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2020年江苏省高考数学试卷(解析版)

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅰ

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。本卷满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.

5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式:

柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题..卡相应位置上......

. 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=,则A B =_____.

【答案】{}0,2 【解析】 【分析】

根据集合交集即可计算.

【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =

∴{}0,2A

B =

故答案为:{}0,2.

【点睛】本题考查了交集及其运算,是基础题型. 2.已知i 是虚数单位,则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____. 【答案】3 【解析】 【分析】

根据复数的运算法则,化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数()()12z i i =+- ∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3. 故答案为:3.

【点睛】本题考查复数的基本概念,是基础题.

3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4,则a 的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】

根据平均数的公式进行求解即可.

【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4 ∴4235620a a ++-++=,即2a =. 故答案为:2.

【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用,比较基础.

4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是_____. 【答案】

19

【解析】 【分析】

分别求出基本事件总数,点数和为5的种数,再根据概率公式解答即可. 【详解】根据题意可得基本事件数总为6636?=个.

点数和为5的基本事件有()1,4,()4,1,()2,3,()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369

P ==. 故答案为:

19

. 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 5.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为2-,则输入x 的值是_____.

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【答案】3- 【解析】 【分析】

根据指数函数的性质,判断出1y x =+,由此求得x 的值. 【详解】由于20x >,所以12y x =+=-,解得3x =-. 故答案为:3-

【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值,考查指数函数的性质,属于基础题.

6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22x a ﹣25y =1(a >0)的一条渐近线方程为5

,则该双曲线的

离心率是____. 【答案】3

2

【解析】 【分析】

根据渐近线方程求得a ,由此求得c ,进而求得双曲线的离心率.

【详解】双曲线22215x y a -=,故5b =.由于双曲线的一条渐近线方程为5

y x =,即

22

b a a =?=,所以3

c ==,所以双曲线的离心率为32c a =.

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故答案为:

3

2

【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的求法,属于基础题. 7.已知y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,()23

f x x = ,则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】

先求(8)f ,再根据奇函数求(8)f -

【详解】2

3

(8)84f ==,因为()f x 为奇函数,所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为:4-

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值,考查基本分析求解能力,属基础题. 8.已知2sin (

)4

π

α+ =

2

3

,则sin 2α的值是____. 【答案】13

【解析】 【分析】

直接按照两角和正弦公式展开,再平方即得结果.

【详解】

221sin ()(cos )(1sin 2)4222

παααα+=+=+

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121

(1sin 2)sin 2233

αα∴+=∴= 故答案为:1

3

【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式,考查基本分析求解能力,属基础题.

9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ,高为2 cm ,内孔半轻为0.5 cm ,则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.

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【答案】1232

π

【解析】 【分析】

先求正六棱柱体积,再求圆柱体积,相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为2

3622=1234

?

?? 圆柱体积为2

1()22

2

π

π?=

所求几何体体积为1232

π

故答案为: 1232

π

【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积,考查基本分析求解能力,属基础题.

10.将函数y =π

sin(2)43x ﹢的图象向右平移π6

个单位长度,则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524

x π=- 【解析】 【分析】

先根据图象变换得解析式,再求对称轴方程,最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412

y x x πππ

=-

+=- 72()()122242

k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈

当1k =-时524x π

=-

故答案为:524

x π

=-

【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴,考查基本分析求解能力,属基础题. 11.设{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列.已知数列{a n +b n }的前n 项和

221()n n S n n n +=-+-∈N ,则d +q 的值是_______.

【答案】4 【解析】 【分析】

结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点,分别求得{}{},n n a b 的公差和公比,由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -?

?=+

=+- ??

?, 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b b

Q q q

q q

-=

=-

+---, 依题意n n n S P Q =+,即22111212211n

n b b d d n n n a n q q q ??

-+-=

+--+ ?--?

?, 通过对比系数可知111

21

2211d

d a q b q

?=??

?-=-???=??=-?-??112021d a q b =??=?

