希尔伯特问题

希尔伯特问题

1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。

2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。

3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。

4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。

5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念拓扑群论经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的。

6 物理公理的数学处理数学物理在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。

7 某些数的无理性与超越性超越数论1934年A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。

8 素数问题数论一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决。中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。

9 任意数域中最一般的互反律之证明类域论已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.

10 Diophantius方程可解性的判别不定分析1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。

11 系数为任意代数数的二次型二次型理论H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果。

12 Abel域上kroneker定理推广到任意代数有理域。复乘法理论尚未解决。

13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。方程论与实函数论连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决。

14 证明某类完全函数系的有限性代数不变式理论1958年永田雅宜给出了否定解决。

15 Schubert记数演算的严格基础代数几何学由于许多数学家的努力，Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础，已由B.L.V ander Waerden(1938-40)与A.Weil(1950)建立。

16 代数曲线与曲面的拓扑曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论问题的前半部分，近年来不断有重要结果。

17 正定形式的平方表示式域（实域）论已由Artin 于1926年解决。

18 由全等多面体构造空间结晶体群理论部分解决。

19 正则变分问题的解是否一定解析椭圆型偏微分方程理论这个问题在某种意义上已获解决。

20 一般边值问题椭圆型偏微分方程理论偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。

21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性线性常微分方程大范围理论已由Hilbert本人（1905）年和H.Rohrl(德，1957)解决。

22 解析关系的单值化Riemann 曲面体一个变数的情形已由P.Koebe (德，1907)解决。

23 变分法的进一步发展变分法Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。

在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称“希尔伯特问题”，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用。希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

(1)康托的连续统基数问题

1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设(注1)。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF 公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

(2)算术公理系统的无矛盾性

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(G. Gentaen，1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

(3)只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的

问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。德思(M.Dehn)1900年即对此问题给出了肯定解答。

(4)两点间以直线为距离最短线问题

此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获解决。

(5) 一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的

这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。中间经冯?诺伊曼(1933，对紧群情形)、邦德里雅金(1939，对交换群情形)、谢瓦荚(1941，对可解群情形)的努力，1952年由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgom ery)、齐宾(Zippin)共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

(6)对数学起重要作用的物理学的公理化

希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

(7)某些数的超越性的证明

需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数(例如，2√2和eπ)。苏联的盖尔封特(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数尚无统一的方法。

(8)素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。

素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riem ann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。

(9)一般互反律在任意数域中的证明

1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷(E.Artin)各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

(10)能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？

求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图(约210-290，古希腊数学家)方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年，巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。

尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。

(11)一般代数数域内的二次型论

德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依(A.Weil)取得了新进展。

(12)类域的构成问题。

即将Abel域上kroneker定理推广到任意代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。

(13)一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性

七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。

1957年，苏联数学家阿诺尔德(Arnold)证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξi j的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金(Vituskin)推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。

(14)某些完备函数系的有限的证明

即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi(i=1,…，m)，R为K［X1，…，Xm]上的有理函数F(X1，…，Xm)构成的环，并且F(f1，…， fm)∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？

这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

(15) 舒伯特计数演算的严格基础

一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。

(16)代数曲线和曲面的拓扑研究。

此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N(n)和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2(即二次系统)的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。

关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了(E2)不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是(1，3)结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第(16)问题提供了新的途径。

(17)半正定形式的平方和表示

实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组(x1，…,xn)都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。

(18)用全等多面体构造空间

德国数学家比贝尔巴赫(Bieberbach)1910年，莱因哈特(Reinhart)1928年作出部分解决。

(19)正则变分问题的解是否总是解析函数？

德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein，1929)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939)已解决。

(20)研究一般边值问题

此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。

(21)具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明

此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅(Deligne)作出了出色贡献。

(22)用自守函数将解析函数单值化

此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯(P.Koebe)对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

(23)发展变分学方法的研究。

这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。

希尔伯特认为，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命正是在于各个部分之间的联系。尽管数学知识千差万别，但是在作为整体的数学中数学家们都在使用着相同的工具，存在着概念的亲缘关系，同时，在它的不同部分之间，也有大量相似之处。并且希尔伯特相信，数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加的调和一致。并且，这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。因此，随着数学的发展，它的有机的特性不会丧失，只会更清楚的呈现出来。时至今日，希尔伯特的高度预见性已经得到了验证，他向人们指出的数学方向和具体问题也被证明是极为正确的。

百年前的数学家大会与希尔伯特的问题

21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了，它将给本世纪的数学发展带来些什么？能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向吗？一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册，完全是因为一个人，因为他的一个报告——希尔伯特（David Hilbert）和他的《数学问题》。

1900年，希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。在随后的半个世纪中，许多世界一流的数学头脑都围着它们转。其情形正如另一位非常著名的数学家外尔（H. Weyl）所说：“希尔伯特吹响了他的魔笛，成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。”这也难怪，他所提出的问题都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试，而且解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，立即就能名满天下——我国的陈景润就因为在解决希尔伯特第8个问题（即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大贡献而为世人所侧目。人们在总结二十世纪数学的发展，尤其是二十世纪上半叶数学的发展时，通常都以希尔伯特所提的问题为航标。

其实这些问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的。但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向。

数学领域中的问题是极多的，究竟哪些更重要、更基本？做出这样的选择需要敏锐的洞察力。为什么希尔伯特能如此目光如炬？数学史家、中国科学院数学与系统科学研究院研究员、《希尔伯特——数学王国中的亚历山大》一书的译者袁向东先生（和李文林先生合译）认为，这是因为希尔伯特是数学王国中的亚历山大！数学家可分为两类，一类擅长解决数学中的难题，另一类擅长对现有状况做出理论总结，两大类中又均可细分为一流、二流、三流。希尔伯特两者兼长，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的名字，对数学发展的大背景了如指掌，对所提及的许多问题都有深入的研究，是数学领域中的“王”。

为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题，而不像常人一样宣讲自己的某项成果？袁向东告诉记者，这和另一位数学巨匠庞加莱(Henri Poincaré)有关，庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。他们两人是当时国际数学界中的双子星座，均为领袖级人物，当然也存在一定的竞争心理——既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法，那么希尔伯特就为纯粹数学做一些辩护。

庞加莱是法国人，希尔伯特是德国人，法、德两国有世仇，所以他们之间的竞争还带上了一种国与国竞争的味道。虽然他们两人非常尊重对方，这一点在他们身上体现得不明显，但他们的学生和老师常常这样看。

希尔伯特的老师克莱茵（Felix Klein）就是一个民族感非常强的人，他非常强调德意志数学的发展，想让国际数学界变成椭圆——以前是圆形，圆心为巴黎；现在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心，使数学世界变成有两个圆心的椭圆。

在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基(Hermann Minkowski)的帮助下，克莱茵实现了自己的目标——1900年时，希尔伯特就已经和法国最伟大的数学家庞加莱齐名，而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学家。事实上，他们在德国号称“无敌三教授”。

