7-3-1反比例函数

一、反比例函数的定义

函数k

y x

=

（k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．

二、反比例函数的图象

反比例函数k

y x

=

（k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．

反比例函数k y x =与k

y x

=-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．

三、反比例函数的性质

反比例函数k

y x

=

（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；

当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．

注意：

⑴反比例函数k

y x

=（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此，

①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，

如当0k >时，双曲线k

y x

=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．

这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．

如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的． ⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．

四、反比例函数解析式的求法

反比例函数的解析式(0)k

y k x

=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因

此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．

五、比例系数k 的几何意义

过反比例函数()0k

y k x

=

≠，图象上一点()P x y ，

，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =

?==.

一、反比例函数的定义及解析式的确定

【例1】 下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③k

y x =；④22m y x

+=中，一定是反比例函数的有（ ）

A ．1个

B ． 2个

C ． 3个

D ． 4个

【巩固】已知y 与2x 成反比例，当3x =时，4y =，则y 是x 的（ ）

例题精讲

反 比 例 函 数

A ． 正比例函数

B ．一次函数

C ．反比例函数

D ．以上都不是

【例2】 若函数||1

a y x

-=

是反比例函数，则a 的值为（ ）． A ． a 为任意实数 B ． 0a > C ． 1a ≠ D ． 1a ≠±

【巩固】已知()

2

21

2m

m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式．

【例3】 已知反比例函数的图象经过点()3,2和(),2m -，则m 的值是 ．

【巩固】已知2

12y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求

y 与变量x 的函数关系式．

二、反比例函数的图象分布及增减性

【例4】 在下图中，反比例函数21

k y x

+=的图象大致是（ ）

A

B

C D

【巩固】函数k

y x

=

（0k >）的图象可能是（ ）

A. B. C. D.

【例5】 函数k

y x

=

与y kx b =+在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）

【例6】 已知0a ≠，0b ≠，0a b +≠则函数y ax b =+与a b

y x

+=

在同一坐标系中的图象不可能是( )

A. B. C. D.

【例7】反比例函数

2

(0)

k

y k

x

=≠的图象的两个分支分别位于．

【巩固】已知点()

1

P a

，在反比例函数

k

y

x

=（0

k≠）的图象上，其中223

a m m

=++（m为实数），则这个函数的图象在第_____象限．

【例8】在反比例函数

5

k

y

x

-

=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．5

k>B．0

k>C．5

k

k<

【例9】已知3

b=，且反比例函数

1b

y

x

+

=的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，如果点（a，3）在双曲线上

1b

y

x

+

=，则_____

a=．

【例10】若A（

1

a，

1

b），B（

2

a，

2

b）是反比例函数y=

12

a a

<，则

1

b与

2

b的大小关系是（）

A．

12

b b

12

b b

=C．

12

b b

>D．大小不确定

【例11】反比例函数

3

y

x

=-的图象上有三点，（2-，a），（1-，b），（1，c），比较a，b，c大小．

一、与反比例函数有关的面积不变性

【例12】反比例函数

x

k

y=的图像如图所示，点M是该函数图像上一点，MN垂直于

x轴，垂足是点N，如果2

MON

S

?

=，则k的值为（）

A.2

B.2-

C.4

D.4-

【例13】如图，正比例函数y kx

=和y ax

=(0

a>)的图像与反比例函数

k

y

x

=(0

k>)

的图像分别相交于A点和C点．若Rt AOB

?和Rt COD

?的面积分别为

1

S和

2

S，则

1

S与

2

S的关系是（）

【例15】 过反比例函数()0k

y k x

=

>的图象上的一点分别作x y ，

轴的垂线段，如果垂线段与x y ，轴所围成的矩形面积是6，那么该函数的表达式是______;若点()3A m -，在这个反比例函

数的图象上，则m =______.

【例16】 如图，在反比例函数2

y x

=

(0x >)的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，求123S S S ++= ____ ．

【例17】 两个反比例函数k y x =

和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k

y x

=的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交1

y x

=

的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x =

的图象于点B ，当点P 在k

y x

=的图象上运动时，以下结论： ①ODB ?与OCA ?的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；

④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．

其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．

【例18】 如图，点A 、B 在反比例函数k

y x

=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和

2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ?的面积为2． ⑴求反比例函数的解析式； ⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ?的面积．

【例19】 在平面直角坐标系中，函数k

y x

=

(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC ?的面积为2，求点B 的坐标．

_4

【例20】已知图中的曲线是反比例函数

5

m

y

x

-

=（m为常数）图象的一支．

⑴这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？

⑵若该函数的图象与正比例函数2

y x

=的图象在第一象内限的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当OAB

?的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．

【例21】过原点作直线交双曲线

k

y

x

=(0

k>)于点A、C，过A、C分别作两坐标轴的平行线，围成矩形

ABCD，如图所示．

⑴知矩形ABCD的面积等于8，求双曲线的解析式；

⑵若已知矩形ABCD的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不

能确定，试说明原因．

一、反比例函数与几何综合

【例22】已知点(1，3)在函数

k

y

x

=(0

x>)的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的

中点，函数

k

y

x

=(0

x>)的图像经过A、E两点，若45

ABD

∠=?，求E点的坐标.

【例23】如图，点A(m，1

m+)，B(3

m+，1

m-)都在反比例函数

k

y

x

=的图象上．

（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N

为顶点的四边形是平行四边形，

试求直线MN 的函数表达式．

【例24】 如图，11POA ?、

212P A A ?都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4

y x

=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标

.

