试验二 插值法(含实验报告格式)

试验二 插值法

一、

实验目的

（1） 学会Lagrange 插值和牛顿插值等基本插值方法； （2） 讨论插值的Runge 现象，掌握分段线性插值方法；

（3） 学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。 二、

实验要求

（1） 按照题目要求完成实验内容； （2） 写出相应的Matlab 程序；

（3） 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； （4） 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 （5） 写出实验报告。 三、

实验步骤

1、用编好的Lagrange 插值法程序计算书本P66 的例1、用牛顿插值法计算P77的例1。

2、已知函数在下列各点的值为：

试用

4

次牛顿插值多项式4()P x 对数据进行插值，根据

｛(,),0.20.08,0,1,2,

,10i i i x y x i i =+=｝

，画出图形。 3、在区间[-1,1]上分别取10,2n =用两组等距节点对龙格函数

2

1

(),(11)125f x x x =

-≤≤+作多项式和线性插值，对不同n 值，分别画出插值函数及

()f x 的图形。

3、下列数据点的插值

可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。

（1）用这9个点作8次多项式插值

8()

L x。

附：试验报告格式样本（正式报告这行可删除）

佛山科学技术学院

实验报告

课程名称数值分析

实验项目插值法

专业班级姓名学号

指导教师黄国顺成绩日期月日

一、实验目的

1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和分段线性插值等基本插值方法；

2、讨论插值的Runge现象，掌握分段线性插值方法

3、学会Matlab提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。

二、实验原理

1、拉格朗日插值多项式

2、牛顿插值多项式

3、分段线性插值

三、实验步骤

1、用MATLAB编写独立的拉格朗日插值多项式函数

2、用MATLAB编写独立的牛顿插值多项式函数

3、利用编写好的函数计算本章书本P66 的例1、用牛顿插值法计算P77的例1。

4、利用编写好的函数计算实验步骤中要求的各道题。（注意：这里需将要做得的题目抄下来，仅以上机实习题2为例：）

2、在区间[-1,1]上分别取10,2

n 用两组等距节点对龙格函数

2

1

(),(11)125f x x x =

-≤≤+作多项式和线性插值，对不同n 值，分别画出插值函数及

()f x 的图形。

程序：

（1）画龙格函数

22511

)(x x f +=

的图形的matlab 代码

a=-1;b=1;n=100;h=(b-a)/n; >> x=a:h:b;y=1./(1+25.*x.^2); >> plot(x,y,'k')

function yi=Lagrange(x, y, xi) % Lagrange 插值多项式，其中 % x --- 向量，全部的插值节点 % y --- 向量，插值节点处的函数值 % xi --- 标量，自变量x % yi --- xi 处的函数估计值

n=length(x); m=length(y); if n~=m

error('The lengths of X and Y must be equal'); return; end

p=zeros(1,n); for k=1:n

t=ones(1,n); for j=1:n if j~=k

if abs(x(k)-x(j))

error('the DATA is error!'); return; end

t(j)=(xi-x(j))/(x(k)-x(j)); end end

p(k)=prod(t); end

yi=sum(y.*p);

（2）龙格函数的Lagrange（）插值函数画图源程序

function Runge(n)

% Runge现象

% n --- 等距离节点

a=-1; b=1; h=(b-a)/n;

x=[a:h:b]; y=1./(1+25.*x.^2);

xx=[a:0.01:b]; yy=1./(1+25.*xx.^2);

m=length(xx); z=zeros(1,m);

for i=1:m

z(i)=Lagrange(x, y, xx(i));

end

hold on

plot(x,y,'o');plot(xx,z,'r-');

hold off

例如：编写一个基本牛顿插值函数（其变种有等距离牛顿插值函数）function yi=New_Int(x, y, xi)

% Newton 基本插值公式，其中

% x --- 向量，全部的插值节点，按行输入

% y --- 向量，插值节点处的函数值，按行输入

% xi --- 标量，自变量x

% yi --- xi 处的函数估计值

n=length(x); m=length(y);

if n~=m

error('The lengths of X and Y must be equal');

return;

end

% 计算均差表Y

Y=zeros(n); Y(:,1)=y';

