初中解题指导巧用平移求面积

巧用平移求面积

湖北省黄石市鹏程中学陈贵芳

同学们，你会用平移去求图形的面积吗？其实，某些求图形面积的问题，若能想到用平移知识并将部分图形平移后去解，那么你会品尝到方便简捷的滋味！请看几例：

例1图1是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF 的位置．若AB=8cm，BE=4cm，DG=3cm，则图中阴影部分的面积为_____cm．

解析1：虽然阴影部分是一个梯形，但因其上底CG、下底DF和高都不易求出，故直接用梯形的面积公式去求它的面积很困难．由题意，知△DEF是△ABC沿BC方向平移得

到的，所以S＝S，从而S＝＝S＝

(AB+GE)BE＝[8＋（8－3）]×4＝26 cm．

解析2：连AD，由平移知，CF＝BE＝AD＝4 cm，所以S＝S－S

＝CF×AB－×AD×DG＝4×8－×4×3＝26 cm．

例2如图2，在一个长方形的草坪上有两条等宽且互相垂直的长方形小路（长度单位：m），那么草坪的面积为______ m

解析：将两条小路分别作如图3所示的平移，则草坪的面积就是图3中空白部分（长方形）的面积，即（50－2）×（30－2）＝1344 m．

例3如图4所示是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区（空白部分）、②号区（阴影部分）、③号区（图下方的空白部分）三块，拟在①号区种花、②号区建房、③号区植树，已知图中四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形（一腰和底相交成直角的梯形叫做直角梯形，这里∠C和∠G都是直角），求种花部分的面积．

解析：显然，因①号区是不规则的图形，不易直接求其面积，考虑到四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形，故可将四边形EFGH看成是四边形ABCD沿AB

方向平移得到的，所以①号区面积等于③号区面积，而③号区面积等于×（EM+AD）×MD＝×（200－1＋200）×2＝399（m），所以种花部分的面积为399（m）．

例4如图5，长方形ABCD中，AD＝2AB，EF分别为AD、BC的中点，扇形块P （线段EF左边的阴影部分）和扇形块Q（右边的空白部分）的半径FB、CF的长度都等于acm，求阴影部分的面积．

解析1：如图5，由条件，知四边形ABFE和四边形EFCD是两个完全相同的正方形，扇形块P的面积＝扇形块Q的面积．可将扇形块Q沿CB方向平移至扇形块P的位置，知这两个扇形块会完全重合，因①号区域（空白部分）的面积＝②号区域（线段EF右边的阴

影部分）的面积，所以阴影部分的面积等于扇形块P的面积+②号区域面积＝扇形块P的面积+①号区域的面积＝正方形ABFE的面积＝FB＝a（cm）．

解析2：因扇形块P的面积＝扇形块Q的面积，故亦可将②号区域沿DA方向平移至①号区域，显见阴影部分的面积＝正方形ABFE的面积＝a（cm）．

面积法在平面几何问题求解中的巧妙应用

平面几何问题的证明——面积法（教案） 教学目的：掌握面积法在平面几何解题中的巧妙应用 教学重点：1、三角形、凸四边形面积公式的推导 2、面积法在平面几何解题中的巧妙应用 教学内容： 2002年，张景中院士推出《新概念几何》，其中对三角学作了全新的处理，他把边长为 1、夹角为α的菱形的面积定义为αsin ，由此研究正弦的性质，到处理余弦，用面积的方法证明大量的平面几何问题，把三角学和几何学打成一片，别具一格，极有新意。 张院士指出：抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使几何问题求解变得更有趣味。 在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关的几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，这就是面积法。 一、为运用面积法解题，我们需要一些面积公式： 1、设ABC ?中，角C B A ,,所对的边依次为c b a ,,，又a h 为a 边上的高，R 为其外接圆半径，r 为其内切圆半径，)(21c b a p ++= ，则 （1）a ABC ah S 21=?； （2）A bc S ABC sin 21?=?; （3）R abc S ABC 4=?; (4)A C B a S ABC sin 2sin sin 2?=?; (5)rp S ABC =?； (6)))()((c p b p a p p S ABC ---= ?。（海伦公式） 2、在凸四边形ABCD 中，边长分别为d c b a ,,,，两对角线长为,,f e 两对角线夹角θ，且)(2 1d c b a l +++= ，则： （1）θsin 21?=ef S ABCD (2) 2222222)(441d b c a f e S ABCD --+-= (3)))()()((d l c l b l a l S ABCD ----= （当D C B A ,,,四点共圆时） (4)?2cos ))()()((?-----=abcd d l c l b l a l S ABCD ，2D B +=?或2C A +=? 引理1：圆内接四边形ABCD 的四边是,,,,d DA c CD b BC a AB ====则四边形ABCD 的面积 ]1[ ))()()((d p c p b p a p S ABCD ----=，)(21d c b a p +++= 。