?=??=?,故4d q +=. 故答案为:4

【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式,属于中档题. 12.已知22451(,)x y y x y R +=∈,则22x y +的最小值是_______.

【答案】4

5

【解析】 【分析】

根据题设条件可得42

215y x y -=,可得42222

22114+555y y x y y y y

-+=+=,利用基本不等式即可求解.

【详解】∵224

51x y y +=

∴0y ≠且4

2

2

15y x y -=

422 222

222

1

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14144

+2

555

555

y y y

x y y

y y y

-

+=+=≥?=,当且仅当

2

2

14

5

5

y

y

=,即22

31

,

102

x y

==时取等号.

∴22

x y+的最小值为4

5

.

故答案为:

4

5

.

【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).

13.在△ABC中,43=90

AB AC BAC

==?

,,∠,D在边BC上,延长AD到P ,使得AP=9,若

3

()

2

PA mPB m PC

=+-(m为常数),则CD的长度是________.

【答案】

18

5

【解析】

【分析】

根据题设条件可设()0

PA PD

λλ

=>,结合

3

2

PA mPB m PC

??

=+-

?

??

与,,

B D C三点共线,可求得λ,再根据勾股定理求出BC,然后根据余弦定理即可求解.

【详解】∵,,

A D P三点共线,

∴可设()0

PA PD

λλ

=>,

3

2

PA mPB m PC

??

=+-

?

??

3

2

PD mPB m PC

λ??

=+-

?

??

,即

3

2

m

m

PD PB PC

λλ

??

-

?

??

=+

若0

m≠且

3

2

m≠,则,,

B D C三点共线,

3

2

1

m

m

λλ

??

-

?

??

+=

,即

3

2

λ=,

∵9

AP=,∴3

AD=,

∵4

AB=,3

AC=,90

BAC

∠=?,

∴5BC =,

设CD x =,CDA θ∠=,则5BD x =-,BDA πθ∠=-.

∴根据余弦定理可得222cos 26

AD CD AC x

AD CD θ+-==?,()()()2

22257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==?-,

∵()cos cos 0θπθ+-=,

∴()()2

57

0665x x x --+=-,解得185

x =,

∴CD 的长度为

18

5

. 当0m =时, 32

PA PC =,,C D 重合,此时CD 的长度为0,

当32

m =

时,3

2PA PB =,,B D 重合,此时12PA =,不合题意,舍去.

故答案为:0或18

5

.

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>.

14.在平面直角坐标系xOy 中,已知0)P ,A ,B 是圆C :2

21()362x y +-=上的两个动点,满足

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PA PB =,则△P AB 面积的最大值是__________.

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【答案】【解析】 【分析】

根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积,最后利用导数求最大值. 【详解】

PA PB PC AB =∴⊥

设圆心C 到直线AB 距离为d ,则||1AB PC ==

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所以1

1)2

PAB

S

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d ≤?+= 令222

(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=(负值舍去)

当04d ≤<时,0y '>;当46d ≤<时,0y '≤,因此当4d =时,y 取最大值,即PAB

S 取最大值为

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故答案为:【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.

二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,B 1C ⊥平面ABC ,E ,F 分别是AC ,B 1C 的中点.

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(1)求证:EF ∥平面AB 1C 1; (2)求证:平面AB 1C ⊥平面ABB 1.

【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析. 【解析】 【分析】

(1)通过证明1//EF AB ,来证得//EF 平面11AB C .

(2)通过证明AB ⊥平面1AB C ,来证得平面1AB C ⊥平面1ABB . 【详解】(1)由于,E F 分别是1,AC B C 的中点,所以1//EF AB . 由于EF ?/平面11AB C ,1AB ?平面11AB C ,所以//EF 平面11AB C . (2)由于1B C ⊥平面ABC ,AB

平面ABC ,所以1B C AB ⊥.

由于1,AB AC AC B C C ⊥?=,所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB

平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB .

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【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,属于中档题. 16.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3,2,45a c B ===?.

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(1)求sin C 的值;

(2)在边BC 上取一点D ,使得4

cos 5

ADC ∠=-,求tan DAC ∠的值.