% Y(:,1)表示矩阵中第一列的元素

for k=1:n-1

for i=1:n-k

if abs(x(i+k)-x(i))

error('the DATA is error!');

return;

end

Y(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k))/(x(i+k)-x(i));

end

end

% 计算Newton插值公式N(xi)

yi=0;

for i=1:n

z=1;

for k=1:i-1

z=z*(xi-x(k));

end

yi=yi+Y(1,i)*z;

end

function Runge_line(n)

% 用分段线性函数近似函数1/(1+x^2) % n --- 等分给间数

a=-5; b=5; h=(b-a)/n;

x=[a:h:b]; y=1./(1+x.^2);

xx=[a:0.01:b]; yy=1./(1+xx.^2);

m=length(xx); z=zeros(1,m);

for i=1:m

z(i)=line_int_wise(x,y,xx(i));

end

plot(x, y, 'ro', xx, yy, 'k:', xx, z,'k-');

四、实验结果

-1

-0.5

00.5

1

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1x

y

图一 龙格函数的图形

调用Runge(10)得到的图像如下

-1

-0.500.51

图二：Runge(10)的图形Runge(12)的图像如下：

图三Runge（12）的图形Runge（20）的图像如：

-1-0.500.51

图四Runge（20）的图形

五、讨论分析

（对上述算例的计算结果进行比较分析，自己补充）

六、改进实验建议

这里可以写学生自己不同的实验方法和代码，强调学生自主学习和创新，鼓励大家上网搜索资料，参考和消化不同的源程序并转化为自己的东西，做得好平时成绩有分加。例如：研究拉格朗日插值函数与MA TLAB程序的interp1()函数，画出它们的分段线性插值。

二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲线拟合方法的范畴。 一、基本原理 在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。 常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。 假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和 ，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式 （1） 式中、、为待定系数。

图1 根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得 （2） 为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即 （3） 解式(3)即求得插值函数的极小点（4） 式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得: （5）

（6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式： （7）把取作区间内的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述 方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为 的近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二次插值法。 为便于计算，可将式(7)改写为 （8） 式中： （9） （10） 二、迭代过程及算法框图 (1)确定初始插值结点 通常取初始搜索区间的两端点及中点为，， 。计算函数值，，，构成三个初始插值结点、、。

插值法数值上机实验报告 实验题目： 利用下列条件做插值逼近，并与R (x) 的图像比较 考虑函数：R x y=1 1+x2 （1）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的10次Newton插值多项式的图像； π),i=0,1,...,20.给出它的20次Lagrange插值多项式（2）用节点X i=5cos(2i+1 42 的图像； （3）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段线性插值函数的图像；（4）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的三次自然样条插值函数的图像； （5）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段三次Hermite插值函数的图像； 实验图像结果：

实验结果分析： 1.为了验证Range现象，我还特意做了10次牛顿插值多项式和20次牛顿插值多项式的对比图像，结果如下图（图对称，只截取一半） 可以看出，Range现象在高次时变得更加明显。这也是由于高次多项式在端点处的最值随次数的变大很明显。可以料定高次多项式在两侧端点处剧烈震荡，在更小的间距内急剧上升然后下降，Range现象非常明显。

2.分析实验（2）的结果，我们会惊讶地发现，由于取21个点逼近，原本预料的Range现象会很明显，但这里却和f(x)拟合的很好。（即下图中Lagrange p(x)的图像）。可是上图中取均匀节点的20次牛顿多项式逼近的效果在端点处却很差。料想是由于节点X i=5cos2i+1 42 π ,i=0,1,...,20 取得很好。由书上第五章的 知识，对于函数y=1 1+x ，y 1 2对应的cherbyshev多项式的根恰好为X i= 5cos2i+1 42 π ,i=0,1,...,20 。由于所学限制，未能深入分析。 （3）比较三次样条插值图像和Hermit插值图像对原函数图像的逼近情形。见下图：

实验报告——实验二 多项式插值法 一、实验要求 1、对[-5，5]作等分划x i =?5+i?，h = 10n ，i =0,1,…,n ，并对Runge 给出的函数f (x )= 1/(1+16x 2)作Lagrange 插值，观察Runge 现象的发生。 （a ）分别取n=10、20作Lagrange 代数插值L 10(x)和L 20(x) （b ）给出f(x)、L 10(x)和L 20(x)在区间[-5,5]的函数图象，观察其不同。 （c ）考察上述两个插值函数在x=4.8处的误差，并作分析。 2、已知直升飞机旋转机翼外形曲线部分坐标如下表： 及两端的一阶导数值为y 0’=1.86548，y n ’=?0.046115 利用第一类边界条件的三次样条插值函数计算翼型曲线在x =2,30,133,390,470,515各点上的函数值及一二阶导数近似值。 二、实验原理 1、Lagrange 插值 （1）已知n+1个节点x 0

