高三理科数学试题
六校尖子班联考理科数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1
．
已
知
集
合
{1,1},{|124},
x A B x R =-=∈≤<则
A B =
( ） A.[0,2) B ．{ 1 } Ｃ.{1,1}- D ．{0,1}
２. 复数
=-=+=2
2
121,2,1z z i z i z 则
( ) Ａ.
i 5452- B ．i 5452+ Ｃ.i 5
4
52+- D ．i 5
4
52-- 3.
函
数
4
log )(2-+=x x x f 的零点所在的区间是
( )
)1,2
1
(.A B.(1,2) C ．(2，3) Ｄ.(3，4）
4．已知双曲线)0,(21
2
2
2
2
e px y e x y 的焦点为，且抛物线的离心率为==-则p 的值为
( )
Ａ.－2? B ．-４ C ．2 D.4 5.已知函数),6
cos()6
sin()(π
π
+
+
=x x x f 则下列判断正确的是
?A ．)(x f 的最小正周期为2π,其图象的一条对称轴为12
π
=x
B ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6
π
=
x
?C ．)(x f 的最小正周期为π,其图象的一条对称轴为12
π
=
x
Ｄ．)(x f 的最小正周期为π,其图象的一条对称轴为6
π
=
x
6. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D
由不等式组02
2x y x y
?≤≤?
≤??
≤?给定。若(,)M x y 为
D 上的动点，点A 的坐标为，则z OM OA =?的最大值为
（
)
A.3
B.4 Ｃ． Ｄ.
7.若直线a by ax (022=+-、b 〉０）始终平分圆01422
2
=+-++y x y x 的周长,则b
a 1
1+的最小值是( )
A ． ４
B ． 2 Ｃ．
41 D. 2
1 ８. 已知Ａ,B,C,D 是同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2,则球心到平面BCD
的距离为( ）
A.
332 B.962 C.6
6
D ．932 9. 有编号分别为1,2，3,4，５的5个红球和５个黑球,从中取出4个,则取出的编号互不相同的概率为 ( )
A.
5
21
B ．
27 ?C ．13 ?D.821 10. 在圆x y x 52
2=+内,过点)2
3,25(有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项
1a ，最长弦长为n a ，若公差]3
1
,61(∈d ，则n 的取值集合为 （ )
A.{4,5，6}
B.{6,7,8,9｝
C.{３,4，5}
D.{3,4,５,6}
1１.已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22
221x y a b
+=的两个焦点,P 为椭圆上一点且
212,PF PF c ?=则此椭圆的离心率的取值范围是
（ ) Ａ
.,1]3 B ．11
[,]32
C
．[32 D
．(0,2? 1２.函数)(x f y =为定义在R 上的减函数,函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称, ,x y
满足不等式0)2()2(2
2≤-+-y y f x x f ,(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当4
1≤≤x 时,OM ON ?的取值范围为 ( )
A ．[)+∞,12
B ．[]3,0 C.[]12,3 D ．[]12,0 二．填空题：(本大题共4小题,每小题５分,满分20分）
１3．已知二项
式
7
2-
展开式的第4项与第５项之和为零，那么
x
等
于 ．
1４.一个圆柱形容器的内半径为5cm,两个直径为５的玻璃小球被浸没于容器的水中,当取出
这两个小球后， 容器的水面下降了x ｃm, 则x= ．
1
1５. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式:
204
a sin a cos π
θθ?+?-
=，
2
04
b sin b cos π
θθ?+?-=，
则连接A ()
2a ,a 、 B ()
2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是＿_______＿． 1６. 设1a ，2a ,…,n a 是各项不为零的n (4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对??
?
??d a n 1,
所组成的集合为＿_____＿_.
三、解答题:本大题共6小题，共７0分,解答时应写出文字说明、证明过程.
17.(本题满分1２分）ABC ?中内角A,Ｂ,C 的对边分别为c b a ,,,向量
),3,sin 2(-=B m )12
cos 2,2(cos 2
-=B
B ,且// （１)求锐角B 的大小;(2)如果b=2,求AB
C ?的面积ABC S ?的最大值
18.（本小题１２分)设b 和ｃ分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程
ｘ2＋b ｘ＋ｃ＝0实根的个数（重根按一个计）.