【答案】(1)5

sin C =(2)2tan 11DAC ∠=.

【解析】 【分析】

(1)利用余弦定理求得b ,利用正弦定理求得sin C .

(2)根据cos ADC ∠的值,求得sin ADC ∠的值,由(1)求得cos C 的值,从而求得

sin ,cos DAC DAC ∠∠的值,进而求得tan DAC ∠的值.

【详解】(1)由余弦定理得2222

2cos 9223252

b a

c ac B =+-=+-?=,所以5b =由正弦定理得

sin 5

sin sin sin 5

c b c B C C B b =?==

. (2)由于4

cos 5ADC ∠=-,,2ADC ππ??∠∈ ???

,所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.

由于,2ADC ππ??

∠∈

???,所以0,2C π?

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?∈ ???,所以225cos 1sin 5

C C =-=.

所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠

sin cos cos sin ADC C ADC C =∠?+∠?3254525

5555

25??=?

+-?= ???. 由于0,2DAC π??∠∈ ???,所以2115cos 1sin 25

DAC DAC ∠=-∠=

. 所以sin 2

tan cos 11

DAC DAC DAC ∠∠=

=∠.

【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角恒等变换,属于中档题.

17.某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行,OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式2

1140

h a =;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3

216800

h b b =-

+.已知点B 到OO '的距离为40米.

(1)求桥AB 的长度;

(2)计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ,且CE 为80米,其中C ,E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3

2

k (万元)(k >0).问O E '为多少米时,桥墩CD 与EF 的总造价最低?

【答案】(1)120米(2)20O E '=米 【解析】

【分析】

(1)根据A,B 高度一致列方程求得结果;

(2)根据题意列总造价的函数关系式,利用导数求最值,即得结果. 【详解】(1)由题意得

2311

||40640||8040800

O A O A ''=-?+?∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米

(2)设总造价为()f x 万元,21

||8016040

O O '=

?=,设||O E x '=, 32131

()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<

3221336

()(160),()()0208008080080

f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)

当020x <<时,()0f x '<;当2040x <<时,()0f x '>,因此当20x 时,()f x 取最小值,

答:当20O E '=米时,桥墩CD 与EF 的总造价最低.

【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.

18.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22

:143

x y E +=的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆E 上

且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B .

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(1)求△AF 1F 2的周长;

(2)在x 轴上任取一点P ,直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ,求OP QP ?的最小值; (3)设点M 在椭圆E 上,记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1,S 2,若S 2=3S 1,求点M 的坐标. 【答案】(1)6;(2)-4;(3)()2,0M 或212,77??-- ???

. 【解析】 【分析】

(1)根据椭圆定义可得124AF AF +=,从而可求出12AF F △的周长;

(2)设()0,0P x ,根据点A 在椭圆E 上,且在第一象限,212AF F F ⊥,求出31,2A ?? ???

,根据准线方程得Q 点坐标,再根据向量坐标公式,结合二次函数性质即可出最小值;

(3)设出设()11,M x y ,点M 到直线AB 的距离为d ,由点O 到直线AB 的距离与213S S =,可推出

9

5

d =

,根据点到直线的距离公式,以及()11,M x y 满足椭圆方程,解方程组即可求得坐标. 【详解】(1)∵椭圆E 的方程为22

143

x y +=

∴()11,0F -,()21,0F

由椭圆定义可得:124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=

(2)设()0,0P x ,根据题意可得01x ≠.

∵点A 在椭圆E 上,且在第一象限,212AF F F ⊥ ∴31,2A ??

???

∵准线方程为4x = ∴()

4,Q Q y

∴()()()()2

00000,04,4244Q OP QP x x y x x x ?=?--=-=--≥-,当且仅当02x =时取等号.

∴OP QP ?的最小值为4-.

(3)设()11,M x y ,点M 到直线AB 的距离为d .

∵31,2A ?? ???

,()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()3

14y x =

+ ∵点O 到直线AB 的距离为3

5

,213S S =

∴21

131

33252

S S AB AB d ==???=?