从一个例子可以想见他们的魅力。

某天，在谈及拓扑学著名定理——四色定理时，闵可夫斯基突然灵机一动，于是对满堂的学生说：“这条定理还没有得到证明，因为到目前为止还只有一些三流数学家对它进行过研究。现在由我来证明它。”然后他拿起粉笔当场证明这条定理。这堂课结束后，他还没有证完。下堂课他继续证，这样一直持续了几周。最后，在一个阴雨的早晨，他一走上讲台天空就出现了一道霹雳。“老天也被我的傲慢激怒了，”他说，“我的证明也是不完全的。”（该定理直到1994年才用计算机证明出来。）

1912年，庞加莱逝世。世界数学的中心进一步向哥廷根偏移，数学界似乎又变成了一个圆——不过圆心

换成了哥廷根。此时，哥廷根学派的名声如日中天，在数学青年中流行的口号是“打起你的铺盖，到哥廷根去！”

一个世纪过去了，希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决，其余一半的大多数也都有重大进展。但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个。有人问他，为什么他不去解决自己所提的问题，譬如说费马大定理？

费马是在一页书的空白处写下该定理的，他同时宣称自己已经想出了一个美妙的证法，但可惜的是空白区不够大，写不下了。希尔伯特的回答同样幽默：“我不想杀掉这只会下金蛋的母鸡”——德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决费马大定律者，希尔伯特时任该基金会的主席，每年利用该项基金的利息请优秀学者去哥廷根讲学，所以对他而言，费马大定律者是只会下金蛋的母鸡。（费马大定律直到1997年才被解决。）

在列出23个问题之前，希尔伯特已经是国际数学界公认的领军人物，已经在数学的诸多领域取得多项重要成果。他的其它贡献，譬如他的公理化主张、形式主义构想、《几何基础》一书等等，都对20世纪数学的发展有着深远的影响。

21世纪七大数学难题

最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。

“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。

“千僖难题”之二：霍奇(Hodge)猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

“千僖难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋

斗。

“千僖难题”之四：黎曼(Riemann)假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

“千僖难题”之五：杨－米尔斯(Y ang-Mills)存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

“千僖难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

“千僖难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Y u.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

注1、关于连续统假设continuum hypothesis

集合论的创建者Cantor(康托尔，1845-1918)惊人的创造了超限基数与超限序数。对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。对于无穷的集合，要引进新的基数。自然数集合的基数用(阿列夫0)表示。

集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴度。可列集的基数通常记作(阿列夫0)，用a表示。与实数集R1对等的集的基数又称为连续基数或连续势，用c表示。Cantor还定义了两个基数的和、乘积和乘幂，其中a^a=c，c^a=c。诸无限集所具有的基数远非仅仅a与c。

下一个便是序数的概念。Cantor抽象地来引进这个概念。一个集合叫做全序的(sim ply ordered)，假如它的任何两个元素都有一个确定的顺序；即若给定m1与m2，则或者是m1前于

m2，或者是m2前于m1；记号表示：m1〈m2或m2〈m1。再则，若m1〈m2与m2〈m3，则m1〈m3，即这顺序关系有传递性。一个全序集M的序数是这个集合的顺序的序型。两个全序集称为是相似的，假如它们是一一对应而且保留顺序，即若m1对应于n1，m2对应于n2，而m1〈m2，则必n1〈n2。两个相似的集合叫做有相同的序型或序数。作为全序集的例子，我们可用任一有限数集合并按任何给定的顺序排列。对于有限集，不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。正整数集合按它们的自然顺序，其序数用w表示。另一方面，按递减顺序的正整数集合……，4，3，2，1 的序数用*w表示。正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为 *w+w。

接着Cantor定义序数的加与乘。两个序数的和是第一个全序集的序数加第二个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个最初的正整数所构成的集合，即1，2，3，……，1，2，3，4，5，其序数为w+5。序数的相等与不相等，也可以很显然地给出定义。

现在他引进超限序数的整个集合，这在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。为了引进这些新的序数，他把全序集限制在良序集(well-ordered)的范围之内。一个全序集叫做良序集，假如它有为首的元素，并且它的每一个子集也有为首的元素。序数与基数都存在着级别。第一级是所有的有限序数：1，2，3，…… 我们用Z1表示上述第一级序数。在第二级的序数是：w，w+1，w+2，……，2w，2w+1，……，3w，3w+1，……，w^2，……，w^3，……，w^n,…… 我们用Z2表示，其中每一个都是基数为(阿列夫0)的集合的序数。Z2，作为上述序数构成的集合，应有一个基数。这个集合是不可列的，从而Cantor引进一个新的基数(阿列夫1)作为集合Z2的基数。接着证明(阿列夫1)为(阿列夫0)的后继的基数。第三级的序数用Z3表示，它们是：Q，Q+1，Q+2，……，Q+Q，…… 这些是良序集中基数为(阿列夫1)的集合的序数。而Z3这个序数的集合的基数大于(阿列夫1)，Cantor用(阿列夫2)来表示它的基数。这个序数与基数的级别可以无穷无尽的这样继续下去。

1883年，Cantor已经证明，对于给定的任一集合，总可以构造一个新的集合，即所给集合的所有子集构成的集合，使其基数大于所给集合的基数。如果给定集合的基数是(阿列夫0)，则其全部子集构成的集合具有基数2^(阿列夫0)。Cantor已经证明2^(阿列夫0)=c，这个c就是连续统的基数。另一方面，他通过序数引进了(阿列夫1)，并证明(阿列夫1)是(阿列夫0)的后继者。于是(阿列夫1)<=c。至于(阿列夫1)=c是否成立，即连续统假设(continuum hypothesis)是否成立，Cantor不管怎样刻苦努力，也不能回答。

在1900年的国际数学学会上，Hilbert(希尔伯特)把这个问题列入了著名问题的名单中。

这个假设事实上相对于集合论的公理系[即Zerm elo-Fraenkel(策梅洛-弗伦克尔ZF)公理系]是独立的，要从后者推出前者是不可能的。

1940年，在《选择公理和广义连续统假设二者与集合论公理的相容性》(The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Cont inuum Hypothesis with the Axiom s of Set Theory)中，Godel(哥德尔)证明了，连续统假设与ZFC系统(除去选择公理，即Zerm elo(注2)公理：对于给定的非空且不相交的集合的任何一个总体，总可以在每一集合中选取一个元素，从而构成一个新的集合。)合在一起也是相容的。1963年，斯坦福(Stanford)大学的数学教授Paul J.Cohen证明了，连续统假设对于ZFC系统是独立的；就是说，它是不能以这个系统为基础去证明的。还有，即使把选择公理保留在ZFC系统中，连续统假设也还是不能证明的。这些结果意味着，

我们可以随意去构造数学的新系统，在其中这条有争议的公理被否定了。

注2 策梅罗Zermelo

策梅罗，E．F．F．(Zerm elo，Ernst Friedrich Fer-dinand)1871 年7 月27 日生于德国柏林；1953 年5 月21 日卒于德国弗赖堡。

