主应力方向判别定
宁夏师范学院毕业论文
题目：平面应力状态下主应力方向判别新方法指导教师：伏振兴职称：副教授
学生姓名：王德俭学号：200607210221 专业：物理学
院（系）：物理与信息技术学院
完成时间：2010-5-24
宁夏师范学院本科生毕业论文（设计）成绩评定表
总结了现行材料力学教材中平面应力状态下最大主应力方向的判别方法——解析法和图解法,这两种方法不够理想,在计算时比较麻烦且容易出错，本文阐述了一种平面应力状态下判别主应力方向的新方法，并做出了证明和举例,发现在应用时极为简单、快捷、易行.
关键词:平面应力状态;主应力;单元体
Summaring the current strength of materials in plane stress state principal stress direction discrimination method in maximum is analytical method and graphical method, the two methods is not quite ideal, in the calculation.It is very trouble and easy to make error-prone, in this paper, I made a new method which is plane stress identified principal stress direction, and made lots of examples to proof it At last ,found that the application of it is extremely simple, quickly and easily.
Key words: Plane stress state; Principal stress; Unit body; Direction; Angle
摘要 ...................................................... I Abstract ................................................... I I 一引言 .. (1)
二基本概念 (1)
2.1应力与应变 (1)
2.2 应力状态 (2)
三传统的判定方法 (2)
3.1 解析法 (2)
3.2 图解法 (2)
四平面应力状态下主应力方向判别新方法 (3)
4.1 结论 (3)
4.2 对上述结论的证明 (3)
五实例 (5)
致谢 (7)
参考文献 (8)
一 引言
平面应力状态下主应力方向的确定,无论是在工程应用还是在材料力学中都是非常重要的.在工程实际问题中,受力构件的最大主应力的判定不可缺少,尤其是脆性材料的受拉部位最大拉应力的大小和方向的判定最为主要,有了正确快捷的计算结果才能更有效的改善构件的内部特征,以适应其受力特点达到构件安全的目的.主平面即极值正应力作用平面,通常情况下,主平面的位置决定着构件的破坏位置,主平面上作用的主应力的大小决定着构件强度的大小,而确定平面应力状态下主应力的方向,在笔者所阅读的书籍[1～4]中,大致是两种较为传统的判别方法,分别为解析法和图解法,这两种方法能够解决问题但比较繁琐,笔者在该篇文章中给出了一种较为简单的新的判别方法.
二 基本概念
2.1 应力与应变
当材料在外力作用下不能产生位移时,它的几何形状和尺寸将发生变化,这种形变称为应变.材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力,我们把发布内力在一点的集度称为应力;或者说物体由于外因(受力、温度变化等)而发生形变时,在物体内各部分之间产生相互作用的内力,以抵抗这种外因的作用,并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置.总起来说,应力就是在所考察的截面某一点单位面积上所承受的附加内力.
如图2-1-1所示，在截面m m -上任一点K 的周围取一微小面积△A,并设作用在该面积上的内力为△F,则△F 与△A 的比值称为△A 内的平均应力,并用P 表示,即
F
P=
A ??,一般
情况下,内力沿截面并非均匀分布,平均应力P 之值及其方向将随所取面积△A 的大小而异.为了更精确的描述内力的分布情况,应使△A 趋于零,由此所得平均应力P 的极限值,称为平面m m -上K 点处的应力或总应力，并用P 表示，即
A 0F
P=lim
A ?
→??，显然，应力P 的方向
即F ?的极限方向.为分析方便,通常将应力P 沿截面法向与切向分解为两个分量（图2-1-2）,沿截面法向的应力分量称为正应力,并用σ表示;沿截面切向的应力分量称为剪应力,并用
τ表示.应力P 与正应力σ、剪应力τ之间的关系为2
2
2
P στ=+.
按照载荷作用的形式不同,应力又可以分为拉伸压缩应力,弯曲应力和扭转应力.
2.2 应力状态
物体受力作用时,其内部应力的大小和方向不仅随截面的方位而变化,而且在同一界面上的各点处也不一定相同.通过物体内一点可以作出无数个不同取向的截面,其中一定可以选出三个互相垂直的截面,在它上面只有正应力作用,剪应力等于零,用这三个截面表达的某点上的应力,即称为此点的应力状态.三个主应力不相等且都不等于零的应力状态称为空间(三向、三轴、三维)应力状态,有两个主应力不等于零的应力状态称为平面(二向、双轴、二维)应力状态, 有一个主应力不等于零的应力状态称为单向(或单轴)应力状态.
