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2020版高中物理 第一章 机械振动 5 学生实验:用单摆测定重力加速度学案 教科版选修3-4

5 学生实验:用单摆测定重力加速度

[学习目标] 1.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法.2.体会单摆做简谐运动的条件.

2020版高中物理 第一章 机械振动 5 学生实验:用单摆测定重力加速度学案 教科版选修3-4

1.实验目的

利用单摆测定当地的重力加速度. 2.原理 由T =2πl g 得g =4π2

l

T

2.所以,只要测出单摆的摆长l 和周期T ,就可测出当地的重力加速度.

3.器材

铁架台及铁夹,金属小球(有孔)、停表、细线(1m 左右)、刻度尺、游标卡尺. 4.实验步骤

(1)让细线的一端穿过摆球的小孔,在细线的穿出端打一个稍大一些的线结,制成一个单摆.

(2)将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边,使铁夹伸出桌面之外,然后把单摆上端固定在铁夹上,使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记.

(3)用刻度尺量出悬线长l ′(准确到mm),用游标卡尺测出摆球的直径d ,然后计算出悬点到球心的距离l =l ′+d

2

,即为摆长. (4)把单摆从平衡位置拉开一个角度,角度不大于5°,再释放摆球.当摆球经过最低位置时,用停表开始计时,测量单摆全振动30次(或50次)的时间,求出一次全振动的时间,即单摆的振动周期. (5)改变摆长,重做几次实验,将所得数据填入表格. 5.数据处理

方法一:将每次测出的周期T 及测得的摆长l 代入公式g =4π2

l

T

2,求出重力加速度的值,然后求g 的平均值.

方法二:多做几次实验,由几组l 、T 值作出T 2

-l 图像,则图像的斜率k =4π

2

g

,从而求出重力加速度g .

6.注意事项

(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线,比如用单根尼龙丝、丝线等,长度一般不应短于1m ,摆球应选用密度较大的金属球,直径应较小,最好不超过2cm. (2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应不大于5°.

(3)摆球摆动时,要使之保持在同一竖直平面内,不要形成圆锥摆.

(4)测量单摆的振动次数时,应从摆球通过最低点时开始计时,以后摆球从同一方向通过最低点时计数,要测多次(如30次或50次)全振动的时间,用取平均值的办法求周期.

例1 用单摆做测定重力加速度的实验,某同学做实验时,操作上错误或不合理的有________.

A.单摆的偏角大于10°

B.摆球摆动到最高点开始计时

C.防止摆球在水平面内做圆周运动或椭圆运动

D.测出的摆线长就是摆长

E.在平衡位置启动停表,并开始计数,当摆球第30次经过平衡位置时制动停表,若读数为t ,则T =t

30

答案 ABDE

解析 A.单摆应保证偏角小于5°. B.应在通过最低点时开始计时,误差较小. D.摆长应为摆线长加摆球半径. E.如此计数,则T =t

14.5

,应在摆球经过平衡位置时开始计时,在摆球下一次以相同方向通过平衡位置时,计数为1.

例2 “在用单摆测定重力加速度”的实验中:

(1)用摆长L 和周期T 计算重力加速度的公式是g =____________.

(2)如果用10分度的游标卡尺测得的摆球直径如图1甲所示,则摆球的直径d =________cm ;用分度值为1mm 的刻度尺的零点对准摆线的悬点,测得的摆线长如图乙所示,则单摆的摆长为L =________cm ;如果测量了40次全振动的时间如图丙所示,则此单摆的振动周期T =________s. (3)由实验数据得出重力加速度g =________m/s 2

.

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2020版高中物理 第一章 机械振动 5 学生实验:用单摆测定重力加速度学案 教科版选修3-4

图1

答案 (1)4π2

L

T

2

(2)1.35 96.825 1.98 (3)9.74

解析 (1)根据单摆周期公式T =2π

L g ,得到g =4π2

L T

2. (2)由题图所示游标卡尺可知,主尺的示数是13mm ,游标尺的示数是5×0.1mm =0.5mm , 则游标卡尺示数,即小球直径d =13mm +0.5mm =1

3.5mm =1.35cm ; 摆线的长度:l =96.15cm

单摆的摆长为L =l +d 2=96.15cm +1.35

2

cm =96.825cm

由题图所示停表可知,分针示数是1min =60s ,秒针示数是19.2s ,停表示数是60s +19.2s =79.2s 单摆周期T =t n =

79.2

40

s =1.98s.

