【2019最新】精选高中数学第三章柯西不等式与排序不等式测评新人教A版选修4_5

【2019最新】精选高中数学第三章柯西不等式与排序不等式测

评新人教A版选修4_5

测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.下列不等式中一定成立的是( )

A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)

B.|ax+by|≥

C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2

D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2

2.设xy>0,则的最小值为( )

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A.-9

B.9

C.10

D.0

3.设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是

b1,b2,…,bn的任一排列,则和S=a1bn+a2bn-

1+…+anb1,T=a1c1+a2c2+…+ancn,K=a1b1+a2b2+…+anbn的关系是( ) A.S≤T≤K B.K≤T≤S

C.T≤K≤S

D.K≤S≤T

4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是( )

A. B. C. D.2

3 / 1

4 3 / 14

5.用柯西不等式求函数y=的最大值为( )

A.

B.3

C.4

D.5

当且仅当时,等号成立,

故函数y 的最大值为4.故选C.

6.已知=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B 间的大小关系为

( )

A.A

B.A>B

C.A≤B

D.A≥B

7.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是( )

A.M≥N

B.M>N

C.M≤N

D.M

而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,M>N.

8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是( )

A.5

B.6

C.8

D.9

x+

≥=9,

当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.

5 / 14 5 / 14

9.已知a,b 是给定的正数,则的最小值为( )

A.2a2+b2

B.2ab

C.(2a+b)2

D.4ab

≥=(2a+b)2,

当且仅当sin α=cos α时,等号成立.

故的最小值为(2a+b)2.

10.已知正数x,y,z 满足x+2y+3z=1,则的最小值为(

)

A.1

B.9

C.36

D.18

∵x+2y+3z=1,

∴2≥36,

∴≥18,

∴当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小值为

18.

11.在锐角三角形ABC中,设p=,q=acos C+bcos B+ccos A,则p,q的大小

关系是( )

A.p≥q

B.p=q

C.p≤q

D.无法确定

则由排序不等式可得q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos

C+ccos A, ①

acos C+bcos B+ccos A≥acos C+bcos A+ccos B,②

由①+②得2(acos C+bcos B+ccos A)≥acos B+bcos A+bcos C+ccos B+ccos A+acos C,

7 / 14 7 / 14

即2(acos C+bcos B+ccos A)≥2R(sin Acos B+cos Asin B)+2R(sin Bcos C+cos Bsin C)+2R(sin Ccos A+cos Csin A),

整理,得acos C+bcos B+ccos A≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]

=R(sin A+sin B+sin C)

==p.

12.导学号26394060设P 为△ABC 内一点,D,E,F 分别为P 到

BC,CA,AB 所

引垂线的垂足,如图.若△ABC 的周长为l,

面积为

S,则的最小值为( )

A. B. C. D.

∵

(a3b3+a2b2+a1b1)≥=(a3+a2+a1)2=l2,∴,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD 时,等号成

立

.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.若=2,=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值

为.

14.若a,b,c>0,则a+b+c.

15.设正实数a1,a2,…,a100的任意一个排列为b1,b2,…,b100,则+…+的

最小值为.

9 / 14 9 / 14

16.边长为a,b,c 的三角形,其面积为,外接圆半径为1,若

s=,t=,则

s 与t 的大小关系是

.

即abc=1,所以t=ab+bc+ca,

t2=(ab+bc+ca)

≥()2=s2,

又a,b,c>0,所以s≤t.

三、解答题(本大题共6小题

,共70分)

17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证≤2.

因此()2≤2(2a+2b+2)=8,

故≤2当且仅当a=b=时,等号成立.

18.(本小题满分12分)已知a,b,c都是非零实数,求证

≥a2+b2+c2.

=(b2+c2+a2)

≥=(a2+b2+c2)2,

又因为a2+b2+c2>0,

所以≥a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).

19.(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.

11 / 14 11 / 14

由柯西不等式可得[x2+(2y)2]

≥,

即(2x+y)2≤×1,

所以u2≤,故

-

≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,

解得

x=±,y=±.

所以

u 的最大值是,此时x=,y=;

u 的最小值是-,此时x=-,y=-.

20.(本小题满分12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b.

由排序不等式可得alg a+blg b+clg c≥blg a+clg b+alg c,alg a+blg b+clg c≥clg a+alg b+blg c,

以上两式相加可得2alg a+2blg b+2clg c≥(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,

即lg a2a+lg b2b+lg c2c≥lg ab+c+lg ba+c+lg

ca+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(ab+c·ba+c·ca+b),

故a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).

21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a>0,b>0,c>0,函数

f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.

(1)求a+b+c的值;

(2)求a2+b2+c2的最小值.

≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,

当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.

又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,

所以f(x)的最小值为a+b+c.

又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.

(2)由(1)知a+b+c=4,

由柯西不等式,得(4+9+1)

13 / 14 13 / 14

≥=(a+b+c)2=16,

即

a2+b2+c2≥.

当且仅当,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值

为

.

22.导学号26394062(本小题满分12分

)

如图,等腰直角三角形AOB 的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P 分别引三边的平行线,与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时P 的位置.

则AB 的方程为x+y=1,记点P 坐标为P(xP,yP),

则以P 为公共顶点的三个三角形的面积和S=(1-xP-yP)2,

所以2S=+(1-xP-yP)2.

由柯西不等式,得[+(1-xP-yP)2](12+12+12)≥(xP+yP+1-xP-yP)2,

即6S≥1,所以S≥,当且仅当,即xP=yP=时,等号成

立.

故当xP=yP=时,面积和S最小,且最小值为,

此时点P坐标为.