第十三章 电磁感应 电磁场习题解答

第十三章 电磁感应 电磁场 （Electromagnetic inductor ）

计算题

13-1 .如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I ，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度υ沿垂直于导线的方向离开导线．设t =0时，线圈位于图示位置，求 ： (1)在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量Φ；（2）在图示位置时矩形线圈中的电动势ε。

I

题13-1图

解：(1) ()0d d 2S

I t l r r μΦπ=?=??B S ?++π=t

b t a r r l I v v d 20

μ0ln 2I l b t a t μυπυ+=+ (2) 依据法拉第电磁感应定律得00d d 2()t lI b a t ab

μυεπ=-=-

=Φ

13-2 如题图所示，长直导线AB 中的电流I 沿导线向上，并以d I /d t =2 A/s 的变化率均匀增长。导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，

其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图

所示。求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。（7

0410T m/A μπ-=??）

题13-2图

解：建立坐标如图所示，则直角三角形线框斜边方程

y =-2x + 0.2 (SI )

取瞬时针方向为线框的绕行方向，则在直角三角形线框所围平面上的磁通量为

0000

d 202

[]d 2π0052005.(.).b

b Iy x

I x x x x μμΦπ-+==++?? 00015005

ln

005

...Ib I b μμππ+=-

+＝2.59×10-8 I (SI )

三角形线框中的感应电动势为

88d d 2591051810V d d ..I

t t

Φε--=-

=-?=-?

即电动势的大小为8

5.1810V -?，方向为逆时针。

13-3 题图所示,载有电流的I 长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a 。设半圆环以速度 υ平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN 两端的电压N M V V -。

题13-3图

解：动生电动势

()d MeN MN

ε=

???υB

l

为计算简单，可引入一条辅助线MN ，构成闭合回路MeNM , 闭合回路总电动势

0MeN NM MeN NM MN εεεεεε=+=?=-=

()0d d 2a b

MeN MN

a b

I

x x

μευ

π+-=

??=-??υB l 0ln

2I a b a b μυ+=-π- 负号表示MN ε的方向与x 轴相反，所以

0ln

2M N MN I a b U U a b

μυεπ+-=-=

- 13-4 求长度为L 的金属杆在均匀磁场B 中绕平行于磁场方向的定轴OO ＇转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场B 的方位角为θ，杆的角速度为ω，转向如题图(a)所示。

B

(a)(b)

题13-4图

解：在距O 点为l 处的d l 线元中的动生电动势为

()l B υd d ??=ε

所以，

()θωθωαπ

υε222sin 21

d sin d cos 2sin

d BL l lB l B L

L

L

===??=???l B υ， ε的方向沿着杆指向上端。

13-5如题图所示，一长直导线中通有电流I ，有一垂直于导线、长度为l 的金属棒AB 在包含导线的平面内，以恒定的速度υ沿与棒成θ角的方向移动。开始时，棒的A 端到导线的距离为a ，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高。

题13-5图

解：如图建立坐标系，t 时刻在坐标为x 处取线元矢量元i l x d d =，则

()x x I x x x x d 2cos 2sin 2d 2

1

21

0?

???

? ??+=??=θππυπμεl B υ 式中，

θυ++=cos 2t l a x ，θυ+=cos 1t a x

所以，

θ

υθ

υθυπμεcos cos ln

sin 20t a t l a I +++-

= ，A 端的电势高。 13-6 如题图所示，长直导线中电流为i ，矩形线框abcd 与长直导线共面，且ad ∥A B ，dc 边固定，ab 边沿da 及cb 以速度υ无摩擦地匀速平动；0t =时，ab 边与cd 边重合。设线框自感忽略不计。

(1)如i =I 0，求ab 中的感应电动势．ab 两点哪点电势高？

(2)如t I i ωcos 0=，求ab 边运动到图示位置时线框中的总感应电动势。

解：

ab 直线上的磁场不均匀，建立坐标ox ，x 沿ab 方向，

原点在长直导线处，则x 处的磁感应强度为 习题13-6图

02i

B x

μπ=

， （式中 i =I 0） 在坐标为x 处取线元矢量元i l x d d =，则ab 中的感应电动势为

i

()0

100000ln 2d 2d 1

00

2

1

l l

l I x x I l l l x x +=-

=??=?

?+πμυπμυ

εl B υ 由于ab 中的感应电动势的实际方向为b a →，因此有a b V V >

。 (2) 当t I i ωcos 0=时，以abcda 作为回路正方向， 则：

??=?=ΦS

S

x Bl d d 2S B 01

02

d 2l l l il x x

μπ+=

?

上式中2l t υ=， 于是

01002

d d (d )d d 2l l

l il x t t x

μΦεπ+=-=-?

()00010ln sin cos 2I l l t t t l μυωωω??

+=- ?π

?

?

13-7 如题图所示，一根长为L 的金属细杆ab 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω在水平面内旋转，O 1O 2在离细杆a 端L /5处，若已知地磁场在竖直方向的分量为B 。求ab 两端间的电势差

b a V V -。

b

习题13-7图

解：Ob 间的动生电动势1ε和Oa 间的动生电动势2ε分别为：

()?

?=

??=5

40

5

401d d //L L l Bl ωεl B υ22

50

16

)54(21BL L B ωω==，b 点电势高于O 点； ()??=??=

5

50

1d d //L L l Bl ωεl B υ22

50

1

)51(21BL L B ωω=

=，a 点电势高于O 点。 ∴ 22211165050a b U U BL BL εεωω-=-=

-2210

3

5015BL BL ωω-=-= 13-8长为L ，质量为m 的均匀金属细棒，以棒端O 为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L 的金属环上滑动。棒端O 和金属环之间接一电阻R ，整个环面处于均匀磁场B 中，

B 的方向垂直纸面向里，如题图所示。设t =0时，初角速度为0ω；忽略摩擦力及金属棒、

导线和圆环的电阻。求

(1) 当角速度为ω时金属棒内的动生电动势的大小；

(2) 棒的角速度随时间变化的表达式。（提示：利用转动定律）

习题13-8图

解∶(1) 对于金属棒OB ，沿径向在半径为r 处取r d ，利用公式()???=

r B υd ε，得

2d d 2

0L B r B r r B L

L ω=ω=υ=ε?? （2）设安培力作用在金属棒OB 上的力矩大小为M ，则

2

21d BIL r BI r M L

=?=?R L B L R L B B 4)2(

214222ωω== 根据转动定律得

2d (1)

d 1(2)

3J M t J mL ω

?=-???