(1)求方程ｘ２
+ｂｘ+ｃ=0有实根的概率； (２)求ξ的分布列和数学期望;
19. (本小题满分12分）
在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1DD 的中点，O 为AC 的中点,AB=2． (I)求证:1//BD 平面ACM ; (II ）求证:1B O ⊥平面ACM ； (Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积．
２0. (本小题12分）
已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点F 与抛物线2
4y x =的焦点重合,且截抛物线
,倾斜角为45的直线l 过点F ．
（1)求该椭圆的方程;
(２)设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线x y 42
=上是否存在一点M ，使得M 与1
F 关于直线l 对称，若存在,求出点M 的坐标,若不存在,说明理由．
21.（本小题满分12分)
已知()()2,ln 2
3
+-+==x ax x x g x x x f .
（Ⅰ)如果函数()x g 的单调递减区间为1(,1)3
-,求函数()x g 的解析式； （Ⅱ)在（Ⅰ）的条件下,求函数y=()x g 的图像在点(1,1)P -处的切线方程;
（Ⅲ）若不等式2()()2f x g x '≤+的解集为P,且(0,)P +∞?,求实数a 的取值范围．
请考生在２２、２3、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号。
22.(本小题满分１０分）选修4—1:几何证明选讲
如图，圆O 的直径10AB =,弦DE AB ⊥于点H ,2HB =．
（Ⅰ）求DE 的长;
(Ⅱ)延长ED 到P ，过P 作圆O 的切线,切点为C ，若
PC =，求PD 的长.
23.(本小题满分１0分）选修4—4：极坐标系与参数方程
已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标程为，()R ∈=ρπ
θ4
曲线1C 、2C 相交于点A 、B .
（Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程; （Ⅱ）求弦AB 的长.
24.（本小题满分10分)选修４—5：不等式选讲
已知不等式2
12x px x p ++>+.
(Ⅰ)如果不等式当2p ≤时恒成立,求x 的范围; (Ⅱ）如果不等式当24x ≤≤时恒成立，求p 的范围.
B
A
六校尖子班联考理科数学答案
一、选择题：1． B 2.C3．C 4.D 5.C 6.Ｂ 7.A 8. C 9. D 10.Ａ １1．Ｃ 12.D 二、填空题:13.２ 14.3
5
；1５. 相交16. ()(){}1,4,4,4-
解答题: １7.（理) 解:(1)m ∥n B B
B 2cos 3)12
cos
2(sin 22
-=-∴ ?2ｓinBc ｏｓB ＝－3co ｓ2B
ta ｎ2B=-3 ……4分
∵０＜2Ｂ<π，∴2B ＝32π,∴锐角Ｂ＝3π
……6分?(2)由ta ｎ2B ＝－3
Ｂ＝
3
π或6
5π
————————7分 ①当B ＝3
π
时,已知b=2，由余弦定理，得:?４＝ａ2＋c 2-ａｃ≥2ac －ac ＝ac （当且仅当a=ｃ
＝２时等号成立) ……９分?∵△ＡBC 的面积343sin 2
1≤==?ac B ac S ABC
∴△ＡB Ｃ的面积最大值为3 ……10分?②当B ＝
6
5π
时,已知b=2，由余弦定理，得: 4=a 2＋c ２
＋3ac≥（2+3）ac (当且仅当ａ=ｃ＝26-
时等号成立）
∴a ｃ≤4(2-3)?……1１分?∵△ABC 的面积Ｓ△ABC=21 a ｃsinB=41
ac≤2-3?∴△AB Ｃ的面积最大值为２-3 ……12分
18 （１)设基本事件空间为Ω,记“方程ｘ2+ｂｘ+c =0有实根”为事件A ，则A ={(b ,c )|b ２-４c ≥0,b 、ｃ＝1，…，６}
Ω中的基本事件总数为6×6＝36个.