【例25】 如图所示，()()111222P x y P x y ，，

，，……，()n n n P x y ，在函数()9

0y x x

=>的图象上，11OP A ?，212P A A ?，

323P A A ?，…，1n n n P A A -?，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．

【例26】 如图，P 是函数1

2y x

=

(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F .求AF BE ?的值

.

【例27】 已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A

的坐标为()

3-，点B 的坐标为()60-，．

（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''，请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标；

（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A

恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值；

（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度(090α<<)．当α=30时点B 恰好落在反比例函

数k

y x

=的图像上，求k 的值．

【例28】 如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函

数k

y x

=

(0k >，0x >)的图像上，点P (m ，n )为其双曲线上的任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．

⑴求B 点的坐标和k 的值；

⑵当92

S =时，求P 点坐标； ⑶写出S 关于m 的函数关系式．

【例29】 如图，点A 、B 在反比例函数k

y x

=

(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ?的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；

（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ?的面积．

【例30】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图

所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数

(0)k

y k x

=>的图象与AC 边交于点E ．

（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；

（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例31】 如图，反比例函数8

y x

=

的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，:2:1OA OC =．

（1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值．

【例32】 若一次函数21y x =-和反比例函数2k

y x

=

的图象都经过点（1，1）． （1）求反比例函数的解析式；

（2）已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；

（3）利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A O B P ，

，，为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．

【例33】 如图，点()1A m m +，

，()31B m m +-，都在反比例函数k

y x

=的图象上． （1）求m k ，

的值； （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，

，，为顶点的四边形是平行四边形，试

求直线MN 的函数表达式．

【例34】 已知(1)A m -，

与(2B m +，是反比例函数k

y x

=

图象上的两个点． （1）求k 的值；

（2）若点(10)C -，

，则在反比例函数k

y x

=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例35】 如图，已知反比例函数12

y x

=

的图象和一次函数7y kx =-的图象都经过点()2P m ，

．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD 的顶点A B ，

在这个一次函数图象上，顶点C D ，在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和2a +，求a 的值。

【例36】 反比例函数2k

y x

=

和一次函数21y x =-，其中一次函数图像经过()a b ，

，()1a b k ++，两点． （1）求反比例函数的解析式；

（2）求出两函数的交点A 的坐标．在x 轴上是否存在点P ，使AOP ?为等腰三角形？若存在，把符

合条件的点P 的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

【例37】 如图，已知反比例函数1

2k y x

=

的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于A B ，

两点，()1122A n B ??

-- ???

，，，．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在x 轴上是否存在点P ，使AOP ?为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例38】 如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m

y x

=

的图像交于(21)(1)A B n -，

，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB ?的面积．

【例39】 正比例函数y kx =(0k >)与反比例函数1

y x

=

的图象相交于A 、C 两点，过A 作AB x ⊥轴于B ，连结BC ，若ABC ?的面积为S ，求S ．

【例40】 将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图，直线a 与反比例函数()1

0y x x

=

>的图象相交于A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -=_____________．

【例41】 已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A

的坐标为()

3-，

，点B 的坐标为()60-，

． （1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''，请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标；

（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A

恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值；

（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）．当α=30时点B 恰好落在反比例

函数k

y x

=的图像上，求k 的值．

【例42】 如图，直线y kx b =+与反比例函数()0k y x x

=

<′

的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()24-，

，点B 的横坐标为4-． （1）试确定反比例函数的关系式；

（2）求AOC ?的面积．

【例43】 如图，已知Rt ABC ?的顶点A 是一次函数y x m =+与反比例函数m

y x

=

的图像在第一象限内的交点，且3AOB S ?=．

（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．

（2）如果线段AC 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D 点，过D 作DE x ⊥轴于E ，那么ODE ?的面积与AOB ?的面积的大小关系能否确定？

（3）请判断AOD ?为何特殊三角形，并证明你的结论．

【例44】 如图所示，设反比例函数1

y x

=

的两支为12C C ，

，正三角形PQR 三个顶点位于此反比例函数的图象上．

（1）求证：P Q R ，

，不能都在反比例函数的同一支上． （2）设()1P -，-1在2C 上，Q R 、在1C 上，求顶点Q R ，

的坐标．

一、反比例函数的应用

反比例函数在实际生活和科学领域都有广泛的应用，我们通过对题目的阅读理解，抽象出实际问题中的函数关系，将文字转化为数学语言，再利用反比例函数的思想方法来解决实际问题．

1．用反比例函数解决实际问题的方法和步骤

（1）审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；

（2）根据常量与变量之间的关系，设出函数的关系式，待定的系数用字母来表示； （3）有题目中的已知条件列出方程，求出待定系数．

（4）写出函数关系式，并注意关系式中的变量的取值范围． （5）用函数关系去解决实际问题．

2．运用反比例函数模型解实际问题时，要掌握一些基本的模型

（1）当体（面）积为定值时，底面积（边长）与高成反比例函数关系． （2）当工程总量为定值时，工作时间与工作效率成反比例函数关系．

（3）当力F 所作的功一定时，力F 与物体在F 方向通过的距离s 成反比例函数关系； （4）杠杆定律：力×力臂=定值 （5）压强公式：P=F÷S ，其中p 为压强，F 为压力，S 为受力面积； 3．用反比例函数解决实际问题时应注意几个问题：