?=??

则：

t Rm

L B d 43d 2

2-=ωω

)43ex p(2

20t Rm

L B -=ωω，其中exp()x x e =

13-9 一面积为S 的单匝平面线圈，以恒定角速度ω在磁感强度k B t B ω=sin 0的均匀外磁场中转动，转轴与线圈共面且与B 垂直（k 为沿z 轴的单位矢量）。设t =0时线圈的正法向与k 同方向，求线圈中的感应电动势。

解：t 时刻线圈的正法向与B 之间的夹角为t θω=，则t 时刻线圈中的磁通量为

t t S B t BS ωωωΦcos sin cos 0==

t 时刻线圈中的感应电动势为

22

0d /d (sin cos )t B S t t εΦωωω=-=--+0cos(2)B S t ωω=-

13-10 如图所示，一半径为r 2电荷线密度为λ的均匀带电圆环，里边有一半径为r 1总电阻为R 的导体环，两环共面同心(r 2 >> r 1)，当大环以变角速度)(t ωω=绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中的感应电流。其方向如何？

习题13-10图

解：大环中相当于有电流2)(r t I λω?= ，该电流在O 点处产生的磁感应强度大小

λωμμ)(2

1

)2/(020t r I B =

= 以逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中的磁通量为

20112

()t r Φμωλπ≈

∴

2

01d 1d ()

d 2d t r t t

Φωεπμλ=-

=- 感应电流为

201d ()

2d r t i R

R

t

πμλε

ω=

=-

?

i 的方向：当

d ()0d t t ω>时，i 为负值，即i 为顺时针方向：当()

0d t dt

ω<时，i 为正值，即i 为逆时针方向。

13-11 电荷Q 均匀分布在半径为a 、长为L ( L >>a )的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度ω绕中心轴线旋转。一半径为2a 、电阻为R 的单匝圆形线圈套在圆筒上，如图所示。若圆筒转速按照)/1(00t t -=ωω的规律(0ω和0t 是已知常数)随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向。

习题13-11图

解：筒以ω旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流

2Q L ω

π

?，它和通电流螺线管的nI 等效．依据长螺线管轴心磁场公式，筒内均匀磁场磁感强度为：

02Q B L

μω

π=

(方向沿筒的轴向) 筒外磁场为零。穿过线圈的磁通量为：

2

2

02Q a a B L

μωΦπ==

在单匝线圈中产生感生电动势为

d d t Φε=-=

20d 2d ()Qa L t μω

-0

0202Lt Qa ωμ= 感应电流i 为

200

2Qa i R

RLt μωε

=

=

当0Q >时，i 的流向与圆筒转向一致；否则，i 的流向与圆筒转向相反。 13-12 如题图（a ）所示，有一弯成θ

角的金属架COD 放在磁场中，磁感强度B 的方向

垂直于金属架COD 所在平面。一导体杆MN 垂直于OD 边，并在金属架上以恒定速度υ向

右滑动，υ与MN 垂直。设t =0时，x = 0。求下列两情形，框架内的感应电动势i ε。 (1) 磁场分布均匀，且B 不随时间改变；

(1) 非均匀的时变磁场t Kx B ωcos =。

解：(1) 如题图（a ），因为

x y xy

B θΦtg 2

1== t x υ=

所以，由法拉第电磁感应定律可得

2d 1d /d (tg )d 2t B x t εΦθ=-=-

21

tg 2d d tg 2

/B x x t B t θθυ=-= 在导体MN 内ε的方向由M 向N 。

(2) 对于非均匀时变磁场t Kx B ωcos =。如题图（b ），取回路绕行的正向为O →N →M →O ，则

d d d B S B ηξ==Φ， tg ηξθ= 2d tg d cos tg d B K t Φξθξξωθξ==

20

d cos tg d x

K t ΦΦξωθξ==??31

cos tg 3

Kx t ωθ=

ε=d d t -

Φ321

sin tg cos tg 3K x t Kx t ωωθυωθ=- 3321

tg sin cos 3

()K t t t t υθωωω=-

0ε>，则ε方向与所设绕行正向一致；0ε<，则ε方向与所设绕行正向相反。

13-13 如图所示，真空中一长直导线通有电流t

e I t I λ-=0)((式中I 0、λ为常量，t 为时间)，

有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距a 。矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为b ，并且以匀速υ(方向平行长直导线)滑动。若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t 在矩形线框内的感电动势i ε并讨论i

ε的方向。

习题13-13图

解：线框内既有感生又有动生电动势．设顺时针绕向为ε的正方向．先求任意时刻t 的

()t Φ。如图在线框中y 方向取一宽为d y 的长方形面元，对该面元上的磁通进行积分即得()t Φ，

??=S B d )(t Φ 0d 2()

()a b

a

I t x t y y

μ+=

π?

0()()ln

2a b

I t x t a

μπ+=

根据法拉第电磁感应定律可得： 0d ()d d (ln )()d 2d d t a b I x

x I t b t t

μΦε+=-

=-+π 0

0e (1)ln

2t a b

I t a

λμλ-+=

-π

v 。（计算中利用了条件t x υ=）。 ε的方向：t <1时，逆时针；t >1时，顺时针。

13-14 在半径为R 的圆柱形空间内，存在磁感强度为B 的均匀磁场，B 的方向与圆柱的轴线平行。有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a ，a >R ，如题图（a ）所示。已知磁感强度随时间的变化率为d B /d t ，求长直导线中的感应电动势i ε，并说明其方向。（提示： 选取过轴线而平行给定的无限长直导线的一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)。利用在过轴线的长直导线上，感生电场E 处处与之垂

直的条件）

题13-14图

解：由问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生电场的场强E 在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直。

如题图（b ）所示，选取过轴线且平行给定的无限长直导线的一条无限长辅助直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)，则在过轴线的辅助长直导线上，因感生电场E 处处与之垂直，所以该辅助长直导线上电动势为零。又在无限远处0=E ，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势ε。 该回路的磁通量

212

R B π=Φ

由电磁感应定律有：

2

d 1d d 2d B

R t t

επ=-

=-Φ ε的正方向如图所示．当d 0B t >时，i ε的方向从左到右；d d 0B t <时，i ε的正方向从

右到左。

13-15 题图所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM 与L′M′，其间距离为l ，左端与电动势为0ε的电源连接，匀强磁场B 垂直于图面向里。一段直裸导线ab 横嵌在平行导线间(并可保持在导线间无摩擦地滑动)把电路接通。由于磁场力的作用, ab 将从静止开始向右运动起来。求