∴95

d =

∴113439x y -+=①

∵2211143

x y +=②

∴联立①②解得1120x y =??=?,1127

127x y ?

=-

???

?=-??

. ∴()2,0M 或2

12,77??--

???

. 【点睛】本题考查了椭圆的定义,直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用,熟悉运用公式以及根据213S S =推出9

5

d =

是解答本题的关键. 19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥.

(1)若()()22

2 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+,,,

,求h (x )的表达式; (2)若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞,,,

,求k 的取值范围; (3)若(

)

422242

() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<,,,[

] , D m n =???,求

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证:n m -≤

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【答案】(1)()2h x x =;(2)[]0,3k ∈;(3)证明详见解析 【解析】 【分析】

(1)求得()f x 与()g x 的公共点,并求得过该点的公切线方程,由此求得()h x 的表达式.

(2)先由()()0h x g x -≥,求得k 的一个取值范围,再由()()0f x h x -≥,求得k 的另一个取值范围,从而求得k 的取值范围.

(3)先由()()f x h x ≥,求得t 的取值范围,由方程()()0g x h x -=的两个根,求得n m -的表达式,利用导数证得不等式成立.

【详解】(1)由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.

令0x =,则00b ≤≤,所以0b =.

因此22kx x x ≤+即()2

20x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立,

所以()2

20k ?=-≤,因此2k =. 故()2h x x =.

(2)令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->,()01F =. 又()1

x F x k x

-'=?

. 若k 0<,则()F x 在0,1上递增,在1,上递减,则()()10F x F ≤=,即()()0h x g x -≤,不

符合题意.

当0k =时,()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==,符合题意. 当0k >时, ()F x 在0,1上递减,在1,上递增,则()()10F x F ≥=,

即()()0h x g x -≥,符合题意. 综上所述,0k ≥.

由()()()2

1f x h x x x kx k -=-+--()()2

110x k x k =-+++≥

当1

02

k x +=

<,即1k <-时,()211y x k x k =-+++在0,为增函数,

因为()()0010f h k -=+<,

故存在()00,x ∈+∞,使()()0f x h x -<,不符合题意. 当1

02k x +=

=,即1k =-时,()()20f x h x x -=≥,符合题意. 当102

k x +=>,即1k >-时,则需()()2

1410k k ?=+-+≤,解得13k -<≤. 综上所述,k 的取值范围是[]0,3k ∈.

(3)因为()

423422

243248x x t t x t t x -≥--+≥-

对任意[,][x m n ∈?恒成立,

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()

423422432x x t t x t t -≥--+

对任意[,][x m n ∈?恒成立,

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等价于()

2

2

2()

2320x t x

tx t -++-≥

对任意[,][x m n ∈?恒成立.

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故222320x tx t ++-≥

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对任意[,][x m n ∈?恒成立 令22()232M x x tx t =++-,

当201t <<,2880,11t t ?=-+>-<-<,

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此时1n m t -<<, 当212t ≤≤,2880t ?=-+≤,

但()

2342

48432x t t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈?恒成立.

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等价于()()()

2322

443420x t t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈?恒成立.

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()()(

)

2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ,

则423

1212328

,4

t t x x t t x x --+=-?=,

所以12=n m x x --=

=.

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令[]2

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,1,2t λλ=∈,则n m -=构造函数()[]()

325381,2P λλλλλ=-++∈,()()()2

3103331P λλλλλ'=-+=--,

所以[]1,2λ∈时,()0P λ'<,()P λ递减,()()max 17P P λ==.

所以()max n m -=n m -≤.

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【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.

20.已知数列{}*

()∈n a n N 的首项a 1=1,前n 项和为S n .设λ与k 是常数,若对一切正整数n ,均有

11111k k k

n n n S S a λ++-=成立,则称此数列为“λ–k ”数列.

(1)若等差数列{}n a 是“λ–1”数列,求λ的值;

(2)若数列{}n a 是2”数列,且a n >0,求数列{}n a 的通项公式;

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(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列,且a n ≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由, 【答案】(1)1

(2)2

1,1

34,2n n n a n -=?=??≥?

