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希望杯六年级真题及解析

第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛

六年级

第 1 试试题

2015 年 3 月 15 日

上午 8:30 至 10:00

以下每题 6 分,共 120 分. 1. 计算:

1 + 1 + 1 + 1

+ 1 ________. 2 4 8 16

32

【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 1 题

【考点】借来还去——分数计

算【难度】☆

31

【答案】 32

【解析】原式 =

12 + 14 + 18 + 161 + ( 321 + 321 ) - 321

= 12 + 14 + 18 + (161 + 161 ) - 321 = 12 + 14 + ( 18 + 18 ) - 321 = 12 + ( 14 + 14 ) - 321 = 12 + 12 - 321

= 1 - 321

= 3231

2.

将 99913

化成小数,小数部分第 2015 位上的数字是________.

【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 2 题

【考点】循环小数与分数——计算【难度】☆【答案】1

【解析】 99913

= 0.013 , 2015 ÷ 3 = 671

2 ,所以数字为 1.

1

3.若四位数2AB7能被13整除,则两位数AB的最大值是________.

【出处】2015年希望杯六年级初赛第3题

【考点】整除问题——数

论【难度】☆☆【答案】

97

【解析】13 2AB7?13AB0+2007,2007÷135,所以AB0÷138 ,13 AB5 ,

用数字谜或倒除法,可确定AB=97。数字谜方法如下:根据乘积的个位,可确定第二个因数的个位为5,因

为构造最大值,所以十位为最大为7,积为975

1 3 1 3 1 3

? ? 5 ? 7 5

? 6 5 ? 6 5

9 1

5 5 9 7 5

4.若一个分数的分子减少20%,并且分母增加28%,则新分数比原来的分数减少了________%.

【出处】2015年希望杯六年级初赛第4题

【考点】分数应用题——应用

题【难度】☆☆【答案】37.5

a a ?1 - 20% ) a 5 5 ? 5 ?

( = ? - ÷ 1 ? 100% = 37.5% 【解析】设原分数为,则新分数为,所以新分数为原分数的, 1 ?

b b ?(1 + 28% ) b8 8 ? 8 ?

5. 若a< 1 < a +1 ,则自然数a=________.

1 + 1 + 1 + 1 + 1

2011 2012 2013 2014 2015

【出处】2015年希望杯六年级初赛第5题

【考点】比较与估算——计算

【难度】☆☆【答案】402

【解析】设x= 1 ,x> 1 = 2011 = 402 1 x < 1 = 2015 = 403 ,所

1

+ 1

+

1

+

1

+

1 1

? 5

5 5 1

? 5

5

2011 2012 2013 2014 2015 2011 2015 以402 1 < x <403, a =402

5

x 3.14 = 0.14 0.5 = 0.5 ? 2015 ? + ? 315 ? + ?

412 ? =

6. .那么,? ? ? ? ?

定义:符号{ }表示的小数部分,如} ,{ } ?

5

? 3 ? ? 4 ? ? ? ________.(结果用小数表示)

【出处】2015年希望杯六年级初赛第6题

【考点】高斯记号与循环小数——计算

2

【难度】☆☆

【答案】1.816

? 2015 ? ? 315 ? ? 412 ? 2 3 2

【解析】? ? + ? ? + ? ? = + + = 0.6 + 0.75 + 0.4 =1.816

4 5 3 4 5

? 3 ? ? ? ? ?

7.甲、乙、丙三人共同制作了一批零件,甲制作了总数的30%,乙、丙制作的件数之比是3:4.已知丙制

作了20件,则甲制作了________件.

【出处】2015年希望杯六年级初赛第7题

【考点】比例应用题——应用

题【难度】☆☆【答案】15

【解析】甲制作了总数的30%,乙、丙制作的件数是总数的1-30%=70%,乙、丙制作的件数之比是

3:4,

则乙做了30%,丙做了40%,则甲:乙:丙= 3 : 3 : 4,甲制作了20÷4?3=15(件)。

8.已知9x

,15

y

,14

z

都是最简真分数,并且它们的乘积是

1

6,则x+y+z=________.