(1) ab 能达到的最大速度υ；

(2) ab 达到最大速度时通过电源的电流I 。

解：(1) 导线ab 运动起来时，切割磁感线，产生动生电动势．设导线中电流为i （假设从a 到b ），导线运

动速度为υ，则ab 上的动生电动势

υεBl =，由b 指向a 。 习题13-15图 在由ab 接通的电路中

000,ir Bl ir εεευ--=?-=

在磁场力作用下，υ不断增大，则i 不断减小。当υ增大到某一值V 时，总会出现

00BlV ε-=

此时0i =，ab 所受磁场力为零，其速度不再增加，导线作匀速运动，这也就是ab 能达到的最大速度，即ab 所能达到的最大速度为：

V bl

ε=

(2) 这时电路中和电源中的电流均为零。

13-16 如题图所示，在圆柱形的匀强磁场中，同轴地放置一个半径为a ，厚度为b 的金属圆盘，今使磁场随时间变化k t B =d d ，k 为一常数，已知金属盘的电导率为σ。试求：金属盘内的总的涡电流。

习题13-16图

解：如题图，半径为r 的同轴圆柱面上各点的涡旋电场为：t

B

r E d d 2-

=。涡旋电场E 的方向与t d d B 的方向成左手螺旋关系。在半径r r r d +→（a r <）间取高为b 的同轴柱壳。在该柱壳内，沿切向流动的涡电流大小为：

r b t

B

r S E i d d d 2d d σ

σ-== 故金属盘内总的涡电流为：

4

d d d 21d 200k

b a r r b t B i i a

a σ-=-==??

由于金属盘内载流子为电子，所以当0>k 时，涡电流为反时针流动；当0

13-17 两同轴长直螺线管，大管套着小管，半径分别为a 和b ，长为L (L >>a ；a >b )，匝数分别为N 1和N 2，求互感系数M 。

解：设半径为a 的长螺线管中通入电流I ，则管内的均匀磁场

010a

a a a N I B n I L

μμ==

通过半径为b 的长螺线管的磁链为：

2

01222()a b b a b N N I b N N B S L

μπψΦ==?=

根据定义：

2

012/b a N N b M I L

μψπ==

13-18 真空中，一个半径r 1 =1 cm ，长度l 1 =1 m 的圈数为N 1=1000的螺线管在它的中部与它同轴有一个半径r 2 =0.5 cm ，长度l 2 =1.0 cm 圈数N 2 =10的小线圈。计算两个线圈的互感

系数。(真空的磁导率7

0410H m μπ-=?)

解：设外圈线圈通过电流I 1，由于11l r ?，所以它在线圈中间产生的磁感强度为：

11

1

1I l N B μ= 由于内线圈的r 2 < r 1，l 2 << l 1，所以可以认为B 1均匀通过内线圈，从而得到通过内线圈的磁通链数为：

==21221S B N ψ2

1210

2

1

N N I r l μ

π

所以得两线圈的互感为：

2

721

120

21

1

98710.N N M r I l ψμπ-=

==?H 13-19 真空矩形截面螺绕环的总匝数为N ，尺寸如下图所示，求它的自感系数。

习题13-19图

解：设螺绕环中通电流I ，在环内取以环中心为圆心，半径为r 的圆形回路（截面为矩形，如图），根据安培环路定理有

NI rB NI 00

2d μπμ

=?=??l B

则

)2/(0r NI B π=μ

通过螺线管矩形截面的磁链数ψ为：

2

1

200ln

2d 2d 1

2

R R hI

N r h r

NI

V N R R π

=

π=?=??

μμψS B

201

2

ln 2/N h R L I R μψπ==

13-20 一无限长直导线通有电流t

I I 30e -=，一矩形线圈与该长直导线共面放置，其长边与

导线平行，位置如题图所示。求：

(1) 矩形线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向；(2) 导线与线圈的互感系数。

习题13-20图

解：(1)如图建立坐标系，在坐标d r r r →+间取面元r b S d d =。取矩形线圈的饶行方向为顺时针，则面元的正法矢量方向垂直纸面向里，于是该面元上的磁通量为

d d d Bl r Φ=?=B S ，其中 )2/(0r I B π=μ

穿过矩形线框的磁通量为：

00d ln 22b

a

I l I

b l r r a μμΦππ==?

根据法拉第电磁感应定律得：

0d d (ln )d 2d l b I t a t μΦ

επ=-

=-3003ln e 2t lI b a

μπ-=? 由于感应电动势0ε>，所以此时感应电流方向为顺时针方向。 （2）根据互感系数的计算式可得：

0ln 2l b

M I

a

μΦ

π=

=

13-21 一边长为a 的正方形线圈，在t = 0 时正好从如图所示的均匀磁场的区域上方由静止开始下落，设磁场的磁感强度为B 。如题图所示，线圈的自感为L ，质量为m ，电阻可忽略。求线圈的上边进入磁场前，线圈的速度与时间的关系。 [提示d d ()i

Bl L

iR t

υ+-=，其中0=R ；运动方程d d m

mg BaI t

υ

=-，联合求解]

B

习题13-21图

解：线框在完全进入磁场前，电动势为υ=εBa ，方向为逆时针。取线框中自感电动势εL 的正方向同框内感应电流的方向，即逆时针方向，且此时

t

i L

L d d -=ε。 对线框应用全电路欧姆定律iR εε+=L （式中R 为线框的电阻，可忽略），则 d d d d i i

Ba L iR L Ba t t

υυ?

?+-=?= ??

