2019年高中物理人教版(通用版)讲义：3.4重力势能

3.4 重力势能

一、重力做的功

1.做功表达式：W G ＝mgh ＝mgh 1－mgh 2，式中h 指初位置与末位置的高度差；h 1、h 2分别指初位置、末位置的高度。

2.做功的正负：物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功。

3.做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。 思维拓展

如图1所示，将质量为m 的物块从A 移到B 可以有如下情景：

图1

情景1：沿着AOB 路径①移动。 情景2：沿着直线AB 路径②移动。 情景3：沿着任意曲线ACB 路径③移动。

(1)沿着上述三条路径移动物块，重力做的功分别是多少？ (2)结合上面的讨论，分析重力做功有什么特点。 答案 (1)沿路径①，重力做的功W 1＝mgh 。 沿路径②，重力做的功W 2＝mg sin α·h sin α＝mgh 。

沿路径③，我们可以把整个路径分成许多很短的间隔，每小段曲线的长度都很小，

近似可以看成是一段倾斜的直线，设每小段的高度差为Δh1、Δh2、Δh3……整个路径重力所做的功等于每小段上重力所做功的代数和，则W

＝mgΔh1＋mgΔh2

总

＋…＝mgh。

(2)重力做的功与路径无关，只与初末两个位置有关，重力做的功等于重力与沿着重力方向的位移的乘积。

二、重力势能和重力势能的相对性

1.定义：物体所受重力与所处高度的乘积。

2.大小：表达式：E p＝mgh；单位：焦耳，符号：J。

3.标矢性：重力势能是标量，只有大小，没有方向。

4.重力做功与重力势能变化的关系

(1)表达式：W G＝E p1－E p2＝－ΔE p。

(2)两种情况：

①当物体从高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即W G＞0，E p1＞

E p2。

②当物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即W G＜0，E p1＜

E p2。重力做负功也可以说成物体克服重力做功。

5.重力势能的相对性：重力势能总是相对选定的参考平面而言的(该平面常称为零势能面)。

E p＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度。参考平面选择不同，则物体的高度h不同，重力势能的大小也就不同。

思维拓展

如图2所示，幼儿园小朋友们正在兴高采烈地玩滑梯。

图2

(1)小朋友在滑梯最高点时的重力势能一定为正值吗？在地面上时的重力势能一定为零吗？

(2)小朋友沿滑梯下滑时，重力势能怎么变化？小朋友从最高点滑落到地面过程中重力势能的变化与参考平面的选取有关吗？

答案(1)不一定，若选最高点为参考平面，则小朋友在最高点的重力势能为零，在地面上的重力势能为负。

(2)沿滑梯下滑，小朋友的重力势能减小，重力势能的变化与参考平面的选取无

关。

重力势能与重力势能的变化

[要点归纳]

1.重力势能的三性

(1)标量性：重力势能是标量，只有大小，没有方向，但有正、负。

重力势能正、负的含义：正、负值分别表示物体处于参考平面上方和下方。(2)相对性：表达式E p＝mgh中的h是相对于参考平面的高度，故重力势能也具有相对性。计算重力势能时必须要选取参考平面，处于参考平面上的任何物体的重力势能都为零。

(3)系统性：重力是地球对物体的吸引而产生的，如果没有地球对物体的吸引，就不会有重力，也不存在重力势能，所以重力势能是这个系统共同具有的。平时所说的“物体的重力势能”只是一种简化的说法。

2.重力势能变化的绝对性：物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关。[精典示例]

[例1] 如图3所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则

图3

(1)以桌面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下

落到地面过程中重力势能减少多少？

(2)以地面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？

(3)以上计算结果说明什么？

解析(1)以桌面为零势能参考平面，物体距离零势能参考平面的高度h1＝0.4 m，因而物体具有的重力势能

E p1＝mgh1＝2×9.8×0.4 J＝7.84 J。

物体落至地面时，物体的重力势能

E p2＝mgh2＝2×9.8×(－0.8) J＝－15.68 J。

因此物体在此过程中重力势能减少量

ΔE p＝E p1－E p2＝7.84 J－(－15.68) J＝23.52 J。

(2)以地面为零势能参考平面，物体距离零势能参考平面的高度h1′＝(0.4＋0.8) m ＝1.2 m。

因而物体具有的重力势能

E p1′＝mgh1′＝2×9.8×1.2 J＝23.52 J。

物体落至地面时重力势能E p2′＝0。

在此过程中物体重力势能减少量

ΔE p′＝E p1′－E p2′＝23.52 J－0＝23.52 J。

(3)通过上面的计算可知，重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关，而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关。

答案(1)7.84 J23.52 J(2)23.52 J23.52 J

(3)见解析

方法总结

(1)计算物体的重力势能，必须首先选定零势能面。

(2)零势能面以下的重力势能均为负值，“＋”、“－”号代表重力势能的大小，因此，比较大小时，一定要带着“＋”、“－”号进行比较。

[针对训练1] 下列关于重力势能的说法正确的是()