三次样条插值： function s=spline(x0,y0,y2l,y2n,x) n=length(x0); km=length(x); a(1)=-0.5; b(1)=3*(y0(2)-y0(1))/(2*(x0(2)-x0(1))); for j=1:n-1 h(j)=x0(j+1)-x0(j); end for j=2:n-1 alpha(j)=h(j-1)/(h(j-1)+h(j)); beta(j)=3*((1-alpha(j))*y0(j)-y(j-1)/h(j-1)+alpha(j)*(y0(j+1)-y0(j))/h(j)); a(j)=-alpha(j)/(2+(1-alpha(j))*a(j-1)); b(j)=(beta(j)-(1-alpha(j))*b(j-1))/(2+(1-alpha(j))*a(j-1)); end m(n)=(3*(y0(n)-y0(n-1))/h(n-1)+y2n*h(n-1)/2-b(n-1))/(2+a(n-1)); for j=(n-1):-1:1 m(j)=a(j)*m(j+1)+b(j); end for k=1:km for j=1:(n-1) if ((x(k)>x0(j))&(x(k)

实验二 插值与拟合 实验名称：插值与拟合 实验类型: 验证性实验 学 时：2 3.1 实验环境 ① 操作系统：WindowsXP/Win7 ② 编程环境：自定 3.2 实验目的 ① 掌握多项式插值法的基本思路和步骤； ② 了解整体插值的局限性及分段插值的基本思想。 ③ 掌握最小二乘法拟合的基本原理和方法； ④ 培养运用计算机模拟解决问题的能力。 3.3 实验原理和方法 3.3.1 多项式插值 若n 次多项式() (0,1,,)k l x k n = 在n +1个插值节点01...n x x x <<<上满足插值条件： 1 () ()(,0,1,,)0 () k i ik i k l x i k n i k δ=?===? ≠? 则称这n ＋1个n 次多项式01(), (), ... , ()n l x l x l x 为插值节点01, , ... , n x x x 上的n 次插值基函数。 由于i k ≠时，()=0k i l x ，故0111, , ... , , , ... , k k n x x x x x -+为()k l x 的零点，从而可以设 0111()()()()()()k k k k n l x A x x x x x x x x x x -+=----- 由()=1k k l x 可得 01111 ()()()()() k k k k k k k k n A x x x x x x x x x x -+=----- 所以可得 01110111()()()()()()(0,1,,)()()()()() k k n k k k k k k k k n x x x x x x x x x x l x k n x x x x x x x x x x -+-+-----= =----- 。 若记10 ()()n n i i x x x ω+== -∏，则有1' 1() ()()() n k k n k x l x x x x ωω++= -，从而有

已知：F(x)=x4-4x3-6x2-16x+4,求极小值，极小值点，区间，迭代次数？用进退法确定区间，用黄金分割法求极值。 #include #include #define e 0.001 #define tt 0.01 float f(double x) { float y=pow(x,4)-4*pow(x,3)-6*pow(x,2)-16*x+4; return(y); } finding(float *p1,float*p2) { float x1=0,x2,x3,t,f1,f2,f3,h=tt; int n=0; x2=x1+h;f1=f(x1);f2=f(x2); if(f2>f1) {h=-h;t=x2;x2=x1;x1=t;} do { x3=x2+h;h=2*h;f3=f(x3);n=n+1;} while(f3x3) {t=x1;x1=x3;x3=t;} *p1=x1;*p2=x3; return(n); } gold(float *p) { float a,b,x1,x2,f1,f2; int n=0; finding(&a,&b); do {x1=a+0.382*(b-a); x2=a+0.618*(b-a);f1=f(x1);f2=f(x2);n=n+1; if(f1>f2) a=x1; else b=x2;} while((b-a)>e); *p=(x1+x2)/2;return(n); } main() { float a,b,x,min;int n1,n2; n1=finding(&a,&b); n2=gold(&x); min=f(x); printf("\n The area is %f to %f.",a,b); printf("\n The nunmber 1 is %d.",n1); printf("\n The min is %f and the result is %f.",x,min);