人教版数学四年级下册 利用平移求不规则图形的周长和面积导学案

第3课时利用平移求不规则图形的周长和面积

习旧知，导入新课。（5分钟）平移？长方形、正方形的面积怎 么计算？ 2.引入新课：像长方形和正 方形我们可以用公式直接计算 面积，对于那些不能用公式直接 计算的面积，怎么计算呢？今天 这节课我们一起来看一看。 的问题。 2.认真倾听老师的导 言并思考老师提出的问 题。 面积计算公式及周长计算公式。 答案：S长=ab S正=a2 C长=（a+b）×2 C正=4a 2.下面两个图形的阴影部分 的面积相等吗？ 答案：相等 3.求下面图形阴影部分的面 积。（长方形的长是12厘米，宽是 6厘米） 答案：36平方厘米 二、观察主题图，思考解决思路。（18分钟） 1.课件出示第87页例4图 形，提问：这个图形的面积是多 少？ 2.观察例4图，思考对于这 样不规则的图形，我们可以用什 么办法计算呢？ 3.引导学生用学过的图形 运动的知识试试。 4.引导学生动手操作：请同 学们把左边部分剪下来，移一 移。说说，应该怎样移？需要移 几格？ 5.指导学生列式计算。 6.师生共同归纳总结：有些 不规则的图案，我们可以运用平 移的方法，将图形转化成已学过 的规则图形，从而求得图形的周 长或面积。 1.观察例4，并思考 解决问题的方法。 2.小组内讨论集体反 馈。 3.讨论交流，发现图 形左边曲线部分右移后和 右边曲线部分相结合，形 成一个长方形。 4.动手操作：把左边 部分剪下，向右平移6格。 5.独立解答。 6.总结解决求不规则 图形的周长和面积的方 法。 三、多角度练习，巩固新 1.教材第87页“做一做”。 2.教材第88页练习二十一 第3、4题。 1.先独立做，然后集 体订正。 2.先独立做，然后组 内交流思考过程，最后全 教学过程中老师的疑问：

《用画图法解决问题》综合练习

用画图法解决问题 1．看图填空。 (1)正方形的边长是（），它的面积是（）。 (2)正方形变成长方形后，面积增加了（），大长方形的宽是（）。 (3)小长方形的长是（），宽是（）。 (4)大长方形的长是（），宽是（）。 2. 从一张长20米、宽15米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，剩余部分的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再解答） 3. 张老师家有一块长方形菜地，如果长增加5米，面积就增加50平方米；如果宽增加3米，面积就增加60平方米。这块长方形菜地的面积是多少平方米？ 4．一块长方形的花布，如果长减少5分米或宽减少3分米，面积都比原来减少45平方分米，原来这块花布的面积是多少平方分米？（先分别在图中画出长减少和宽减少的部分，再解答）

5．植物园有一块空地长85米，宽50米，现进行规划，把这块地的长增加了20米，宽增加到85米，这块地的面积新增了多少平方米？（在下图中画出增加的部分，再解答） 6．光明小学有一块边长8米的正方形草坪，四周有一个宽1米的花圃，在花圃里栽牡丹花，每棵占地1平方米，一共要栽多少棵？（先在图上画一画，再解答） 7. 人民剧场原来有座位40排，每排28个座位。扩建后，增加了5排，每排增加了4个座位，扩建后比原来多坐多少人？ 8. 一个正方形，如果它的边长增加5米，所形成的的正方形比原来正方形的面积多95平方米，原来正方形的边长是多少米？（先画出示意图，再解答）

参考答案 1．看图填空。 (1)正方形的边长是（5米），它的面积是（25平方米）。 (2)正方形变成长方形后，面积增加了（10平方米），大长方形的宽是（5米）。 (3)小长方形的长是（5米），宽是（2米）。 (4)大长方形的长是（7米），宽是（ 5米）。 2. 从一张长20米、宽15米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，剩余部分的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再解答） 20－15＝5（米） 15×5＝75（平方米） 答：剩余部分的面积是75平方米。 3. 张老师家有一块长方形菜地，如果长增加5米，面积就增加50平方米；如果宽增加3米，面积就增加60平方米。这块长方形菜地的面积是多少平方米？ 示意图： 长方形的宽：50÷5＝10（米）；长方形的长：60÷3＝20（米） 长方形菜地的面积：20×10＝200（平方米）