? （1） 在重力与磁力作用下线圈的运动方程为 d d m

mg Bai t

υ

=- （2） （2）式两边同时对t 微分后把（1）式带入，且令mL

a B 2

22

=ω，可得：

22d d m t υ=d d i

Ba t

-222d 0d t υωυ?+=

这是一个简谐振动方程，其解为：

sin ()A t υω?=+

根据初始条件0t =时0υ=及

g t

=υ

d d ，可得积分常数分别为ω/g A =和0?=。故

i n t

υω=

13-22 一螺绕环单位长度上的线圈匝数为n =10匝/cm ，环心材料的磁导率0μμ=。求在电

流强度I 为多大时，线圈中磁场的能量密度ω=1 J/ m 3？ (A m T /1047

0??=-πμ)。

解：

22001122

()H nI ωμμ==

∴ 126(

/.I n == A

13-23 一线圈的自感L ＝1 H ，电阻R ＝3Ω．在t ＝0时突然在它两端加上U ＝3 V 的电压，此电压不再改变。求

(1) 0.2t s =时线圈中的电流强度；

(2) 求0.2t s =时线圈磁场能量对时间的变化率。 解：(1) 在t≥0时，线圈电流满足的微分方程为d d i

L

Ri U t

+=，即 d d /i R

t i U R L

=--

利用初始条件t ＝0 时i ＝0，积分并化简，得

()L Rt R

U i /e 1--=

当0.2s t =时，0.45A i =。 (2) 线圈储存的磁能为 2

2

1Li W =

，所以 ()d d 1d d //e e Rt L Rt L

W i U U Li L t t R L

--==-()L Rt L Rt R U //2e 1e ---= 当0.2s t = 时，

74.0d d =t

W

W/s 13-24 在长为l 、半径为b 、匝数为N 的细长螺线管的轴线中部，放置一个半径为a 的导体圆环，圆环平面的法线与螺线管轴线之间的夹角固定成45°。已知螺线管电阻为R ，圆环电阻为r ，其自感不计，电源的电动势为ε内电阻为零。设a <

螺线管的自感相比可不计。

(1) 求开关合上后通过螺线管的电流I 随时间的变化规律； (2) 求开关合上后小圆环内电流随时间的变化规律； (3) 证明圆环受到的最大磁力矩为 42

0max 2

8a M b rRl

πμε=

。

习题13-24图

解：(1) K 接通后，长直螺线管与电源组成RL 回路。L 为长直螺线管的自感系数，且

222

22

000()N b N L n V l b l l

μπμμπ===

对RL 回路列KVL 方程 d d I

L

IR t

ε-=，分离变量后得 d d /I R

t I R L

ε=--

上式积分，且利用初始条件t ＝0 时I ＝0，得：

()/1e Rt L

I R

ε

-=

-．

（2）穿过圆环的磁通量为：

45cos BS =?=ΦS B

(

)/2

01e 2Rt L N a l R εμπ-=

-()2/01e 2Rt L N a lR

επ-?=- 圆环中感应电动势的大小为：

2/0d e d 2Rt L i N a R t lR L επΦ

ε-??== ??

?

22

2/e Rt L a Nb -= 感应电流为：

2/2e 2Rt L

i

a i r N

b r

ε-==

(3) 圆环受的力矩的大小为：

2

sin 45sin 45m M p B i a B π==()42

/2/02e

e 2Rt L

Rt L a rb lR

πμε--=

-

对上式求极值， 令 d 0d T t = 得ln2L t R =，且此时有 22d 0d T t < ，说明ln2L

t R

=时圆环所

受到的力矩最大。最大力矩为

()

42

42

/2/00max 2

2

ln 2e

e

28Rt L

Rt L

L

t R

a a M r

b lR

b rRl

πμεπμε--==

-=

电磁场理论习题及答案7.

习题： 1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。当该导线以速度 24x y m v e e s =+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求 感应电动势。 解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 ()in v B dl ε=??? 根据已知条件，得 2233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==?=+?+- 210854(1236)x y z e x e x e x =-++- x dl e dx = 故感应电动势为 0.5 20[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=-++-?=-? 2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场 0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。 解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 ()in v b dl ε=??? 根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为 v e r ωΦ= r dl e dr = 故感应电动势为 20000 1()()2 l l L in z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=??=??==??? 3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。 解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E 和磁感应强度B 的

关系，将,,H B D E J E μεσ===代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ是空间坐标的函数。 考察麦克斯韦第一方程，有 11 ()B H B B μ μμ ??=?? =??+?? 2 1 1 B B μμ μ =- ??+?? D E J J t t ε ??=+=+?? 所以 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? 而 ()D E E E εεερ??=??=??+??=，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E 和B 表示为 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? B E t ???=- ? 0B ??= E E εερ??+??= 对于无耗媒质，0σ=，因此有0J =。 4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J t ρ???=-?。 解：对麦克斯韦第一方程D H J t ???=+ ?两边取散度，得

电磁场与电磁波第二章课后答案

第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ? = ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1， )()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V d ) (41)(| r r |r r ρπε? 2， ? '''-'-'=V V 3 d |4) )(()(|r r r r r r E περ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律

介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1， t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2， s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ? S n -=?? 静电场的能量：

最新电磁场与微波技术(第2版)黄玉兰-习题答案资料

第一章 1.3 证： 941(6)(6)50=0 A B A B A B A B =?+?-+-?=∴?∴和相互垂直和相互平行 1.11 （1） 2 222 0.5 0.50.5 2222 0.5 0.5 0.5 2272(2)(2272)1 24 s Ax Ay Az A divA x y z x x y x y z Ad s Ad dz dy x x y x y z dz ττ---????==++ ???=++=?=++=??? ??由高斯散度定理有

1.18 （1） 因为闭合路径在xoy 平面内， 故有： 222()()8(2) (22)()2()8 x y z x y x z x s A dl e x e x e y z e dx e dy xdx x dy A dl S XOY A ds e yz e x e dxdy xdxdy A ds → →→ → ?=+++=+∴?=??=+=??=∴??因为在面内， 所以，定理成立。 1.21 (1) 由梯度公式

(2,1,3) |410410x y z x y z x y z u u u u e e e x y z e e e e e e ????=++???=++=++1 方向：（） （2） 最小值为0， 与梯度垂直 1.26 证明 00u A ???=??= 书上p10 1.25 第二章 2.1

3343 sin 3sin 4q a V e wr qwr J V e a ρρ ρπθ θ ρπ= ==?= 2.3

'' 2 2' 3 222 , 40 = l l l dl d R Er R ez z ea a ez z ea a Er r z P ez z ea a E d z a ea π ρρα? ρα? πε = ==- - == - = + ? 用圆柱坐标系进行求解 场点坐标为P(0,0,z).线电荷元 可以视为点电荷，其到场点的距离矢量 得 所以点的电场强度为 （） 2 ''' 3 222 cos sin0 20 l z ex ey ea d z E e z a π ??? ρα ε +∴= ∴= + ? （） 2.8