三 传统的判定方法
3.1 解析法
在材料力学教科书[1～4]中,用解析法确定主应力方向的方法如下: 平面应力状态下,一点的主应力为:
max min
σσ +2
x y
σσ=
① 两主应力max σ和min σ与单元体上所设x 轴的夹角由下式确定
02tan 2xy
x y
τασσ=-
- ②
式中x σ和xy τ是法线与x 轴平行的面上的正应力和切应力;y σ和yx τ(式中未出现)是法线与y 轴平行的面上的应力.
求出0α及0090α+,然后分别代入公式
cos 2sin 22
2
x y
x y
x ασσσσσατα+-=
+
- ③
计算出两个主应力0ασ及0090
α
σ+的值,再比较二者的大小,方能确定两个主应力分别x 轴的
夹角,最后判断出两个主应力的方向.
3.2 图解法
同样的,在[1～4]中用图解法确定主应力的方法如下:
先将单表单元体(图3-2-1)上x σ、x l 及D 1点到σ轴上的A 1点弧长 11D A 找到，量出
11
D A 所对圆心角02α,在据02α转动方向确定其正负号（顺时针转为负,逆时针转为正）,知道了
02α大小及方向,然后在单元体上自x σ作用的平面法线方向起量出一个角0α,转向与02α转向相同,再根据应力圆A 点坐标的正负号,就可以确定出1σ的方向(图3-2-2).
四
4.1 结论
显然,传统的判别方法比较繁琐,笔者参阅了其他文献资料[5～12],总结其在该问题上的见解,得出了一种新的判别的简单方法:
在求出主应力后,用公式②求出α0和α0+90o ,然后比较σx 与σy 的大小（按带数量），若σx >σy ,则主用力 σ
max
与x 轴的夹角为α0;若σx <σy ,则主用力σ
max
与 x 轴的夹角为 α
+90o ,若σx =σy ,则α0=-45o .即最大主应力总是偏向于σx 和σy 的较大者,最小的主应力则
偏向于σx 和σy 的较小者.
4.2 对上述结论的证明
在公式③中,ασ随α角的改变而改变,也就是说ασ是α的函数,在这里,我们根据数学的极值问题,将ασ分别对α求一阶导数及二阶导数：
()sin 22cos 2x y x d d α
σσσαταα
=--- ④()22
2cos 24sin 2x y x d d α
σσσαταα
=--+ ⑤
当0αα=时,ασ取得极值,
0d d ααασα
==,则由④式得:
02tan 2xy
x y
τασσ=-
- (同上文②式)
于是0ασ及0090
α
σ+即为ασ的两个极值.（α1和α2）
由②式可解得：
cos 2σσα-=⑥
sin 2α-+
= ⑦
(1) 若x y σσ>
当0αα=时,
0cos 2σσα-=
, 0sin 2α=代入⑤式得
:
2
2
420
x y x d d ααασσσσστα=?
?
??+-??
=?? ???
??
=- 所以，ασ在0αα=时取得极大值，即0max ασσ=，从而证明了此时α0为σ
max
与x 轴的夹角.
当0090αα=+时,
(
)0cos 290o σσα-+=
()
00sin 290α+=,
代入⑤式得:
022
902
d d α
αασα=+
=0>,
所以, ασ在0090αα=+时取得极小值,即00min 90
ασσ+=.
(2) 若x y σσ<
同理可证此时000min max 90
,αασσσσ+==.
(3) 若x y σσ=
在这种特殊情况下,由公式
02tan 2xy
x y
τα
σσ=-
=-∞-,
则0045α=-.
五 实例
例1. 试求图5-1所示单元体主应力的大小及方向解: 1
2
202
x y
Mpa σσσσ+=
=± 0x y σσ==∵
02tan 2x
x
y
τασσ∴=-
=-∞-
则0045α=-
例2. 试求图5-2解：
1
2
2
x y
σσσσ+=
± 25352+=
41.2
18.8
MPa =
()02102tan 22
2535
x
x y τασσ-=-=-=---
003143α∴=-，
x y σσ<∵
003143α∴=-，
是1σ与y 轴的夹角.
例三. 试求图5-3所示单元体主应力的大小及方向.
解:
1
2
2
x y
σσσσ+=
±
4002+=
48.3
8.3
MPa =-
()02202tan 21400
x
x y τασσ-=-
=-=--
02230α∴=，
x y
σσ>∵
02230∴，
是1σ与x 轴的夹角.
