一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解:2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解:1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解:()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解: 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解:()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解:()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解:3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解: 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解:6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-?
(3) i i 解:( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解:( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解:由于:()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=, 而: ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以: ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解:由于:()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=, 所以: ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解:
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念:z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3)arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄; X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y :: O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示:Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz;注:中间一定是“ +”号。 5)指数表示:Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法:若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法: 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ; 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x;。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也; 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2)幅角:在Z=O时,矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z (多值函数);主值arg Z 是位于(-理,二]注:两个复数不能比较大小 2.复数的表示
2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 (三)复变函数 1?复变函 数: w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1)指数函数:e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导,处处解析;且 注:e z 是以2二i 为周期的周期函数。(注意与实函数不同) 3)对数函数: LnZ=In z+i (argz + 2kιι) (k=0,±1,±2八)(多值函数); 主值:In Z = Inz+iargz 。(单值函数) ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析,且 Inz Z 注:负复数也有对数存在。 (与实函数不同) 3)乘幕与幕函数:a — e bLna (a = 0) ; Z b = e bLnZ (Zn 0) 注:在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析,且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析,且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注:有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立;(与实函数不同) Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数,ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析,且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O (四)解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1)点可导: f r fZ0;fZ 0 2)区域可导:f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4)三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z
复变函数与积分变换第五版答案 目录 练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24) 练 习 一 1.求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 (1)i i i i 524321-- --; 解:i i i i 524321---- = i 2582516+ z k k Argz z z z ∈+== = = π22 1 arctan 25 5825 8Im 25 16 Re (2)3 ) 231(i + 解: 3) 231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=π ππ π π 210Im 1Re 1 ][)3 sin 3(cos 333 2.将下列复数写成三角表示式。 1)i 31- 解:i 31-
)35sin 35(cos 2ππi += (2)i i +12 解:i i +12 )4 sin 4(cos 21π π i i +=+= 3.利用复数的三角表示计算下列各式。 (1)i i 2332++- 解:i i 2332++- 2sin 2 cos π π i i +== (2)4 22i +- 解:4 22i +-4 1 )]43sin 43(cos 22[ππi += 3,2,1,0] 1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283 8 3 =+++=+++=k k i k k i k ππππππ 4..设 321,,z z z 三点适合条件:321z z z ++=0,,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位 圆z =1的一个正三角形的项点。 证:因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周 32z z ++=0 则, 321z z z -=+1321=-=+z z z ,所以21z z +也在圆周1=z 上,又 ,12121==-+z z z z 所以以0,211,z z z +为顶点的三角形是正三角形,所以向量
第六章 共形映射 一、选择题: 1.若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小,那么该区域G 是 ( ) (A )21< z (B )211<+z (C )21>z (D )2 11>+z 2.映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) (A )0 (B ) 2 π (C )π (D )2 π - 3.映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) (A )1 (B )2 (C)1-e (D )e 4.在映射i e iz w 4 π +=下,区域0)Im(
(A )i +6 (B )i +4 (C )i +-2 (D )i 7.函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π< 2-4 1.求下列卷积: 3)m t n t (,m n 为正整数). 解:m t ()()()00 d 1C d n t t n k n m m k n k k n k t t t ττττ ττ-==?-=-∑?? ()() 1C d 1d C n n t t k k k n k m k m k k n k n n k k t t τ τττ-++-===-=-?∑∑? ? ()()()11 00 1C 1C 11m k n k n n k k k m n k n n k k t t t m k m k ++-++==?=-?=-++++∑∑ )1!!1!m n m n t m n ++=++. 注:本小题可先用卷积定理求出m t n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积结果. 6)sin kt ()sin 0kt k ≠. 解 :sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2t t kt k k t kt k kt τττττ??=-=---? ??? ()()011cos cos 2d 224t t kt k t t k k ττ=-+--? ()0sin 21 1sin cos cos 2422t t k kt t kt t kt k k τ-=-+ =-+ . 7) t sinh t 解 :t sinh sinh t t = t ()0 sinh d t t τττ=?-? ()()00 11e d e d 22t t t t ττ ττττ-= ---?? ()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττ ττ---??= -+-=-++-=-???? ?? 9)()u t a - ()()0f t a ≥ . 解:()u t a - ()()()( )0 0,d d ,t t a t a f t u a f t f t t a τττττ? =-?-=?-≥??? ? . 习题六 1. 求映射1w z = 下,下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠,为实数) 解:2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解: 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么? (1)Im()0, (1i)z w z >=+; 解: (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 2-2 1.