电磁场复习题

《电磁场与电磁波基础》复习题 一、 填空题： （第一章）（第二章）（第三章）（第四章）（第五章）（第六章） （第一章） 1、直角坐标系下，微分线元表达式 z e y e x e l z y x d d d d ++= 面积元表达式 2、圆柱坐标系下，微分线元表达式z e e e l z d d d d ++=φρρφρ， 面积元表达式z e l l e S z d d d d d φρρφρρ == z e l l e S z d d d d d ρφρφφ ==φρρφρd d d d d z z z e l l e S == 3、圆柱坐标系中，ρe 、e ? 随变量? 的变化关系分别是φρφ e e =??，ρφφe -e =?? 4、矢量的通量物理含义是 矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是 矢量场中任意一点处通量对体积的变化率； 散度与通量的关系是 散度一个单位体积内通过的通量。 5、散度在直角坐标系 F z F y F x F V S d F F div Z Y X S V ??=??+??+??=??=?→?0lim 散度在圆柱坐标系 z F F F F div Z ??+??+??=φρρρρφρ1)(1 6、矢量微分算符（哈密顿算符）?在直角坐标系的表达式为 z z y y x x e e e ??+??+??=? 圆柱坐标系 z e z ??+??+??=? φρρφρe e 球坐标系分别 ? θθφθ??+??+??=?sin e e r e r r r 7、高斯散度定理数学表达式 ???=??V s S d F dV F ，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的散度 、 恒定磁场的散度 ；

高中物理第二章 电磁感应与电磁场单元测试题及解析

第二章电磁感应与电磁场章末综合检测 (时间：90分钟；满分100分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确) 1．下列过程中一定能产生感应电流的是( ) A．导体和磁场做相对运动 B．导体一部分在磁场中做切割磁感线运动 C．闭合导体静止不动，磁场相对导体运动 D．闭合导体内磁通量发生变化 2．关于磁通量的概念，下列说法中正确的是( ) A．磁感应强度越大，穿过闭合回路的磁通量也越大 B．磁感应强度越大，线圈面积越大，穿过闭合回路的磁通量也越大 C．穿过线圈的磁通量为零时，磁感应强度不一定为零 D．磁通量发生变化时，磁感应强度一定发生变化 3．如图2－3，半径为R的圆形线圈和矩形线圈abcd在同一平面内，且在矩形线圈内有变化的磁场，则( ) 图2－3 A．圆形线圈有感应电流，矩形线圈无感应电流 B．圆形线圈无感应电流，矩形线圈有感应电流 C．圆形线圈和矩形线圈都有感应电流 D．圆形线圈和矩形线圈都无感应电流 4．以下叙述不正确的是( ) A．任何电磁波在真空中的传播速度都等于光速 B．电磁波是横波 C．电磁波可以脱离“波源”而独自存在 D．任何变化的磁场都可以产生电磁波 5．德国《世界报》曾报道过个别西方发达国家正在研制电磁脉冲波武器——电磁炸弹．若一枚原始脉冲波功率10 kW、频率5千兆赫的电磁炸弹在不到100 m的高空爆炸，它将使方圆400 m2～500 m2地面范围内电场达到每米数千伏，使得电网设备、通信设施和计算机中的硬盘与软盘均遭到破坏．电磁炸弹有如此破坏力的主要原因是( ) A．电磁脉冲引起的电磁感应现象 B．电磁脉冲产生的动能 C．电磁脉冲产生的高温 D．电磁脉冲产生的强光 6．在图2－4中，理想变压器的原副线圈的匝数比为n1∶n2＝2∶1，A、B为完全相同的灯泡，电源电压为U，则B灯两端的电压有( ) 图2－4 A．U/2 B．2U

电磁场与微波技术(第2版)黄玉兰-习题答案

) 第一章 证： 941(6)(6)50=0 A B A B A B A B =?+?-+-?=∴?∴和相互垂直和相互平行 （1） 2 222 0.5 0.50.5 2222 0.5 0.5 0.5 2272(2)(2272)1 24 s Ax Ay Az A divA x y z x x y x y z Ads Ad dz dy x x y x y z dz ττ---????==++ ???=++=?=++=??? ??由高斯散度定理有 ?

（1） 因为闭合路径在xoy 平面内， 故有： 222()()8(2) (22)()2()8 x y z x y x z x s A dl e x e x e y z e dx e dy xdx x dy A dl S XOY A ds e yz e x e dxdy xdxdy A ds → →→ → ?=+++=+∴?=??=+=??=∴??因为在面内， 所以，定理成立。 。 (1) 由梯度公式

(2,1,3) |410410x y z x y z x y z u u u u e e e x y z e e e e e e ????=++???=++=++1 方向：（） （2） 最小值为0， 与梯度垂直 证明 00u A ???=??= 书上p10 ， 第二章

3343 sin 3sin 4q a V e wr qwr J V e a ρρ ρπθ θ ρπ= ==?=

''222 2' 30 222 ,40 =l l l dl d R Er R ez z ea a ez z ea a Er r z z a P ez z ea a E d z a ea π ρρα?ρα?πε===--= = +-=+? 用圆柱坐标系进行求解 场点坐标为P(0,0,z).线电荷元可以视为点电荷，其到场点的距离矢量得所以点的电场强度为（）2' ' '0 3222 cos sin 0 20 l z ex ey ea d z E e z a π ???ραε+∴=∴=+?（） 。 -

习题9电磁感应与电磁场

习题9 9-1在磁感应强度B 为0.4T 的均匀磁场中放置一圆形回路，回路平面与B 垂直，回路的面积与时间的关系为：S=5t 2+3(cm 2),求t=2s 时回路中感应电动势的大小？ 解：根据法拉第电磁感应定律得 dt d m Φ- =εdt dS B =Bt 10= V 4108-?=ε 9-2 如题9-2图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压U M －U N . 题9-2 解: 作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v 方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ? +-<+-= =b a b a MN b a b a Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向， 大小为 b a b a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势，即 b a b a Iv U U N M -+= -ln 20πμ

题9-3 9-3 如题9-3图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面有一矩形线圈.两导线中的电流 方向相反、大小相等，且电流以d I d t 的变化率增大，求： (1)任一时刻线圈所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则 (1) ]ln [ln π2d π2d π2000d a d b a b Il r l r I r l r I a b b a d d m +-+= -= ?? ++μμμΦ (2) t I b a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε 题9-4 9-4 如题9-4图所示，长直导线通以电流I ＝5 A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈长b ＝0.06 m ，宽a ＝0.04 m ，线圈以速度v ＝0.03 m/s 垂直于直线平移远离.求：d ＝0.05 m 时线圈中感应电动势的大小和方向. 解: AB 、CD 运动速度v 方向与磁力线平行，不产生感应电动势．