八年级数学面积法解题

初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【 重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。 1 4 7. 1 4三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。 F E A B D C 分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等 高，故S S ADE ADB ??= ②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ??=

在三角形中巧用面积法解题

在三角形中巧用面积法解题 所谓面积法是指借助图形面积自身相等的性质、可拆分的性质和可比的性质进行解题的一种方法。在中学阶段它是数学中一种常用的解题方法。并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点。现分类举例如下,希望同学们在今后的做题中有所启发。 一、利用面积自身相等的性质解题 例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。 C A B D 例2 在A B C 中，AB ＞AC,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，试判断BF 和CE 的大小关系，并说明理由。 D F C B E A 。 小结：利用一个图形面积自身相等的性质解题，就是从不同的角度使用面积公式来表示同一个图形的面积，列出等式求出未知的量。 二、利用面积的可比性解题 例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得A B C 的面积为 。 D C B A 小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。 三、利用面积的可分性解题 例 4 如图，已知等边三角 ABC ，P 为A B C 内一点，过 P 作 ,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥ 的高为h.试说明P D P E P F h ++=。

A B C D P F E 小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题。 现提供部分习题供同学们练习： 1、如图，已知A B C 和B D C ，AC 与BD 交于点ｏ，且直线AD ∥BC,图中四个小三角形的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，试判断2S 和4S 的大小关系，并说明理由。 D B A O C S4 S3 S1 S2 2、如图，四边形ABCD 中，对角线BD 上有一点O ，OB ：OD=3：2,S A O B =6,S C O D =1,试求S A O D 与S B O C 的面积比。 D A C B O 3、 如图，P 是等腰三角形ABC 底边BC 上的任一点，PE AB ⊥于E,PF AC ⊥于F ，BH 是等腰三角形AC 边上的高。猜想：PE 、PF 和BH 间具有怎样的数量关系？ B C 4、其它练习题见《培优竞赛新方法》112-116部分习题。

初二数学-面积法解题

初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【 重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。 1 4 7. 1 4三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。

F E A B D C 分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等 高，故S S ADE ADB ??= ②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ??= ③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可 由S △CFE ＝S △CFB 故可得出S △AEF ＝S △ABC 证明：∵AD//BE//CF ∴△ADB 和△ADE 同底等高 ∴S △ADB ＝S △ADE 同理可证：S △ADC ＝S △ADF ∴S △ABC ＝S △ADE +S △ADF 又∵S △CEF ＝S △CBF ∴S △ABC ＝S △AEF ∴S △AEF +S △ADE +S △ADF ＝2S △ABC ∴S △DEF ＝2S △ABC 2. 作平行线法 例2. 已知：在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点 求证：S S ADM ABCD ?= 1 2 分析：由M 为腰BC 的中点可想到过M 作底的平行线MN ，则MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h A B S S S MN h S AMD DMN AMN ABCD ???=+= ?=121 2 证明：过M 作MN//AB ∵M 为腰BC 的中点 ∴MN 是梯形的中位线 设梯形的高为h MN DC AB = +2 则S MN h ABCD =? 又 S S S MN h AMD AMN MND ???=+= ?1 2

在三角形中巧用面积法解题

.在三角形中巧用面积法解题

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专题：在三角形中巧用面积法解题 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 一、利用面积自身相等的性质解题 例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。 C A B D 。例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得ABC 的面积为 。 F E D C B A O 25 35 30 40 小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。 三、利用面积的可分性解题 例 4 如图，已知等边三角ABC ，P 为ABC 内一点，过P 作 ,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥的高为h.试说明PD PE PF h ++=。 A B C D P F E

专题27 面积法

专题27 面积法 阅读与思考 平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角． 所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快． 用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果． 下列情况可以考虑用面积法： （1）涉及三角形的高、垂线等问题； （2）涉及角平分线的问题． 例题与求解 【例1】 如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________． (全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手． 等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？ D E F A B C P 【例2】 如图，△AOB 中，∠O ＝0 90，OA ＝OB ，正方形CDEF 的顶点C 在DA 上，点D 在OB 上，点F 在AB 上，如果正方形CDEF 的面积是△AOB 的面积的 5 2 ，则OC ：OD 等于( ) A ．3：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．5：3 解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决． E F A O B D C