致谢
笔者在写作该篇论文的过程中,得到了宁夏师范学院物理与信息技术学院伏振兴和惠治鑫两位老师的大力帮助与热情指导,笔者在此表示由衷的感谢!
另外,大学四年以来,笔者在知识积累的过程中,得到了郝福生、张国前、郑云、马文宾、蒙占海、李永超、张玉宁、张爱、伏振兴、许连强、桑苏玲、赵飞燕、刘德全、李兆义、张喜荣、温存华、马艳等诸位恩师的教诲与厚爱，笔者在此表示非常的感谢，并祝他们工作顺利，身体健康！当然在这期间也得到过许多同学的帮助，笔者在此一并表示感谢！
就该篇论文的内容而言，笔者还得到了参考文献中各位作者前辈的启发，笔者在此表示万分感谢！
参考文献
[1] 刘鸿文.材料力学[M].北京:高等教育出版社,1994
[2] 孙训方.材料力学[M].北京:高等教育出版社,2004
[3] 单辉祖.材料力学[M].北京:高等教育出版社,2009
[4] 苟文选.材料力学教育学[M].北京:高等教育出版社,2007
[5] 丁虹,王达等.平面应力状态下主应力方向的判断[J].山东轻工业学院学
报,1998.6,12(2)
[6] 刘刚,裴克良.确定主应力方向的一种解析方法[J].佳木斯大学学
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[7] 陶建新.确定平面应力状态下主应力方向的简便方法[J].甘肃科技纵
横,2009.7,38(5)
[8] 吴国政,乔万嵘,李才.用解析法确定结构中主应力方向的一种简便方法[J].黑龙
江交通高等专科学校学报,2000.1,14(1)
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学报,2005.3,7(2)
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学院学报,2007.5,2(1)
[12] 朱贤华,平面应力状态最大应力方向的直观判定[J].涪陵师范学院学报，
2004.9,20(5)
材料力学公式大全(机械)
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面 轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5. 6.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1； 拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 7. 8.纵向线应变和横向线应变 9. 10.泊松比 11.胡克定律 12.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式
13.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 14.轴向拉压杆的强度计算公式 15.许用应力，脆性材料，塑性材料 16.延伸率 17.截面收缩率 18.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 19.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 20.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 21.（b）空心圆 22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点 到圆心距离r） 23.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 24.扭转截面系数，（a）实心圆
25.（b）空心圆 26.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转 切应力计算公式 27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 28.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如 阶梯轴）时或 29.等直圆轴强度条件 30.塑性材料；脆性材料 31.扭转圆轴的刚度条件或 32.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式 , 33.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 ,
材料力学公式
1、材料力学的任务： 强度、刚度和稳定性； 应力单位面积上的内力。 平均应力（1.1） 全应力（1.2） 正应力垂直于截面的应力分量，用符号表示。 切应力相切于截面的应力分量，用符号表示。 应力的量纲： 线应变单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。 外力偶矩 传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P 来计算。 当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式 为 (3-1)
式中为该横截面的轴力，A为横截面面积。 正负号规定拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件： （1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面； （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角时 拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力(3-2) 正应力（3-3） 切应力（3-4） 式中为横截面上的应力。 正负号规定： 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 拉应力为正，压应力为负。 对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。 两点结论： （1）当时，即横截面上，达到最大值，即。当=时，即纵截面上，==0。 （2）当时，即与杆轴成的斜截面上，达到最大值，即 1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。 图3-2
弹塑性力学定理和公式
应力应变关系 弹性模量 ||广义虎克定律 1.弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c 体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。 A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为 (3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为 或 2.边界条件 弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为 式中，l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。 b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为
轴向拉伸与压缩的应力及强度计算条件.