数值分析实验报告记录

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

数值分析实验报告 （第二章） 实验题目： 分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、史蒂芬森迭代法求方程 的根，观察不同初始值下的收敛性，并给出结论。 问题分析： 题目有以下几点要求： 1.不同的迭代法计算根，并比较收敛性。 2.选定不同的初始值，比较收敛性。 实验原理： 各个迭代法简述 二分法：取有根区间的重点，确定新的有根区间的区间长度仅为区间长度的一版。对压缩了的有根区间重复以上过程，又得到新的有根区间，其区间长度为的一半，如此反复，……，可得一系列有根区间，区间收敛到一个点即为根。 牛顿迭代法：不动点迭代法的一种特例，具有局部二次收敛的特性。迭代格式为 割线法：是牛顿法的改进，具有超线性收敛的特性，收敛阶为1.618. 迭代格式为 史蒂芬森迭代法：采用不动点迭代进行预估校正。至少是平方收敛的。迭代格式为 这里可采用牛顿迭代法的迭代函数。 实验内容：

1.写出该问题的函数代码如下： function py= f(x) syms k; y=(k^2+1)*(k-1)^5; yy=diff(y,k); py(1)=subs(y,k,x); py(2)=subs(yy,k,x); end 2.分别写出各个迭代法的迭代函数代码如下： 二分法： function y=dichotomie(a,b,e) i=2; m(1)=a; while abs(a-b)>e t=(a+b)/2; s1=f(a); s2=f(b); s3=f(t); if s1(1)*s3(1)<=0 b=t; else a=t; end m(i)=t; i=i+1; end y=[t,i+1,m]; end 牛顿迭代法： function y=NewtonIterative(x,e) i=2; en=2*e;m(1)=x; while abs(en)>=e s=f(x); t=x-s(1)/s(2); en=t-x; x=t; m(i)=t; i=i+1; end y=[x,i+1,m]; end 牛顿割线法： function y=Secant(x1,x2,e) i=3; m(1)=x1,m(2)=x2; while abs(x2-x1)>=e s1=f(x1); s2=f(x2); t=x2-(x2-x1)*s2(1)/(s2(1)-s1( 1)); x1=x2; x2=t; m(i)=t; i=i+1; end

插值法和拟合实验报告 一、 实验目的 1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性； 2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理； 3.利用matlab 编程，学会matlab 命令； 4.掌握拉格朗日插值法； 5.掌握多项式拟合的特点和方法。 二、 实验题目 1.、插值法实验 将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点 k x 的值，进行不同类型 的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： ;11)(2x x f += ;a r c t a n )(x x f = .1)(42 x x x f += (1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值. 2、拟合实验 给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数 ),(i i y x 和拟合函数的图形。 三、 实验原理 1.、插值法实验

∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--= =-= ==-=-=----==++==j i j j i i i i i n i i n n j i j j n j i j j i i n j i j j n i i i n i i n n n o i n i i n x x x x x y x l x L x x c n i x x c x x x c x x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00 ,0,0,01100 00 )(l )()() (1 ,1,0, 1)()(l ) ()())(()()()()()()()(， 故， 得 再由，设 2、拟合实验

实验报告：牛顿差值多项式&三次样条 问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数21()25f x x 作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。 实验内容： （1）牛顿插值多项式 1.1 当n=10时： 在Matlab 下编写代码完成计算和画图。结果如下： 代码： clear all clc x1=-1:0.2:1; y1=1./(1+25.*x1.^2); n=length(x1); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p ; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i); end