(3)重力加速度:

g =4π2

L T 2=4×(3.14)2

1.98

2

×96.825×10-2m/s 2≈9.74 m/s 2. 例3 某同学利用如图2所示的装置测量当地的重力加速度.实验步骤如下:

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图2

A.按装置图安装好实验装置;

B.用游标卡尺测量小球的直径d ;

C.用米尺测量悬线的长度L ;

D.让小球在竖直平面内小角度摆动,当小球经过最低点时开始计时,并计数为0,此后小球每经过最低点一次,依次计数1、2、3、…,当数到20时,停止计时,测得时间为t ;

E.多次改变悬线长度,对应每个悬线长度,都重复实验步骤C 、D ;

F.计算出每个悬线长度对应的t 2

G.以t 2

为纵坐标、L 为横坐标,作出t 2

-L 图线. 结合上述实验,完成下列问题:

(1)该同学根据实验数据,利用计算机作出t 2

-L 图线如图3所示.根据图线拟合得到方程t 2

=404.0L +3.0,由此可以得出当地的重力加速度g =________m/s 2

.(取π2

=9.86,结果保留3位有效数字)

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图3

(2)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因,下列分析正确的是________. A.不应在小球经过最低点时开始计时,应该在小球运动到最高点开始计时 B.开始计时后,不应记录小球经过最低点的次数,而应记录小球做全振动的次数 C.不应作t 2

-L 图线,而应作t -L 图线 D.不应作t 2-L 图线,而应作t 2

-(L +12

d )图线

(3)另一同学也用该装置进行实验,但所测得的重力加速度总是偏大,其原因可能是( ) A.测定周期时,振动次数少数了一次 B.测定周期时,振动次数多数了一次 C.摆球的质量过大

D.计算摆长时,只考虑悬线的长度,没有加上摆球的半径 答案 (1)9.76 (2)D (3)B 解析 (1)根据单摆周期公式T =2πl

g

得: t

10

=2πl g ,即t 2=400π2l g

. 故t 2

-L 图像的斜率表示400π

2

g

的大小,

由题意知斜率k =404.0,则400π2

g

=404.0,

代入π2=9.86得g ≈9.76m/s 2

.

(2)单摆摆长等于摆线长度与摆球半径之和,把摆线长度作为单摆摆长,摆长小于实际摆长,t 2

-L 图像不过原点,在纵轴上截距不为零,故D 正确.

(3)由计算g 的公式g =4π2

l

T

2可知,如果振动次数多数了一次,即T 偏小,使g 偏大,选项A 错,B 对;摆球的质

量过大,不影响单摆的周期与摆长,所以不影响测得的重力加速度,选项C 错;当l 偏小时,求得的g 偏小,选项D 错.

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误差分析

1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求.即:悬点是否固定,是单摆还是复摆,球、线是否符合要求,摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动,以及测量哪段长度作为摆长等等.

2.本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上,因此,要注意测准时间(周期).要从摆球通过平衡位置开始计时,不能多记或漏记振动次数.为了减小偶然误差,应进行多次测量取平均值.

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1.(用单摆测定重力加速度)(1)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中,某同学甲用毫米刻度尺测得摆线长L 0

=935.8mm;用游标卡尺测得摆球的直径如图4所示,则摆球直径d=________mm.

用停表测得单摆完成n=40次全振动的时间如图5所示,则停表的示数t=________s;若用给出的各物理符号(L0、d、n、t)表示当地的重力加速度g,则计算g的表达式为g=________.

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图4

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图5

(2)实验中同学甲发现测得的g值偏小,可能的原因是________.

A.测摆线长时摆线拉得过紧

B.摆线上端未牢固地系于悬点,振动中出现松动,使摆线长度增加了

C.开始计时时,停表过迟按下

D.实验中误将39次全振动计为40次

(3)为了提高实验精度,某同学乙在实验中通过改变几次摆长L,并测出相应的周期T,从而得到一组对应的L与T的数据,再以L为横坐标、T2为纵坐标,建立坐标系,将所得数据进行连线,实验测得的数据如下表所示:

次数1234 5

摆长L/cm80.0090.00100.00110.00120.00

30次全振动时间t/s53.856.960.062.865.7

振动周期T/s 1.79 1.90 2.00 2.09 2.19

振动周期的平方T2/s2 3.20 3.61 4.00 4.37 4.80

①请将表中测量数据标在图6中,并在图中作出T2随L变化的图像.

