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美丽的完全平方数

跟名师学一道题:

本期特邀“华杯赛金牌教练”、北京集训队高年级组教练——孙佳俊老师与大家分享:

从第十七届华杯高年级组初赛第3题谈起

——美丽的完全平方数

在2012年第17届华杯赛高年级组初赛试题中有这样的一道题:俗语“不管三七二十一”中有3、7、2、1这四个数字,用这四个数字组成一个各位数字互不相同的四位完全平方数.那么,这个完全平方数是__________.

首先,我们先来看一下什么样的数是完全平方数。简单来说,所谓完全平方数,就是一个自然数乘以它本身,所得出来的数就叫完全平方数。比如:因为4=2×2;100=10×10,所以4、100就都叫完全平方数。平方用上角标2来表示,例如:2

24=即2×2=4。

回到一开始所说的那道题。

【分析】完全平方数的个位数字只有1、4、5、6、9,因此由3、7、2、1组成的完全平方数个位只能为1;完全平方数除以4的余数只能为0或1,而个位是1,因此末两位除以4余1,所以十位只能为2;于是只有3721和7321两种可能,经尝试可知3721=61×61,是完全平方数,7321是质数. 所以这个完全平方数是3721.

但是,细心的同学可能会发现,这个完全平方数是非常神奇的,满足3×7=21!那么,还有没有这样的完全平方数呢?有没有更加神奇的完全平方数?这些神奇的完全平方数在杯赛和小升初考试中出没出现过?今天,让我带大家走入精彩的完全平方数世界。

第一组神奇的完全平方数:2331089=,2999801=

细心的同学可能已经发现了,这两个完全平方数顺序恰好相反,互为逆序数,且9801恰好是1089的9倍。更加神奇的是,满足这样条件的四位完全平方数对是唯一的,有兴趣的同学可以试着证明一下。

接下来让我们来看2008年解题能力展示五年级初赛的一道试题:有4个不同的数字可组成18个不同的4位数.将这18个不同的4位数由小到大排成一排,其中第一个是一个完全平方数,倒数第二个也是完全平方数,则这18个数中最大的数是 .

【分析】4个不同的数字可组成18个不同的自然数,所以其中必有一个数字0.设另外3个数字分别为a ,b ,c ,并且满足a b c <<,则18个不同的4位数中最小的是0a bc ,依题意可知四位数cboa 也是完全平方数,这两个数互为逆序数关系,所以这4个数字分别是1,0,8,9,组成的18个四位数中最大的是9810。

这道题在当年的解题能力展示试卷中出现在第12题,即倒数第四题的位置,还是非常有难度的,但如果提前知道这一组数的话,相信20秒之内就可以求出答案了。

第二组神奇的完全平方数: 2381444=

1444这个完全平方数是第一个末三位相同的完全平方数。我们可以证明,如果一个完全平方数末三位相同的话,那么他的末三位只能为000或444。已知,完全平方数的末位只能为0、1、4、5、6、9,同时,完全平方数除以4的余数只能为0或1,而11、55、66、99除以4的余数均为2或3,所以不存在这样的完全平方数。

第20届五羊杯曾经出过这样的一道题:一个六位数,它是一个完全平方数,且末三位数字都是4,这样的六位数有 个。

【分析】考察平方差公式及因数分析法。由于末三位都是4且是完全平方数的数最小是

2381444=,

所以这样的六位数与1444的差的末三位数都是0,设2k 是满足条件的六位数,那么22381000k m -=(其中m 为自然数),即(38)(38)8125k k m +-=?,由于38k +与38k -不能同时被5整除,所以其中一个能被125整除,由于38k +与38k -除以4的余数相同,如果它们都不能被4整除,那么最多只是2的倍数,这时它们的积不是8的倍数,因此38k +与38k -都是4的倍数,这样其中之一是500的倍数,也就是满足2

(50038)n ±的数满足题意,其中六位数有222462213444,538289444,962925444===,共3个。

第三组神奇的完全平方数:2613721= 2684624=

这个咱们在最开始的题目中已经说过了,3×7=21,4×6=24,我们可以称他们为“顺口溜完全平方数”;

第四组神奇的完全平方数:2633969= 2684624=

这一对数的规律就要同学们仔细好好找找了;在2633969=中,组成这个式子的6个

数字均为3的倍数;在2

684624=中,组成这个式子的6个数字均为非0偶数;

这组数在老教协坑班的期末测试题中曾经出过:一个四位数的每一位数字都是非零的偶数,它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方。请问:这个四位数是多少?

【答案】4624

第五组神奇的完全平方数:2786084=

6084这个数的4个数字是4个互不相同的偶数;而且最神奇的是,满足这个条件的4位完全平方数是唯一的!

2012年第10届走美杯六年级决赛有这样的一道题:从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数,那么这个完全平方数是 .

【答案】6084

第五组神奇的完全平方数:2887744= 2288338833+=

这两个式子的规律想必就不须我多说了,特别是后一个式子,不得不让我们由衷的感叹,完全平方数的世界就是充满着神奇!

我们的最后一题来自1987年第4届迎春杯决赛:下面的算式中,相同的汉字代表同一个数字,不同的汉字代表不同的数字。迎迎?春春=杯迎杯杯,数数?学学=数赛赛数,春春?春春=迎迎赛赛。则迎 + 春 + 杯 + 数 + 学 + 赛 = 。

【答案】39

本题如果按常规方法来做的话,还是非常有难度的。但是,如果了解到2887744=,

突破口就一目了然了,看“春春?春春=迎迎赛赛”!是不是一下就知道其中的3个数了!

另外,本题还被实验中学改编,用做了小升初考试测试题,足以见得这组数的重要性。

综上,完全平方数在杯赛和小升初的考试中的重要性不言而喻。对于低年级小朋友来讲,可以通过神奇的“正方形数”来体会到数学之美,培养对数学的兴趣;对于高年级的同学们来说,一定要牢记这些神奇的完全平方数,因为它们是考试中的宠儿!

如果你能够发现更多神奇的完全平方数,欢迎与我们联系,可以发送邮件至:peiyoubao@http://www.wendangku.net/doc/efe6f071cc7931b764ce1505.html。