（1）设未知量要恰当．恰当地设未知量可以使运算简单，解题过程简单，计算准确率高，否则将会带来不必要的麻烦．

（2）求出函数关系式后，要注意字母（或自变量）的取值范围：一般在实际问题中，①自变量的取值范围都是非负的．②有的取值范围只能是某一些范围内的数．

二、反比例函数的应用

【例45】某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为．

【例46】已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）

【例47】在对物体做功一定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上移动的

距离s（米）成反比例函数关系，其图象如图所示，()

5,1

P在图象上，则

当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离

是

米．

【例48】某闭合电路中，电源电压不变，电流I(A)与电阻()

RΩ成反比例，如下图表示的

是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解

析式为（）

Ａ．

8

I

R

=Ｂ．

8

I

R

=-Ｃ．

4

I

R

=Ｄ．

2

I

R

=

【例49】某某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体

的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如

图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安

全起见，气球的体积应（）

A．不小于5

4

m3 B．小于5

4

m3

C．不小于4

5

m3D．小于4

5

m3

【例50】已知甲、乙两地相距S（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度v（/

km h）的函数关系图象大致是（）

D．

C．

B．

A．

v/(km/h)

【例51】某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米／秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示：

（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；

（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？

例题精讲

)

F(

)

I(

（3）果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F在什么范围内？

【例52】一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积()2

S m的变化，人和木板对地面的压强()

p Pa将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N，回答下列问题：

（1）用含S的代数式表示P．P是S的反比例函数吗？为什么？

（2）当木板面积为2

0.2m时，压强是多少？

（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？

（4）画出相应的函数图象．

【例53】某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0．25毫克时治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．

【例54】为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方

米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为

a

y

t

=（a

为常数）．如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；

（2）据测定，当空气中每立方米和含药量降低到0．25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

y

【例55】 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y 之间

（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对()x y ，的对应点； （2）猜测并确定y 与x 之间的函数关系式，并画出图象；

（3）设经营此卡的销售利润为W 元，试求出W 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？

【例56】 如图，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O 点．训练时要

求A B ，

两船始终关于O 点对称．以O 为原点，建立如图所示的坐标系，x 轴，y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A B ，

两船可近似看成在双曲线4

y x

=上运动．湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A B ，

两船恰好在直线y x =上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60，B 船也同时测得C 船的位置（假

设C 船位置不再改变，A B C ，，三船可分别用A B C ，，三点表示）．

（1）发现C 船时，A B C ，

，

三船所在位置的坐标分别为(______)(______)A B ，，，和(______)C ，； （2）发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A O B ，，三点出发船沿最短路线同时．．前往救援，设A B ，两船的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3:4，问教练船是否最先赶到？请说明理由．

【例57】 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：

观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y （千克）与销售价格x （元/

千克）之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）之间都满足这一关系．

（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；

（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？

（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销

一、反比例函数与一次函数综合

【例1】 如图，是一次函数y kx b =+与反比例函数2

y x

=

的图像，则关于x 的方程2

kx b x

+=

的解为（ ） A ．1212x x ==， B ．1221x x

=-=-， C ．1212x x ==-，

D ．1221x x ==-，

【巩固】若一次函数3y x b =+和反比例函数3

b y x

-=

的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6.

【例2】 直线y kx =(0k >)与双曲线4

y x

=

交于A ()11x y ，

，B ()22x y ，两点，求122127x y x y -的值.

【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数k y x

=

的图象的一个交点为()2A a ，，则k 的值等于 ．

【巩固】在平面直角坐标系Oxy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90?得到直线l ．直线l 与反比例函数k y x

=

的图像的一个交点为()3A a ，，试确定反比例函数的解析式．

【例4】 如图，一次函数1

22

y x =

-的图象分别交x 轴、y 轴于A B P ，

，为AB 上一点且PC 为AOB ?的中位线，PC 的延长线交反比例函数()0k

y k x =>的图象于Q ，3

2

OQC S ?=，则k 的值和Q 点的坐标分别为______________.

【巩固】如图，直线43y x =与双曲线()0k y x x =>交于点A ．将直线43y x =向右平移9

2

个单位后，与双曲线

()0k y x x =

>交于点B ，与x 轴交于点C ，若

2AO

BC

=，则k =_________．

【例5】 已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数2

2(0)k y k x

=

≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)，．

（1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．

【巩固】已知一次函数y x m =+与反比例函数1

m y x

+=

(1m ≠-)的图象在第一象限内的交点为P (0x ，3) （1）0x 的值．

（2）一次函数和反比例函数的解析式.

【例6】 已知一次函数y kx b =+(0k ≠)的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且与反比例函数m

y x

=

(0m ≠)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D .若1OA OB OD ===，

（1）点A 、B 、D 的坐标；

（2）求一此函数与反比例函数的解析式

.

【巩固】已知反比例函数k

y x

=

(0k <)的图像经过点A

(m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且AOB ?的

（1）求k 和m 的值．

（2）若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求:AO AC 的值．

【例7】 如图，反比例函数k

y x

=

的图像与一次函数y mx b =+的图像交于()13A ，

，()1B n -，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图像回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

【巩固】如图，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数2k

y x

=

（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()13A ，

． （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．

【例8】 如图，已知()()424A B n --，，，是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数的图象的两个交点.