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图6

②根据图像可知当地的重力加速度为________(保留3位有效数字).

答案(1)19.55 78.4 4π2n2(L0+

d

2

)

t2

(2)B (3)①如图所示

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②9.86m/s2

解析(1)游标卡尺主尺示数为19mm;游标尺对齐格数为11个格,游标尺读数为11×0.05mm=0.55mm;所以直径为19mm+0.55mm=19.55mm.

停表读数:分针示数为1min=60s,秒针示数为18.4s,故时间为78.4s;

根据T=2πL

g

得:g=

4π2L

T2

4π2(L0+

d

2

)

T2

4π2n2(L0+

d

2

)

t2

.

(2)同学甲测得的g值偏小,说明摆长测量值偏小或者周期测量值偏大;

测摆线长时摆线拉得过紧,摆长测量值偏大,g值测量值偏大,故A错误;

摆线上端未牢固地系于悬点,振动中出现松动,使摆线长度增加了,说明摆长测量值偏小,g值测量值偏小,故B正确;

开始计时时,停表过迟按下,周期测量值偏小,g值测量值偏大,故C错误;

实验中误将39次全振动数为40次,周期测量值偏小,g值测量值偏大,故D错误.

(3)根据表格中的数据描点,如图所示

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根据T=2πL

g

得T2=

4π2

g

L,

由图像可知:图像斜率k=4π2

g

=4,解得g≈9.86m/s2.

2.(用单摆测定重力加速度)某同学利用单摆测定当地重力加速度,发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方,他

仍将从悬点到球心的距离当作摆长l ,通过改变摆线的长度,测得5组l 和对应的周期T ,画出l -T 2

图线,然后在图线上选取A 、B 两个点,坐标如图7所示.他采用恰当的数据处理方法,则计算重力加速度的表达式应为g =________.请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比,将________(填“偏大”“偏小”或“相同”).

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图7

答案 4π2

(l B -l A )T B 2-T A 2 相同

解析 由周期公式T =2π

l g ,得g =4π2l T 2,结合题图得到g =4π2

(l B -l A )T B 2-T A 2

,因为这样处理数据后用到的是前后两次摆长的差值,与重心位置无关,所以测量结果不受影响.

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1.(多选)对“用单摆测定重力加速度”的实验,下列说法正确的是( ) A.如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球,应选用铁球 B.单摆偏角不应超过5°

C.为便于改变摆长,可将摆线的一头绕在铁架台上的圆杆上以代替铁夹

D.测量摆长时,应用力拉紧摆线 答案 AB

解析 根据单摆模型的特点,则A 、B 项正确.摆动过程中悬点位置变化,会导致摆长变化,C 项错误.测摆长时,用力拉紧摆线会使形变量变大,摆长偏大,故D 项错误.

2.(多选)对“用单摆测定重力加速度”的实验,下面各种对实验误差的影响的说法中正确的是( ) A.在摆长和时间的测量中,时间的测量对实验误差影响较大 B.在摆长和时间的测量中,长度的测量对实验误差影响较大 C.将振动次数n 记为(n +1),测算出的g 值比当地的公认值偏大 D.将摆线长当作摆长,未加摆球的半径测算出的g 值比当地的公认值偏大 答案 AC

解析 对“用单摆测定重力加速度”的实验,重力加速度表达式g =4π2

l

T

2,由于g 与周期的平方成反比,周期若

有误差,再平方后误差会更大,所以时间的测量对误差的影响更大些,A 正确,B 错误;另外,如果振动次数多数了一次,会造成周期的测量值偏小,重力加速度测量值偏大,C 正确;若摆长未加小球的半径,将使摆长的测量值偏小,g 值偏小,D 错误.

