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高三数学复习数列

陕西特级教师安振平

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高考风向标

数列的概念．等差数列及其通项公式、前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前n 项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场． ●

典型题选讲

例１若数列{a n }满足1

12,0;2

121,1.2n n n n

n a a a a a +?

≤

?-≤

若167a =，则20a 的值为（）

A ．67

B ．

C ．

D ．

讲解逐步计算，可得

167

a =

231251,

771031,

a a =-==

456,712

51,...

a a ==

这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=?+, 所以2075

a =．应选B ．

点评分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．

例２在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m+2，S m+1成等差数列，则a m , a m+2,

a m+1成等差数列.

（１）写出这个命题的逆命题；

（２）判断逆命题是否为真，并给出证明.

讲解（１）逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m , a m+2, a m+1成等差数列，则 S m ，S m+2，S m+1成等差数列.

（２）设{a n }的首项为a 1，公比为q

由已知得2a m+2= a m + a m+1 ∴2a 1q m+1=a 11-m q +a 1q m ∵a 1≠0 q ≠0 ,

∴2q 2

－q －1=0 , ∴q=1或q=－2

当q=1时，

∵S m =ma 1， S m+2= (m+2)a 1，S m+1= (m+1)a 1， ∴S m +S m+1≠2 S m+2,

∴S m ，S m+2，S m+1不成等差数列. 当q=－

1时,

2 S m+2=

???

???????? ??--=+

-++2

121134

11]

)

21(1[2m m a a , ∴S m +S m+1=2 S m+2 , ∴S m ，S m+2，S m+1成等差数列．综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q ≠1时，逆命题为真．

点评对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题．

例３设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且

（1）求证：{a n }是等比数列；

（2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且1113

1,()(*,2),2n n n b a b f b n N n b -??

==∈≥????

求证，

为等差数列，并求n b ．

讲解（1）由(3)23n n m S m a m -+=+，得

11(3)23,n n m S m a m ++-+=+

两式相减，得

1(3)2,(3)n n m a m a m ++=≠-

12,3

n n

a m a m +∴

{}n a ∴是等比数列．

111

11111

2(2)1,(),2,

233()2

11133.

11{

}13

1121,

n n n n n n n n n

n n

n m b a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+=

?++=?

=∴-+∴

+由且时，得是为首项

为公差的等差数列,故有

点评为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ??

????

的递推公式，从

而将其转化为等差数列的问题．

例４设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为S 1各项均为正数且公比为q 的等比数列.

（１）求数列{}n a 的通项公式n a （用S 1和q 表示）；（２）试比较122+++n n n a a a 与的大小，并证明你的结论.

讲解（１）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列，

∴)0(1

1>=-q q

S S n n

．

当n=1时，a 1=S 1；

当2112,(1)n n n n n a S S S q q --≥=-=-时． ∴???≥-==-)2()1()1(2

n q

q S n S a n n

（２）当n=1时，

13211312(1)2(1)[()]0,2

a a a S S q q S q S q +-=+---=-

∴2312a a a >+．

211112,

2(1)(1)2(1)n n

n n n n n a a a S q q

S q q S q q

--++≥+-=-+---当时

()3

211.n S q q -=- ∵2

10,0,n S q ->>

①当q=1时，321(1)0,2.n n n q a a a ++-=∴+= ②当,10时<

③当,

1时>q .2,0)1(123

++>+∴>-n n n a a a q

综上以上，我们可知：当n=1时，23

12a a a >+．当212,1,2;

n n n n q a a a ++≥=+=时若则

若2101,2;n n n q a a a ++<<+<则若211,2.n n n q

a a a ++>+<则

点评数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到n S 与n a 之间的关系式：

11,(1).(2)

n n n S n a S S n -?==?-≥?

