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高二上综合练习题卷

高二上综合练习卷1

一、选择题:(每题3分,共36分) 1.下列命题中的真命题是( )

A .若d c b a >>,,则bd ac >

B .若b a >,则22b a >

C .若b a >,则22b a >

D .若b a >,则22b a > 2.若正实数,a b 满足1a b +=,则( )

A .

11a b +有最大值4 B .ab 有最小值14

C

D .22

a b +

有最小值

2

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3.“数列{}n a 为常数列”是“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 4.已知命题:p x R ?∈,210x ->,那么p ?是( )

A.x R ?∈,210x -≤

B.1x ?>,210x ->

C.x R ?∈,210x -≤

D.1x ?≤,210x -≤

5.已知直角梯形的上底和下底长分别为1和2,较短腰长为1,若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转一周,则该旋转体的体积为( ) A .π4 B .π3 C .

34π D .3

2π 6.命题“存在0x R ∈使得00x

e ≤”的否定是( ) A .不存在0x R ∈使得0

0x e

> B .对任意0x R ∈,00x e >

C .对任意0x R ∈,00x

e ≤ D .存在0x R ∈,使得0

0x e

>

7.如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )

1A

1D

1

C 1

B D

B

C

A

A .

15 B .25 C .35 D .45

8.已知直线,l m ,平面,αβ,且l α⊥,m β?,给出下列四个命题:①若α∥β,则

l m ⊥;②若l m ⊥,则α∥β;③若αβ⊥,则l ∥m ;④若l ∥m ,则αβ⊥.其中

真命题的个数为( )

A .1

B .2

C .3

D .4

9.对于一个底边在x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的 ( )

A. 2倍

B.

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4倍 C. 2倍 D. 12

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倍 10.如图,空间四边形OABC 中,OA a =,OB b =,OC c =,点M 在线段OA 上,且2OM MA =,点N 为BC 的中点,则MN =( ) A .

121

232

a b c -+ B .211322a b c -

++ C .111222a b c +- D .221

332

a b c +- 11.如图,在正方形SG 1G 2G 3中,E ,F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF

的中点,现在沿SE ,SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1,G 2,G 3三点重合,重合后的点记为G ,则在四面体S -EFG 中必有( ) A .SG ⊥△EFG 所在平面 B .SD ⊥△EFG 所在平面 C .GF ⊥△SEF 所在平面 D .GD ⊥△SEF 所在平面

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12的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a +b 的最大值为( )

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C. 4 二、填空题:(每题3分,共18分)

13.不等式0322

<--x x 的解集是 .

14.已知,p q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件,则s 是q 的 ______条件,r 是q 的 条件,p 是s 的 条件.

15.已知a 、b 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,给出下列命题:①若α∥β,a ?α,则a ∥β ;②若a 、b 与α所成角相等,则a ∥b ;③若α⊥β、β⊥γ,则α∥

γ; ④若a ⊥α, a ⊥β,则α∥β其中正确的命题的序号是 .

16.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .

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17.在空间直角坐标系中,已知点A (1,0,2),B (1,—3,1),点M 在y 轴上,且M 到A 与到B 的距离相等,则M 的坐标是 。

18.设13x ≤≤,则函数()1

22

log 2

x

f x x =+的最小值是_____ . 三、解答题:(第19题6分,其余各题8分,共46分)

19.已知命题p :?x ∈[1,2],x 2

-a≥0;命题q :?x 0∈R ,使得x 2

0+(a -1)x 0+1<0.若“p 或q”为真,“p 且q”为假,求实数a 的取值范围。

20.如图,四边形ABCD 为平行四边形,四边形ADEF 是正方形,且BD ⊥平面CDE ,H 是BE 的中点,G 是AE,DF 的交点. (1)求证:GH ∥平面CDE ;(2)求证:面ADEF ⊥面ABCD.