大物B课后题08-第八章 电磁感应 电磁场

习题 8-6 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。 解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 02m i d B dS ldx x μφπ=?= 通过矩形面积CDEF 的总磁通量为 0000ln ln sin 222b m a i il I l b b ldx t x a a μμμφωπππ===? 由法拉第电磁感应定律有 00ln cos 2m d I l b t dt a φμωεωπ=- =- 8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt ，球小 线圈中感应的电动势。 解 无限长直螺线管内部的磁场为 0B nI μ= 通过N 匝圆形小线圈的磁通量为 2 0m NBS N nI r φμπ== 由法拉第电磁感应定律有 20m d dI N n r dt dt φεμπ=- =- 8-8 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为 0m BS niS φμ== 由法拉第电磁感应定律有 000cos m d di nS nSi t dt dt φεμμωω=- =-=- 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD 放在1 6.010B T -=?的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=?，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。若令AB 边以速率 15.0v m s -=?向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。 解 利用动生电动势公式

《电磁场与电磁波》(陈抗生)习题解答选

《电磁场与电磁波》（陈抗生）习题解答 第一章 引言——波与矢量分析 1．1 .,,/)102102cos(1026300p y v k f E m V x t y y E E 相速度相位常数度，频率波的传播方向，波的幅的方向，，求矢量设 --?+?==ππ 解：m /V )x 102t 102cos(10y y E z E y E x E E 26300y 0z 0y 0x --?π+?π==++= ∴ 矢量E 的方向是沿Y 轴方向，波的传播方向是-x 方向； 波的幅度 m /V 10E E 3y -== 。s /m 10102102k V ;102k ;MHZ 1HZ 1021022f 82 6P 266 =?π?π=ω=?π===π?π=πω=-- 1．2 写出下列时谐变量的复数表示（如果可能的话） )6sin()3sin()()6(cos 1)()5()2120cos(6)()4(cos 2sin 3)()3(sin 8)()2() 4cos(6)()1(πωπωωππωωωπ ω++ =-=- =-=-=+=t t t U t t D t t C t t t A t t I t t V （1）解： 4/)z (v π=? j 23234 sin j 64cos 6e 6V 4j +=π+π==π∴ （2）解：)2t cos(8)t (I π-ω-= 2 )z (v π-=? j 8e 8I j 2=-= π-∴

（3）解：） t cos 132 t sin 133 (13)t (A ω-ω= j 32e 13A 2)z ()2t cos(13)t (A 133cos )2(j v --==π-θ=?∴π-θ+ω== θπ-θ则则令 （4）解：)2 t 120cos(6)t (C π-π= j 6e 6C 2j -==∴π (5)(6)两个分量频率不同，不可用复数表示 1．3由以下复数写出相应的时谐变量] )8.0exp(4)2 exp(3)3() 8.0exp(4)2(1)1(j j C j C j C +==+=π （1）解： t sin t cos j t sin j t cos )t sin j t )(cos j 1(e )j 1(t j ω-ω+ω+ω=ω+ω+=+ω t sin t cos )Ce (RE )t (C t j ω-ω==∴ω （2）解：)8.0t cos(4)e e 4(RE )Ce (RE )t (C t j 8.0j t j +ω===ωω （3）解：)8.0t (j )2t (j t j 8.0j j t j e 4e 3e )e 4e 3(Ce 2+ωπ+ωωω+=+=π 得：)t cos(3)8.0t cos(4)8.0t cos(4)2 t cos(3)Ce (RE )t (C t j ω-+ω=+ω+π+ω==ω 1．4 ] Re[,)21(,)21(000000**????++--=+++=B A B A B A B A z j y j x B z j y j x A ，，，求：假定 解：1B A B A B A B A z z y y x x -=++=?

《电磁场与电磁波》经典例题

一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度

电磁感应电磁场习题

第十三章 电磁感应 电磁场习题 （一） 教材外习题 电磁感应习题 一、选择题： 1．一块铜板放在磁感应强度正在增大的磁场中时，铜板中出现涡流（感应电流），则涡流将 （A ）加速铜板中磁场的增加 （B ）减缓铜板中磁场的增加 （C ）对磁场不起作用 （D ）使铜板中磁场反向 （ ） 2．在如图所示的装置中，当把原来静止的条形磁铁从螺线管中按图示情况抽出时， （A ）螺线管线圈中感生电流方向如A 点处箭头所示。 （B ）螺线管右端感应呈S 极。 （C ）线框EFGH 从图下方粗箭头方向看去将逆时针旋转。 （D ）线框EFGH 从图下方粗箭头方向看去将顺时针旋转。 （ ） 3．在无限长的载流直导线附近放置一矩形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈中两条边与导线平行，当线圈以相同的速率作如图所示的三种不同方向的平动时，线圈中的感应电流 （A ）以情况Ⅰ中为最大 （B ）以情况Ⅱ中为最大 （C ）以情况Ⅲ中为最大 （D ）在情况Ⅰ和Ⅱ中相同 （ ） 4．如图所示，一矩形金属线框，以速度v 从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中 出来，到无场空间中。不计线圈的自感，下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对

时间的函数关系？（从线圈刚进入磁场时刻开始计时，I 以顺时针方向为正） 5．如图，一矩形线框（其长边与磁场边界平行）以匀速v 自左侧无场区进入均匀磁场又穿出，进入右侧无场区，试问图（A ）—（E ）中哪一图象能最合适地表示线框中电流i 随时间t 的变化关系？（不计线框自感） （ ） 6．在一个塑料圆筒上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa '和bb '，当线圈aa '和bb '如图（1）绕制时其互感系数为M 1，如图（2）绕制时其互感系数为M 2，M 1与M 2的关系是 （A ）M 1 = M 2 ≠ 0 （B ）M 1 = M 2 = 0 （C ）M 1 ≠ M 2，M 2=0 （D ）M 1≠M 2，M 2≠0 （ ） 7．真空中两根很长的相距为2a 的平行直导线与电源组成闭合回路如图。已知导线中的电流强度为I ，则在两导线正中间某点P 处的磁能密度为 （A ）200)2(1a I πμμ （B ）200)2(21 a I πμμ （C ）200)2(21 a I πμμ （D ）0 （ ）