syms P P=sum(p); P10=vpa(expand(P),5); x0=-1:0.001:1; y0=subs(P,x,x0); y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0); plot(x0,y0,x0,y2) grid on xlabel('x') ylabel('y') P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0 202e-14*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0 并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。 Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形 从图形中我们可以明显的观察出插值函数在两端点处发生了剧烈的波动，产生了极大的误差，即龙格现象，当n=20时，这一现象将更加明显。 1.2 当n=20时： 对n=10的代码进行修改就可以得到n=20时的代码。将“x1=-1:0.2:1;”改为“x1=-1:0.1:1;”即可。运行程序，我们得到n=20时的牛顿插值多项式，结果为：P20(x)= 260188.0*x^20 - 1.0121e6*x^18 + 2.6193e-12*x^17 + 1.6392e6*x^16 + 2.248e-11*x^15 - 1.4429e6*x^14 - 4.6331e-11*x^13 + 757299.0*x^12 + 1.7687e-11*x^11 - 245255.0*x^10 + 2.1019e-11*x^9 + 49318.0*x^8 + 3.5903e-12*x^7 - 6119.2*x^6 - 1.5935e-12*x^5 + 470.85*x^4 + 1.3597e-14*x^3 - 24.143*x^2 - 1.738e-14*x + 1.0 同样的，这里得到了该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.2）。

. 牛顿插值法一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 x?x)f(二、实验内容：给定函数，已知： 4832401.2)?.?1449138f(2.f.f(20)?1.414214(2.1) 549193.)?1f(2.4516575(f2.3)?1. 三、实验要求：以此作为函数2.15插值多项式在处的值，用牛顿插值法求4 次Newton（ 1）2.15?N(2.15)。在MATLAB中用内部函数ezplot绘制出的近似值4次Newton插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB中用内部函数ezplot可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor编辑器，输入Newton插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); 0 / 3 . %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到：

汕 头 大 学 实 验 报 告 学院: 工学院系: 计算机系专业: 计算机科学与技术年级:2010 姓名: 林金正学号:2010101032完成实验时间: 5月24日 一．实验名称：拉格朗日插值的龙格现象 二．实验目的： 通过matlab 处理,观察拉格朗日插值的龙格现象. 三．实验内容： （1）学习matlab 的使用 （2）以实验的方式，理解高阶插值的病态性，观察拉格朗日插值的龙格现象。 四．实验时间、地点，设备： 实验时间：5月24日 实验地点：宿舍 实验设备：笔记本电脑 五,实验任务 在区间[－5，5]上取节点数n=11，等距离h=1的节点为插值点，对于函数2 5()1f x x =+进行拉格朗日插值，把f(x)与插值多项式的曲线花在同一张图上。 六.实验过程 拉格朗日插值函数定义: 对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点： 其中对应著自变数的位置，而对应著函数在这个位置的取值。 假设任意两个不同的xj 都互不相同，那麼应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为： 其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为： [3] 拉格朗日基本多项式 的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。

1.使用matlab,新建function.m 文件,使用老师所给代码,构建拉格朗日函数. %lagrange.m function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0); m=length(x); fori=1:m z=x(i);s=0; for k=1:n L=1; for j=1:n if j~=k L=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=s; end y; 程序解释: (x0,y0):已知点坐标 x:所求点的横坐标, y:由(x0,y0)所产生的插值函数,以x 为参数,所的到的值 2.再一次新建function.m 文件. 构建自定义函数:25()1f x x = + %f.m function y = f(x) y = 5/(1+x*x); end 3.在脚本窗口中输入: >>a = [-10:0.2:10] >>for I = 1:length(a) b(i) = f(a(i)) end ;%画出原函数(a,b) >>c = [-5:1:5] >>for i = 1:length( c) d(i) = f(c(i))

实验二插值法 1、实验目的： 1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值；观察拉格郎日插值的龙格现象。 2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理，结合计算公式，确定函数值。 2、实验要求: 1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法； 2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作； 3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）； 4)分析和解释计算结果； 5)按照要求书写实验报告； 3、实验内容： 1) 用拉格郎日插值公式确定函数值；对函数f(x)进行拉格郎日插值，并对f(x)与插值多项式的曲线作比较。 已知函数表：（0.56160,0.82741）、（0.56280,0.82659）、（0.56401,0.82577）、（0.56521,0.82495）用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值。 2) 求满足插值条件的插值多项式及余项 1) 4、题目：插值法 5、原理： 拉格郎日插值原理： n次拉格朗日插值多项式为：L n (x)=y l (x)+y 1 l 1 (x)+y 2 l 2 (x)+…+y n l n (x)