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．

【巩固】如图，已知：一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m

y x

=

的图像交于A 、B 两点. （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 取值范围．

A

【例9】 如图，已知()()424A n B --，

，，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m

y x

=的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；

【巩固】利用图象解一元二次方程230x x +-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线

2y x =和直线3y x =-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

（1）填空：利用图象解一元二次方程230x x +-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y = 和直线y x =-，其交点的横坐标就是该方程的解．

（2）已知函数6y x

=-的图象（如图9所示），利用图象求方程6

30x x -+=的近似解（结果保留两个

有效数字）．

（图9）

（图9）

中考数学函数之一次函数和反比例函数综 合问题压轴题专题Revised on November 25, 2020

《中考压轴题全揭秘》三年经典中考压轴题 函数之一次函数和反比例函数综合问题 1.（2014年福建泉州14分）如图，直线y =﹣x +3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数的图象交于点P （2，1）． （1）求该反比例函数的关系式； （2）设PC ⊥y 轴于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′； ①求△A ′BC 的周长和sin ∠BA ′C 的值； ②对大于1的常数m ，求x 轴上的点M 的坐标，使得sin ∠BMC = 1m ． 2.（2014年黑龙江牡丹江10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程x 2﹣18x +72=0的两根（OA ＞OC ），BE =5，tan ∠ABO =4 3． （1）求点A ，C 的坐标； （2）若反比例函数y = k x 的图象经过点E ，求k 的值； （3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2014年江苏淮安12分）如图，点A （1，6）和点M （m ，n ）都在反比例函数k y x =（x ＞0）的图象上， （1）k 的值为 ； （2）当m =3，求直线AM 的解析式； （3）当m ＞1时，过点M 作MP ⊥x 轴，垂足为P ，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，试判断直线BP 与直线AM 的位置关系，并说明理由． 4.（2014年山东枣庄10分）如图，一次函数y =ax +b 与反比例函数k y x =的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为（m ，2），点B 坐标为（﹣4，n ），OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为1 3 ，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴 的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、B D ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求四边形OCBD 的面积． 5. （2014年四川巴中10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）．若反比例函数1 k y x = （x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为2y k x b =+．（1）求反比例函数和直线EF 的解析式； （2）求△OEF 的面积； （3）请结合图象直接写出不等式1 2k k x b >0x +- 的解集．

反比例函数、三角函数练习题 一．填空题 1.若反比例函数y= k x 经过点(-1,2),则一次函数y=-kx+2的图象一定不经过第_____象限. 2.已知α为锐角，且sin α =cos500 ，则α ＝ . 3.已知tan α＝5 12 ，α是锐角，则sin α＝ . 4.如图，在坡度为1:2 的山坡 上种树，要求株距（相邻两树 间的水平距离）是6米，斜坡上 相邻两树间的坡面距离是 米。 5.在ABC Rt ?中，∠C=90° ，CD 是AB 边上的中线，BC=8，CD=5，则=∠ACD tan 。 二．选择题 1.已知y 与x 2成反比例,并且当x=-1时,y=2,那么当x=4时,y 等于( ) A.-2 B.2 C. 1 2 D.-4 2.已知关于x 的函数y=k(x-1)和y=-k x (k ≠0),它 们在同一坐标系内的图象大致是下图中的( ) 3.若tan(α +10°)=3，则锐角α的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 4.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8， 则AC 等于（ ） A ．6 B ． 32 3 C ．10 D ．12 5.当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于 12 B ．小于1 2 C ． D ． 6.一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（ ） A.30米 B.10米 C.1030米 D. 1010米 三．解答题 1、计算 (1) 4sin30°－2cos45°＋3tan60° (2) tan30°sin60°＋cos 230°－sin 2 45°tan45° （3）2020 020 cos 30sin 60tan 60tan 30+?+tan60° 2.如图,一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y= m x 的图象交于A 、B 两点:A(-2,1),B(1,n). (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围. 3.已知反比例函数y= 12 x 的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于P 、Q 两点,并且P 点的纵坐标是6. (1)求这个一次函数的解析式; (2)求△POQ 的面积. 4.如图，在某建筑物AC 上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测的仰角为0 30，再往条幅方向前行20米到达点E 处，看到条幅顶端B ，测的仰角为0 60，求宣传条幅BC 的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米） y O x B y O x A y O x y O x C y O x B A y Q O x P

【例1】 两个反比例函数1k y x = 和()2120k y k k x =>>在第一象限内的图象如图所示，动点P 在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ， 交2k y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2k y x =的图象于点B ． ⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时，求 DB BP 的值； 【例2】 如图，点A 、B 在反比例函数k y x = (0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ?的面积为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ?的面积． 【例3】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图 象与AC 边交于点E ． k 2x

（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4】 如图，点()1A m m +， ，()31B m m +-，都在反比例函数k y x =的图象上． （1）求m k ，的值； （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． y x O B A 【例5】 如图，已知反比例函数12 y x = 的图象和一次函数7y kx =-的图象都经过点()2P m ， ．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD 的顶点A B ，在这个一次函数图象上，顶点C D ，在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和2a +，求a 的值。

2019-2020年中考数学：反比例函数与一次函数综合题（含答案） 针对演练 1. 如图，一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)与反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象有公共点A (1，2)，直线l ⊥x 轴于点N (3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B ，C ，连接AC . (1)求k 和m 的值； (2)求点B 的坐标； (3)求△ABC 的面积． 第1题图

2. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k x (k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式； (2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 第2题图

3. 如图，反比例函数 2 y x =的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点 A、B，点A、B的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D. (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数 2 y x =，当y＜－1时，写出x的取值范围； (3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第3题图

4. (2016巴中10分)已知，如图，一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数， k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝n x (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C .CD ⊥x 轴，垂足为D .若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求两函数图象的另一个交点坐标； (3)直接写出不等式：kx ＋b ≤n x 的解集． 第4题图