策梅罗的父亲是一位大学教授。策梅罗从小在柏林读书。1889 年大学毕业后，在柏林、哈雷、弗赖堡等地钻研数学、物理和哲学，1894 年策梅罗在柏林获得了博士学位，其博士论文为“变分演算的探索”(Untersuchungen zur variationsrechnung)。此后，他去格丁根，向格丁根大学提交的授课的资格论文为：“关于球面上旋转运动的流体力学研究”(Hydrodynam ische Untersuchungen überdie Wirbetbewegungen in einer kugelfl?che，1902)。

1899 年策梅罗执教于格丁根大学，讲授集合论课程，并深入地研究了G．康托尔(Cantor)的集合论，1904 年发表了论文“每一集合都能够被良序地证明”(Bewei s，dass jede Menge Wohlgeordnet WerdenKann)。1905 年12 月，他被格丁根大学任命为教授。1908 年他发表了“集合论基础I”(Untersuchungen über die Grundlagen derMengenlehre I)的论文。1910 年他在苏黎世任教授职位，1916 年他因健康不佳辞职了。策梅罗离开格丁根一年之后，D．希尔伯特(Hilbert)表彰了他在集合论基础方面的成果，并从他创办的沃尔夫斯可尔(Wolfskehl)基金的利息中奖给策梅罗5000 马克，这也促使他的健康得到了恢复。

从1916 年至1926 年，策梅罗一直住在黑林山。1926 年他被聘为弗赖堡大学荣誉教授。1935 年他因驳斥希特勒的统治制度，与学校失去了联系。第二次世界大战后，他要求复职，1946 年被该校确认。

策梅罗对物理和数学应用一直有浓厚的兴趣，在变分法、气体运动学等方面他都有研究结果。策梅罗在关于变分演算的论文中，他扩充了K．W．T．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的关于在一类曲线上积分值的方法，其中被积函数具有任意的高阶导数。同时，他还给出了一种在曲面空间中邻域概念的精确定义。他长期致力于变分演算的研究和教学。1904 年他与H．霍恩(Hahn)一起为《数学百科全书》(Encyklop?die der m athem atischen Wissenscha-ften)写了一篇有关变分演算进展的报告。1929 年他还撰写了关于航空方面的研究论文。1929 年策梅罗撰写了关于体育锦标赛各方力量计算方法的文章，这种方法曾被用于国际象棋比赛。1933 年他撰写了“关于椭圆截面的中

心”(Uber die Bruchlimienzentrierter Ovale)的论文。

然而，策梅罗的主要贡献在集合论基础，他首先提出了选择公理，并运用它解决了康托尔的良序问题，证明了良序定理。他还是公理集合论的主要开创者之一。

集合论是康托尔于19 世纪后30 年内创立的一门研究无穷对象的数学理论。康托尔对这一领域的主要概念与定理都作了正确的表述与证明。他采用了新的推理方法，成功地使用了无穷推理。集合论不仅为实数系与微积分奠定坚实的基础，而且对整个数学的发展起了推动作用，形成了现代数学的起点。然而，1900 年前后人们发现了集合论还存在严重的基础问题，这正是策梅罗所面临的问题。

1899 年，策梅罗在格丁根大学任教，他深受希尔伯特及其学派的影响，他从数学物理和统计力学转向了数学基础。正如30 年后，他在他的履历表中所说：“30 年前，当时我是格丁根大学的一名无薪水的讲师(privatdozent)，我深受希尔伯特的影响。他对我的数学发展的影响，我怀有最大的谢

意。作为一个结果，我开始去研究数学基础，特别是康托尔集合论的基础。我通过在格丁根的数学家们的丰富的合作的成果懂得了它的真正的意义”。

1899 年，希尔伯特研究欧几里得空间的纯粹的形式公理化，并出版了《几何基础》(Grundlagen der Geom etrie，1899)一书，接着，希尔伯特又在研究实数系统的协调性。与此同时，策梅罗发现了一个悖论，这就是后来的罗素悖论。其实他比B．罗素(Russel)早两年就发现了它，并且告诉了希尔伯特。1903 年希尔伯特曾写信给G．弗雷格(Frege)，说在三、四年前策梅罗已经发现了这个悖论。虽然策梅罗并未发表这一悖论，但他曾同哲学家E．胡塞尔(Husserl)讨论过它，并指出：含有它的所有子集合所组合的集合作为元素的集合(例如所有集合所组合的集合)这本身就是一个矛盾。对于这一悖论表示沉默，不去发表它，而不是由它恐吓集合论，这标志着策梅罗对集合论的基本态度与罗素有着重要的区别。

在1900—1901 年的冬季学期，策梅罗第一次讲授集合论课程。他的讲义的第7 节是关于集合的比较。这一节的部分内容是关于无穷基数的加法，他很快就发表了它，并且于1901 年3 月9 日由希尔伯特在格丁根科学院作了介绍。策梅罗的这篇论文已经直接与间接地使用了任意的选择。这种使用使他获得了可数多基数的和集合是良定义的。

1904 年8 月，策梅罗在发现了J．柯尼希(K?nig)试图反证连续统假设中的一个疵瑕，他把注意力转向了良序问题。当策梅罗与E．施密特(Schm idt)交谈时，他的思路变得具体化了。9 月24 日他完成了他的证明，并送给了希尔伯特。很快他的题为“每一集合都能够被良序地证明”的论文就发表了。策梅罗的这一论文解决了当时人们期待已久的一个重大问题。因为，任意两个无穷集合能否比较大小，这是集合论的一个根本问题。为了回答这一问题，康托尔建立了良序集合的概念，它不仅是一全序(任意两个元素都可以比较大小)，而且这一集合的任一子集合都有关于这一全序的首元素(最小元素)。一切良序集合都是可比较的。因之，如果每一集合都能够被良序，那么一切集合都是可比较的了。康托尔1883 年在“关于无穷线性点集合(5)”(über unendli che，li-neare

Punktm annigfaltigkeiten 5)中指出：“良序集合这一概念对于全部集合论是根本的。每一确定的集合总可以作成一个良序集合，我认为这是一个带有根本性的，内容丰富的，由于其普遍有效而特别值得注意的思维规律。我将在以后的一篇论文里讲到它。”康托尔没有能履行他的诺言，他一直没有给出这一问题的数学证明。

1900 年希尔伯特在巴黎国际数学家大会上的讲演“数学问题”(Mathem ati che problem e)中所提出的23 个未解决的问题，第一个就是康托尔的连续统猜想和良序问题，他称每一集合都能被良序为康托尔的另一个值得重视的命题。他说：“我感到迫切需要的是，对康托尔这一值得注意的命题作出直接的证明。”4 年之后，策梅罗作出了这一证明，建立了良序定理：每一集合都是能被良序的。从而解决了康托尔的关于任意两个无穷集合都是可以比较的这一集合论的根本问题。这就是前边已经提到的策梅罗1904 年的那篇论文的主要结果。

