浙江省杭州市学军中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
浙江省杭州市学军中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
一、选择题
1．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝
（ ）
A ．{x |1≤x ＜2}
B ．{x |0＜x ＜2}
C ．{x |0＜x ≤1}
D ．{x |0＜x ＜1}
2．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ??
=+- ???
的定义域为 （ ） A ．（0，2）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（﹣1，1）
3．若角α的终边与单位圆交于点P （3
5
-，45），则sin （2
π+α）＝
（ ）
A ．
35
B ．35
-
C ．45-
D ．45
4．函数()2
e e x x
f x x
--=的图像大致为
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知2log a e =，ln 2b =，1
2
1
log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >> 6．已知sinα+cosα1
2
=
，α∈（0，π），则
11tan tan αα+=-
（ ）
A
B
．C
D
．7．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，AB ⊥AD ，点P 满足AP xAB y AD =+，且x +2y ＝1，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且AM AP λ=，则λ的最大值等于
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．平面向量a ，b 满足，2()30a a b -?-=，2b =，则a b -最大值是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．将函数sin(2)5y x π
=+的图象向右平移10
π个单位长度，所得图象对应的函数
( )
A ．在区间35[
,]44
ππ
上单调递增 B ．在区间3[
,]4
π
π上单调递减
C ．在区间53[
,]42
ππ
上单调递增 D ．在区间3[
,2]2
π
π上单调递减
10．函数y x = ）．
A ．()1,+∞
B ．
)
+∞
C ．
)
+∞
D ．)
1?+∞?
二、填空题
11．已知向量()1
2a =，，()3b x =-，，若满足a b ，则x ＝_____，若满足a b ⊥，则x ＝_____．
12．函数()f x =________． 13．若5sin(
)=
6
13
π
α-，则cos()3π
α+=________________
14．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝120°，则AO BC ?=_____． 15．已知f （x ）＝sin 6x πω?
?
+ ??
?
（ω＞0）
，f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ??
???
，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．
16．定义在区间02π?
?
??
?
，上的函数y =的图象与y ＝4tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴
交于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为_____． 17．设函数f （x ）＝2ax 2+2bx ，若存在实数x 0∈（0，t ），使得对任意不为零的实数a ，b 均有f （x 0）＝a +b 成立，则t 的取值范围是_____． 四、解答题
18．计算下列各式的值：
（1）2721
3216-+-（12）﹣
2﹣（8
27
）-2
3
（2）2（）2
?lg5
19．（1）已知tanθ＝2，求sin2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos2θ+4的值．
（2）已知
()
()()()
3
3
2
sin cos tan
f x
cos
πθπθπθ
π
θ
-+-
=
??
-
?
??
，求
7
3
f
π
??
-
?
??
的值．
20．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC
上，且
1
9
BE BC DF DC
λ
λ
==
，．
（1）当λ
1
2
=，求|AE|；
（2）求AE AF
?的最小值．
21．已知函数()223f x sin x π??
=+
??
?
： （1）若04x π??∈????
，，求y ＝f （x ）的最大值和最小值，并写出相应的x 值； （2）将函数y ＝f （x ）的图象向右平移
12
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）满足：y ＝g （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b ﹣a 的最小值．
22．已知函数：f （x ）＝x 2﹣mx ﹣n （m, n ∈R ）．
（1）若m +n ＝0，解关于x 的不等式f （x ）≥x （结果用含m 式子表示）；
（2）若存在实数m ，使得当x ∈[1，2]时，不等式x ≤f （x ）≤4x 恒成立，求实数n 的取值范围．
参考答案 1．A 2．B 3．B 4．B 5．D 6．B
7．C
8．C
9．A 10．A
10
【详解】函数y x x =R ． 当1x 时，可知函数y 是递增函数，可得12y + 当1x
时，可得0y x -=，两边平方，0y x
-，即1y >
2
2()y x ∴-=
，可得：222223x xy y x x -+=-+，(1)y ≠
23122y x y -∴=-．得y R ∈．由22323
02(1)22
y y y y x y y y --+-=-=--，
1y >．
2230y y ∴-+，可得：y R ∈
，综上可得1y >．∴函数y x =的值域为(1)+∞． 11．3
2
-
6 12．[2，+∞） 13．
513
14．8
15．
163
16．
17．()1,+∞
17【详解】f （x ）＝a +b 成立等价于（2x ﹣1）b ＝（1﹣2x 2）a ，
当x 1
2
=时，左边＝0，右边≠0，不成立，
当x 12≠时，（2x ﹣1）b ＝（1﹣2x 2
）a 等价于21221
b x a x -=-，
设k ＝2x ﹣1，则x 12k +=，则2
2
(1)1211222
k b k k a k k +---+===（1k
-k ﹣2）， ∵x ∈（0，t ），（t 1
2＜），或x ∈（0，
12）∪（12，t ），（t 12
＞）， ∴k ∈（﹣1，2t ﹣1），（t 1
2
＜），或k ∈（﹣1，0）∪（0，2t ﹣1），（t 1
2
＞
），（*） ∵?a ，b ∈R ，∴12b a =（1
k -k ﹣2），在（*）上恒有解，∴12（1k
-k ﹣2），在（*）上的值域为R ， 设g （k ）12=
（1
k
-k ）﹣1，则g （k ）在（﹣1，0），（0，2t-1）上单调递减， 对应值域为(,1),((21),)g t -∞--+∞，要保证
12（1
k
-k ﹣2）在（*）上的值域为R ，则 ∴1122(21)1211
t t g t t ????∴????-<--??＞＞
＞，解得t ＞1，故答案为：()1,+∞.