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21.已知y x ,都是正数,(1)若1223=+y x ,求xy 的最大值;(2)若

116

4=+y

x ,求y x +的最小值. 22.如图,四边形PCBM 是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又AC=1,∠ACB=120°,

AB⊥PC,直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(1)求证:PC⊥AC;(2)求二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值;(3)求点B 到平面MAC 的距离.

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23.某工厂用7万元钱购买了一台新机器,运输安装费用2千元,每年投保、动力消耗的费用也为2千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为2千元,第二年为3千元,第三年为4千元,依此类推,即每年增加1千元.问这台机器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值.

24.四棱锥BCDE A -中,ABC ?是正三角形,四边形BCDE 是矩形,平面⊥ABC 平面BCDE ,2=AB ,4=AD .(Ⅰ)若G 是AE 的中点,求证://AC 平面BDG ;(II )试问点F 在线段AB 上什么位置时,二面角F CE B --的余弦值为1313

3

.

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参考答案

1.D 【解析】

试题分析:不等式基本性质中,与乘法有关的性质,不等式两边都要是非负数,才可能得出相应的结论,如果出现负数,结论不一定成立.如A 中,b d 为负数,结论就可能不成立:

23,35>->-,但23?<(3)(5)-?-;B 中如25>-,但222(5)<-,C 中35>-,但223(5)<-,故A 、B 、C 都是错误的,排除A 、B 、C ,只能选D .实际上D 中条件不等式右

边的是b 0≥,b a >,不等式两边均非负,可同时平方得22b a >.

考点:不等式的基本性质. 2.C 【解析】

试题分析:本题是基本不等式的应用,我们可以举例说明一些不等式不成立,如

0.1,0.9a b ==,则11111040.10.9a b +=+>>,A 不成立,1

0.094

ab =<,B 不成立,

再如12

a b ==

时,22

122a b +=<,D 不成立,因此选C .当然我们也可用基本不等式

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直接证明C

正确,2

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1a b =++=+12a b ≤++=

≤当且仅当a b =时取等号,

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. 考点:基本不等式.

3.B 【解析】

试题分析:数列{}n a 为常数列,如果0n a =,则数列{}n a 不是等比数列; 显然数列{}n a 是以a 为首项,以0为公差的等差数列,且{}n a 是以a 为首项,以1为公比的等比数列.

若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则对任意*

n N ∈都有:

12

2

12

2n n n n n n a a a a a a +++++???==

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考点:充要条件,等差数列,等比数列. 4.A 【解析】

试题分析:由特称命题的否定知命题“:p x R ?∈,210x ->”的否定为“:p x R ??∈,210x -≤”

,故选A. 考点:特称命题的否定

5.C 【解析】

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1,体积为

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,故选C . 考点:旋转体的体积

6.B 【解析】

试题分析:命题“存在0x R ∈使得00x

e ≤”的否定是对任意0x R ∈,0

0x e >.

考点:命题的否定形式. 7.D 【解析】

试题分析:如图,连接D C AC '、,则A B D C

'',

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∴异面直线A B '与AD '所成的角等于AD C ∠'.

令AB a AA 2AB 2a =∴'==,,∴A D D 52A a '=',.A D C

'中,

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A D D 52

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A a '=',, ∴2222284

cos AD C 2105

AD D C AC a AD D C a '+'-∠'=

'?'==,即异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为

4

5

. 故选D .

考点:几何体的结构特征,异面直线所成的角,余弦定理的应用. 8.B 【解析】

试题分析:①∵l l αα

ββ⊥∴⊥,,,又∵m l m β?∴⊥,,①正确;

②由l m ⊥推不出l β⊥,②错误.

③当l ααβ⊥⊥,时,l 可能平行β,也可能在β内,∴l 与m 的位置关系不能判断,③错误. ④∵l l

m m αα⊥∴,,,又m βαβ?∴⊥,,④正确;

故选B.