中考数学复习 ——反比例函数与一次函数综合 1．若正比例函数x k y 1=的图象与反比例函数x k y 2 =的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（32,3），则k 1k 2=____________． 2、已知反比例函数k y x = 的图象与直线y =2x 和y =x +1的图象过同一点，则k = ． 3、如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=2x 的图象，则关于x 的方程kx+b=2 x 的 解为( ) A ．x l =1，x 2= 2 ； B ．x l = -2，x 2= -1 ； C ．x l =1，x 2= -2 D ．x l =2，x 2= -1 4、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）． A ．x ＜－1 B ．x ＞2 C ．－1＜x ＜0，或x ＞2 D ．x ＜－1，或0＜x ＜2 5、已知120k k <<，则函数1y k x =和2 k y x = 的图象大致是（ ） 6、.已知关于x 的一次函数y ＝－2x ＋m 和反比例函数x n y 1 +=的图象都经过A (－2，1)，则m ＝__，n ＝___． 7、.直线y ＝2x 与双曲线x y 8 = 有一交点(2，4)，则它们的另一交点为________． 8、已知y ＝(a －1)x a 是反比例函数，则它的图象在( )． (A)第一、三象限 (B)第二、四象限 (C)第一、二象限 (D)第三、四象限 9、观察函数x y 2 -=的图象，当x ＝2时，y ＝________；当x ＜2时，y 的取值范围是________； 当y ≥－1时，x 的取值范围是________． 10、.函数x y 2 = 在第一象限内的图象如图所示，在同一直角坐标系中，将直线y ＝－x ＋1沿y 轴向上平移2个单位，所得直线与函数x y 2 = 的图象的交点共有________个． 11、如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x m y = 的图象相交于A 、B 两点， (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围． y x O y x O y x O y x O （A ） （B （C ） （D ） A B O x y 第4题 2 1 2 3 －3 －1 －2 1 3 －3 －1 －2 第3题

一次函数、反比例函数的图象和性质一、选择题 1．在反比例函数y=2 x 的图象上的一个点的坐标是（） A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，1 2 ） D．（ 1 2 ，2） 2．函数y=（a-1）x a是反比例函数，则此函数图象位于（） A．第一、三象限； B．第二、四象限； C．第一、四象限； D．第二、三象限3．已知正比例函数y=（3k-1）x，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是（） A．k<0 B．k>0 C．k<1 3 D．k> 1 3 4．直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）个 A．4 B．5 C．7 D．8 5．在函数y=k x （k>0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x10，则这个函数的图象一定不经过第______象限． 12．如图6-2，点A在反比例函数y=k x 的图象上，AB垂直于x轴，若S△AOB=4，?那么这个反比例函数的解 析式为________．

反比例函数与三角函数试题 一、选择题 1.如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=900，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ． sin A = B ．1tan 2 A = C ．cos B = D ．tan B = 所示，则 tan α 的值是 2．如图三角形在方格纸中的位置如图 （ ）A ． 34 B ．43 C ．35 D ．45 3．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ） A cm C ．2cm 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3 2 ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 5．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tanA?的值为（ ）． A ．34 B ．43 C ．35 D ．4 5 6．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1 2，则sinA+tanA 等于（ ）． A ． 1 .2 B C D + 7．若（ 3 tanA-3）2 +│2cosB- 3 │=0，则△ABC （ ）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形 C ．是含有60°的任意三角形 D ．是顶角为钝角的等腰三角形 8.已知30°<α<60°，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 9.如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55°米 B. 500cos55°米 C ．500tan55°米 D ．500tan35°米 10．函数 ()922 2--+=m m x m y 是反比例函数，则m 的值是（ ） A. 24-==m m 或 B.4=m C. 2-=m D. 1-=m 11、反比例函数x k y =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则 k 的值为（ ） A 2 B -2 C 4 D -4 12、如图,一次函数ｙ1=ｘ－1与反比例函数ｙ2= x 2 的图像交于点A (2,1), B (－1,－2),则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取值范围是（ ） A. ｘ＞2 B. ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0 C. －1＜ｘ＜2 D.ｘ＞ 2 或ｘ＜－1

初三数学专题打通课出题人：刘争专题打通课一次函数和反比例函数综合 【考点一】一次函数与反比例函数的图象与性质 1、当k＞0时,反比例函数 k y x =和一次函数2 y kx =+的图象大致是()） 3 或 B. 或 D.或 第5题图第7题图 【考点二】利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式 【例1】在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图形与反比例函数y＝ k x (k≠0)的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝ 4 3 ，点B的坐标为(m，－2)． (1)求△AHO的周长； (2)求该反比例函数和一次函数的解析式．

【变式训练】如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ? ????12，n . (1)求这两个函数解析式； (2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝k x 的图象有且只有一个交点，求m 的值． 【考点三】与面积有关的问题 【例2】如图，反比例函数m y x = 的图象与一次函数y kx b =+的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（2,6），点B 的坐标为（n ，1） （1）求反比例函数与一次函数的表达式。 （2）点E 为y 轴上的一个动点，若5AEB S =，求点E 的坐标 【变式训练】 1.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x (x >0)的图象交于A (2，－1)，B ? ????12，n 两点，直线y ＝2与y 轴交于点C . (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积． 3、如图,分别位于反比例函数1y x =, k y x =在第一象限图象上的两点A 、B,与原点O 在同1 3 = (1)求反比例函数k y x = 的表达式; (2)过点A 作x 轴的平行线交k y x = 的图象于点C,连接BC,求△ABC 的面积.

