人教版数学高二人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》章末小结
章末小结
知识点一导数的概念与几何意义
求曲线的切线的方法
求曲线的切线分两种情况
(1)求点P(x0，y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k ＝y′|x＝x0.
(2)求过点P(x1，y1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率k＝y′|x＝x0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．
已知函数y＝x3－x，求函数图象
(1)在点(1，0)处的切线方程；
(2)过点(1，0)的切线方程．
解析：(1)函数y＝x3－x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，
所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2.
(2)设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x30－x0)，
则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x20－1，
切线方程为y－(x30－x0)＝(3x20－1)(x－x0)，
由于切线经过点(1，0)，
所以0－(x30－x0)＝(3x20－1)(1－x0)，
整理，得2x 30－3x 20＋1＝0，即2(x 30－1)－3(x 20－1)＝0，
所以2(x 0－1)(x 20＋x 0＋1)－3(x 0＋1)(x 0－1)＝0，
所以(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，
解得x 0＝1或x 0＝－12
. 所以P (1，0)或P ? ??
??－12，38， 所以切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋14
.
知识点二 导数与函数的单调性
求函数f (x )的单调区间的方法步骤
(1)确定函数f (x )的定义域；
(2)计算函数f (x )的导数f ′(x )；
(3)解不等式f ′(x )>0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )<0，得到函数f (x )的递减区间．
提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．
(2014·高考大纲卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．
解析：(1)因为函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x ，
所以f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3.
令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a )。
若a ＞1，Δ≤0时，f ′(x )≥0，因此f (x )在R 上是增函数。
当a ≤1，Δ＞0时，f ′(x )＝0方程有两个根，x 1＝－1＋－a a
，x 2＝－1－－a a
. 当0＜a ＜1，x ∈? ?????－∞，－1－－a a 或? ??
???－1＋－a a ，＋∞时，f ′(x )＞0，
故函数f (x )在? ?????－∞，－1－－a a 和? ??
???－1＋－a a ，＋∞都是增函数； 在? ?????－1－－a a ，－1＋－a a 是减函数． 当a ＜0，x ∈? ?????－∞，－1＋－a a 或? ??
???－1－－a a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 故函数f (x )在? ?????－∞，－1＋－a a 和? ??
???－1－－a a ，＋∞都是减增函数；
在? ?????－1＋－a a ，－1－－a a 是增函数． (2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数．
当a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数，
当且仅当f ′(x )≥0且f ′(2)≥0，解得－54
≤a ＜0， 综上，a 的取值范围????
??－54，0∪(0，＋∞)．
知识点三 导数与函数的极值
(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧和右侧f ′(x )的符号不同．特别注意，导数为零的点不一定是极值点．
(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b ) 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
(3)运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查 f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．
(2014·福建安溪一中、德化一中摸底考)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋mx .
(1)当 m ＝－3时，求函数f (x )的极值；
(2)若函数f (x ) 在定义域内为增函数，求实数m 的取值范围．
解析：(1) f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝1x
＋2x ＋m ， m ＝－3时，f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝（2x －1）（x －1）x
，令f ′(x )＝0，得x ＝12
或x ＝1. f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
x
? ????0，12 12 ? ????12，1 1 (1，＋∞) f ′(x )
＋ 0 － 0 ＋
f (x ) 极大值 极小值 由上表可知，f (x )极大值＝f ? ??
??12＝－ln 2－54，f (x )极小值＝f (1)＝－2. (2)函数f (x )在定义域内为增函数，
所以x ＞0时，f ′(x )＝1x ＋2x ＋m ≥0恒成立，可得m ≥－? ??
??1x ＋2x (x ＞0)恒成立．
因为x ＞0，所以1x ＋2x ≥22(当且仅当 x ＝22
时取等号)，所以 －? ????1x ＋2x max
＝－22，得m ≥－2 2. ∴m 的取值范围是[－22，＋∞)
知识点四 导数与函数的最值
1．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f (x )在(a ，b )内的极值．
(2)将(1)求得的极值与f (a )，f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
2．利用导数求函数的最值时的两个注意点
(1)当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得．
(2)当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极
小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0 解析：(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函数过(1，0)点， 即－2＋b＝0，b＝2. 所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2得，f′(x)＝3x2－6x. 由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2. ①当0 ②当2 x 0(0，2)2(2，t)t f′(x)0－0＋ f(x)2－2t3－3t2＋2 f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2. 知识点五 导数在优化问题中的应用 (1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： ①分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，并根据实际意义确定定义域； ②求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0得出定义域内的实根，确定极值点； ③比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； ④还原到实际问题中作答． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 货车欲以x km/h 的速度行驶，去130 km 远的某地，按交通法规，限制x 的允许范围是50≤x ≤100，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油 的速率是? ?? ??2＋x 2360升/小时．司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车往返的总费用最低是多少？ 解析：单程行驶：汽车运行的时间为130x 小时，耗油量为130x ·? ?? ??2＋x 2360升，耗油费用为2·130x ·? ????2＋x 2360元，司机的工资为14×130x 元，故这次行车的单程费用为y ＝2·130x ·? ????2＋x 2360＋14×130x ＝130·? ?? ??x 180＋18x . 所以y ′＝130·? ?? ??1180－18x 2. 令y ＝0得50≤x ≤100内的唯一解为 x ＝1810≈57(km/h) 所以y ＝130×? ?? ??57180＋1857≈82.2(元) 所以最经济的车速是57 km/h ，这次行车往返的总费用最低约为2×82.2＝164.4(元)． 知识点六 定积分的计算及简单应用 (1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数． (2)利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积． (3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果． (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则 20f (x )d x ＝ ________________； (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a >0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝________________． 