【出处】2015年希望杯六年级初赛第8题

【考点】因数与分解质因数——数

论【难度】☆☆☆

【答案】21

【解析】9x

?15

y

?14

z

=

1

6,6xyz=9?15?14,xyz=3?3?5?7,

x 与9互质,x 不含因数3;

y 与15互质,y 不含因数3,5;

z 与14互质,z 不含因数7;

并且x,y,z均不能为1(否则,必有假分数出现),所以y=7,x=5,z=9,x+y+z=7+5+9=21

9.如图一,有三只小老鼠发现一堆花生米,商量好第二天来平分.第二天,第一只老鼠最早来到,它发现

花生米无法平分,就吃了一粒,余下的恰好可以分成三份,它拿着自己的一份走了.第二只和第三只老鼠随后依次来到,遇到同样的问题,也采取了同样的方法,都是吃掉一粒后,把花生米分成三份,拿走其中的一份.那么,这堆花生米至少有________粒.

图1

【出处】2015年希望杯六年级初赛第9题

【考点】分数应用题——应用

题【难度】☆☆☆☆

【答案】25

3

? ? 2 ? 2 ? 227 a+ 30 3a+ 6

【解析】设最后剩的两份为a,那么花生米总数为? ?a÷

+ 1 ? ÷ + 1? ÷ +1 = + 1 = + 3a+ 4 ,

? ? 3 ? 3 ? 38 8

3a+ 6 为 8 的倍数且为 3 的倍数,最小为 24,所以a= 6 ,总数为3a+ 6 + 3a+ 4 = 24 + 3 ? 6 + 4 = 25

8 8

1

10. 如图 2,分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心,以长方形的宽为半径作4圆,若图中的两个阴影

部分的面积相等,则此长方形的长与宽的比值是________.

图2

【出处】2015年希望杯六年级初赛第10题

【考点】圆与扇形——曲线形几何

【难度】☆☆☆

【答案】π: 2

【解析】因为S2=S4,两个半圆的面积S1+S2+S2+S3=S1+S2+S3+S4与长方形面积相等。

所以设长为a,宽为b,1

4πb2?2=ab,πb=2a,a:b=π: 2

S4

S1 S3

S

2

11. 六年级甲班的女生人数是男生人数的10

9倍,新年联欢会中,5

2

的女生和

1

3的男生参加了演出,则参加演

出的人数占全班人数的________.

【出处】2015年希望杯六年级初赛第11题

【考点】分数应用题——应用

题【难度】☆☆

【答案】19

7

【解析】设女生人数为10份,男生人数为9份,则参加演出的人数为2 ? 10 + 1 ? 9 = 7 ,占全班人数的7 = 7

5 3 10 + 9 19 12. 有 80 颗珠子,5 年前,姐妹两人按年龄的比例分配,恰好分完;今年,她们再次按年龄的比例重新分配,

又恰好分完.已知姐姐比妹妹大2岁,那么,姐姐两次分到的珠子相差________颗.

4

【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 12 题

【考点】因数问题——数论【难度】☆☆ 【答案】4

【解析】设 5 年前妹妹的年龄为 x ,那么

5 年前

今年

妹妹

x

x + 5

姐姐 x + 2 x + 7

5 年前与今年分别按照年龄的比例分配,且恰好分完,所以 2 x + 2 与 2 x +12 均为 80 的因数,且这两个因数的差为

10,80 的因数有 1,2,4,5,8,10,16,20,40,80,所以只有 10 与 20 的差为 10,所以 2 x + 2 =10 ,x = 4 ,

5 年前按照 4 :

6 的比例分配,姐姐分到 80 ÷ ( 4 + 6 )? 6 = 48 (颗),今年按照 9:11 的比例分配,姐姐分到

80 ÷ ( 9 + 11)? 11 = 44 (颗),两次分配相差 48 - 44 = 4 (颗)。

13. 如图 3,分别以 B ,C 为圆心的两个半圆的半径都是 1 厘米,则阴影部分的周长是________厘米.(π 取 3)

E

A B

C D

图3

【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 13 题

【考点】圆与扇形——曲线形几何【难度】☆☆

【答案】3

【解析】BE ,BC ,CE 均为圆的半径,所以 ?BCE 等边三角形,每个角均为 60 度,所以阴影部分的两段圆弧均

为 60 度的扇形所对应的圆弧,所以周长为 36060 ? π ? d ? 2 +1 = 1

6 ? 3 ? 2 ? 2 + 1 = 3

E

A B C D

14. 一个 100 升的容器,盛满了纯酒精,倒出一部分后注满水;混合均匀后,倒出与第一次所倒出体积相等的

液体,再注满水,此时容器内水的体积是纯酒精体积的 3 倍,则第一次倒出的纯酒精是________升.