考点:直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系. 9.B 【解析】

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试题分析:分别画出原三角形和直观图,倍. 考点:本小题主要考查直观图与原图形的面积之间的数量关系,考查学生的运算求解能力.

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点评:直观图面积/原图形面积这个关系适用于任何平面图形,记住这个数量关系,在选择或填空题中可以直接应用,可以简化计算. 10.B 【解析】

试题分析:解:因为空间四边形OABC 如图,,

点M 在线段OA 上,且OM=2MA ,N 为BC 的中点,

所以=. 所以

=

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故选B .

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考点:向量加减混合运算及其几何意义

点评:本题考查空间向量的基本运算,考查计算能力,属于基础题。 11.A 【解析】

试题分析:由已知,,GF SG GE SG ⊥⊥且G GF GE = ,∴⊥SG 面EFG ,A 正确;若⊥SD 面EFG ,则GD SD ⊥,由(1)知GD SG ⊥,在SGD ?中,这是不可能的,B 错;若⊥GF 面SEF ,则SF GF ⊥,由(1)知,GF SG ⊥,在SGF ?中是不可能的,C 错;若⊥GD 面SEF ,则GD SD ⊥,由(1)知GD SG ⊥,在SGD ?中,这是不可能的,D 错.

D

S

F E

G

考点:线面垂直的判定定理和性质定理. 12.C 【解析】

试题分析:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算,如图设长方体的高宽高分别为,

,m n k ,由题意得

:

=

=1n ?=;

a =,

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b

=,

22(1)(1)6

a b -+-=228

a b ?+=,

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22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ?+≤,当且仅当2

a b ==时取等号.故选C.

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考点:1.三视图;2.均值不等式 13.(-1,3).

【解析】由于方程2

230x x --=两根分别为3,1x x ==-,所以此不等式的解集为(-1,3).

14.充要,充要,必要

【解析】,;,;q s r q q s r q s r r q s r p ??????????

15.①④ 【解析】 试题分析:若两个平面平行,则一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,①正确;两条直线和同一个平面所成的角相等,位置关系不确定,②错误;垂直于同一个平面的两个平面可平行可相交,③错误;

垂直于同一条直线的两个平面平行,④正确.

考点:1、空间直线和平面的位置关系;2、平面和平面的位置关系;3、直线和直线的位置关系. 16.

83

【解析】

试题分析:结合三视图可知,原几何体是一个四棱锥,且棱锥的高为2,底面是个边长为2的正方形,故其几何体的体积公式为2182233??=

,故答案为83

考点:本题主要是考查由三视图还原几何体,并求解几何体的体积问题。

点评:解决该试题的关键是能根据三视图中的图形的长度和高度得到几何体为四棱锥,同时高位2,底面是正方形,边长为2。 17.(0,—1,0) 【解析】

试题分析:设)0,0(y M ,,由1)3(1412

2

2

+++=++y y ,可得1-=y ,故)0,1,0(-M .

考点:用空间向量求直线间的夹角、距离

点评:本题考查空间两点间的距离公式,空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆,利于知识的系统化,属基础题. 18.

32

【解析】

试题分析:因为13x ≤≤

,所以1

112

2

2213

()log =log log 222x f x x x x

=≥=++,当且

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仅当x ()1

22

log 2x f x x =+的最小值是3

2

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. 考点:1、基本不等式及其应用;2、复合函数的单调性. 19.[]()+∞-,31,1 .

【解析】

试题分析:本题首先以q p 、为真分别求出对应的参数a 的取值范围,然后通过分析“q p 或”为真,“q p 且”为假可知:q p 、中一真一假,分情况讨论即可. 试题解析:p 真,则1≤a , 2分

q 真,则()130412

-<>?>--=?a a a 或 4分

因为,“q p 或”为真,“q p 且”为假可知:q p 、中一真一假 6分 当p 真q 假,11311

≤≤-??

?

?≤≤-≤a a a 10分

当q 真p 假,33

11>???

?