(川理工)电磁场与电磁波重要例题习题解读

电磁场与电磁波易考简答题归纳 1、什么是均匀平面电磁波？ 答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场→ E 和磁场→ H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→ E 和→ H 的方向、振幅和相位不变的平面波。 2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。 答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。 3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。 答：0 02222=+?=+?→ →→ → H k H E k E ，式中μεω22 =k 称为正弦电磁波的波数。 意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。 4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。 答：????????? ??=??=????-=????+=??→→ → →→ →→ρ εμμ εE H t H E t E J H )4(0)3()2()1( 物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。 B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。 C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D 、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。 5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。 答：（1）微分形式 （2） 积分形式 物理意义：同第4题。 6、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。 答：→→ → -=??-?J t A A μμε222 ，ερμε-=?Φ?-Φ?→ →222t 物理意义：→ J 激励→ A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。 7、写出齐次波动方程，简述其意义。 答：0 222=??-?→ → t H H με，022 2=??-?→ → t E E με 物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为： με υ1= p 8、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。 答：（1）数学表达式：①积分形式：??? ++?? =?-→ →τττστεμd E d E H t S d S S 222)2 1 21(，其中，→ →→?=H E S ，称为坡印廷矢量。 ???????????=??=????-=????+=??→→ →→→ →→ρD B t B E t D J H )4(0)3()2()1( ????? ??????=?=????-=????+=???????→→→ →→→→→→→→→→q S d D l d B S d t B l d E S d t D J l d H S S S l s l )4(0)3()2()()1(

电磁感应习题解答电磁场习题解答

第十三章 电磁感应 一 选择题 3．如图所示，一匀强磁场B 垂直纸面向内，长为L 的导线ab 可以无摩擦地在导轨上滑动，除电阻R 外，其它部分电阻不计，当ab 以匀速v 向右运动时，则外力的大小是： R L B R L B R L B R BL L B 222222222 E. D. 2 C. B. A.v v v v v 解：导线ab 的感应电动势v BL =ε，当 ab 以匀速v 向右运动时，导线ab 受到的外力与安培力是一对平衡力，所以R L B L R B F F v 22===ε 安外。 所以选（D ） 4．一根长度L 的铜棒在均匀磁场B 中以匀角速度ω旋转着，B 的方向垂直铜棒转动的平面，如图，设t = 0时，铜棒与Ob 成θ角，则在任一时刻t 这根铜棒两端之间的感应电动势是：（ ） A. )cos(2θωω+t B L B. t B L ωωcos 2 12 C. )cos(22θωω+t B L D. B L 2ω E. B L 22 1ω 解：???= ==??=L L BL l l B l B )00221d d d ωωεv l B v （ 所以选（E ） 6．半径为R 的圆线圈处于均匀磁场B 中，B 垂直于线圈平面向上。如果磁感应强度为B =3 t 2+2 t +1，则线圈中的感应电场为：（ ） A ． 2π(3 t + 1)R 2 ,顺时针方向； Ｂ． 2π(3 t + 1)R 2 ,逆时针方向； C ． (3 t + 1)R ,顺时针方向； D ． (3 t + 1)R ,逆时针方向； 解：由??? ???-=?S B l E d d i t ，则感应电场的大小满足 选择题4图 选择题3图 v

电磁场二章习题解答(精品文档)

第二章习题解答 2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为42004 9 U d x ρε--=- ，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。 解 （1） 4323 000 4 d ()d 9 d Q U d x S x τ ρτε--==-=?? 11004 4.7210C 3U S d ε--=-? （2） 432002 4d ()d 9d d Q U d x S x τρτε--' '= = -=? ?11004(10.9710C 3U S d ε--=-? 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=?的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的 质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。 解 质子的质量271.710kg m -=?、电量191.610C q -=?。由 2 1 mv qU = 得 61.3710v ==? m 故 0.318J v ρ== 2A m 26(2)10I J d π-== A 2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径 旋转，求球内的电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin r φωθ=?=v r e ω 球内的电荷体密度为 3 43 Q a ρπ= 故 33 3sin sin 434Q Q r r a a φ φω ρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表 面的面电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin a φωθ=?=v r e ω 球面的上电荷面密度为 2 4Q a σπ= 故 2 sin sin 44S Q Q a a a φφω σωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处 的电场强度。

电磁场理论复习题(题库+答案)

第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A ，则 A = ，=??A 0 。 2. 已知矢量场 xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2+++= ，则在M （1，1，1） 处=??A 9 。 3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A ），则必 须同时给定该场矢量的 旋度 及 散度 。 4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H 、J 所满足的方程 （结构方程）： 。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。 6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B ，则 （a ）E 、B 皆与A 垂直。 （b ）E 与A 垂直，B 与A 平行。 （c ）E 与A 平行，B 与A 垂直。 （d ）E 、B 皆与A 平行。 答案：b 7. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E e E y -= ，其中0E 、ω、β 为常数。则空间位移电流密度d J （A/m 2）为： （a ） )cos(?0βz ωt E e y - （b ） )cos(?0βz ωt ωE e y - （c ） )cos(?00βz ωt E ωe y -ε （d ） )cos(?0βz ωt βE e y -- 答案：c 8. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度 )(?)(?)(?y x e z x e z y e z y x +++++A ??A ??E J H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=?? t J ?ρ?-=??

大学物理(少学时)第9章电磁感应与电磁场课后习题答案

9-1两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且R >>r ，x >>R ．若大线圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率v 运动，试求小线圈回路中产生的感应电动势的大小． 解：在轴线上的磁场 () ()2 2 003 3 2 2 2 22IR IR B x R x R x μμ= ≈ >>+ 3 2 202x r IR BS πμφ= = v x r IR dt dx x r IR dt d 4 22042202332πμπμφ ε=--=-= 9-2如图所示，有一弯成θ 角的金属架COD 放在磁场中，磁感强度B ? 的方向垂直于金属架 COD 所在平面．一导体杆MN 垂直于OD 边，并在金属架上以恒定速度v ?向右滑动，v ? 与 MN 垂直．设t =0时，x = 0．求当磁场分布均匀，且B ? 不随时间改变，框架内的感应电动势i ε． 解：12m B S B xy Φ=?=?,θtg x y ?=,vt x = 22212/()/i d dt d Bv t tg dt Bv t tg ε?θθ=-=-=?，电动势方向：由M 指向N 9-3 真空中，一无限长直导线，通有电流I ，一个与之共面的直角三角形线圈ABC 放置在此长直导线右侧。已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ，如图所示。若线圈以垂直于导线方向的速度v 向右平移，当B 点与直导线的距离为d 时，求线圈ABC 内的感应电动势的大小和方向。 解：当线圈ABC 向右平移时，AB 和AC 边中会产 生动生电动势。当C 点与长直导线的距离为d 时，AC 边所在位置磁感应强度大小为：02() I B a d μπ= + AC 中产生的动生电动势大小为： x r I R x v C D O x M θ B ? v ?