《机械设计基础》课程单元教学设计 单元标题：轴向拉伸与压缩的应力 及强度计算条件 单元教学学时 2 在整体设计中的位置第10次 授课班级上课地点 教学目标 能力目标知识目标素质目标 1.能求轴向拉伸与压缩横截面 上应力； 2.能利用胡克定律求变形。 3.能利用强度计算条件解决三 类问题 1.理解应力的概念； 2.掌握拉压杆正应力计 算； 3.理解应变的概念； 4.掌握胡克定律的第一 第二表达式； 5.掌握强度计算条件 1.培养学生热爱本专业、爱 学、会学的思想意识。 2.培养学生应用理论知识分 析和解决实际问题的能力； 3.培养学生的团队合作意 识； 4.培养学生仔细、认真、严 谨的工作态度。 能力训 练任务及案例任务1：计算拉压杆的应力；任务2：计算拉压杆的变形; 教学材料1.教材; 2.使用多媒体辅助教学。
单元教学进度 步骤教学内容教学方法学生活动工具 手段 时间 分配 1复习、导 入复习：拉压杆的受力变形特点、截面法求轴 力直接法求轴力 导入：在求轴力时，我们已经知道轴力的大 小不能代表一个杆件的受力强弱，那谁能代 表呢？ 提问 讲授 讨论 回答 黑板 课件 视频 5 分钟 2提出任务如图(a)所示的三角形托架，P=75kN，AB杆 为圆形截面钢杆，其[σ1]=160MPa；BC杆为 正方形截面木杆，其[σ2]=10MPa，试确定 AB杆的直径d和BC杆的边长a。 情景教 问题探究 问题引领 听讲 思考 黑 板、 ppt 5 分钟 一.应力 应力：内力在截面上某点处的分布集 度，称为该点的应力。 在拉（压）杆横截面上，与轴力N相对 应的是正应力，一般用σ表示。 N A σ= 案例应用1： 一变截面圆钢杆ABCD如图5-6（a）所 示，已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN， d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求： （1）各截面上的轴力，并作轴力图。 （2）杆的最大正应力。 15分 钟
材料力学重点及其公式
1、 应力 全应力正应力切应力线应变 外力偶矩 当功率P 单位为千瓦（kW ），转速为n （r/min ）时，外力偶矩为 m).(N 9549e n P M = 当功率P 单位为马力（PS ），转速为n （r/min ）时，外力偶矩为 m).(N 7024e n P M = 拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式为 N F A σ= (3-1) 式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件： （1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面； （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角0 20α≤时 拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 cos p ασα= (3-2) 正应力 2cos ασσα=（3-3） 切应力1 sin 22 ατα= （3-4） 式中σ为横截面上的应力。 正负号规定： α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 ασ 拉应力为正，压应力为负。
ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。 两点结论： （1）当0 0α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()max ασσ=。当α=0 90时，即纵截面上，ασ=0 90=0。 （2）当0 45α=时，即与杆轴成045的斜截面上，ατ达到最大值，即max ()2αα τ= 1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。 图3-2 轴向变形 1l l l ?=- 轴向线应变 l l ε?= 横向变形 1b b b ?=- 横向线应变 b b ε?'= 正负号规定 伸长为正，缩短为负。 （2）胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 E σε= （3-5） 或用轴力及杆件的变形量表示为 N F l l EA ?= (3-6) 式中EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式(3-6)的适用条件： (a)材料在线弹性范围内工作，即p σσ?； (b)在计算l ?时，l 长度内其N 、E 、A 均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即 1 n i i i i i N l l E A =?=∑ (3-7) (3)泊松比 当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即 ενε ' = (3-8) 表1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段
材料力学精彩试题及问题详解58512
一、判断题（正确打“√”，错误打“X ”，本题满分为10分） 1、拉杆伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力的存在。( ) 2、圆截面杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在横截面离圆心最远处。( ) 3、两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。( ) 4、交变应力是指构件的应力，它随时间作周期性变化，而作用在构件上的载荷可能是动载荷，也可能是静载荷。( ) 5、弹性体的应变能与加载次序无关，只与载荷的最终值有关。（ ） 6、单元体上最大切应力作用面上必无正应力。( ) 7、平行移轴公式表示图形对任意两个相互平行轴的惯性矩和惯性积之间的关系。（ ） 8、动载荷作用下，构件的动应力与材料的弹性模量有关。( ) 9、构件由突加载荷所引起的应力，是由相应的静载荷所引起应力的两倍。( ) 10、包围一个点一定有一个单元体，该单元体各个面上只有正应力而无切应力。( ) 二、选择题（每个2分，本题满分16分） 1．