中考专题复习 一次函数与反比例函数专题 真题再现： 1．(2008年苏州?本题8分)如图，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O 点．训练时要求A 、B 两船始终关于O 点对称．以O 为原点．建立如图所示的坐标系，x 轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A 、B 两船可近似看成在双曲线4 y x = 上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A 、B 两船恰好在直线y x =上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45°方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60°，B 船也同时测得C 船的位置（假设C 船位置不再改变， A 、 B 、 C 三船可分别用A 、B 、C 三点表示)． (1)发现C 船时，A 、B 、C 三船所在位置的坐标分别为 A ( ， )、 B ( ， )和 C ( ， )； (2)发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A 、O 、B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A 、B 两船 的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3：4， 问教练船是否最先赶到?请说明理由。 2．(2010年苏州?本题8分) 如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数k y x = (x ＞0)的图象经过点B ． (1)求k 的值； (2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、MA ′B C ．设线段MC ′、NA ′分别与函数k y x = (x ＞0)的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式． 3．（2014年?苏州?本题7分）如图，已知函数y ＝－ 1 2 x ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为2．在x 轴上有一点P (a ，0)（其中a >2），过点P 作x 轴垂线，分别交函数y ＝－ 1 2 x ＋b 和y ＝x 的图象于点C ，D ． (1)求点A 的坐标； (2)若OB ＝CD ，求a 的值． 4．（2014年?苏州? 8分）如图，已知函数y ＝ k x （x >0）的图象经过点A ，B ，点A 的坐标为(1，2)．过点A 作AC ∥y 轴，AC ＝1（点C 位于点A 的下方），过点C 作CD ∥x 轴，与函数的图象交于点D ，过点B 作

《锐角三角函数》水平测试 一、选择题：（每题4共30分） 1．在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 2 1 B. 3 3 C. 1 D. 3 2．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折 断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断 前的高度为（ ） A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米 3．若A B ∠∠、均为锐角，且2 1cos 2 1sin ==B A ，，则（ ）. A ．?=∠=∠60B A B ．?=∠=∠30B A C ．?=∠?=∠3060B A ， D ．?=∠?=∠6030B A ， 4. 在△ABC 中，∠C ＝90°，5 3 sin =A ，则=B tan （ ）． A.5 3 B.5 4 C.4 3 D.3 4 5．在ABC Rt ?中，?=∠90C ，若?=∠30A ，则三边的比c b a ：：等于（ ） A ．1：2：3 B ．1：3：2 C ．1：1：3 D ．1：2：2 6．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠=（ ） Ａ． 55 Ｂ．25 5 Ｃ．12 Ｄ．2 7．cos 245°＋tan60°?cos30°等于（ ）． A 、1 B 、2 C 、2 D 、3 8．如图，设，，βα=∠=∠BOC AOC P 为射线OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，则 PE PD 等于（ ） A ．βαsin sin B ．βαcos cos C ．βαtan tan D ．α β tan tan 9、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ’B ’C ’，那么锐角A 、A ’的余 弦值的关系为（ ）． A 、cosA ＝cosA ’ B 、cosA ＝3cosA ’ C 、3cosA ＝cosA ’ D 、不能确定 10、化简2(tan 301)- ＝（ ）。 A 、313- B 、31- C 、313 - D 、31- 二、填空题：（每题4分，共32分） O 30 ° A B O

一次函数与反比例函数综合题专题 1、如图，点D双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3， 点C的坐标为（2，2）． （1）求该双曲线的解析式； （2）求△OFA的面积． 2、如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是 双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D 作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC （1）求k的值； （2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式； （3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

x y A O P B C D 3、如图，已知反比例函数x k y =的图像经过第二象限内的点A （－1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2．若直线y =ax +b 经过点A ，并且经过反比例函数x k y = 的图象上另一点C （n ，一2）． ⑴求直线y =ax +b 的解析式； ⑵设直线y =ax +b 与x 轴交于点M ，求AM 的长． 4、如图，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数m y x =（x>0）的图象交于点P ，P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且S △DBP =27，12 OC CA =. （1）求点D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，梯形AOBC 的边OB 在x 轴的正半轴上，AC ∥OB ，

BC⊥OB，过点A的双曲线y= k x 的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E． （1）填空：双曲线的另一支在第________ 象限，k的取值范围是___________ （2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？ （3）若 1 2 OD OC =，S△OAC=2，求双曲线的解析式． 6、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=． （1）求边AB的长； （2）求反比例函数的解析式和n的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长． 7、如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．

函数综合复习 例题讲解： 1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3 2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（） （A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（） （A）4 （B）6 （C）8 （D）16 4．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，?则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（） 5．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（） （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 6．要得到y=-3 2 x-4的图像，可把直线y=- 3 2 x（）． （A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位 （C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位 7．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）． （A）k<1 3 （B） 1 3 1 （D）k>1或k< 1 3 8．已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是________． 9．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．10．已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________． 11．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．（1）写出y与x之间的函数关系式； （2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．

如何比较一次函数与反比例函数的大小一次函数和反比例函数是初中数学教学的重要内容，也是学生应掌握的最基础，最核心的内容。它们之间的大小关系是一次函数和反比例函数的综合应用，遇到这样的问题时同学们不知从何下手，易出现错误。下面我们就结合一条例题的讲解，介绍如何轻松的解决这样的问题。 例：如图,一次函数y 1=x－1与反比例函数y 2 = x 2 的图像交于点A(2 ，1)； B(－1，－2)，则使y 1>y 2 的x的取值范围是（） A. x>2 B. x>2或－12或x<－1 分析：根据图象特点结合A，B两点就可以找出使y 1>y 2 的x的取值范围 解：由A(2，1)，B(－1，－2)两点可知当x>2 或－1