在这一论文中，为了证明良序定理，他陈述了一条重要原则，并称之为选择公理(文献中人们也称之为策梅罗公理)。关于这一公理，虽然在19 世纪人们已开始注意到它了，但是，对它并没有一个清晰的概念，也未能发现它的重大价值。比如，1890 年G．皮亚诺(Peano)在证明常微分方程解的存在性定理时，曾用到了它。他给出了不够清晰的陈述，还对它提出了怀疑。而策梅罗的陈述是清晰的、严谨的、合乎现代术语的，尤其用它解决了康托尔提出又经希尔伯特所强调的良序问题，显示了它的重大价值。一方面引起了人们对选择公理的广泛注意，同时也引起一些著名数学家比如E．波

莱尔(Borel)，H．勒贝格(Lebegue)，R．贝尔(Baire)关于无穷特别是关于不可数无穷的任意选择的可接受性的争论。这种争论一直延续到现在还在学者中激烈地进行着。

从数学发展史来看，选择公理是平行公理之外，最引人注意的一条数学公理。赞成它的，怀疑它的，反对它的论点都有市场，而且各方面都开展了研究，获得了许多重要的结果，发现了一系列等价形式，其中一些结果在数学的论证中几乎是不可缺少的。虽然如此，至今选择公理是否具备了充当数学公理的资格，仍无定论。选择公理是怎样一个数学命题呢？它的产生和影响如何呢？

策梅罗对于良序定理的证明是从任一不空集合M 出发，建立M 的一良序，令S 是M 的所有非空子集合M'所组成的集合，他第一次明确地陈述了后来称之为选择公理的原则：“对于每一子集合

M'，人们伴随一个在M'中出现的元素m'，并且可以称之为M'的特征元素”。换句话说，策梅罗假定了存在一个函数r：S→M，使得对于S 中的每一M'都有r(M')∈M'。对于函数的上述记法在康托尔1895 年的《超穷数理论基础文集I》(Bei trüge zurBegründndung der transfintenMengenlehre I)中已经有了。策梅罗采用它描述一函数r：S→M，作为一特殊种类的覆盖而由公理给出。接着，他指出：“这些覆盖r 的数目等于积Πm(上述所有非空子集合M'，其势为m')，所以在任何情况下都不等于0。对于其中任一覆盖都是可以考虑的，并且，从它就能得到M 的元素的一个确定的良序”。作为1904 年论文的结束语，策梅罗又详细地讨论了这一公理。他指出：“前边的证明基于覆盖r 总是存在的，所以，根据这个原则，对于不空集合的无穷总体总存在一映射，根据它每一集合都对应于它的元素之一，或者，形式地说，集合的无穷总体(其中任一个都含有至少一个元素)的积不等于空集合。的确，这一逻辑的原则不能够归约到更简单的原则，但是在数学的推演中到处都是毫不踌躇地运用它。”

策梅罗1904 年论文中的函数r，现在统称为选择函数，他的公理就可以归结为不空集合的选择函数总是存在的。当M 为无穷集合并可以具有任意给定的基数时，它的元素也是一些无穷集合(它们也可具有任意基数)，选择函数就是对M 的元素按统一的方法在其中分别再选择出“特征”元素。这样，策梅罗的论述本身就产生了一些方法论问题。

第一，怎样借助于M 的总体去定义一个合法的集合(即选择函数)呢？

第二，它是一条逻辑原则吗？

第三，最重要的，选择公理是否有效呢？

对于这些问题，很快就在法国、德国、英国，意大利展开了广泛的争论，人们发表了不同的见解。策梅罗本人在他的书信与论文中又作了进一步的论证。1907 年夏季，策梅罗清理人们对他的公理与良序定理证明的批评意见，认识到了人们对它们的误解，为了避免主观性和错误的解释，他又写了在多方面相互联系的两篇论文，每篇都是在16 天之内完成的。第一篇论文回答人们对他的批评，并给出了良序定理的一个新的证明。第二篇论文给出了集合论的第一个公理系统，人们称之为策梅罗系统，并记做系统Z。

策梅罗在文献[4]中给出7 条公理，他相信它们是相互独立的，而且他承认他自己不能证明它的协调性。这7 条公理是：

Ⅰ、决定性公理(外延公理)：每一集合都是由它的元素所决定的。

Ⅱ、初等集合公理(空集公理、单元素公理、对集公理)：存在一个没有元素的集合，并称它为空集合；对于对象域中的任意元素a 与b，存在集合{a}和{a，b}。

Ⅲ、分离公理：如果一命题函数p(x)是对于一集合S 为确定的，那么就存在一集合T，它恰好含有S中的元素x 并使命题函数p(x)把真值的那些元素。(对于策梅罗来说，一命题函数p(x)对一集合S 是确定的，这意指由上属于关系和逻辑规律决定了对于S 中每一元素x来说，p(x)成立或不成立都是唯一确定的。)

Ⅳ、幂集合公理：如果S 是一集合，则S 的幂集合仍然是一集合，换言之，一集合S 的所有子集合仍然组成一集合。

Ⅴ、并集合公理：如果S 是一集合，则S 的并仍然是一集合。

Ⅵ、选择公理：如果S 是不空集合的不交集合，那么存在S 的并的一子集合T，它与S 的每一元素都恰好有一个公共元素。

Ⅶ、无穷公理：存在一集合Z，它含有空集合，并且对于任一对象a，若a∈Z，则{a}∈Z。

这些公理的名称是策梅罗给出的，而且上述提到的域是他的出发点，而属于关系符号∈是他从皮亚诺的符号中借来的。该文中，策梅罗还在他的系统中建立了两集合等势的概念。关于选择公理，不难看出这是通常所说的罗素乘积公理，这也是策梅罗独立地给出的，并且是他借助于一般的选择原则推导出的，两者也是等价的。

策梅罗的这一公理系统是他研究康托尔集合论中的基本原则的结果，空集合与无穷集合的存在是康托尔理论的基本出发点，策梅罗当然也就保留了它们。其他公理(除选择公理外)都是运算性质的，由已知对象a 与b，存在集合{a}与{a，b}；由已知集合S 和命题函数p(x)，存在集合{x|x∈S 且p(x)}；由已知集合S 存在S 的并集合∪(S)和幂集合(S)。这些运算一方面保存了康托尔集合论中概括原则的合理部分，另一方面则剔除了由概括原则所能引出悖论的不合理部分。

1908 年之后，人们从各种不同的角度研究推广了策梅罗系统。A．弗伦克尔(Fraenkel)和Th．斯克朗(Skolem)独立地指出了上述公理Ⅲ中的命题函数的“确定”性是不严谨的，应把它改为形式系统中的公式，并且分离公理不能保证把那些有意义的合理的集合都刻画出来，例如，令ωN 为第n 个无穷基数，在策梅罗的上述系统中就不能证明：{ω0，ω1，ω2，…，ωn，……}是一集合，从而就不能证明ωω是集合。因此，他们建议增加下述公理：