18．【详解】（1）2721
3216-+-（12）﹣
2﹣（8
27）2
3-=914+-49
4
-=3；
（2）2（lg 2）2
+lg 2?lg5()
2
lg 2lg 21+
-+=2（lg 2）2+lg 2?lg5+1﹣lg 2
＝2lg 2（lg 2+lg 5）+1﹣lg 2＝lg 2+1﹣lg 2＝1． 19．【详解】（1）∵tanθ＝2，∴sin 2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos 2θ+4
2222222344sin sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθ--++=+222222
52521
1sin sin cos cos tan tan sin cos tan θθθθθθθθθ-+-+==++ 22
5222117
215
?-?+==+； （2）∵f （θ）
()()()
332sin cos tan cos πθπθπθπθ-+-=
??
- ???
()()sin cos tan sin θθθθ?-?-==--sinθ． ∴7733f sin ππ
????-
=--=- ? ?
????sin （3π-）＝sin 33π=． 20．【详解】以等腰梯形ABCD 的底AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示
的坐标系，
∵AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴A （﹣1，0），B （1，0），C （
12，3
）， D （12-
，3
2
），∴AE AB BE =+=（2，0）+λ（12-
，3）=212-λ，3
λ），
（1）当λ12=
时，AE =（74，3
），则|AE |49313
1616=+=
（2）∵DE AD DF =+=（
12，3）19λ+（1，0）＝（1129λ+，3
）， ∴17217189218AE AF λλ?=
++≥+2217229
9218318
λλ?=+=，当且仅当λ23=时取得最小值． 21．【详解】（1）∵04x π??
∈????
，，∴2x 3π+∈[3π，
56π
]，∴12
≤sin x （2x 3π+）≤1，即f （x ）∈[12，1]，当x 4
π
=
时，f （x ）取得最小值，最小值为
12，当x 12
=π时，f （x ）取得最大值，最大值为1；
（2）函数y ＝f （x ）的图象向右平移12
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，
则g （x ）＝2sin[2（x 12
π
-
）3π+
]+1＝2sin （2x 6π
+）+1， 令g （x ）＝2sin （2x 6π+）+1＝0，解得x 6π=-+k π或x 2
π
=+k π，k ∈Z ，
即g （x ）的零点相离间隔依次为
3π
或23
π， 故若y ＝g （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点，则b ﹣a 的最小值为103
π
?+922833
ππ
?
=． 22．【详解】（1）由x ≤x 2+mx ﹣m ，即（x +m ）（x ﹣1）≥0，
①m ＝﹣1时，可得x ∈R ；
②m ＜﹣1时，﹣m ＞1，可得解集为（﹣∞，1]∪[﹣m ，+∞）； ③m ＞﹣1时，﹣m ＜1，可得解集为（﹣∞，﹣m ]∪[1，+∞）； （2）x ∈[1，2]时，x ≤x 2+mx +n ≤4x 恒成立，即为1≤x n
x
++m ≤4对x ∈[1，2]恒成立， 即存在实数m ，使得﹣x n x -
+1≤m ≤﹣x n
x
-+4对x ∈[1，2]恒成立， ∴（﹣x n x -+1）max ≤（﹣x n
x
-+4）min ，
当0n <时，由n y x x =--在[1，2]递减，∴﹣n ≤22n
-，即n ≥﹣4，40n ∴-≤<
当01n ≤≤时，由n y x x =--在[1，2]递减，∴﹣n ≤22n
-，即n ≥﹣4，01n ∴≤≤
当4n ≥时，由n y x x =--在[1，2]递增，∴132n
n --≤-， 84n ∴≥≥
当14n <<时，由n y x x =--在[1，2]先增后减，∴13n -≤-或122
n
-≤-，14n ∴<<
综上，实数n 的取值范围：[﹣4，8]．