上的中线、?顶角的平分线互相重合，对于腰上的高、腰上的中线，底角的平分线则不成立． 2．等边三角形的定义和性质
（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，也称正三角形． （2）性质：①等边三角形三边相等；
②等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°； ③等边三角形每边上的高、中线和对角的平分线均“三线合一”； ④等边三角形也是轴对称图形，它有三条对称轴． 方法 规律
在解决角度计算问题时，一般可以用列方程求角的方法．设某角为x ，?将图中相关的角用含x 的代数式表示．最后找出一个等量关系，列出关系x 的方程，也可以列出方程组求解．在列方程时特别注意三角形三个内角和等于180?°的隐含条件的运用． 3．等腰（边）三角形的识别 （1）等腰三角形的识别方法：
①若一个三角形有两条边相等，则它为等腰三角形；
②若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
（2）等边三角形的识别方法：
①三个角都相等（三个角都是60°）的三角形是等边三角形；
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
警示误区
等腰三角形的识别方法与性质是互逆的，等腰三角形的性质即“等边对等角”主要运用于两边相等的条件下去证明两角相等的问题，而等腰三角形的识别方法即“等角对等边”正好相反，主要运用于两角相等的条件下去证明两边相等的问题．
三、典例精析https://www.wendangku.net/doc/ee18067908.html,
【例1】已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．
（3）等腰三角形中顶角与底角的关系：顶角＝180°－2倍底角，底角＝180
2
?-顶角
．
【例2】如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，?分别以两腰为边向外作等边三角形ABD与等边三角形ACE，已知∠DAE=∠DBC，求△ABC的三个内角的度数．
2/ 6启迪教育联系电话：130********
地址：河东区津滨大道金堂南里2-4-104
3/ 6启迪教育联系电话： 130********
地址：河东区津滨大道金堂南里2-4-104
【例3】 如图，等边△ABC ，O 是三个内角平分线的交点，若OD ∥AB ，?OE?∥AC ．则图中等腰三角形有哪些？请找出来，并说明理由．
【例4】 如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB?的外角平分线交于D ，过D 作DE ∥BC 交AC 于F ，交AB 于E ．求证：EF=BE-CF ．
四、自主练习 https://www.wendangku.net/doc/ee18067908.html, 1．（1）等腰三角形的一个内角为80°，则底角为_______；（2）?若等腰三角形的一个外角为100°，则顶角为_____．
2．若等腰三角形两个外角之比是1：4，则它的顶角等于_______．
3．如图1，△ABC 中，∠ABC=100°，AM=AN ，CB=CP ，则∠MNP=_______．
（1） （2） （3） （4） 4．等腰三角形的周长为16，其中一条边长为6，则另两条边之比为______． 5．如图2，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且DE ∥BC ，?若BC=8cm ，1
4
AD AB ，则△ADE 的周长等于_______．
4/ 6启迪教育联系电话： 130********
地址：河东区津滨大道金堂南里2-4-104
6．如图3所示，L 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD ∥BC ，有下列结论：
①AB ∥CD ；②AB=CD ；③AB ⊥BC ；④AO=OC ．其中正确的结论是_____（把你认为正确结论的序号填上）．
7．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角为60°，?那么这个三角形是_____三角形，这个图形有_______条对称轴．
8．△ABC 中，若∠A=40°，∠B=70°，则△ABC 的形状是________． 9．如图4，在方格纸上有一个△ABC ，它的形状是_______三角形．
10．一个等腰三角形，但非等边三角形，它的角平分线，中线和高线的条数共有（? ） A ．9 B ．7 C ．6 D ．5
11．如图5所示，等边△ABC ，高AD 、BE 相交于点F ，则图中等腰三角形（?不包括△ABC ）的个数是（ ）
A ．5个
B ．7个
C ．6个
D ．8个
（5） （6） 12．等腰直角三角形的底边长8cm ，则底边上的高为（ ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 13．如图6，两个全等的直角三角形都有一个锐角为30°，?且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
14．已知如图7，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，求∠FEM 的度数．
（7）
15．已知如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=EC ．
5/ 6启迪教育联系电话： 130********
地址：河东区津滨大道金堂南里2-4-104
16．已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，EF 为AB 的垂直平分线，EF 交BC 于F ，交AB 于E ，求证：BF=
1
2
FC ．
17．如图，△ABC 为等边三角形，∠1=∠2=∠3． （1）求∠BEC 的度数．
（2）△DEF 是等边三角形吗？请简要说明理由．
18．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点I ，过I 作DE ∥BC 交BA?于D ，交
AC
6/ 6启迪教育联系电话： 130********
地址：河东区津滨大道金堂南里2-4-104
于E ．
（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明． （2）若AB=7，AC=5，你能求△ADE 的长吗？
（3）作∠ABC 与∠ACB 的外角平分线，他们相交于点O ，过O 点作BC?的平分线分别交AB 、AC 的延长线于F 、G ，你还能发现什么结论？
19．如图，已知下列两个三角形，?思考怎样把每个三角形纸片只剪一次将它分成两个等腰三角形？试一试，在图中画出剪的痕迹．
20．如图，把一个长方形纸片ABCD ，沿EF 折叠后，ED 与BC 的交点为G ，点D 、?C 分别落在D ′、C ′的位置上，若∠EFG=55°，求∠1、∠2的度数．
21．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE=AC ，BD=BC ．求∠ECD 的度数．