Ⅷ替换公理：对于任一公式A(x，y)，如对于每一集合x，都有唯一的集合y 使得A(x，y)成立，那么对于任一集合S 都存在一集合T，使得对于任意的对象t，有t∈T 当且仅当有z∈S 且A(z，t)成立。

上述对于分离公理的修改和对于替换公理的陈述，都表明把集合论公理系统与一阶逻辑相汇合，这是斯克朗的意见。也就是说，把策梅罗公理中的“命题函数”或“确定的性质”p(x)改为一阶逻辑中的“公式”p(x)，把公理中的自然语言换成了严谨的形式语言，并且在论证过程中都采用一阶逻辑中的逻辑公理和推演规则。它满足了希尔伯特关于形式数学系统的一切要求，构成了一个严谨的形式系统。

1917 年D．米尔马诺夫(Mirim anoff)给出了一个无穷的∈降链

…∈A3∈A2∈A1

斯克朗提出，在策梅罗系统中可能存在一无穷的∈降链吗？也就是说，存在一列集合A1，A2，A3，…，使得有

…∈A3∈A2∈A1

成立吗？

这种降链是一种额外的非通常的集合，它的特别形式就是A∈A。就是说，集合A 是属于它自身的。人们主张排除这种属于它自身的集合，也排除这种无穷的∈降链。1925 年冯?诺伊曼(von Neum ann)给出了排除属于自身的集合和无穷∈降链(亦称含有无穷∈降链的集合为奇异集合)的公理如下：

Ⅸ正则公理，每一不空集合S 都含有一元素T，使得T 与S 没有公共元素。

文献中也把这一公理称之为基础公理或限制公理。这一公理保证了属于关系∈是一良基关系。策梅罗在他的论文[8]和[9]中，采纳了斯克朗、弗伦克尔和冯?诺伊曼的意见，把上述列举的9 条作为集合论的公理系统。现在文献中通常把这9 条称策梅罗-弗伦克尔公理系统，并记做ZF。

人们为了特别标出选择公理，文献中也常把上述公理中除选择公理外的系统记做ZF，而把包含选择公理在内的上述系统记做ZFC(AC是Axiom of Choi ce的缩写，有时简写为C)。

应当指出，分离公理与替换公理不同于其他公理，它们都与公式(p(x)或A(x，y))有关，因为有无穷多公式，所以对应于无穷条分离公理和无穷条替换公理，文献中常称它们为公理模式，由此，ZF 系统实质是一个无穷多条的公理系统。

关于ZFC，人们对它开展了多方面的研究。已经证明，正则公理相对其他公理是协调的也是独立的，也就是说，在ZFC 的公理中除去正则公理所得到的系统内，既不能推出正则公理也不能推出正则公理的否定式。同时，无穷公理，幂集合公理相对其他公理也是协调的和独立的。

ZFC 已成了公理集合论的基础部分，人们在它的基础上进一步研究其他重要的数学命题，其中最著名的是康托尔的连续统假设，它是康托尔在1878 年的论文中首次提到的。1883 年他在“关于无穷线性点集合(5)”中再次讲到连续统的基数，并说，“我希望，不久就能够有一个严格的证明来解答，那所寻求的势不是别的，正是我们的第二数类的势”。这里所说的第二数类就是所有可数序数，它的势为(阿列夫1)。就是说，康托尔希望证明2^(阿列夫0) =(阿列夫1) 。

1900 年希尔伯特的著名讲演中，连续统假设与良序问题是他列举的23 个问题中的第一个。如前所述，良序问题在1904 年策梅罗解决了，而连续统假设却进展很小。直至1938 年，K．哥德尔(Gdel)证明了假定ZF 系统是协调(注3)的，那么ZF 加上连续统假设还是协调的，也就是说，连续统假设相对于ZF 系统是协调的，ZF 推不出连续统假设不成立。同时，哥德尔还证明了选择公理对于ZF 系统是相对协调的，后者对于那些担心选择公理会引出矛盾的学者来说是一个安慰。因为，按照哥德尔的结果，假如人们在证明数学定理时，使用ZF 系统被认为是可靠的话，那么加上选择公理仍然可以被认为是可靠的。1963 年P．J．科恩(Cohen)证明了连续统假设相对于ZF 是独立的，同样，选择公理相对于ZF 也是独立的。也就是说，ZF 系统既推不出连续统假设，也推不出选择公理。在科恩之后，运用科恩创造的力迫方法，人们证明了D．A．马丁(Martin)公理，M．苏斯林(Suslin)假设相对ZF 系统也都是协调的和独立的。也就是说，ZF 系统既不能证明这些命题中的任何一个，也不能证明它们的否定命题中的任何一个。换言之，ZF 系统还是一个很不完全的系统。

ZF 系统是否是协调的呢？由哥德尔不完全性定理，它的协调性是不能在它自身中给出证明的。对于多数集合论学者说来，ZF 系统的协调性已成为他们的一个信念。不过，1951 年A．莫斯托夫斯基(Mostowski)在一个更强的系统QM 中证明了ZF 的协调性。这里说的QM 是指奎因(Quine，W．V．)-莫尔斯(Morse，A．P)系统，也称为莫尔斯-凯莱(Kelly，J．L．)系统，这一结果表明了系统QM 是很重要的一个公理系统。

策梅罗是选择公理的开创者，也是第一个集合论公理系统的开创者，他的成果是重大的，影响是深远的。

注3、公理系统的系统特征

A、系统的协调性 consistence

希尔伯特用形式公理法研究初等几何的逻辑结构时，首先提出了公理系统的协调性，即无矛盾性。也就是基于它的公理系统作逻辑演绎时不会推出互相矛盾的命题来。否则这个公理系统就不能反应“真”、“假”，因而也就没有意义了。希尔伯特认为公理系统的协调性是解决悖论问题的方法。

为了给出协调性的证明，希尔伯特创立了证明论和有穷方法。这对数学思想的发展，对数理逻辑和数学基础的研究有很大的促进作用和深远的影响。以协调性为中心论题的证明论已发展成为数理逻辑的四大分支之一。

B、系统的独立性independence

在一个公理系统中，若一个公理A不能从其他公理对出，则称A对于其它公理是独立的。公理系统应该尽可能的精简。然而一条独立的公理就不能轻易删除，否则它所包含的内容不能有其它公理推出，系统也就具有缺陷。

C、系统的完备性 com pleteness

从公理系统出发借助于逻辑规则可以推演出一个数学分支的全部真命题，即为公理的完备性。

公理化方法的出现和研究可以上溯到古希腊时期。在希尔伯特的《几何基础》问世之后，公理化方法则成为数学研究中的主要研究方法。几乎现在所有的数学分支都经历过公理法的分析和讨论。可以讲，没有希尔伯特，形式公理法的数学是难以想象的。

希尔伯特的23个问题 希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。

下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973

世界数学十大未解难题 （其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决 的问题”） 一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 三：庞加莱(Poincare)猜想