n=1时，称为线性插值， L 1(x)=y (x-x 1 )/(x -x 1 )+y 1 (x-x )/(x 1 -x )=y +(y 1 -x )(x-x )/(x 1 -x ) n=2时，称为二次插值或抛物线插值， L 2(x)=y (x-x 1 )(x-x 2 )/(x -x 1 )/(x -x 2 )+y 1 (x-x )(x-x 2 )/(x 1 -x )/(x 1 -x 2 )+y 2 (x -x 0)(x-x 1 )/(x 2 -x )/(x 2 -x 1 ) n=i时， Li= （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) 6、设计思想： 拉格朗日插值法是根据n + 1个点x0, x1, ... x n(x0 < x1 < ... x n)的函数值f (x0), f (x1) , ... , f (x n)推出n次多項式p(x)，然后n次多項式p (x)求出任意的点x对应的函数值f (x)的算法。 7、对应程序： 1 ) 三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值 #include"stdio.h" #define n 5 void main() { int i,j; float x[n],y[n]; float x1; float a=1; float b=1; float lx=0; printf("\n请输入想要求解的X：\n x="); scanf("%f",&x1); printf("请输入所有点的横纵坐标：\n"); for(i=1;i

二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间搜索极小点的一种方法。它属于曲线拟合方法的畴。 一、基本原理 在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数， 然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数 的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。 常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。 假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和 ，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式 （1） 式中、、为待定系数。

图1 根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得 （2） 为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即 （3） 解式(3)即求得插值函数的极小点（4） 式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得: （5）

（6） 将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式： （7） 把取作区间的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持 两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行 三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为的近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二次插值法。 为便于计算，可将式(7)改写为 （8） 式中： （9） （10） 二、迭代过程及算法框图 (1)确定初始插值结点 通常取初始搜索区间的两端点及中点为，，。计算函数值，，，构成三个初始插值结点、、。

实验报告：牛顿差值多项式&三次样条 问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数2 1()25f x x 作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。 实验内容： （1）牛顿插值多项式 1.1 当n=10时： 在Matlab 下编写代码完成计算和画图。结果如下： 代码： clear all clc x1=-1:0.2:1; y1=1./(1+25.*x1.^2); n=length(x1); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p ; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i);

end syms P P=sum(p); P10=vpa(expand(P),5); x0=-1:0.001:1; y0=subs(P,x,x0); y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0); plot(x0,y0,x0,y2) grid on xlabel('x') ylabel('y') P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0202e-1 4*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0 并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。 Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形 从图形中我们可以明显的观察出插值函数在两端点处发生了剧烈的波动，产生了极大的误差，即龙格现象，当n=20时，这一现象将更加明显。 1.2 当n=20时： 对n=10的代码进行修改就可以得到n=20时的代码。将“x1=-1:0.2:1;”改为“x1=-1:0.1:1;”即可。运行程序，我们得到n=20时的牛顿插值多项式，结果为：P20(x)= 260188.0*x^20 - 1.0121e6*x^18 + 2.6193e-12*x^17 + 1.6392e6*x^16 + 2.248e-11*x^15 - 1.4429e6*x^14 - 4.6331e-11*x^13 + 757299.0*x^12 + 1.7687e-11*x^11 - 245255.0*x^10 + 2.1019e-11*x^9 + 49318.0*x^8 + 3.5903e-12*x^7 - 6119.2*x^6 - 1.5935e-12*x^5 + 470.85*x^4 + 1.3597e-14*x^3 - 24.143*x^2 - 1.738e-14*x + 1.0 同样的，这里得到了该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.2）。

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告

三次样条插值方法的应用 一、问题背景 分段低次插值函数往往具有很好的收敛性，计算过程简单，稳定性好，并且易于在在电子计算机上实现，但其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即所谓的样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让他自由弯曲，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。 二、数学模型 样条函数可以给出光滑的插值曲线（面），因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。 设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<= 10x a ，S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。 ● )(b a C S ,2∈； ● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。 则称S 为关于划分的三次样条函数。常用的三次样条函数的边界条件有三种类型： ● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。 ● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==，其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。 ● Ⅲ型 ()() 3,2,1,0,0==j x S x S n j j ，此条件称为周期样条函数。 鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位，在此主要对它进行详细介绍。 三、算法及流程 按照传统的编程方法，可将公式直接转换为MATLAB 可是别的语言即可；另一种是运用矩阵运算，发挥MATLAB 在矩阵运算上的优势。两种方法都可以方便地得到结果。方法二更直观，但计算系数时要特别注意。这里计算的是方法一的程序，采用的是Ⅱ型边界条件，取名为spline2.m 。 Matlab 代码如下： function s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %x0,y0 are existed points,x are insert points,y21,y2n are the second