A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定

B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大

C.一个物体的重力势能从－5 J 变化到－3 J ，重力势能增加了

D.在地面上的物体具有的重力势能一定等于零

解析 物体的重力势能与参考平面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考平面的重力势能不同，A 错误；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，B 错误；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J 的重力势能小于－3 J 的重力势能，C 正确；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D 错误。 答案

C

重力做功与重力势能的变化的关系

[要点归纳]

重力做功与重力势能的比较

[精典示例]

[例2] 如图4所示，质量为m 的小球，用一长为l 的细线悬于O 点，将悬线拉

直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O 点正下方D 处有一钉子，小球运动到B 处时会以D 为圆心做圆周运动，并经过C 点。若已知OD ＝2

3l ，则

图4

(1)小球由A 点运动到C 点的过程中，重力做功为多少？ (2)重力势能减少了多少？

解析 (1)从A 点运动到C 点，小球下降高度h ＝13l ，故重力做功W G ＝mgh ＝1

3mgl 。 (2)重力势能的减少量ΔE p 减＝W G ＝1

3mgl 。 答案 (1)13mgl (2)1

3mgl 方法总结

(1)判断重力做功正负的方法：

若物体向上运动或有竖直向上的分位移，重力做负功；若物体向下运动或有竖直向下的分位移，重力做正功。

(2)重力势能的变化仅与重力做功有关，与是否受其他力及其他力是否做功无关。 [针对训练2] (2018·吉林高一检测)(多选)关于重力势能和重力做功的叙述，正确的是( )

A.物体克服重力做的功等于重力势能的增加量

B.重力做功与路径无关，只取决于始末点的位置

C.在同一高度，将某物体沿不同方向抛出，从抛出到落至同一水平地面的过程，重力势能的变化一定相等

D.重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功

解析 物体克服重力做的功等于重力势能的增加量，故A 正确；重力做功与路径无关，只取决于始末点的位置，故B 正确；在同一高度，将物体沿不同的方向抛出，从抛出到落地过程中，重力做的功相等，物体所减少的重力势能一定相等，故C 正确；重力势能具有相对性，重力势能的大小与零势能面的选取有关，

重力势能等于零的物体，可以对别的物体做功，故D错误。

答案ABC

1.(2018·安庆高一检测)(多选)在空中某点，将三个质量相等的小球以相同的速率v水平抛出、竖直上抛、竖直下抛，则从抛出点到落地点，下列说法中正确的是()

A.重力做功相同

B.重力的平均功率相同

C.竖直下抛小球的重力的平均功率最大

D.落地时重力的瞬时功率相同

解析三种情况下竖直方向上的位移相同，重力做功相等，故A正确；竖直下抛的小球落地所用时间最短，而重力做功相等，所以竖直下抛的小球的重力的平均功率最大，故B错误，C正确；三种情况下，小球落地时的速度大小相同，但速度方向与竖直方向夹角不同，所以重力的瞬时功率不相同，故D错误。

答案AC

2.某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图5所示，则下列说法正确的是()

图5

A.从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功

B.从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功

C.从A到B重力做功mg(H＋h)

D.从A到B重力做功mgH

解析重力对物体所做的功只与初、末位置的高度差有关，大小为W G＝mgH，故正确选项为D。

答案 D

3.(2018·开封高一检测)一实心的正方体铁块与一实心的正方体木块质量相等，将

它们放在水平地面上，下列结论正确的是(以水平地面为零势能面)( ) A.铁块的重力势能大于木块的重力势能 B.铁块的重力势能小于木块的重力势能 C.铁块的重力势能等于木块的重力势能 D.上述三种情况都有可能

解析 由于铁块的密度大于木块的密度，质量相等时，铁块的体积小于木块的体积，因此铁块的重心低于木块的重心，可得铁块的重力势能小于木块的重力势能，故B 正确。 答案 B

4.质量为m 的物体，沿倾角为α的光滑斜面由静止下滑，当下滑t (s)时重力势能减少量为( ) A.1

2mg 2t 2sin α B.1

2mg 2t 2 C.mg 2t 2

D.1

2mg 2t 2sin 2α

解析 物体下滑的加速度a ＝g sin α，t (s)时物体下滑的距离x ＝12at 2＝1

2g sin α·t 2，下滑的高度h ＝x sin α，物体重力势能的减少量ΔE p ＝mgh ＝1

2mg 2sin 2α·t 2。故D 正

确。 答案 D

5.在离地面80 m 处无初速度地释放一小球，小球质量为200 g ，不计空气阻力，g 取10 m/s 2，取释放点所在水平面为参考平面。求： (1)在第2 s 末小球的重力势能；

(2)在第3 s 内重力所做的功和重力势能的变化。

解析 (1)以释放点所在水平面为参考平面，在第2 s 末小球所处的高度为h ＝－1

2gt 2＝－1

2×10×22 m ＝－20 m

重力势能E p ＝mgh ＝200×10－3×10×(－20)J ＝－40 J E p ＜0，说明小球在参考平面的下方。 (2)在第3 s 末小球所处的高度为 h ′＝－12gt ′2＝－1