【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 14 题

5

【考点】浓度问题——应用题【难度】☆☆☆ 【答案】50

【解析】设第一次到出酒精 x 升,所剩酒精为 (100 - x ) 升,此时容器的空间为 x 升,则第一次倒入水时,酒

精溶液浓度为 (100 - x )% ,再倒出 x 升酒精溶液,此时所剩酒精溶液体积为 (100 - x ) 升,所剩酒精为

(100 - x ) % ? (100 - x ) = 100 ? 1 +1

3 ,所以 (100 - x )2 = 2500 , x = 50

15. 如图 4,甲,乙两个圆柱形容器的底面半径分别是 2 厘米和 3 厘米,已知甲容器装满水,乙容器是空的.现将甲

容器中的水全部倒入乙容器,水面的高比甲容器高的

2

3 少 6 厘米,则甲容器的高是________厘米.

图4

【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 15 题

【考点】圆柱——立体几何【难度】☆☆【答案】27

2

2

? 2

?

【解析】设甲容器高为 h ,根据水的总量相等,得到 π ? 2

? h = π ? 3

? h - 6

? ,解得 h = 27

? 3 ?

16. 如图 5,《经典童话》一书共有 382 页,则这本书的页码中数字 0 共有________个.

10

9

图5

【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 16 题

【考点】页码问题——应用题【难度】☆☆【答案】68

【解析】1 ~ 382 中,个位每 10 个数中出现一个 0, 382 ÷ 10 = 38

2 ,每 10 个数中最后一个数个

位为 0,

6

所以个位中共有38个0,1 ~ 99中十位上没有0,十位有0的有,100 ~ 109,200 ~ 209,200 ~ 309,共30个,所以共38+30=68(个)

17.如图6所示的7个圆相切于一点,若圆的半径分别是(单位:分米):1,2,3,4,5,6,7,则图中阴影部分

的面积是________平方米.(π取3)

7

6

5

4

3

2

1

图6

【出处】2015年希望杯六年级初赛第17题

【考点】圆——曲线形几

何【难度】☆☆☆

【答案】84

【解析】阴影面积为

π? 12+π?( 32- 22)+π?( 52- 42)+π?( 7 2- 62)

=π? 1 +π?( 3 + 2 )+π?( 5 + 4 )+π?( 7 + 6)

=28π

=84

18.将一个棱长为6的正方体切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体,若这些小正方体的表面积之和

是切割前大正方体的表面积的2倍,则切割成的小正方体的棱长是________.

【出处】2015年希望杯六年级初赛第18题

【考点】表面积问题——立体几何

【难度】☆☆☆

【答案】3

【解析】若切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体,所以平行于前面、右面、上面所切的刀数相同,由于切割后的表面积为切割前的两倍,所以增加面积等于原表面积,所增加的部分为两个前面、两个上面和两个右面,所以平行与三个面个切一刀,所以棱长为6÷2=3

19.有长度分别是1厘米,2厘米,3厘米,4厘米,5厘米的小木棍各若干根,从中任取3根组成一个

三角形,则最多可以组成不同的三角形________个.

【考点】三角形三边关系——几何

【难度】☆☆☆

【答案】22

7

【解析】有序枚举

(1,1,1)(1,2,2)(1,3,3)(1,3,3)(1,4,4)(1,5,5)

(2,2,2)(2,2,3)(2,3,3)(2,3,4)(2,4,4)(2,4,5)

(3,3,3)(3,3,4)(3,3,5)(3,4,4)(3,4,5)(3,5,5)

(4,4,4)(4,4,5)(4,5,5)

(5,5,5)

20.一条路上有上坡,平路,下坡三段,各段路程之比是1:2:3,小羊经过各段路的速度之比是3:4:5,如图

7.已知小羊经过三段路共用1小时26分钟,则小羊经过下坡路用了________小时.

图7

【考点】三角形三边关系——几何

【难度】☆☆☆

【答案】0.6

【解析】时间比为1

3:4

2

:5

3

=20 : 30 : 36=10 :15 :18,下坡路时间为160

26

÷(10+15+18)?18=0.6(时)

8

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