A 中的基本事件总数为6＋6＋4＋2＋1=19个， 故所求概率为P （Ａ)＝错误!. (２）由题意，ξ可能取值为0,１,2,则
P (ξ＝0）＝错误!,P (ξ=1)=错误!=错误!，P (ξ=2)＝错误!. ∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望E （ξ)错误!错误!错误!＝1．
１9.（I ）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，
,AC BD 为正方形的对角线,故O 为BD 中点；
连结MO ，
,O M 分别为1,DB DD 的中点，
1//OM BD ∴,
OM ?平面ACM ，1BD ?平面ACM
1//BD ∴平面ACM ． ………4分 （I Ｉ）
AC BD ⊥,
1DD ⊥平面ABCD ，且AC ?平面ABCD ,
∴1AC DD ⊥;且1BD
DD D =,∴ AC ⊥平面11BDD B ………5分
1OB ?平面11BDD B ,∴ 1B O AC ⊥， ………………6分
连结1B M ，在1B MO ?中,2
2
2
13MO =+
=， 2
22126B O =+
=，(2
2
2
119B M =+=,
∴222
11B M MO B O =+，1B O OM ∴⊥ (8)
分
又OM AC O =,∴1B O ⊥平面AMC ; …… 9分
法二：2
1
1==BB DO BO MD
, ∠ＯＤＭ=∠B 1BO=R ｔ∠,
∴ΔMD
Ｏ
∽ΔOBB 1
,
∴∠
Ｍ
Ｏ
D=∠O
Ｂ
1B
，
190MOD B OB ?∠+∠=,∴1B O OM ⊥．
(Ⅲ)求三棱锥1O AB M -的体积
∴111111
332
O AB M B AOM AOM V V OB S OA OM --?==??=??，
11
132
==．
…………… １２分
法二：可证AO ⊥平面1OB M ,
则
111111111
1
33232
O AB M A OB M OB M V V AO S OB OM --?==??=??==
20.解：(1）抛物线x y 42
=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ,…………………2分 ∴ 12
2
=-b a ① …………………３分 又椭圆截抛物线的准线1-=x
, ∴ 得上交点为)2
2
,
1(-， ∴ 1211
2
2=+b
a ②…………………４分 由①代入②得01224=--
b b ,解得12=b 或2
1
2
-=b （舍去)， 从而212
2
=+=b a …………………5分
∴ 该椭圆的方程为22
121
x y += …………………6分 （2)∵ 倾斜角为45的直线l 过点F ,
∴ 直线l 的方程为)1(45tan -=x y
,即1-=x y ，…………………7分 由（１)知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ,设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，
………………８分
则得???????--+=+-=?+-12)1(20111
0000x y x y …………………9分
解得???-==210
0y x ,即)2,1(-M …………………10分
又)2,1(-M 满足x y 42
=,故点M 在抛物线上。 …………………11分 所以抛物线x y 42
=上存在一点)2,1(-M ,使得M 与1F 关于直线l 对称。
…………………12分
21解:（Ⅰ)2
()321g x x ax '=+- ……1分 ?由题意01232<-+ax x 的解集是??
?
??-1,31 ?即01232=-+ax x 的两根分别是1,3
1-. ?将1=x 或3
1
-代入方程01232=-+ax x 得1-=a ． ?
()2
23+--=∴x x x x g .
……3分
（Ⅱ)由（Ⅰ）知：2
()321g x x x '=--,(1)4g '∴-=，
∴
点
(1,1)
P -处的切线斜率
k =(1)4g '-=， ……５分
?∴函数y=()x g 的图像在点(1,1)P -处的切线方程为：
?14(1)y x -=+,即450x y -+=． ……7分 (Ⅲ） (0,)P +∞?,2()()2f x g x '∴≤+
即：123ln 22++≤ax x x x 对()+∞∈,0x 上恒成立 ……8分
可得x x x a 21
23ln -
-≥对()+∞∈,0x 上恒成立 ?设()x
x x x h 21
23ln -
-=,
则
()()()22'213121
231x x x x x x h +--
=+-=
0
令()0'
=x h ,得3
1
,1-
==x x (舍） ?当10< >x h ;当1>x 时， ()0' a ∴的取值范围是 [)+∞-,2. ……12分 2２.（Ⅰ)8DE = ……5分 （Ⅱ）2PD = ……１０分 23．(Ⅰ)2 2 60x y x +-= 0x y -= ……５分 （Ⅱ）AB = ……10分 2４.（Ⅰ）1x <-或3x > ……５分 (Ⅱ）1p >- 0