应用拉压正应力公式A F N =σ的条件是（ ）。 A 、应力小于比例极限； B 、外力的合力沿杆轴线； C 、应力小于弹性极限； D 、应力小于屈服极限。 2．梁拟用图示两种方式搁置，则两种情况下的最大弯曲正应力之比 ) (m ax )(m ax b a σσ 为 （ ）。 A 、1/4； B 、1/16； C 、1/64； D 3、关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系有如下论述：正确的是 。 A 、有应力一定有应变，有应变不一定有应力； B 、有应力不一定有应变，有应变不一定有应力； C 、有应力不一定有应变，有应变一定有应力； D 、有应力一定有应变，有应变一定有应力。 4、火车运动时，其轮轴横截面边缘上危险点的应力有四种说法，正确的是 。 A ：脉动循环应力： B ：非对称的循环应力； C ：不变的弯曲应力；D ：对称循环应力 5、如图所示的铸铁制悬臂梁受集中力F 作用，其合理的截面形状应为图（ ） (a) (b)
拉压杆的强度计算
拉压杆的强大计算 1、极限应力、许用应力和安全系数 通过对材料力学性能的分析可知，任何工程材料能承受的应力都是有限的，一般把使材料丧失正常工作能力时的应力称为极限应力。对于脆性材料，当正应力达到抗拉强度b σ或强度bc σ时，会引起断裂破坏；对于塑性材料，当正应力达到材料的屈服点s σ（或屈服强度2.0σ）时，将产生显著的塑性变形。构件工作时发生断裂是不允许的；发生屈服或出现显著的塑性变形也是不允许的。所以，从强度方面考虑，断裂时构件是失效的一种形式；同样，发生屈服或出现显著的塑性变形也是构件失效的一种形式。这些失效现象都是强度不足造成的，因此，塑性材料的屈服点s σ（或屈服强度2.0σ）与脆性材料的抗拉强度b σ（或抗拉强度bc σ）都是材料的极限应力。 由于工程构件的受载难以精确估计，以及构件材质的均匀程度、计算方法的近似性等诸多因素，为确保构件安全，应使其有适当的强度储备，特别对于因失效将带来严重后果的构件，更应具备较大的强度储备。因此，工程中一般把极限应力除以大于1的系数n 作为工作应力的最大允许值，称为许用应力，用[]σ表示，即 塑性材料 []s s n σσ= 脆性材料 []b b n σσ= 式中，b s n n 、是与屈服点或抗拉强度对应的安全系数。 安全系数的选取是一个比较复杂的工程问题，如果安全系数取得过小，许用应力就会偏大，设计出的构件截面尺寸将偏小，虽能节省材料，但安全可靠性会降低；如果安全系数取得过大，许用应力就会偏小，设计出的构件截面积尺寸将偏大，虽构件能偏于安全，但需要多用材料而造成浪费。因此，安全系数的选取是否恰当当关系到构件的安全性和经济性。工程上一般在静载作用下，塑性材料的安全系数取5.2~5.1=s n 之间；脆性材料的安全系数取5.3~0.2=b n 之间。工程中对不同的构件选取安全系数，可查阅有关的设计手册。 2、；拉压杆的强度条件 为了保证拉压杆安全可靠地工作看，必须使杆内的最大工作应力不超过材料的拉压许用应力，即 []σσ≤=A F N max 式中，F N 和A 分别为危险截面的轴力和横截面面积。该式称为拉压杆的强度条件。 根据强度条件，可以解决下列三类强度计算问题： ⑴校核强度 若已知杆件的尺寸、所受的载荷及材料的许用应力，可用式（2-9）验算杆件
应力与强度计算
第三章 应力与强度计算 一.内容提要 本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。 1．拉伸与压缩变形 1.1 拉（压）杆的应力 1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式为 N F A σ= (3-1) 式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件： （1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面； （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角020α≤时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。 1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1） 图3-1 拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 cos p ασα= (3-2) 正应力 2 cos ασσα=（3-3） 切应力1sin 22 ατα= （3-4） 式中σ为横截面上的应力。 正负号规定： α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 ασ 拉应力为正，压应力为负。
ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。 两点结论： （1）当00α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()max α σσ =。当α=090时，即 纵截面上，ασ=090=0。 （2）当045α=时，即与杆轴成045的斜截面上，ατ达到最大值，即m ax ()2αα τ=。 1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。 图3-2 轴向变形 1 l l l ?=- 轴向线应变 l l ε?= 横向变形 1 b b b ?=- 横向线应变 b b ε?'= 正负号规定 伸长为正，缩短为负。 （2）胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 E σε= （3-5） 或用轴力及杆件的变形量表示为 N F l l E A ?= (3-6) 式中EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式(3-6)的适用条件： (a)材料在线弹性范围内工作，即p σσ?； (b)在计算l ?时，l 长度内其N 、E 、A 均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即 1 n i i i i i N l l E A =?= ∑ (3-7) (3)泊松比 当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即