【例3】 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE 与DF 交于G ，求证：∠BGC ＝∠DGC . （长春市竞赛试题） 解题思路：要证∠BGC ＝∠DGC ，即证CG 为∠BGD 的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口． G D B C A F E 【例4】 如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D 、E 、F . 求证：（1） 1=++CF PF BE PE AD PD ； （2） 2=++CF PC BE PB AD PA . （南京市竞赛试题） 解题思路：过P 点作平行线，产生比例线段. E P B A C D F 【例5】 如图，在△ABC 中，E ，F ，P 分别在BC ，CA ，AB 上，已知AE ，BF ，CP 相交于一点D ，且 1994=++DP CD DF BD DE AD ，求DP CD DF BD DE AD ??的值. 解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值. （黄冈市竞赛试题） F D A B C E P

2013年中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题

解题方法及提分突破训练：面积法专题 ，那么点B′的坐标是（） A. (-2,3) B.(2，-3) C.(3，-2)或(-2,3) D.(-2,3)或(2，-3) 3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为cm．Array 4.（2012?潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD． （1）求证：△ABD∽△ACE； （2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状

二名词释义 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。面积问题主要涉及以下两部分内容： （一）怎样证明面积相等。以下是常用的理论依据 1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 1 6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的 4 1 7.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的 4 8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）用面积法解几何问题（常用的解题思路） 1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4.还可以利用面积解决其它问题。 三典题示例 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。 分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等

几种不规则图形面积的解题方法

对于不规则图形面积的计算问题，一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。常用的基本方法有： 1. 直接求面积：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出组合图形面积。 例1：求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。 解答： 通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为： （平方厘米） 2.相加、相减求面积：这种方法是将组合图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加或相减求出该图形的面积。 例2：正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，阴影部分的面积是多少？ 解答： 两个正方形的面积：5×5+4×4=41（平方厘米） 三个空白三角形的面积和：（5+4）×5÷2+4×4÷2+5×（5-4） ÷2=33（平方厘米） 阴影部分的面积：41-33=8（平方厘米） 除了以上这两种方法，还有其他的几种方法，同学们不妨了解了

解。 3．等量代换求面积：一个图形可以用与它相等的另一个图形替换，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；两个图形同时增加或减少相同的面积，它们的差不变。 例3：平行四边形ABCD的边BC长8厘米，直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，平行四边形ABCD的面积是多少? 解答： 阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，分别加上梯形FBCG,得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。 平行四边形ABCD的面积:8×6÷2+8=32(平方厘米) 4.借助辅助线求面积：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法求面积。 例4：下图中，CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,CD的长是多少? 解答: 结合已知条件看图，很难有思路，连接DA,就可以发现：三角形ABE 比三角形CDE的面积大2平方厘米,分别加上三角形DAE得到的三角形ABD 比三角形CDA的面积大2平方厘米。 （4×4÷2-2）×2÷4=3（厘米）

初二数学---面积法解题

初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【 重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。 1 4 7. 1 4三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。 F E A B D C 分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等

八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法

八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法 阅读与思考 平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角． 所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快． 用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法： （1）涉及三角形的高、垂线等问题； （2）涉及角平分线的问题． 例题与求解 【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________． (全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手． 等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？

【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )

A．3：1 B．2：1 C．3：2 D．5：3 解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决． 【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC. （长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．

七年级数学下册第七章相交线与平行线7.6图形的平移巧用平移妙求面积素材(新版)冀教版

巧用平移妙求面积 求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解. 例1 如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米？ 析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢？ 例2 如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少？

析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样？ 例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗？ 图3-（1） 析解：小路的面积只与小路的宽度和长度有关，与其位置没有关系.可以将路分解成向下和向右分别平移的两部分，平移后如图3－2所示.这时，绿地转化为长22 米，宽18 米的长方形，可求得绿地的面积为：22×18=396 （平方米）. 想一想：直接求小路的面积是无法求解的，那么，本题中将曲折的小路进行平移，意义何在？ 图3-（2）

专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题(原卷版)

专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题 一、几何图形面积公式 1.三角形的面积:设三角形底边长为a ，底边对应的高为h ，则面积S=ah/2 2.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah 3.矩形的面积:设矩形的长为a ，宽为b ，则面积S=ab 4.正方形的面积:设正方形边长为a ，对角线长为b ，则面积S=2 2 2 b a = 5.菱形的面积:设菱形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah 若菱形的两条对角线长分别为m 、n ，则面积S=mn/2 也就是说菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。 6.梯形的面积:设梯形的上底长为a,下底长为b ，高为h ，则面积S=（a+b ）h/2 7.圆的面积:设圆的半径为r,则面积S=πr 2 8.扇形面积计算公式 9．圆柱侧面积和表面积公式 （1）圆柱的侧面积公式S 侧=2π rh 2360r n s π?= lr s 2 1=或