求下列函数的Laplace 变换式: 1)()232f t t t =++. 解:由[]2 132!1232132m m m t s s s s s t t +????==++=++???? 及有L L L . 2)()1e t f t t =-. 解 :[]() () 11 11 ,e e t t t t t s s s s --????= ==- ????2 2 2+1-1L L ,L 1-. 3)()()2 1e t f t t =-. 解: ()22-1e e 2e e t t t t t t t ????=-+???? L L () () () 2 3 2 3 2 2 145 .-1-1-1s s s s s s -+= - + = -1 5)()cos f t t at =. 解: 由微分性质有: [][]() 2 2 2 222 2 d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -?? =-=-= ? +?? +L L 6) ()5sin 23cos 2f t t t =- 解:已知[][]2 2 2 2 sin ,cos s t t s s ω ωωω ω= = ++L L ,则 []52 2 222103sin 23cos 25 34 4 4 s t t s s s --=-= +++L 8)()4e cos 4t f t t -=. 解: 由[]2 cos 416 t s +s = L 及位移性质有 42cos 4416 e t s t s -??=??++4(+)L . 3.若()()f t F s ??=??L ,证明(象函数的微分性质): 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注:两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 )模:z = 2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3)()arg z 与arctan y x 之间的关系如下: 当0,x > arg arctan y z x =; 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? ?<=-??; 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+”号。 5)指数表示:i z z e θ=,其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法: 1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则 ()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++; ()()()()112211112121221 2222 22222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2)若12 1122,i i z z e z z e θ θ==, 则 () 1 21212i z z z z e θθ+=; ()1211 22 i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根 拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020 §13拉普拉斯变换 重点:1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点: 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系: 是后续各章的基础,是前几章基于变换思想的延续。 预习知识: 积分变换 §13-1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来,把时域问题通过数学变换为复频域问题,把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效,所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t),它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数,被称为复频率;F(s)为f(t)的象函数,f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为 式中c为正的有限常数。 注意: 1)定义中拉氏变换的积分从t=0-开始,即: 它计及t=0-至0+,f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值,从而为电路的计算带来方便。 2)象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s),U(s),原函数f(t)用小写字母表示,如 i(t),u(t)。 3)象函数F(s)存在的条件: 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割,每一部分只是一个时间点对应一个信号值,一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后,其实还是个叠加问题,只不过是从频率的角度去叠加,只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值(或频率值),我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就是说,用无数的正弦波,可以合成任何你所需要的信号。 复变函数与积分变换重 要知识点归纳 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小. 2.复数的表示 1 )模:z = 2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3)()arg z 与arctan y x 之间的关系如下: 当0,x > arg arctan y z x =; 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? ?<=-??; 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+”号。 5)指数表示:i z z e θ=,其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法: 1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则 ()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++; ()()()()1122111121212212222 22222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2)若1 2 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变换。研究的都是什么?从几方面讨论下。 这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。 傅立叶变换,拉普拉斯变换, Z变换的意义 【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割,每一部分只是一个时间点对应一个信号值,一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后,其实还是个叠加问题,只不过是从频率的角度去叠加,只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值(或频率值),我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就是说,用无数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法),以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用.本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用.拉氏变换的基本概念 在代数中,直接计算 是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为 , 然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数. 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法.7.1.1 拉氏变换的基本概念 定义设函数当时有定义,若广义积分在的某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为的函数,记作,即 (7-1)称(7-1)式为函数的拉氏变换式,用记号表示.函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数).函数称为的拉氏逆变换(或称为象原函数),记作 ,即. 关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明: (1) 在定义中,只要求在时有定义.为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在时,.(2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值.为了方便起见,本章我们把作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用. (3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换.一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的. 例7-1 求一次函数(为常数)的拉氏变换. 解 . 7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时,要涉及到我们要介绍的脉冲函数,在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲,现要确定电路上的电流,以表示上述电路中的电量,则 习题三 1. 计算积分2 ()d C x y ix z -+?,其中C 为从原点到点1+i 的直线段. 解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤ 故 ()()1 22 1 23 1 0()1 1 (1)(1)(1)333C x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+?=+=?? ? 2. 计算积分(1)d C z z -?,其中积分路径C 为 (1) 从点0到点1+i 的直线段; (2) 沿抛物线y=x2,从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 11()C z dz x ix d x ix i -=-++=?? (2)设2 z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 22 211()3 C i z dz x ix d x ix -=-++=?? 3. 