例５已知数列}{n a 满足n a >0，且对一切n ∈N *，有321

, n

n i

i i a S S a

====

∑∑其中，

(1) 求证：对一切n ∈N *，有n n n S a a 212

1=-++；

(2) 求数列}{n a 的通项公式；

(3) 求证：31

<∑

k k k

a ．

讲解 (1) 由

n i a

S ==∑ ①

得

n i

n i a

S ++==∑ ②

②-①得 2

2131n n n S S a -=++=(S n +1+S n )(S n +1-S n )=(2 S n +a n +1) a n +1

∵ a n +1 >0，

∴n n n S a a 212

=-++ ． (2) 由n n n S a a 212

=-++，得 12

2-=-n n n S a a (n ≥2)，

两式相减，得

(a n +1+ a n )( a n +1 - a n )= a n +1+ a n ，

∵a n +1+ a n >0， ∴a n +1 - a n =1．(n ≥2)

当n=1，2时易得，a 1=1，a 2=2，∴a n +1 - a n =1(n ≥1) ．从而{ a n }是等差数列，其首项为a 1=1，公差d=1，故a n =n ．

(3)

k k ===

∑

k =<+

∑

1122 3.

=++

<+<

点评关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．

例6 如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点

1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位

长度．

（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出

}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；

（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；

（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标．讲解 (1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n ，当粒子从原点到达n A 时，明显有

13,a = 211,a a =+

3111234,a a a =+=+? 431,a a =+

5332054,a a a =+=+? 651,a a =+

… … 2123(21)4,n n a a n --=+-? 2211,n n a a -=+ ∴2114[35(21)]n a a n -=++++- ＝2

41n -, 222114n n a a n -=+=.

21212(21)441n n b a n n n --=--=-+, 2

222244n n b a n n n =+?=+．

2121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-, 2

22242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,

即2n c n n =+.

（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒．

（3）由2n c n n =+≤2004，解得12n ≤≤

n=44,

经计算，得44c ＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．

点评从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．

例７已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n . （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有

71115

++m

a a a .

讲解（１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n

n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．由111121,1;a S a a ==-=得

由2

122222(1),0;a a S a a +==+-=得

由3

1233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得

（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上当2≥n 时，有

,)1(2)(211n

n n n n n a a S S a -?+-=-=--

即有 ,)1(221

1---?+=n n n a a

从而 ,)1(222

21----?+=n n n a a

2322(1),n n n a a ---=+?-

…… .2212-=a a

接下来，逐步迭代就有

)

1(2)1(2

)1(2

-----?++-?+-?+=n n n n n a a

)1(2[3

]

)

2(1[2)

1(2

)]

2()

2()2[()1(2

--------+=----=-++-+--+=n n n n

n n n n

经验证a 1也满足上式，故知 .1],)

1(2

[321

≥-+=

--n a n n n

其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+?-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+?-的两边同除以(1)n -，便得

22(1)

(1)

n n n

n a a --=-?

---．

令,(1)

n n n

a b =

-就有

122n n b b -=--，

于是 1222()3

n n b b -+=-+

，

这说明数列23n b ?

????是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得 1

1221()(2)

()(2)

n n n b b --+=+

?-=-

?-，

即

1()(2)(1)

n n n

a -+

=-?--，

故有.1],)

1(2

≥-+=

--n a n n n

（３）由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，

[

23111

+=+

--+n n n n

a a

(23

3122

2231

322

----------+

=+?

--++?=

n n n n n n n n n n

当m m 且4>为偶数时，m a a a 1

1154

(

21)11(

)11(14

54--+

<++++

m m m a a a a a

.87

21)2

1(41

??+

=-m

当m m 且4>为奇数时，1m +为偶数，可以转化为上面的情景 .8

711111111545

+m m m

a a a a a a a

故任意整数m >4，有

71115

<+++m

a a a

点评本小题２００４年全国（旧教材版）高考理科压轴试题．主要考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题1n n a ca d +=+有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．针对性演练

１某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为

，则此人应选（）

(A) 1楼

(B) 2楼

(D) 4楼

2. 若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，

则 ( )

（A ）P =

S （B ）P ＞

S （C ）n M S P

??? ??=2

（D ）2P ＞n