一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900 年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。 希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。 大家知道，在一个欧几里得空间R^n 上，所有的点可以写成为：X= （x1，x2，x3，...， xn ）。那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3 ，xn，.................................................................... ），一个 点的序列。 欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2= ∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2 可以不存在（为无穷大）。于是希尔伯特将所有∑ xn^2 为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'= ∑ xn*xn' 作为两点的内积。这个空间我们现在叫做l^2 ，平方和数列空间，这是最早 的希尔伯特空间了。 注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。只有范数的空间叫做Banach 空间，（以后有时间再慢慢讲:- ）。 如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。 Hilbert 空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑ xn^2 为有限的点。这个最早的Hilbert space 叫做l^2 （小写的l 上标2，又叫小l2 空间），非常类似于有限维的欧氏空间。

几种时频分析方法综述2——希尔伯特—黄变换 夏巨伟 (浙江大学空间结构研究中心) 摘要：希尔伯特—黄变换由经验模态分解（empirical mode decomposition ，简称EMD ）和Hilbert 谱分析两部分组成。经验模态分解方法是一种自适应的、高效的数据分解方法。由于这种分解是以局部时间尺度为基础，因此，它适应于非线性、非平稳过程。通过经验模型分解，任何复杂的数据集都可以被分解为个数有限的、而且常常是为数不多的几个固有模函数(intrinsic mode functions ，简称IMF)的线性叠加。通过分解得到IMF 后，就可以对每一个分量做希尔伯特变换，得到其瞬时频率和幅度。本文详细对Hilbert-Huang Transform 的过程进行了阐述，并用算例分析指出了其优势所在。 关键词：希尔伯特—黄变换；时频分析技术； 1 希尔伯特—黄变换（Hilbert-Huang Transform ） 1.1 希尔伯特变换与瞬时频率（Hilbert Transform and instantaneous frequency ） 对于任意一个时间序列X(t)，它的希尔伯特变换具有如下形式： -1 ()(t)=,-X Y P d t ττπτ ∞∞? 其中，P ——积分的柯西主值； 希尔伯特变换对于任何属于L p 空间中的函数都存立，即上式中X(t)∈L p （— ∞，+∞）。 通过上述定义，X(t)和Y(t)成为一组复共轭对，同时能够构造一个实部和虚部分为X(t)和Y(t)的解析信号(Analytic Signal)Z(t)，Z(t)表示为： ()()(t)=(t)(t)=a ,i t Z X iY t e θ+ 其中， ()()1/222 (t)a =(t)+(t),arctan .X(t)Y t X Y t θ????= ????? 理论上讲有无数种方式去定义虚部，但是希尔伯特变换是唯一能够得到解析 信号结果的方法。 X(t)的Hilbert 变换实质上是将X(t)与函数1/t 在时域上做卷积，这就决定了通过X(t)的Hilbert 变换能够考察其局部特性。得到X(t)的瞬时相位函数后，其瞬时频率为： ()() (t).d w t dt θ= 1.2 经验模态分解与固有模态函数（Empiricalmode decomposition/EMD and Intrinsic mode function/IMF ） 固有模态函数需要满足两个条件：（1）极值与零点的数量必须相等或最多相差一个；（2）由局部极大值包络和局部极小值包络定义的平均包络曲线上任何一点的值为0；

希尔伯特的二十三个数学问题 1900年，德国数学家D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题 》的著名讲演，其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟的见解，而整个 讲演的核心部分则是希尔伯特根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的23个问题。 ①连续统假设1963年，P.J.科恩证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛－弗伦克尔公理系统内判明。 ②算术公理的相容性1931年,K.哥德尔的“不完备定理”指出了用希尔伯特“元数学”证明算术公理相容性之不可能。数学相容性问题尚未解决。 ③两等高等底的四面体体积之相等M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 ④直线作为两点间最短距离问题希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 ⑤不要定义群的函数的可微性假设的李群概念A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平等于1952年对此问题作出了最后的肯定解答。 ⑥物理公理的数学处理公理化物理学的一般意义仍需探讨。至于希尔伯特问题中提到的概率论公理化，已由А.Н.柯尔莫哥洛夫(1933)等人建立。 ⑦某些数的无理性与超越性1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德各自独立地 解决了问题的后半部分，即对于任意代数数□≠0，1，和任意代数无理数□证明了□□的超越性。 ⑧素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想最佳结果属于陈景润(1966)，但离最终解决尚有距离。 ⑨任意数域中最一般的互反律之证明已由高木□治(1921)和E.阿廷(1927)解决。 ⑩丢番图方程可解性的判别1970年，□.В.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般算法不存在。 11 系数为任意代数数的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936，1951)在这问题上获得重要结果。 12 阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。 13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程连续函数情形于1957年由В.И.阿诺尔德解决。解析函数情形则尚未解决。 14 证明某类完全函数系的有限性1958年,永田雅宜给出了否定解决。 15 舒伯特计数演算的严格基础代数几何基础已由B.L.范·德·瓦尔登(1938～1940)与A.韦伊(1950)建立，但舒伯特演算的合理性仍待解决。 16 代数曲线与曲面的拓扑对该问题的后半部分，И.Г.彼得罗夫斯基曾声明证明了□=2时极限环个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例(1979)。

希尔伯特23个数学问题及其解决情况 已有 95 次阅读2011-10-3 21:02|个人分类:Mathematics&Statistics|系统分类:科研笔记|关键词:数学世纪亚历山大希尔伯特全世界 希尔伯特（HilbertD.，1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪 的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项 就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： （1）康托的连续统基数问题。 1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 （2）算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。 根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的