2×10×32m ＝－45 m

第3 s内重力做的功为

W＝mg(h－h′)＝200×10－3×10×(－20＋45) J＝50 J

由重力做功与重力势能改变的关系可知，小球的重力势能减少50 J。

答案(1)－40 J(2)50 J减少50 J

基础过关

1.关于重力做功和重力势能，下列说法正确的是()

A.重力做功与物体运动的路径有关

B.重力对物体做负功时，物体的重力势能一定减小

C.物体处在零势能面以下时，其重力势能为负值

D.重力势能的变化与零势能面的选取有关

答案 C

2.图1中虚线是一跳水运动员在跳水过程中其重心运动的轨迹，则从起跳至入水的过程中，该运动员的重力势能()

图1

A.一直减小

B.一直增大

C.先增大后减小

D.先减小后增大

解析 运动员从起跳至入水过程中，其重心位置先升高后降低，重力先做负功后做正功，其重力势能先增大后减小，故C 正确。 答案 C

3.如图2所示，在水平地面上平铺着n 块砖，每块砖的质量为m ，厚度为h 。如果工人将砖一块一块地叠放起来，那么人至少做功( )

图2

A.n (n －1)mgh

B.1

2n (n －1)mgh C.n (n ＋1)mgh D.1

2n (n ＋1)mgh

解析 平铺时重心距地面12h ，叠放时重心离地面12nh ，故有W ＝ΔE p ＝nmg ×1

2nh

－nmg ×12h ＝1

2n (n －1)mgh ，B 正确。 答案 B

4.如图3所示，一根长为l ，质量为m 的匀质软绳悬于O 点，若将其下端向上提起使其对折，则做功至少为( )

图3

A.mgl

B.12mgl

C.13mgl

D.14mgl

解析 将软绳下端向上拉起，相当于把下半段上移了l 2，重力势能增加了12mg ·

l

2＝14mgl ，即外力至少要做功14mgl ，选项D 正确。 答案 D

5.一物体以初速度v竖直向上抛出，做竖直上抛运动，则物体的重力势能—路程图象应是四个图中的()

解析以抛出点为零势能点，则上升阶段路程为s时，克服重力做功mgs，重力势能E p＝mgs，即重力势能与路程s成正比；下降阶段，物体距抛出点的高度h ＝2h0－s，其中h0为上升的最高点，故重力势能E p＝mgh＝2mgh0－mgs，故下降阶段，随着路程s的增大，重力势能线性减小，选项A正确。

答案 A

6.(2018·泰安高一检测)沿着高度相同、坡度不同、粗糙程度也不同的斜面将同一物体分别从底端拉到顶端，下列说法正确的是()

A.沿坡度小的斜面运动时物体克服重力做功多

B.沿坡度大、粗糙程度大的斜面运动，物体克服重力做功多

C.沿坡度小、粗糙程度大的斜面运动，物体克服重力做功多

D.不管沿怎样的斜面运动，物体克服重力做功都相同，物体增加的重力势能也相同

答案 D

能力提升

7.(2018·成都高一检测)如图4所示，物体A的质量为m，A的上端连接一个轻弹簧原长为L0，劲度系数为k，整个系统置于水平地面上，现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是()

图4

A.提弹簧的力对系统做功为mgL

B.物体A的重力势能增加mgL

C.物体A 的重力势能增加mg (L －L 0)

D.物体A 的重力势能增加mg ? ?

?

??L －mg k

解析 将弹簧上端B 缓慢地竖直向上提起，由于开始时有支持力，故拉力先小于mg ，物体离地后等于mg ，拉力的位移为L ，故提弹簧的力对系统做功小于mgL ，故A 错误；B 点上移距离为L ，弹簧伸长量为ΔL ＝mg

k ，故A 上升的高度

为L －ΔL ，所以A 的重力势能增加mg ? ?

???L －mg k ，故B 、C 错误，D 正确。

答案 D

8.(多选)物体在某一运动过程中，重力对它做了40 J 的负功，下列说法中正确的是( )

A.物体的高度一定升高了

B.物体的重力势能一定减少了40 J

C.物体重力势能的改变量不一定等于40 J

D.物体克服重力做了40 J 的功

解析 重力做负功，物体位移的方向与重力方向之间的夹角一定大于90°，所以物体的高度一定升高了，A 正确；由于W G ＝－ΔE p ，故ΔE p ＝－W G ＝40 J ，所以物体的重力势能增加了40 J ，B 、C 错误；重力做负功又可以说成是物体克服重力做功，D 正确。 答案 AD

9.起重机以g

4的加速度将质量为m 的物体沿竖直方向匀加速地提升高度h ，则起重机钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做的功为多少？物体的重力势能变化了多少？

解析 由题意可知物体的加速度为a ＝g

4，方向竖直向上，物体上升的高度为h 。根据牛顿第二定律可得F －mg ＝ma ，所以F ＝mg ＋ma ＝5

4mg ；故拉力做的功为W F ＝Fh ＝5

4mgh 。重力做的功为W G ＝－mgh ，即物体克服重力做的功为mgh ，物体的重力势能增加了mgh 。 答案 5

4mgh mgh mgh