>-<>a a a a 或

所以,a 的取值范围是[]()+∞-,31,1 12分

考点:1.复合命题的真假;2.解不等式. 20.(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 试题分析:(1)先利用三角形中位线知识证AB GH //,再利用ABCD 为平行四边形证AB ∥CD ,进而证明//GH 平面CDE ;(2)由BD CDE ⊥平面得BD ED ⊥,再证明

ED AD ⊥即可.

试题解析:⑴G 是,AE DF 的交点,∴G 是AE 中点,又H 是BE 的中点, ∴EAB ?中,AB GH //, 2分 ∵ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD

∴//GH CD , 4分 又∵,CD CDE GH CDE ??平面平面

∴//GH 平面CDE 7分 ⑵

BD CDE ⊥平面,

所以BD ED ⊥, 9分 又因为四边形AFED 为正方形,

ED AD ∴⊥, 10分 AD BD D =,

ED ABCD ⊥面, 12分 ED AFED ?面

AFED ABCD ⊥面面. 14分

考点:空间中直线和平面、平面和平面间的位置关系. 21.(1)6;(2)36. 【解析】

试题分析:(1)直接利用基本不等式32x y +≥=,xy 的最大值随之而

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定;(2)如果直接利用基本不等式则有4161

x y =

+≥=16≥,因

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此32x y +≥≥②,这样就可能得出x y +的最小值为32,实际上这个最小值是取不

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到的,因为不等式①取等号的条件是

416

x y

=,4y x =,不等式②取等号的条件是x y =,即不等式①②不能同时取等号,故x y +的最小值不是32.正确的解法是把x y +看作

()1x y +?,把其中的1用已知416x y

+代换,即416

()1()()x y x y x y x y +=+?=++,展开

后就可以直接利用基本不等式求出结果.

试题解析:(1)xy =16·3x·2y≤

1

6

2

322x y +?? ???

2

=6 4分 当且仅当323212x y

x y =??

+=?即23

x y =??=?时取“=”号.

所以当x =2,y =3时,xy 取得最大值6 ..6分 (2)由+

∈R y x ,且

1164=+y x 得)164)((y x y x y x ++=+20164++=y

x x y 36201642

=+?≥y

x

x y , 10分 当且仅当

y

x

x y 164=,即x =12且y =24时,等号成立, 所以x +y 的最小值是36 12分

考点:基本不等式的应用.

22.(1)证明过程详见解析;(2)二面角M AC B --的余弦值为

7;(3)7

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d = 【解析】

试题分析:本题考查空间两条直线的位置关系、二面角、点到平面的距离等基础知识,考查运用传统几何法,也可以运用空间向量法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,根据线面平行的判定定理得到PC ⊥平面ABC ,所以PC 垂直于面内的任意线;第二问,法一:先找出二面角M AC B --的平面角,取BC 的中点N ,因为//PC MN ,所以MN BC ⊥,由三垂线定理得NH AC ⊥,所以得到二面角M AC B --的平面角为

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MHN ∠,由已知得060AMN ∠=,在A C N ?中用余弦定理求AN =,在R t A M N ?、Rt NCH ?、Rt MNH ?、Rt MNH ?中求边长,最后在Rt MNH ?中cos MHN ∠即是二面角的余弦值.法二:用向量法,建立空间直角坐标系,设出P 点坐标,因为直线AM 与

直线PC 所成的角为0

60,利用夹角公式,先得到P 点坐标,再求出平面MAC 的法向量n ,所以求n 与PC 的夹角的余弦,并判断夹角为锐角,所以余弦值为正值;第三问,先找线段BC 的中点N 到平面MAC 的距离,利用线面垂直的判定定理,得到NE 即是,用等面积法求NE ,所以点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC 的距离的两倍. 试题解析:方法1:(1)证明:∵PC BC ⊥,PC AB ⊥,∴PC ⊥平面ABC ,

∴PC AC ⊥.(2分)

(2)取BC 的中点N ,连MN .∵//PM CN ,∴//MN PC ,∴MN ⊥平面ABC .