第34卷第2期福州大学学报(自然科学版)Vol.34No.2 2006年4月Journal of Fuzhou University(Natural Science)Apr.2006 文章编号:1000-2243(2006)02-0260-05希尔伯特-黄变换谱及其在地震信号分析中的应用 陈子雄,吴琛,周瑞忠 (福州大学土木建筑工程学院,福建福州350002) 摘要:介绍了希尔伯特-黄变换(HHT)这一非线性、非平稳信号处理方法,并利用HHT处理了地震工程中 常用的El Centro地震波,得到了该信号的Hilbert谱、边际谱和能量谱,提取了该信号的主要动力特性,并与 该信号的Fourier分析结果进行了对比,显示出HHT这一方法的优越性. 关键词:希尔伯特-黄变换;经验模态分解;固有模态函数;地震信号 中图分类号:TU311.3文献标识码:A Hilbert-Huang transform spectru m and its application in seismic signal analysis CHEN Zi-xiong,W U Chen,ZHOU Rui-zhong (College of Civil Engineering and Architecture,Fuzhou University,Fuzhou,Fujian350002,China) Abstract:HHT is a ne w method to deal with non-linear and non-stationary data.El Centro earth- quake wave is analyzed by HHT.Through the way,Hilbert spectrum,marginal spectrum and energy spec trum are got and dynamic property is extrac ted.The comparison between HHT spectrum and Fourier spec trum is made and the superiority of HHT is demonstrated. Keyw ords:Hilbert-Huang transform;empirical mode decomposition;intrinsic mode function;seismic signal 地震信号具有短时、突变等特点,是一种典型的非平稳随机信号,必须对其进行分析与处理,才可以提取信号的主要特征.传统的Fourie r变换能够表述信号的频率特性,但不提供任何时域信息[1],而小波分析虽然在时域和频域都具有很好的局部化性质,但本质上仍是一种窗口可调的Fourier变换,在小波窗内的信号必须是平稳的,因而没有根本摆脱Fourier分析的局限[2].小波基的选择也是信号分析中的一个重要问题,另外,小波基的有限长会造成信号能量的泄漏,使信号的能量-频率-时间分布很难定量表述. Hilbert-Huang变换(HH T)的信号处理方法被认为是近年来对以Fourier变换为基础对线性和稳态谱分析的一个重大突破[2].它由经验模态分解(E mpirical Mode Decomposition,E MD)方法和Hilbert变换(H T)两部分组成,其核心是E MD分解.该方法采用了固有模态函数(Intrinsic Mode Function,I MF)概念以及将任意信号分解为I MF组成的思想,即E MD法,使得瞬时频率具有实际的物理意义[3].它不受Fourier分析的局限,可依据数据本身的时间尺度特征进行模态分解,分解过程中保留了数据本身的特性,再对各I MF分量进行Hilbert变换,得到信号能量在时间尺度上的分布规律,实现地震动力特性的提取. 1Hilbert-Huang变换 1.1经验模态分解和固有模态函数 经验模态分解(EMD)的目的是通过对非线性非平稳信号的分解获得一系列表征信号特征时间尺度的固有模态函数(I MF),使得各个I MF是窄带信号,可以进行Hilbert分析.首先设定两个条件:1整个时间序列的极大极小值数目与过零点数目相等或最多相差一个;o时间序列的任意点上,由极大值确 收稿日期:2005-07-27 作者简介:陈子雄(1981-),男,硕士研究生;通讯联系人:周瑞忠,教授. 基金项目:教育部博士点专项科研基金资助项目(20040386004)

连续统假设
提示：本条目的主题不是连续体假设。 在数学中，连续统假设（英语：Continuum hypothesis，简称 CH）是一个猜想， 也是希尔伯特的 23 个问题的第一题，由康托尔提出，关于无穷集的可能大小。 其为：
在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。
康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小， 也证明了整数集的基数绝对小 于实集的基数。康托尔也就给了出连续统假设，就是说，在无限集中，比自然数 集{0，1，2，3，4......}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而连续 统就是实数集的一个旧称。 更加形式地说，自然数集的基数为 为 。而连续统假设的观点认为实数集的基数
。由是，康托尔定义了绝对无限。
等价地，整数集的序数是 出不存在一个集合 使得
("艾礼富数")而实数的序数是
，连续续假设指
假设选择公理是对的， 那就会有一个最小的基数 连续统假设也就等价于以下的等式：
大于
， 而
连续统假设有个更广义的形式，叫作广义连续统假设（GCH），其命题为：
对于所有的序数 ,
库尔特·哥德尔在 1940 年用内模型法证明了连续统假设与 ZFC 的相对协调性， 保罗·柯恩在 1963 年用力迫法证明了连续统假设不能由 ZFC 推导。也就是说连 续统假设成立与否无法由 ZFC 确定。
作为希尔伯特第一问题
主条目：希尔伯特的 23 个问题

1900 年, 大卫· 希尔伯特以 “连续统假设是否成立” 作为 “希尔伯特第一问题” 。 Kurt Godel 和 Paul Cohen 确定了连续统假设在 ZFC 系统下，加上了选择公理， 也不能证明或证否。 Cohen 的结果并没有被广泛认同作为连续统假设问题的解决，而希尔伯特的问题 依然为当代研究的热门课题。(见 Woodin 2001a).
集合的大小
主条目：基数 要正式地列出这个猜想， 我们需要一些定义：假如两个集合 S 与 T 之间存在着一 个双射，我们会说这两个集合拥有相同的基数。直观的意思是在“T 的每个元素 只能配上仅仅一个 S 的元素，反之亦然”这个前提下，把 S 与 T 的元素拿出来配 对是可能的。因此，集合{蕉, 苹果, 橙}与集合{黄, 红, 绿}拥有相同基数。 当情况去到如整数集或有理数集等无穷集的情况时，事件就变得复杂得多。当考 虑所有有理数的集合时， 有些门外汉可能会天真地认为有理数理所当然地多于整 数，而有理数又显然少于实数，因此把连续统假设证否。但透过简单集合论的方 法， 我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数集有着一样 的大小， 而它们都被称为可列集。 对角论证法则证明了整数集跟连续统 （实数集） 的基数并不一样。 连续统假设亦指出，实数集中每一个子集，要么和整数集有相同的基数，要么和 实数集有相同的基数。
证明或证否的不可能性（在 ZFC 系统下）
康托尔相信连续统假设是对的，花了很多年尝试证明它，结果徒劳无功。它成为 了希尔伯特那重要难题名单中的第一条，并在 1900 年巴黎的国际数学家大会上 宣布此事。在那个时候，还没有公理化集合论的概念。 库尔特·哥德尔在 1940 年指出连续统假设不能在 ZFC 系统下证否，即使接受了 选择公理为前提。这个定理称为哥德尔定理。Paul Cohen 在 1963 年证明了连续 统假设同样不能在 ZFC 下被证明。因此，连续统假设“逻辑地独立于”ZFC。这 些结果都是以 ZFC 的公设系统本身并不存在自相矛盾（相容性）为假设大前提， 而这个大前提是被广泛接受为对的。 连续统假设并非被证明跟 ZFC 互相独立的第一个命题。 哥德尔不完备定理一个立 即的结论在 1931 年被发表，那是“‘存在着一个正式命题表达 ZFC 的相容性’ 乃独立于 ZFC”。有别于纯粹数学的，这个一致的命题乃是有着在数学之上的特 性。连续统假设和选择公理乃是最先被证明跟 ZF 集合论独立的命题。在 Paul Cohen 在 1960 年代发展出力迫法以前，这些独立性的证明并没有完成。

用希尔伯特黄变换（HHT）求时频谱和边际谱 1.什么是HHT？ HHT就是先将信号进行经验模态分解（EMD分解），然后将分解后的每个IMF分量进行Hilbert变换，得到信号的时频属性的一种时频分析方法。 2.EMD分解的步骤。