电磁场习题解读

静电 例1、三个点电荷q1、q2、q3沿一条直线分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且 q1=q3=Q ，求在固定q1、q3的情况下，将q2从o →∞,外力需作功A=? 解：由已知q1所受静电力 例2、有两个点电荷带电量为nq 和-q （n>1),相距d,证明电势为零的等势面为一球面。证明：空间任一点电势 整理可得： 上式为球面方程： 球心坐标 球面半径 例3、点电荷-q 位于圆心处，A 、B 、C 、D 位于同一圆周上的四点如图示。将q0从A 移至B 、C 、D 点，电场力的功。 A=0 例4. 已知: 是闭合曲面的一部分，面内无净电荷电场线穿过该闭合面，穿过 部分的电场通量1?Φ，求:通过其余部分的电场通量2?Φ。 解：由高斯定理 ?∑=?=ΦS i i e q S d E 0 ε ，00=Φ∴=∑e i i q ，12120?Φ-=Φ∴=?Φ+Φ∴ 例5、长为L,线电荷密度λ的两根均匀带电细棒，沿同一直线放置，两棒近端相距 a ，求两 棒间的静电力。 q 2 x o d n n 1 (22 - 、 0、0） 04)2(42 0322031=+=a q q a q q f πεπε4412Q q q -=-=∴e A A -=∴)0(2--=o U q a Q q 0242πε-=a Q 028πε =q nq U U U -+=2 220 2220)(44z y d x q z y x nq ++--+ ++=πεπε0 =令 222222)(z y d x q z y x nq ++-=++∴[] 2222222)(z y x z y d x n ++=++-22222221()1(-=++--n nd z y d n n x 1 2-= n nd R S ?S ?

完整版电磁感应综合典型例题

电磁感应综合典型例题 【例11电阻为R的矩形线框abed，边长ab=L, ad=h,质量为m 自某一高度自由落下，通过一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁 场区域的宽度为h,如图所示，若线框恰好以恒定速度通过磁场，线 框中产生的焦耳热是 _________ ?（不考虑空气阻力） 【分析】线框通过磁场的过程中，动能不变。根据能的转化和守恒，重力对线框所做的功全部转化为线框中感应电流的电能，最后又全部转化为焦耳热?所以，线框通过磁场过程中产生的焦耳热为 Q=W=mg- 2h=2mgh 【解答1 2mgh

【说明】本题也可以直接从焦耳热公式Q=l2Rt进行推算: 设线框以恒定速度v通过磁场，运动时间 从线框的cd边进入磁场到ab边离开磁场的过程中，因切割磁感 线产生的感应电流的大小为 cd边进入磁场时的电流从d到c, cd边离开磁场后的电流方向从a到b.整个下落过程中磁场对感应电流产生的安培力方向始终向上, 大小恒为 据匀速下落的条件，有 因线框通过磁场的时间，也就是线框中产生电流的时间，所以据 焦耳定律，联立（I ）、（2）、（3）三式，即得线框中产生的焦耳热 为

Q=2mgh 两种解法相比较，由于用能的转化和守恒的观点，只需从全过程 考虑，不需涉及电流的产生等过程，计算更为简捷. 【例2】一个质量m=0.016kg、长L=0.5m,宽d=0.1m、电阻R=0.1 Q的矩形线圈，从离匀强磁场上边缘高h i=5m处由静止自由下落.进 入磁场后，由于受到磁场力的作用，线圈恰能做匀速运动（设整个运 动过程中线框保持平动），测得线圈下边通过磁场的时间△t=0.15s，取g=10m/s，求： （1）匀强磁场的磁感强度B; （2）磁场区域的高度h2；

最新电磁学第二章习题答案

习题五（第二章 静电场中的导体和电介质） 1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳 内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C ) (A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。 7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a

工程电磁场复习题

一 填空题 1. 麦克斯韦方程组的微分形式是： 、 、 和 。 2. 静电场的基本方程为： 、 。 3. 恒定电场的基本方程为： 、 。 4. 恒定磁场的基本方程为： 、 。 5. 理 想导体（媒质2）与空气（媒质1）分界面上，电磁场边界条件为： 、 、 和 。 6. 线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 、 、 。 7. 电流连续性方程的微分形式为： 。 8. 引入电位函数?是根据静电场的 特性。 9. 引入矢量磁位A ? 是根据磁场的 特性。 10. 在两种不同电介质的分界面上，用电位函数?表示的边界条件为： 、 。 11. 电场强度E ?的单位是 ，电位移D ?的单位是 ；磁感应强度B ? 的单位是 ，磁场强 度H ? 的单位是 。 12. 静场问题中，E ?与?的微分关系为： ，E ? 与?的积分关系为： 。 13. 在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量q 成 比，与观察点到电荷所在点的距离平方成 比。 14. XOY 平面是两种电介质的分界面，分界面上方电位移矢量为z y x e e e D ????0001255025εεε++= C/m 2 ，相对介电 常数为2，分界面下方相对介电常数为5，则分界面下方z 方向电场强度为__________，分界面下方z 方向的电位移矢量为_______________。 15. 静电场中电场强度z y x e e e E ? ??? 432++=，则电位?沿122333 x y z l e e e = ++v v v v 的方向导数为_______________，点A （1，2，3）和B （2，2，3）之间的电位差AB U =__________________。 16. 两个电容器1C 和2C 各充以电荷1Q 和2Q ，且两电容器电压不相等，移去电源后将两电容器并联，总的电容 器储存能量为 ，并联前后能量是否变化 。 17. 一无限长矩形接地导体槽，在导体槽中心位置有一电位为U 的无限长圆柱导体，如图所示。由于对称性，矩 形槽与圆柱导体所围区域内电场分布的计算可归结为图中边界1Γ、2Γ、3Γ、4Γ和5Γ所围区域Ω内的电场计算。则在边界_____________上满足第一类边界条件，在边界_____________上满足第二类边界条件。 18. 导体球壳内半径为a ，外半径为b ，球壳外距球心d 处有一点电荷q ，若导体球壳接地，则球壳内表面的感 应电荷总量为____________，球壳外表面的感应电荷总量为____________。