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作NH AC ⊥,交AC 的延长线于H ,连接MH .

由三垂线定理得MH AC ⊥,∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角. ∵直线AM 与直线PC 所成的角为060, ∴在Rt AMN ?中,060AMN ∠=. 在ACN ?中,.

在Rt AMN ?中,. 在Rt NCH ?中,.

在Rt MNH ?中,∵

,∴.

故二面角M AC B --的余弦值为

.(8分)

(3)作NE MH ⊥于E .∵AC ⊥平面MNH ,∴AC NE ⊥,∴NE ⊥平面MAC , ∴点N 到平面MAC 的距离为.

∵点N 是线段BC 的中点,

∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC 的距离的两倍为

.(12分)

方法2:(1)证明:∵PC BC ⊥,PC AB ⊥,∴PC ⊥平面ABC ,∴PC AC ⊥.(2

分)

(2)在平面ABC 内,过C 作BC 的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示.

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(0,0,)P z ,则

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∵,

且0z >,∴,得1z =,∴.

设平面MAC 的一个法向量为(,,1)n x y =,则由

得得∴.

平面ABC 的一个法向量为

..

显然,二面角M AC B --为锐二面角,∴二面角M AC B --的余弦值为.(8分)

(3)点B 到平面MAC 的距离

.(12分)

考点:1.线面垂直的判定定理;2.三垂线定理;3.余弦定理;4.向量法;5.夹角公式;6.

等面积法.

23.这台机器最佳使用年限是12年,年平均费用的最小值为1.55万元

【解析】设这台机器最佳使用年限是n 年,则n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为:

,2

3)1(1.04.03.02.02n

n n +=++???+++

20

72.7203n 0.2n 0.27:22n

n n ++=++++∴总费用为,

),2.720(0.35207n 7.2y :2n

n n n

n ++=++

=

∴年的年平均费用为 ,2.120

2

.722.720=≥+n n

等号当且仅当

.12n 2

.720时成立即==n

n

万元)(55.12.135.0y min =+=∴

答:这台机器最佳使用年限是12年,年平均费用的最小值为1.55万元 24.(Ⅰ)见解析; (II )当点F 在线段AB 的中点时,二面角F CE B --的余弦值为1313

3

. 【解析】

试题分析:(Ⅰ)通过连接CE BD 、,应用三角形的中位线定理得到证明得到 面BDG .

(II )利用空间直角坐标系,确定平面CEF 的一个法向量(,,)n x y z =,而平面BCE 的法向量

0(0,0,1)n =00||||n n

n n ?=-

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?,确定出点F 在线段AB 的中点时,二面角F CE B --的余弦值为

1313

3

.解答此类问题,要注意发现垂直关系,建立适当地直角坐标系,以简化解题过程. 试题解析:(Ⅰ)证明:连接CE BD 、,设CE BD O ?=,连接OG , 由三角形的中位线定理可得:OG

AC

, ∵AC ?平面BDG ,OG ?平面BDG ,∴//AC 平面

BDG . (II )建立如图空间直角坐标系,

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Rt ACD ?中,斜边4,2AD AC =

=,得CD =,所以,

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(1,0,0),(1,0,0),(1,B C E -.

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设BF BA λ=

,得(1)F λ-.

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设平面CEF 的一个法向量(,,)n x y z =,由00n CE n CF ??=???=??

得20

(2)0

x x z λ?+=??-+=??,

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取x =2

(3,1,1)n λ

=--.

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而平面BCE 的法向量0(0,0,1)n =,

所以由题意

00||||

n n

n n ?=-

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?,即2

1

-=

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解得1λ=-(舍去)或1

2

λ=,所以,当点F 在线段AB 的中点时,二面角F CE B --的余弦值为

1313

3

. 考点:平行关系,空间向量的应用,二面角的计算.