专题十一 概率与统计
第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差
答案部分
1.B 【解析】由题意知,该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布,所以
10(1) 2.4DX p p =-=,所以0.6p =或0.4p =.
由(4)(6)P X P X =<=,得4466641010C (1)C (1)p p p p -<-,即22
(1)p p -<,所以
0.5p >,所以0.6p =.故选B .
2.D 【解析】由题可得1()2E p ξ=
+,所以22111
()()422
D p p p ξ=-++=--+,所以当p 在(0,1)内增大时,()D ξ先增大后减小.故选D . 3.A 【解析】由题意可得
1
1
由两点分布11()E p ξ=,22()E p ξ=;111()(1)D p p ξ=-,222()(1)D p p ξ=-,
∵22
2122112121()()(1)(1)()()D D p p p p p p p p ξξ-=---=---
∵121
02
p p <<<
,∴210p p ->,2110p p --> ∴1()E ξ<2()E ξ,1()D ξ<2()D ξ,选A .
4.A 【解析】解法一(特值法)取m n ==3进行计算、比较即可.
解法二 从乙盒中取1个球时,取出的红球的个数记为ξ,则ξ的所有可能取值为0,1,
则1(0)(1)n P P m n ξξ====+,1(1)(2)m
P P m n
ξξ====+, 所以111()1(1)2(2)1m
E P P m n
ξξξ=?=+==
++, 所以11()222()
E m n
p m n ξ+=
=+;从乙盒中取2个球时,取出的红球的个数记为η,则 η的所有可能的取值为0,1,2,
则222C (0)(1)C n m n P P ηξ+====,11
22C C (1)(2)C n m
m n
P P ηξ+====,
∴22222()1(=1)2(=2)3(=3)1m
E P P P m n
ξξξξ=?+?+?=++, ∴22()333()
E m n
p m n ξ+=
=+,所以12p p >,()()12E E ξξ<,故选A . 5.1.96【解析】由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即()~100,0.02X B ,由
二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=??=.
6.
32
【解析】实验成功的概率34p =,故3(2,)4X B ,所以33
()242E X =?=.
7.2
5
【解析】由题意设(1),P p ξξ==的分布列如下
0 1 2
由()1E ξ=,可得5p =
,所以()5
D ξ=. 8.【解析】(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50. 故所求概率为
50
0.0252000
=. (2)设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”, 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”. 故所求概率为()()()P AB AB P AB P AB +=+ =()(1())(1())()P A P B P A P B -+-.
由题意知:()P A 估计为0.25,()P B 估计为0.2. 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35. (3)1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ.
9.【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为2218
20()C (1)f p p p =-.因此
218217217
2020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--.
令()0f p '=,得0.1p =.当(0,0.1)p ∈时,()0f p '>; 当(0.1,1)p ∈时,()0f p '<. 所以()f p 的最大值点为00.1p =.
(2)由(1)知,0.1p =.
(i )令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数, 依题意知(180,0.1)Y
B ,20225X Y =?+,即4025X Y =+.
所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=.
(ii )如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX >,故应该对余下的产品作检验.
10.【解析】(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽
样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)(i )随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.
343
3
7
C C ()C k k
P X k -?==(k =0,1,2,3). 所以,随机变量X 的分布列为
1
2
3
随机变量X 的数学期望412()0123353535357
E X =?
+?+?+?=. (ii )设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则
A B C =,且B 与C 互斥,
由(i )知,()(2)P B p X ==,()(1)P C P X ==, 故6()()(2)(1)7
P A P B
C P X P X ===+==
. 所以,事件A 发生的概率为
67
. 11.【解析】(1)由题意知,X 所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知
()2162000.290P X +===,()36
3000.490P X ===, ()2574
5000.490
P X ++==
=. 因此X 的分布列为
0.2
0.4
0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200, 因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时,
若最高气温不低于25,则642Y n n n =-=;
若最高气温位于区间[20,25),则63002(200)412002Y n n n =?+--=-; 若最高气温低于20,则62002(200)48002Y n n n =?+--=-; 因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n =?+-?+-?=-. 当200300n <≤时,
若最高气温不低于20,则642Y n n n =-=;
若最高气温低于20,则62002(200)48002Y n n n =?+--=-; 因此2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n =?++-?=+. 所以300n =时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为520元.
12.【解析】(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11
C C n m n n m n n p m n
-+-+==
+. (2)随机变量X 的概率分布为: … …
…
…
随机变量X 的期望为:
1
1
C 111(1)!
()C C (1)!()!n m n
m n
k n n
k n k n
m n
m n k E X k k n k n -++-==++-=?=?--∑∑. 所以1(2)!1
(2)!
()C (1)!()!(1)C (2)!()!m n
m n
n n k n k n
m n
m n
k k E X n k n n n k n ++==++--<
=-----∑∑ ()()(1)
n
E X m n n <
+-.
13.【解析】(Ⅰ)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.
1111
(0)(1)(1)(1)2344P X ==-?-?-=,
11111111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424
P X ==?-?-+-??-+-?-?=
, 1111111111
(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-??+?-?+??-=,
1111
(3)23424
P X ==??=
. 所以,随机变量X 的分布列为
1
2
3
随机变量X 的数学期望13()012342442412
E X =?
+?+?+?=. (Ⅱ)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
11111111
42424448
=?+?=
. 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为
1148
. 14.【解析】(Ⅰ)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ,则
485105
().18
C P M C ==
(Ⅱ)由题意知X 可取的值为:0,1,2,3,4.则 因此X 的分布列为
0 1 2 3 4
X 的数学期望是
=51051
0+1+2+3+421212142
?
???=2. 15.【解析】(Ⅰ)由图知,在服药的50名患者中,指标y 的值小于60的有15人,
所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60的概率为15
0.350
=. (Ⅱ)由图知,A,B,C,D 四人中,指标x 的值大于1.7的有2人:A 和C . 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.