计算积分d C z z ?,其中积分路径C 为 (1) 从点-i 到点i 的直线段; (2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周,从点-i 到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周,从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤ 11 1 1 C z dz ydiy i ydy i --===??? (2)设i z e θ =. θ从32π到2π 22 332 2 12i i C z dz de i de i π π θ θππ===??? (3) 设i z e θ =. θ从32π到2π 2 32 12i C z dz de i π θ π==?? 6. 计算积分()sin z C z e z dz -???,其中C 为0 z a =>. 解 ()sin sin z z C C C z e z dz z dz e zdz -?=-????蜒 ? ∵sin z e z ?在z a =所围的区域内解析 ∴sin 0z C e zdz ?=?? 从而 ()20 22 sin 0 z i C C i z e z dz z dz adae a i e d π θ π θθ-?====?? ??蜒 故()sin 0 z C z e z dz -?=?? 7. 计算积分2 1 (1) C dz z z +??,其中积分路径C 为 (1)11:2 C z = (2) 23 :2 C z = (3) 31:2 C z i += (4) 43:2 C z i -= 解:(1)在 1 2 z = 所围的区域内, 21 (1)z z +只有一个奇点0z =. 12 1 11111 ()2002(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=+-+?? 蜒(2)在2C 所围的区域内包含三个奇点 0,z z i ==±.故 22 1 11111()20(1) 22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ= -?-?=--=+-+?? 蜒(3)在2C 所围的区域内包含一个奇点 z i =-,故 32 1 11111()00(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=-+-+??蜒(4)在4C 所围的区域内包含两个奇点 0,z z i ==,故 第二章解析函数 一、复变函数的导数及微分 1、导数的定义 2、可导与连续 3、求导法则 实变函数的求导法则可以不加更改地推广到复变函数中来 4、微分的概念 与一元实变函数的微分概念完全一致 二、解析函数的概念 1、解析函数的定义 如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,那么称f(z)在z0解析。 如果函数f(z)在区域D内每一点解析,则称f(z)在区域D内解析。或称f(z)是区域D 内的一个解析函数(全纯函数或正则函数) 2、奇点的定义 如果函数f(z)在z0不解析,那么称z0为f(z)的奇点。 根据定义可知,函数在区域内解析和区域内可导是等价的。但是,函数在一点处解析和一点处可导是不等价的,即在一点处可导,不一定在该点处解析。 函数在一点处解析比在该点处可导的要求高得多。 定理 (1)在区域D内解析的两个函数f(z)和g(z)的和、差、积、商(除去分母为零的点)在D内解析。 (2)设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析,函数w=f(h)在h平面上的区域G内解析。如果对于D内的每个点z,函数g(z)的对应值h都属于G,那么复合函数w=f|g(z)|在D内解析。 根据定理可知: (1)所有多项式在复平面内是处处解析的。 (2)任何一个有理分式函数P(z)/Q(z)在不含分母为零的点的区域内是解析的,使分母为零的点是它的奇点。 注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上是完全一样的,它们的求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多。 第二节、函数解析的充要条件 一、主要定理 定理一:设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内,则f(z)在D内一点z=x+yi 可导的充要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,并在该点满足柯西-黎曼方 程:=,=。 根据定理一,可得函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+yi处的导数公式:f'(z)=+=+。 定理二:函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是:u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并满足柯西-黎曼方程。 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小. 2.复数的表示 1)模:22 z x y =+; 2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3)()arg z 与arctan y x 之间的关系如下: 当0,x > arg arctan y z x =; 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? ?<=-??; 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+”号。 5)指数表示:i z z e θ= ,其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法: 1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则 ()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++; ()()()()112211112121221 2222 22222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2)若1 2 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 第一章 复数与复变函数 本章知识点和基本要求 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念; 熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式; 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。 一、填空题 1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立,则=x ______, =y _______. 2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ,y = 3、若1231i z i i +=--,则z = 4、若(3)(25) 2i i z i +-= ,则Re z = 5、若4 21i z i i +=- +,则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z = 7复数1z i =-的三角表示式为 ,指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________,指数表示式为 _________________. 9、设i z 21=,i z -=12,则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4 i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________. 12、一曲线的复数方程是2z i -=,则此曲线的直角坐标方程 为 。 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1 2 +-= z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部。 16 二、判断题(正确打√,错误打?) 1、复数7613i i +>+. ( ) 2、若z 为纯虚数,则z z ≠. ( ) 3、若 a 为实常数,则a a = ( ) 4、复数0的辐角为0. 5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在 00(,)x y 点连续。 ( ) 6、设21,z z 为复数,则2121z z z z ?=。 ( ) 7、1212z z z z +=+ ( ) 8、参数方程2 z t ti =+ (t 为实参数)所表示的曲线是抛物线2y x =. ( ) 三、单项选择题 1、下列等式中,对任意复数z 都成立的等式是 ( ) A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z ) D. z·z =|z| 2、方程3z =8 的复根的个数为 ( ) A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当11i z i +=-时,1007550z z z ++的值等于 ( ) A i B i - C 1 D 1- 4、方程23z i +-= ( ) A 中心为23i -的圆周 第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中,直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3)164.1(? 是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内 收敛,则此积分就确定了一个参量为P 的函数,记作()F P ,即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= )()( (12.1) 称(12.1)式为函数()f t 的拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为() f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数) ,记作 )()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明: (1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。 (2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 (3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换。一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = (0t ≥,a 为常数)的拉氏变换。 解:00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p积分变换习题解答2-4
复变函数与积分变换 复旦大学出版社 习题六答案
积分变换习题解答2-2
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傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略
很好的拉普拉斯变换讲解
复变函数与积分变换(修订版复旦大学)课后的第三章习题答案
复变函数与积分变换 学习笔记
复变函数与积分变换复习重点
(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)
拉普拉斯变换逆变换