（2）圆柱的表面积公式：S 表=2S 底+S 侧=2πr 2 +2πrh 10.圆锥侧面积公式 从右图中可以看出，圆锥的母线L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长2πr ，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形=πrL 注意：有时中考题还经常考查圆的周长、扇形的弧长的公式的应用。 （1）圆的周长计算公式为：C=2πr （2）扇形弧长的计算公式为： （3）其他几何图形周长容易计算，不直接给出。 二、用面积法解题的理论知识 1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。 三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容 1.证明面积相等的理论依据 （1）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 （2）同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 180 2360r n r n l ππ=?=

初中数学教学中巧用面积法解题

初中数学教学中巧用面积法解题 许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。 一. 用面积法证线段相等 例1. 已知：如图1，AD 是△ABC 的中线，CF ⊥AD 于F ，BE ⊥AD 交AD 的延长线于E 。 求证：CF=BE 。 图1 证明：连结EC ，由BD=DC 得， CDE BDE ACD ABD S S ,S S ????==， 两式两边分别相加，得 ACE ABE S S ??= 故CF AE 21BE AE 21?=? 所以BE=CF 。 注：直接由ACD ABD S S ??=得 CF AD 21BE AD 21?=?更简洁。 二. 用面积法证两角相等 例2. 如图2，C 是线段AB 上的一点，△ACD 、△BCE 都是等边三角形，AE 、BD 相交于O 。 求证：∠AOC=∠BOC 。 图2

证明：过点C 作CP ⊥AE ，CQ ⊥BD ，垂足分别为P 、Q 。 因为△ACD 、△BCE 都是等边三角形， 所以AC=CD ，CE=CB ，∠ACD=∠BCE ， 所以∠ACE=∠DCB 所以△ACE ≌△DCB 所以AE=BD ，DCB ACE S S ??= 可得CP=CQ 所以OC 平分∠AOB 即∠AOC=∠BOC 三. 用面积法证线段不等 例3. 如图3，在△ABC 中，已知AB>AC ，∠A 的平分线交BC 于D 。 求证：BD>CD 。 图3 证明：过点D 分别作DE ⊥AB 、DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 设BC 边上的高为h 。 因为∠BAD=∠DAC 所以DE=DF 因为 DF AC 21S ,DE AB 21S ACD ABD ?=?=?? 且AD>AC 所以ACD ABD S S ??> 即h CD 21h BD 21?=? 所以BD>CD 四. 用面积法证线段的和差 例4. 已知：如图4，设等边△ABC 一边上的高为h ，P 为等边△ABC 内的任意一点，PD ⊥BC 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥AB 于F 。 求证：PE+PF+PD=h 。

巧用平移妙求面积

巧用平移妙求面积 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

巧用平移妙求面积 求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解. 例1如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米 析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢 例2如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少 析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864（平方米）. 想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样

例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗 析解：小路的面积只与小路的宽度和长度有关，与其位置没有 关系.可 以将路分解成 向下和向右分别平移的两部分，平移后如图3－2所示.这时，绿地转化为长22 米，宽18 米的长方形，可求得绿地的面积为：22×18=396 （平方米）. 想一想：直接求小路的面积是无法求解的， 那么，本题中将曲折的小路进行平移，意义何在 坐标系中求图形的面积 图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标.现对这类题目的解法举例说明如下. 一、计算三角形的面积 例1 如图1所示，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别 是A （-4，-3），B （0，-3），C （-2，1）.求三角形ABC 的面积. 分析：观察图形，在坐标系中读取三角形ABC 的一边的长度，和该边上的高的长度.因为AB ∥x 轴，所以AB 可以作为底边. 图3-（1） 图3-（2） y B C A O 1 1 图1