(3)01λ<<

【解析】 【分析】

(1)根据定义得+11n n n S S a λ+-=,再根据和项与通项关系化简得11n n a a λ++=,最后根据数列不为零数列得结果;

(2)根据定义得111

22

2+1+1)3

n n n n S S S S -=-,根据平方差公式化简得+1=4n n S S ,求得n S ,即得n a ;

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(3)根据定义得1113

3

3

+1

1n n n S

S a λ+-=,利用立方差公式化简得两个方程,再根据方程解的个数确定参

数满足的条件,解得结果

【详解】(1)+111111101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/

(2)

1122

1100n n n n n a S S S S ++>∴>∴->

1

1

1

2

2

2+1+1)n n

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n n S S S S -=- 111111

2

2

22222+1

+1+11

()()()3n n n n n n S S S S S S ∴-=-+

111111

12

2

222

2+1+1+1+11()=2=443

n n n

n n n n n n n S S S S S S S S S -∴-=+∴∴∴= 111S a ==,14n n S -= 1224434,2n n n n a n ---∴=-=?≥

21,134,2

n n n a n -=?∴=??≥?

(3)假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.

111113

333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 113

3

+1n n

S S ∴=或11221123

3

33333

+1

+1+1()()n n n n n n S

S S S S S λ-=++

+1n n S S ∴=或22113

3

3

3

3

3

3

+1+1(1)(1)(2)0

n n n n S S S S λλλ-+-++=

∵对于给定的λ,存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列,且0n a ≥

1,1

0,2

n n a n =?∴=?≥?或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n

S S S S λλλλ-+-++=≠有两个不等的正根.

()22113

3

3

3

3

33

+1+1

(1)(1)(2)01n n n n S S S

S λλλλ-+-++=≠可转化为

()213

3

3

3

3+1

+1

213

3

(1)(2)(1)01n n n

n

S S S S λλλλ-++-+

=≠,不妨设()13

10n n S x x S +??=> ???

,则

()3233(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根,设()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.

① 当1λ<时,32323(2)4(1)004λλλ?=+-->?<<,即01λ<<,此时

()3

010f λ=-<,33(2)

02(1)

x λλ+=->-对,满足题意.

② 当1λ>时,32323(2)4(1)004λλλ?=+-->?<<

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,即1λ<<()3

010f λ=->,33(2)

02(1)

x λλ+=-<-对,此情况有两个不等负根,不满足题意舍去.

综上,01λ<<

【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步,考查综合分析求解能力,属难题.

数学Ⅱ(附加题)

【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区.................域内作答.....若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A .[选修4-2:矩阵与变换]

21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a

b ??

=??-??M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -. (1)求实数a ,b 的值; (2)求矩阵M 的逆矩阵1M -.

【答案】(1)22

a b =??=?;(2)1

2

1 551

2 55M -??-??=?

???????

.

(1)根据变换写出具体的矩阵关系式,然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值; (2)设出逆矩阵,由定义得到方程,即可求解.

【详解】(1)∵平面上点()2,1A -在矩阵 11 a M b ??

=??-??

对应的变换作用下得到点()3,4B -

∴ 1 2 31 14a b ??????

=?

???

??---??????

∴21324a b -=??--=-?,解得22a b =??=?

(2)设1

m n M

c d -??=????,则1

2 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++????=????-+-+????

∴2120

2021

m c n d m c n d +=??+=??-+=??-+=?,解得2515

1525m n c d ?

=???=-???=???=

?

∴1

2

1 551

2 55M -??-??=?

???????

【点睛】本题考查矩阵变换的应用,考查逆矩阵的求法,解题时要认真审题,属于基础题.

B .[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.在极坐标系中,已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上,点2π

(,)6

B ρ在圆:4sin

C ρθ=上(其中

0ρ≥,02θπ≤<).

(1)求1ρ,2ρ的值

(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标. 【答案】(1)1242ρρ==,(2

))4

π

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