3.(1)在“用单摆测定当地的重力加速度”的实验中,除带横杆的铁架台、铁夹、停表、游标卡尺、刻度尺之外,还必须选用的器材,正确的一组是________. A.约1m 的不可伸长的细线,半径约1cm 的小铁球 B.约0.1m 的不可伸长的细线,半径约1cm 的小铁球 C.约0.1m 的不可伸长的细线,半径约1cm 的小塑料球 D.约1m 的不可伸长的细线,半径约1cm 的小塑料球

(2)测量小球直径时游标卡尺的读数(如图1甲所示)为________cm.

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图1

(3)某同学在处理数据的步骤中,以L 为纵坐标,以周期T 为横坐标,作出如图乙所示的图像,已知该图线的斜率为k =0.500,则重力加速度为________m/s 2

.(结果保留三位有效数字,π=3.14) 答案 (1)A (2)0.890 (3)9.86

解析 (1)根据实验要求,摆线长1m 左右,为减小空气阻力的影响,应选用体积较小的实心金属球,故选半径约1cm 的小铁球,故A 正确,B 、C 、D 错误.

(2)主尺刻度为8mm ,游标尺刻度为18×0.05mm =0.90mm ,故游标卡尺的读数为8mm +0.90mm =8.90mm =0.890cm ; (3)单摆的周期公式T =2π

L g ,变形得L =g 2πT ,其中k =g

根据题意斜率k =0.500,所以g =4π2k 2

=4×3.142

×0.5002

m/s 2

≈9.86 m/s 2

.

4.利用单摆测定重力加速度的实验中,测出单摆偏角小于5°时完成n 次全振动的时间为t ,用毫米刻度尺测得摆线长为l ,用游标卡尺测得摆球的直径为d .

(1)用上述物理量和符号写出测重力加速度的一般表达式g =________________. (2)实验中有同学发现他测的重力加速度值总是偏大,其原因可能是( ) A.实验室在高山上,高出海平面太高 B.单摆所用摆球太重

C.测出n 次全振动的时间t ,误作为(n +1)次全振动时间进行计算

D.以摆线长与摆球直径之和作为摆长来计算 答案 (1)4π2

? ?

?

??

l +d 2n

2

t

2

(2)CD 5.一组同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中,用正确的操作方法,测定了6组摆长l 和周期T 的对应值.为了求出当地的重力加速度g,4位同学提出了4种不同的数据处理方法: A.从测定的6组数据中任意选取1组,用公式g =4π2

l

T

2求出g 作为测量值

B.分别求出6个l 值的平均值l 和6个T 值的平均值T ,用公式g =4π2

l

T

2

求出g 作为测量值 C.分别用6组l 、T 的对应值,用公式g =4π2

l

T

2求出6个对应的g 值,再求出这6个g 的平均值作为测量值

D.在坐标纸上作出T 2

-l 图像,从图像中计算出图线的斜率k ,根据g =4π

2

k

求出g 作为测量值.

以上4种方法中,错误的是________,其余正确方法中偶然误差最小的是________. 答案 B D

解析 错误的是B ,因为l 和T 之间不是一次函数的关系.偶然误差最小的是D ,因为偶然误差总是有时偏大有时偏小,而描点后画线时要求尽可能多的点在一条直线上,其余点尽可能均衡地分布在直线两侧,实际上是把偶然误差减小到最小了.

6.某同学利用单摆测定重力加速度.

(1)(多选)为了使测量误差尽量小,下列说法正确的是( ) A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B.组装单摆须选用轻质且不易伸长的细线 C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D.摆长一定的情况下,摆的振幅尽量大

(2)如图2所示,在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1m 的单摆.实验时,由于仅有量程为20cm 、精度为1mm 的钢板刻度尺,于是他先使摆球自然下垂,在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点,测出单摆的周期T 1;然后保持悬点位置不变,设法将摆长缩短一些,再次使摆球自然下垂,用同样方法在竖直立柱上做另一标记点,并测出单摆的周期T 2;最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离Δl .用上述测量结果,写出重力加速度的表达式g =________.

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图2

答案 (1)BC (2)4π2

Δl T 12-T 22

解析 (1)在利用单摆测定重力加速度实验中,为了使测量误差尽量小,须选用密度大、直径小的摆球和轻质、不易伸长的细线,摆球须在同一竖直面内摆动,摆长一定时,振幅尽量小些,以使其满足简谐运动的条件,故选B 、C.