点坐标。如本题两函数的交点坐标分别是A(2，1)和B(－1，－2)。 3、画三线：根据两条函数的交点画出三条垂x直于轴的直线。如本题的三条直线分别为x=－1；x=0(即y轴)和x=2。 4、分四域：以三线为界可将直角平面划分为四个区域。如本题可分为 ①x＜－1；②－1＜x＜0；③0＜x＜2；④x＞2。 5、定大小：根据“上大下小”原则。在“4”中我们已经得到4个区域，下面我们就根据分的区域比较大小：①x＜－1时，一次函数图像在反比例函数图像的 下面，即y 1＜y 2 ；②－1＜x＜0时，一次函数图像在反比例函数图像的上面，即 y 1＞y 2 ；③0＜x＜2时，一次函数图像在反比例函数图像的下面，即y 1 ＜y 2 ； ④x＞2时，一次函数图像在反比例函数图像的上面，即y 1＞y 2 。 (-1 -2) (2 1) (-1 -2) (2 1) x=-1 x=2 x=0 (-1 -2) (2 1) x=-1 x=2 x=0 区域①区 域 ② 区 域 ③ 区 域 ④

一次函数与反比例函数综合题训练 1.如图，直线y =k 1x +b 与双曲线y =2 k x 相交于A （1，2）、B （m ，﹣1）两点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）若A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式； （3）观察图象，请直接写出不等式k 1x +b ＞ 2 k x 的解集． 2.如图，在平面直角坐标系xoy 中，函数()4 y= x 0x >的图象与一次函数y =kx －k 的图象 交点为A （m ，2）.（1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y =kx －k 的图象与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一点， 且满足△PAB 的面积是4，直接写出点P 的坐标． 3．平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A （﹣4，0），B （2，0），C （3，3）反比例函数y= m x 的图象经过点C ． （1）求此反比例函数的解析式； （2）将平行四边形ABCD 沿x 轴翻折得到平行四边形AD ′C ′B ，请你通过计算说明点D ′在双曲线上； （3）请你画出△AD ′C ，并求出它的面积．

4.如图，一次函数y 1=﹣x ﹣1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数2 k y x = 图象的一个交点为M （﹣2，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B 到直线OM 的距离． 5.如图，一次函数y =－2x +b （b 为常数）的图象与反比例函数k y=x （k 为常数，且k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1-，4)． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）求点B 的坐标． 6.如图，直线y =2x +2与y 轴交于A 点，与反比例函数k y= x （x ＞0）的图象交于点M ，过M 作MH ⊥x 轴于点H ，且tan ∠AHO =2．（1）求k 的值；（2）点N （a ，1）是反比例函数k y=x （x ＞0）图象上的点，在x 轴上是否存有点P ，使得PM +PN 最小？若存有，求出点P 的坐标；若不存有，请说明理由． 7.如图在平面直角坐标系xoy 中，一次函数y x =-的图象与反比例函数k y x = 图象交于A 、B 两点. ①根据图像求k 的值; ②点P 在y 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是直 角三角形，试写出点P 所有可能的坐标. y O A B -1

专题复习：反比例函数与一次函数 谷城县茨河镇中心学校文有书 学习目标：1.进一步理解反比例函数中k的几何意义，并能熟练计算图形的面积；能根据图象比较函数值的大小. 2.通过数形结合、转化的思想方法总结解题的一般思路. 教学重点：面积的计算方法及函数值的大小比较方法. 教学难点：利用转化的方法计算图形的面积. 教学过程： 一、诊断练习 已知直线与双曲线交于A、B两点. 1. 如图(1)若点，则点B的坐标为______，直线解析式______，双曲线解析式______ (1) (2) 2.如图(2)，过点A作AC⊥x轴垂足为C，若，则双曲线的解析式为_________ 二、反思归纳 1.正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称 2.反比例函数k的几何意义 三、合作探究 例：已知直线AB与双曲线交于A、B两点. (1)如图，点，点D在x轴上，若四边形OACD是菱形，求双曲线及直线CD的解析 式 求反比例函数解析式的关键：找到曲线上一点坐标. 求反比例函数解析式的方法： 1.利用k的几何意义求解 2.通过利用勾股定理、平移、全等、相似等方法求出点的坐标. (2)将直线AB向上平移后，若A，，求△OAB的面积 归纳：当坐标轴穿过所求图形时，宜用分割的方法求面积. 变式一：在上图中，BO的延长线交双曲线于点F，连接AF，求△OAF的面积 归纳：当所求图形在同一象限时，可用割补法求面积. 变式二：如图，若A，，分别过A、F两点向x轴作垂线，垂足分别为N、M.求四边形AFMN的面积. x x x x

归纳：合理转化图形，充分利用反比例函数k 的几何意义. 求反比例函数中图形面积的方法： 1.若所求图形面积是可直接求出的，则可以按照相应图形面积公式直接计算； 2.若所求图形面积是不可直接求出的，则采用割补法; 3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数k 的几何意义. (3)直线AF ： 的图象与双曲线： 的图象交于A 、F 两点，请写出 时， 自变量x 的取值范围. 归纳：根据函数图象比较大小的一般步骤：1.找交点2.分区域3.写范围 变式一：直线： 的图象与双曲线： 的图象交于A 、B 两点，请写出 时， 自变量x 的取值范围. 变式二：一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A 、B 两点．已知当 时 当 时 ，求一次函数的解析式. 四、反思小结 1.知识上： 2.方法上： 3.思想上： 五、巩固练习 如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，与双曲线 分别交于点C 、D ，且C 点的坐标为（1-，2）. (1)分别求出直线AB 及双曲线的解析式； (2)求出△OCD 的面积； (3)利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时， . 六、课外作业 专题复习学案 x x x x