实验报告内容： 一：不动点迭代法解方程 二：牛顿插值法的MATLAB实现 完成日期：2012年6月21日星期四 数学实验报告一 日期：2012-6-21

所以，确定初值为x0=1 二：不断迭代 算法： 第一步：将f(x0)赋值给x1 第二步：确定x1-x0的绝对值大小，若小于给定的误差值，则将x1当做方程的解，否则回到第一步 编写计算机程序： clear f=inline('0.5*sin(x)+0.4'); x0=1; x1=f(x0); k=1; while abs(x1-x0)>=1.0e-6 x0=x1; x1=f(x0); k=k+1; fprintf('k=%.0f,x0=%.9f,x1=%.9f\n',k,x0,x1) end 显示结果如下： k=2,x0=0.820735492,x1=0.765823700 k=3,x0=0.765823700,x1=0.746565483 k=4,x0=0.746565483,x1=0.739560873

k=6,x0=0.736981783,x1=0.736027993 k=7,x0=0.736027993,x1=0.735674699 k=8,x0=0.735674699,x1=0.735543758 k=9,x0=0.735543758,x1=0.735495216 k=10,x0=0.735495216,x1=0.735477220 k=11,x0=0.735477220,x1=0.735470548 k=12,x0=0.735470548,x1=0.735468074 k=13,x0=0.735468074,x1=0.735467157 >>。。。 以下是程序运行截图：

计算方法实验报告 专业班级：医学信息工程一班姓名：陈小芳学号：201612203501002 实验成绩： 1．【实验题目】 插值法与曲线拟合 2．【实验目的】 3．【实验内容】 4. 【实验要求】

5. 【源程序（带注释）】 （1）拉格朗日插值 #include #include #include #include #include #define n 4 //插值节点的最大下标 main() { double x1[n+1]={0.4,0.55,0.65,0.8,0.9}; double y1[n+1]={0.4175,0.57815,0.69657,0.88811,1.02652}; double Lagrange(double x1[n+1],double y1[n+1],float t); int m,k;float x,y;float X;double z; printf("\n The number of the interpolation points is m ="); //输入插值点的个数 while(!scanf("%d",&m)) { fflush(stdin); printf("\n输入错误，请重新输入:\n"); printf("\n The number of the interpolation points is m ="); } for(k=1;k<=m;k++) { printf("\ninput X%d=",k); while(!scanf("%f",&X)) { fflush(stdin); printf("\n输入错误，请重新输入:\n"); printf("\ninput X%d=",k); } z=Lagrange(x1,y1,X); printf("P(%f)=%f\n",X,z); } getch(); return (0); } double Lagrange(double x[n+1],double y[n+1],float X) { int i,j;

实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。

3算法描述 1.分段线性插值流程图

2.分段二次插值流程图

3.拉格朗日插值流程图

4程序代码及注释 1.分段线性插值

《数值分析》课程实验报告 用拉格朗日和牛顿插值法求解函数值 算法名称用拉格朗日和牛顿插值法求函数值 学科专业xxxxx 作者姓名xxxx 作者学号xxxxx 作者班级xxxxxx xxx大学 二〇一五年十二月

《数值分析》课程实验报告

得到的近似值为。 拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。 2.牛顿插值法 在命令窗口输入： x=[ ]; y=[ ]; xt=; [yt,N]=NewtInterp(x,y,xt) z=::2; yz=subs(N,'t',z); figure; plot(z,sqrt(z),'--r',z,yz,'-b') hold on plot(x,y,'marker','+') hold on plot(xt,yt,'marker','o') h=legend('$\sqrt{x}$','牛顿','$(x_k,y_k)$','$x=$'); set(h,'Interpreter','latex') xlabel('x') ylabel('y') 得到结果及图像如下： yt = N = - *t^4 + *t^3 - *t^2 + *t +

得到√的近似值为，插值函数为 N =- *t^4 + *t^3 - *t^2 + *t + ， 其计算精度是相当高的。 Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f(x)的近似函数P(x)，从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。 实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。