(2)设第一次摆长为l ,第二次摆长为l -Δl ,则T 1=2π

l

g ,T 2=2πl -Δl g ,联立解得g =4π2

Δl

T 12-T 22

. 7.某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时,只测量了悬点与小球上端结点之间的距离L ,并通过改变L 而

测出对应的摆动周期T ,再以T 2

为纵轴、L 为横轴作出函数关系图像,那么就可以通过此图像得出小球的半径和当地的重力加速度g . (1)现有如下测量工具:

A.时钟

B.停表

C.天平

D.毫米刻度尺 本实验所需的测量工具有________.

(2)如果实验中所得到的T 2

-L 关系图像如图3所示,那么真正的图像应该是a 、b 、c 中的________.

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图3

(3)由图像可知,小球的半径r =________cm ;当地的重力加速度g =________m/s 2

. 答案 (1)BD (2)a (3)1.2 9.86 解析 (2)由单摆周期公式得:T =2π

L +r g ,解得:T 2

=4π2L g +4π2

r g

; 当L =0时,T 2

=4π2

r

g

>0,则真正的图像是a .

(3)当T 2

=0时,L =-r ,即图像与L 轴交点坐标,由题图可知,r =1.2cm.图线的斜率大小k =4π2

g

,由题图可知,

k =0.0480.012=4,解得:g =4π2

k

≈9.86m/s 2. 8.在“用单摆测定重力加速度”的实验中,两位同学测出了单摆在不同摆长(l )对应的周期(T ),在进行实验数据处理时

(1)甲同学以摆长(l )为横坐标、周期(T )的平方为纵坐标作出了T 2

-l 图像,若他测得的图像的斜率为k ,则测得的重力加速度g =________.

若测摆长时,忘记测摆球的半径,则他用图像法求得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”). (2)乙同学根据公式:T =2π

l g 得:g =4π2

l

T

2,并计算加速度,若测摆长时,也忘记了测摆球的半径,则他测得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”).

(3)若他们测量5种不同摆长下单摆的振动周期,记录结果如下表所示:

l /m 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2 T /s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20 T 2/s 2

2.02

3.20

3.61

4.00

4.84

请你以摆长(l )为横坐标、周期(T )的平方为纵坐标,在虚线框中作出T 2

-l 图像,并利用此图像求出重力加速度

为________m/s 2

.

答案 (1)4π

2

k

准确 (2)偏小 (3)见解析图 9.86

解析 (3)建立如图所示坐标系,并标出适当的刻度,描点画出T 2

-l 图像如图所示,则图像的斜率大约为:k =4.0.依据图像求出重力加速度为:g =4π2

k

≈9.86m/s 2.

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9.传感器在物理实验研究中具有广泛的应用.单摆在运动过程中,摆线的拉力在做周期性的变化,这个周期性变化的力可用力传感器显示出来,从而可进一步研究单摆的运动规律.

(1)实验时用游标卡尺测量摆球直径,示数如图4所示,该摆球的直径d =________mm.

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图4

(2)接着测量了摆线的长度为l 0,实验时用拉力传感器测得摆线的拉力F 随时间t 变化的图像如图5所示,则重力加速度的表达式g =________(用题目和图中的已知物理量表示).

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图5

(3)某小组改变摆线长度l 0,测量了多组数据,在进行数据处理时,甲同学把摆线长l 0作为摆长,直接利用公式求出各组重力加速度值再求出平均值;乙同学作出T 2

-l 0图像后求出斜率,然后算出重力加速度.两同学处理数据的方法对结果的影响是:甲________,乙________(填“偏大”“偏小”或“无影响”). 答案 (1)15.4 (2)π2

(l 0+d

2

)

4t 0

2

(3)偏小 无影响 解析 (1)主尺示数是15mm ,游标尺示数是4×0.1mm =0.4mm ,摆球的直径为15mm +0.4mm =15.4mm. (2)在单摆摆动的过程中,每一个周期中有两次拉力的最大值,由F -t 图像可知,单摆周期T =4t 0,根据T =2πl g

整理得:g =π2

(l 0+d

2

)

4t 0

2

①.

(3)根据公式①甲同学把摆线长l 0作为摆长,则摆长的测量值偏小,g 的测量值偏小;乙同学作出T 2

-l 0图像后求出斜率,k =4π2

g ,重力加速度:g =4π

2

k

②,由公式②可知,该方法计算出的重力加速度与摆长无关.