一次函数和反比例函数 【知识点1】概念和关系式 1、 一次函数一般式y=kx+b （k ≠0，b 为常数，） ，当b=0时，为y=kx （k ≠0，k 为常数）的正比例函数。 其他表达形式： ①斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0) ②两点式: 11121 2)()(tan y x x x x x y y b x b kx y +---=+=+=α （斜率：1 212tan x x y y k --= =α） ③截距式： 1=+b y a x 2、反比例函数关系式k y x =（k ≠0，k 为常数） ，其中x 和y 的值都不能取0 一次函数和反比例函数解析式的确定，解这类问题的一般方法是待定系数法。 【知识点2】：函数的图像和性质 1、 一次函数y=kx+b 的图象是经过点的（0，b ）和点（k b - ，0）的直线；（正比例函数y=kx 的图象是经过原点（0，0）的直线）

2、反比例函数的性质和图像 【知识点4】图像的几何意义 1、 一次函数、正比例函数的图像都是一条直线 2、 平面直角坐标系中两直线的位置关系 （1）在坐标平面内，直线y = k 1x+b 1与直线y = k 2x+b 2的交点坐标为方程?? ?+=+=2 21 1b x k y b x k y 的解。 （2）在坐标平面内，若直线y = k 1x+b 1与直线y = k 2x+b 2中，k 1 = k 2且b 1≠b 2，则两直线平行。 （3）两点间距离公式：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2） ()()221221y y x x -+- （4）点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离： 1 ) 1(2002 2 00++-= -++-= k b y kx k b y kx d （当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 2、反比例函数k y x = （k ≠0）中的k 的几何意义 过双曲线k y x = （k ≠0）上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为 | k |。 特点：图像是关于原点中心对称图形

三角函数典型例题剖析与规律总结 一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。 分析：要求1sin 2+= y 的定义域， 只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足2 1 sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。 解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin - ≥x ①在一周期??????-23,2ππ上符合①的角为?? ????-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为?? ? ?? ? + - 672,6 2πππ πk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()() 1,0log ≠>= a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域 （1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2 -+= x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2） ()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22 22 cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般 函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 （2）函数的最大值与最小值。 例。求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211- = （2）??? ??≤≤-??? ? ? +=6662sin 2πππx x y （3）4sin 5cos 22 -+=x x y （4）?? ? ? ??∈+-=32,31cos 4cos 32 ππx x x y 分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数 c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。

一次函数与反比例函数 —专项提升

1. 如图1，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =（0x <）的图象交于A （-3，2）， B （n ，4）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点C （-1，0）是x 轴上一点，求△ABC 的面积． 2、如图2，直线y 1=kx +2与反比例函数23 y x -=（x <0）相交于点A ，且当x <-1时，y 1>y 2，当-1

3、如图，直线1 32 y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B . (1)求点A 、B 的坐标 (2)若点P 在直线1 32 y x = +上，且横坐标为-2， 求过点P 的反比例函数图象的解析式. 4、如图9，在平面直角坐标系中，双曲线y =m x 和直线y =kx +b 交于A ，B 两点，点A 的坐标 为（﹣3，2），BC ⊥y 轴于点C ，且OC =6BC ． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）直接写出不等式m x ＞kx +b 的解集． 图9

图10 x y A O B 5、如图10，一次函数y=x+1的图象与反比例函数x k y =（k 为常数，且0k ）的图象都经过点A （m ，2）． （1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）设一次函数y=x+1的图象与x 轴交于点B ，若点P 是x 轴上一点，且满足△ABP 的面积是2，请直接写出点P 的坐标． 6、正比例函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝k x （k ≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1. （1）求反比例函数的解析式； （2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小. O M y 图11 A x

反比例函数与一次函数综合经典例题解析 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅 能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。 一. 探求同一坐标系下的图象 例1. 已知函数m x y =与x n y =在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ） A. 0n ,0m >> B. 0n ,0m <> C. 0n ,0m >< D. 0n ,0m << 分析：由图知，一次函数m x y =中，y 随x 的增大而增大，所以0m >；反比例函数x n y = 在第二、四象限，所以0n <。观察各选项知，应选B 。 评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。 例2.在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (x k y ≠= 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 图2 分析：本题可采用排除法。由选项A 、B 的一次函数图象知，0k >-即0k <，则一次函数k kx y +-=图象与y 轴交点应在y 轴负半轴，而选项A 、B 都不符合要求，故都排

除；由选项D 的一次图象知，0k <-即0k >，则反比例函数)0k (x k y ≠= 图象应在第一、三象限，而选项D 不符合要求，故也排除；所以本题应选C 。 评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。 二. 探求函数解析式 例3.如图3，直线b x k y 1+=与双曲线x k y 2 = 只有一个交点A （1，2），且与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线与双曲线的解析式。 解析：因为双曲线x k y 2 = 过点A （1，2）， 所以2k ,1 k 222 == 得双曲线的解析式为x 2y = 。 因为AD 垂直平分OB ，A 点的坐标为（1，2）。所以B 点的坐标为（2，0）。 因为b x k y 1+=过点A （1，2）和B （2，0）， 所以???=+=+0b k 22b k 11 解得? ??=-=4b 2k 1 所以直线的解析式为4x 2y +-=