例谈等面积法在初数学解题中的应用

例谈等面积法在初中数学解题中的应用 贵州省榕江县三江中学 潘光联 等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用： 一．求三角形的高 例1.如图1所示，在△ABC 中，AB=10,BC=6,AC=8,求AB 边上的高CD 的长. 解：在△ABC 中， .10010,10086222222===+=+AB AC BC .222AB AC BC =+∴ ∴△ABC 是直角三角形. 利用三角形面积计算公式得, .2 121CD AB BC AC ?=? 即8.410 68=?=?=AB BC AC CD 二．求图形的面积 例2. 如图2所示，⊙O 的半径为 3，OA=6,AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ， 连接AC ，则图中阴影部分的面积是多 少？ 分析：连接OB 、OC ，将图中不规 则的阴影部分的面积转化为扇形0BC 的面积是解决此问题的切入点和关 键. 解:连接OB 、OC ， 由BC ∥OA 知，△OCB 与△ACB 的 边CB 上的高相等. 故由等积性质可知,CB ACB S S 0??=

易知，∠BOC= 60. 所以ππ2 336036020=?==CB S S 扇形阴影. 三.求三角形内切圆半径 例3.如图3所示,已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C= 90，AC=4，BC=3. 求 ⊙O 的半径. 解:设⊙O 的半径为r ，连接0A 、0B 、OC 、OE 、OF 、OG.. ∵⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴OG ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，且 OE=OF=OG=r. 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 .5432222=+=+=AC BC AB 于是由ACO BCO ABO ABC S S S S ????++=，得 .2 1212121AC BC r AC r BC r AB ?=?+?+? 即 .)(AC BC r AC BC AB ?=++ ∴.14 3543=++?=++?= AC BC AB AC BC r 四．求函数的解析式 例4．如图4所示，线段AB=8，直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，P 是直线m 上的一点,PB 交以AB 为直径的圆于C,连结AC.设PB=x,AC=y,求y 与x 的函数关系式. 分析：因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BP ，又因为把直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，所以DO ⊥AB,BP 和AC 看成三角形的底和高，于是很自然地连接AP 、OD ，利用同一个三角形的面 积相等的性质，就可以得到x 与y 的关系. 解:连结AP ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥BP. 又∵直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ， ∴DO ⊥AB

面积——等面积法

面积法在中学数学解题中的巧用 利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。 用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。 有关面积的公式 （1）矩形的面积公式：S=长?宽 （2）三角形的面积公式：ah S 2 1 = （3）平行四边形面积公式: S=底?高 （4）梯形面积公式: S=2 1 ?(上底+下底)?高 （5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等） 有关面积的公理和定理 1、面积公理 （1）全等形的面积相等； （2）一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理 （1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等； 如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD （2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等； （3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比； （4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方； （5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等； （6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。

第4课时 利用平移求不规则图形的周长和面积(导学案)

第4课时利用平移求不规则图形的周长和面积课题利用平移求不规则图形的周长和面积课型新授课 设计说明 本节课的教学内容属于“图形与几何”领域，“解决实际问题”是在学生掌握了轴对称和平移图形的特征与性质的基础上进行教学的，旨在使学生能够应用图形的平移知识解决实际问题，所以在教学设计上突出以下特点： 1.突出课堂活动。 在教学中，结合具体的问题情境，通过观察、比较、分析，借助剪一剪、移一移、拼一拼等活动，使学生积极参与到探究中，促使学生的数学思维得到发展，应用意识及创新能力得到培养。 2.突破理解障碍。 四年级学生的空间观念不是很强，所以在教学时，注重直观教具的演示以突破学生在图形变换时遇到的障碍，让学生通过亲自操作、观看教师演示，增强学生的空间想象力。 3.体现数学的应用价值。 通过本节课的学习，一方面使学生深刻体会到图形的运动在图形与几何领域的广泛应用；另一方面也使学生体会到教学在生活中的应用价值，激发学生学习数学的热情。 学习目标1.使学生进一步认识平移，理解平移的性质。 2.使学生能够利用平移解决生活中的实际问题。 3.培养学生的观察能力。教学中渗透变换的数学思想，增强学生解决问题的能力。 学习重 点 利用平移的性质解决不规则图形面积计算的问题。学习难 点 利用平移知识解决问题。 学前准备教具准备：多媒体课件学具准备：方格纸 课时安 排 1课时 教学环 节 导案学案达标检测 一、复习旧知，导入新课。（5分钟） 1.结合实例讲一讲什么是平移？ 长方形、正方形的面积怎么计算？ 2.引入新课：像长方形和正方形 我们可以用公式直接计算面积，对于 那些不能用公式直接计算的面积，怎 1.讨论交流老师提出的问 题。 2.认真倾听老师的导言并 思考老师提出的问题。 1.说一说长方形和正方形的面积计 算公式及周长计算公式。 答案：S长=ab S正=a2 C长=（a+b）×2