EMD分解的流程图如下：

3.实例演示。 给定频率分别为10Hz和35Hz的两个正弦信号相叠加的复合信号，采样频率fs=2048Hz的信号，表达式如下：y=5sin(2*pi*10t)+5*sin(2*pi*35t) (1)为了对比，先用fft对求上述信号的幅频和相频曲线。 代码: function fftfenxi clear;clc; N=2048; %fft默认计算的信号是从0开始的

t=linspace(1,2,N);deta=t(2)-t(1);1/deta x=5*sin(2*pi*10*t)+5*sin(2*pi*35*t); % N1=256;N2=512;w1=0.2*2*pi;w2=0.3*2*pi;w3=0.4*2*pi; % x=(t>=-200&t<=-200+N1*deta).*sin(w1*t)+(t>-200+N1*deta&t<=-200+N2*det a).*sin(w2*t)+(t>-200+N2*deta&t<=200).*sin(w3*t); y = x; m=0:N-1; f=1./(N*deta)*m;%可以查看课本就是这样定义横坐标频率范围的 %下面计算的Y就是x(t)的傅里叶变换数值 %Y=exp(i*4*pi*f).*fft(y)%将计算出来的频谱乘以exp(i*4*pi*f)得到频移后[-2,2]之间的频谱值 Y=fft(y); z=sqrt(Y.*conj(Y)); plot(f(1:100),z(1:100)); title('幅频曲线') xiangwei=angle(Y); figure(2) plot(f,xiangwei) title('相频曲线') figure(3) plot(t,y,'r') %axis([-2,2,0,1.2]) title('原始信号')

希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。 2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。 《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。 6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力

希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT） 0 前言 传统的数据分析方法都是基于线性和平稳信号的假设，然而对实际系统，无论是自然的还是人为建立的，数据最有可能是非线性、非平稳的。 希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）是一种经验数据分析方法，其扩展是自适应性的，所以它可以描述非线性、非平稳过程数据的物理意义。 1 HHT简介[贺礼平.希尔伯特-黄变换在电力谐波分析中的应用研究[D].湖南:中南大学,2009]HHT的发展。 1995年，Norden E.Huang为研究水表面波构思出一种所谓“EMD--HSA”的时间序列分析法，通过这种方法他发现水波的演化不是连续的，而是突变、离散、局部的。 1998年，Norden E.Huang等人提出了经验模态分解方法，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert谱分析的方法，美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名为Hilbert-Huang Transform，简称HHT，即希尔伯特-黄变换。 HHT是一种新的分析非线性非平稳信号的时频分析方法，由两部分组成： 第一部分为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）（the sifting process，筛选过程），它是由Huang提出的,基于一个假设：任何复杂信号都可以分解为有限数目且具有一定物理定义的固有模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF；也称作本征模态函数）；EMD方法能根据信号的特点，自适应地将信号分解成从高到低不同频率的一系列IMF；该方法直接从信号本身获取基函数，因此具有自适应性，同时也存在计算量大和模态混叠的缺点。 第二部分为Hilbert谱分析（Hilbert Spectrum Analysis，HSA），利用Hilbert变换求解每一阶IMF 的瞬时频率，从而得到信号的时频表示，即Hilbert谱。 简单说来，HHT处理非平稳信号的基本过程是：首先，利用EMD方法将给定的信号分解为若干IMF，这些IMF是满足一定条件的分量；然后，对每一个IMF进行Hilbert变换，得到相应的Hilbert谱，即将每个IMF表示在联合的时频域中；最后，汇总所有IMF的Hilbert谱就会得到原始信号的时间-频率-能量分布，即Hilbert谱。 在HHT中，为了能把复杂的信号分解为简单的单分量信号的组合，在进行EMD方法时，所获得的IMF 必须满足下列两个条件： 1）在整个信号长度上，一个IMF的极值点和过零点数目必须相等或至多只相差一点。 2）在任意时刻，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络线的平均值为零，也就是说IMF的上下包络线对称于时间轴。

希尔伯特23问 希尔伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。 2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。 《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼

目录 ? 1 本质模态函数(IMF) ? 2 经验模态分解(EMD) ? 3 结论 ? 4 相关条目 ? 5 参考文献 ? 6 外部链接 [编辑]本质模态函数(IMF) 任何一个资料，满足下列两个条件即可称作本质模态函数。 ⒈局部极大值(local maxima)以及局部极小值(local minima)的数目之和必须与零交越点(zero crossing)的数目相等或是最多只能差1，也就是说一个极值后面必需马上接一个零交越点。 ⒉在任何时间点，局部最大值所定义的上包络线(upper envelope)与局部极小值所定义的下包络线，取平均要接近为零。

因此，一个函数若属于IMF，代表其波形局部对称于零平均值。此类函数类似于弦波（sinusoid-like），但是这些类似于弦波的部分其周期与振幅可以不是固定。因为，可以直接使用希尔伯特转换，求得有意义的瞬时频率。 [编辑]经验模态分解(EMD)

EMD算法流程图 建立IMF是为了满足希尔伯特转换对于瞬时频率的限制条件之前置处理，也是一种转换的过程。我们将IMF来做希尔伯特转换可以得到较良好的特性，不幸的是大部分的资料并不是IMF，而是由许多弦波所合成的一个组合。如此一来，希尔伯特转换并不能得到正确的瞬时频率，我们便无法准确的分析资料。为了解决非线性（non-linear）与非稳态（non-stationary）资料在分解成IMF时所遇到的困难，便发展出EMD。 经验模态分解是将讯号分解成IMF的组合。经验模态分解是借着不断重复的筛选程序来逐步找出IMF。 以讯号为例，筛选程序的流程概述如下: 步骤 1 : 找出中的所有局部极大值以及局部极小值，接着利用三次样条 (cubic spline)，分别将局部极大值串连成上包络线与局部极小值串连成下包络线。 步骤 2 : 求出上下包络线之平均，得到均值包络线。 步骤 3 : 原始信号与均值包络线相减，得到第一个分量。 步骤 4 : 检查是否符合IMF的条件。如果不符合，则回到步骤1并且将 当作原始讯号，进行第二次的筛选。亦即 重复筛选次 直到符合IMF的条件，即得到第一个IMF分量，亦即

黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary data》中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis) 要理解HHSA方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD)、与希尔伯特-黄变换(HHT)。 学术背景： 在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。 希尔伯特变换： 希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。 但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷： (1)希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。但实际应用中，存在 许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。即便是 窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果

发生错误。而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足 希尔伯特变换条件的信号无法完全满足； (2)对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在 一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号； (3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大 程度上失去了原有的物理意义。 图1 傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率 希尔伯特-黄变换： 针对上述的三个问题，黄锷院士在1998年提出希尔伯特-黄变换(HHT)。其基本思想是：讲一个非稳态、非线性的信号分解为若干个稳态信号，在对分解后的信号进行希尔伯特变换，分别求取对应的瞬时频率。 在这里将非稳态、非线性信号分解为多个稳态信号的算法成为经

关于希尔伯特第21个数学问题的故事 ——一段七十多年的公案

李文林 希尔伯特问题的解决过程，有一些是具有戏剧性的，第21问题（具有给定单值群的线性微分方程的存在性）就是其中之一。这个早在1908年就已被认为获得解决的问题，七十多年之后竟被翻了案，成为希尔伯特问题研究史上饶有趣味和富有教益的一章。