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－3，所以20f (x )d x ＝ ? ??? ????14x 4＋13x 3f ′（1）20＝－4. (2)由???y ＝x 2，y ＝a ， 可得A (－a ，a )，B (a ，a )， S ＝ a －a (a －x 2)d x ＝ ???? ????ax －13x 3a )－a ＝2? ?? ??a a －13a a ＝4a 3 23＝823，解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2 一、选择题 1．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式可以为(C ) A ．f (x )＝x 4 B ．f (x )＝x 4＋1 C ．f (x )＝x 4－2 D ．f (x )＝－x 4 解析：由f ′(x )＝4x 3，可设f (x )＝x 4＋c (c 为常数)，由f (1)＝－1得－1＝1＋c ，∴c ＝－2.故选C. 2．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的(A ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0?y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数?f ′(x )≥0?f ′(x )>0. 3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(C ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝x 3－x C ．y ＝xe x D ．y ＝－x ＋ln(1＋x ) 解析：对于C ，有y ′＝(xe x )′＝e x ＋xe x ＝e x (x ＋1)>0. 4．曲线y ＝13x 3－2在点? ?? ??－1，－53处切线的倾斜角为(B ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150° 解析：∵y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1，∴α＝45°.故选B. 5．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积为(A ) A.13 B.12 C.23 D ．1 解析：y ′＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2，点(0，2)处的切线方程为y －2＝－2x . 令y ＝0得x ＝1.由???y －2＝－2x y ＝x 得?????x ＝23，y ＝23， ∴S ＝12×23×1＝13. 6．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是(D ) A ．?x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 解析：对于A.?x ∈R ，f (x )≤f (x 0)错误．x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，并不是最大值点． 对于B ，－x 0是f (－x )的极小值点．错误．f (－x )相当于f (x )关于y 轴的对称图象，故－x 0应是f (－x )的极大值点． 对于C ，－x 0是－f (x )的极小值点．错误．－f (x )相当于f (x )相当于关于x 轴的对称图象，故 x 0应是－f (x )的极小值点．跟－x 0没有关系． 对于D ，－x 0是－f (－x )的极小值点．正确．－f (－x )相当于f (x )先关于y 轴的对称图象，再关于x 轴的对称图象．故D 正确． 7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(D ) 8．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈???? ??12，2恒成立，则a 的最大值为(A) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：设 f (x )＝1－x x ＋ln x ， 则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2. 当x ∈??????12，1时，f ′(x )<0，故函数f (x )在???? ??12，1上单调递减； 当x ∈(1，2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在(1，2]上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝0，所以a ≤0，即a 的最大值为0. 二、填空题 9．计算30(2x －1)d x ＝ ________________________________________________________________________. 解析：由导数的运算法则知当F (x )＝x 2－x 时，F ′(x )＝2x －1，由定积分的定义得 30(2x －1)d x ＝F (3)－F (0)＝9－3＝6. 答案：6 10. 答案：π2 －1 11．(2015·江门一模)已知定义在区间(－π，0)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递减区间是________． 解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )<0，得－π2 ???－π2，0. 答案：? ?? ??－π2，0 12．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4s 内经过的路程是________． 解析： 84(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )|84 ＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 答案：261.2米 三、解答题 13．已知函数f 1(x )＝e |x －a |，f 2(x )＝e bx . (1)若f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )－bf 2(－x )，是否存在a ，b ∈R ，使y ＝f (x ) 为偶函数？如果存在，请举例并证明你的结论；如果不存在，请说明理由． (2)若a ＝2，b ＝1.求函数g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )在R 上的单调区间． 解析：(1)存在a ＝0，b ＝－1使y ＝f (x )为偶函数，证明如下：此时：f (x )＝e |x |＋e －x ＋e x ，x ∈R ， 所以f (－x )＝e |－x |＋e x ＋e －x ＝f (x )， 所以y ＝f (x )为偶函数．(注：a ＝0，b ＝0也可以) (2)因为g (x )＝e |x －2|＋e x ＝???e x －2＋e x ，x ≥2，e 2－x ＋e x ，x <2， ①当x ≥2时，g (x )＝e x －2＋e x ， 所以g ′(x )＝e x －2＋e x >0， 所以y ＝g (x )在[ 2，＋∞)上为增函数． ②当x <2时，g (x )＝e 2－x ＋e x ， 则g ′(x )＝－e 2－x ＋e x ，令g ′(x )＝0得到x ＝1， (i)当x <1时，g ′(x )<0， 所以y ＝g (x )在(－∞，1)上为减函数． (ii)当1≤x <2时，g ′(x )>0，所以y ＝g (x )在(1，2)上为增函数． 综上所述：y ＝g (x )的增区间为[ 1，＋∞)，减区间为 (－∞，1)． 14．用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积． 解析：设容器底面宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x )m. 由?????3.2－2x >0，x >0 解得0 y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6， 令y ′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0， 解得x ＝1，或x ＝－415 (舍去)． ∵在定义域(0，1.6)内只有一个点x ＝1使y ′＝0，且x ＝1是极大值点， ∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2 m. 因此，容器高为1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 15．(2015·惠州第三次调研改编)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R)，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围； (2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|. 解析：(1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )， 又因为－2≤x ≤－1，知1－x >0 所以a ≥x 2－2x ＋12（1－x ）在x ∈[－2，－1]时恒成立，因为x 2－2x ＋1 2（1－x ） ＝1－x 2≤32 ， 所以a ≥32 . (2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |， 所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0，则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a . ①当a <－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ； ②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ， 所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )； ③当a >1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )． 16．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)． (1)确定a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解析：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a .所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为： y －16a ＝(6－8a )·(x －1)，由点(0，6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12 . (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ， f ′(x )＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0 取得极大值f (2)＝92 ＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.